第一讲正弦理和余弦定理的应用(一)
正弦定理和余弦定理的应用举例1
(2010· 江苏)某兴趣小组要测量电视塔
AE的高度H(单位：m)如图所示，垂
直放置的标杆BC的高度h＝ 4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到 电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高 测量精度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少 时，α－β最大？
解
设“大连号”用 t h 在 D 处追上
“敌舰”， 则有 CD＝10 3t， BD＝10t， 如图在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC ＝2，∠BAC＝120° ， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos∠BAC AC· ＝( 3－1)2 ＋22 －2· 3－1)· cos 120° ( 2· ＝6
在△A1B2B1 中，由余弦定理得 B1B 2 ＝A1B 2 ＋A1B 2 － 2 1 2 2A1B1· 1B2· 45° A cos ＝202 ＋(10 2)2 －2×20×10 2× ＝200，∴B1B2＝10 2. 10 2 因此，乙船的速度为 ×60＝30 2(海里/时)．(14 分) 20 2 2
20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处，此时两船相距 10 2海里．问：乙船每小时航行多少海里？
[审题路线图] (1)分清已知条件和未知条件(待求)． (2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求 解． [解答示范] 如图，连接 A1B2，由已知
[点评] 三角形应用题常见的类型： ①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之； ②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角 形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解； ③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形不只有一个，可 由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定
中考考点正弦定理余弦定理正切定理的计算与应用
中考考点正弦定理余弦定理正切定理的计算与应用正弦定理、余弦定理和正切定理是三角函数中常用的计算公式，也是中考数学考试中的重要考点。
它们能够帮助我们计算和解决与三角形相关的各种问题。
本文将介绍正弦定理、余弦定理和正切定理的基本公式及其应用。
一、正弦定理在任意三角形ABC中，设三条边的长度分别为a、b、c，且对应的角为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据正弦定理，我们可以计算未知边长或角度的值。
例如，已知两条边和夹角的情况下，可以通过正弦定理来计算第三条边的长度或第三个角的大小。
例题1：已知三角形ABC，AB=8cm，AC=6cm，∠B=60°，求∠A和BC的长度。
解：根据正弦定理可得：8/sinA = 6/sin60°sinA = 8*sin60°/6A = arcsin(8*sin60°/6) ≈ 54.6°又根据三角形内角和为180°的性质可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 54.6° - 60° = 65.4°再利用正弦定理求得BC的长度：BC/sin65.4° = 6/sin60°BC = 6*sin65.4°/sin60° ≈ 6.87cm所以，∠A ≈ 54.6°，BC ≈ 6.87cm。
二、余弦定理在任意三角形ABC中，设三条边的长度分别为a、b、c，且对应的角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab*cosC根据余弦定理，我们可以计算任意一个角的余弦值或者未知边长的长度，进而解决与三角形相关的各种问题。
例题2：已知三角形ABC，AB=7cm，AC=5cm，∠B=60°，求∠A和BC的长度。
正弦定理、余弦定理的应用(一) 学案
1.3正弦定理、余弦定理的应用(一) 学习目标 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题(重点).2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题(重点).3.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题(难点).预习教材P18 19，完成下面问题：知识点1有关的几个术语1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1、θ2即表示点A 和点B的方位角.故方位角的范围是[0°，360°).2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.5.坡角坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＝h l ，如图.【预习评价】图(1)图(2)上图中的两个方向，用方位角应表示为________(图(1))与________(图(2)).答案60°210°知识点2解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形).②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)1.某次测量中，A在B的北偏东55°方向，则B在A的南偏西35°方向.(×)2.某人从A地向正东方向走了3米到达B地，再从B地向右转60°后又走了3米到达C地，则A、C两地间的距离是33米.(√)3.某人在A处测得一电线杆的仰角为15°，向前走了10米到达B处，又测得电线杆的仰角为30°，于是就说电线杆的高度为5米.(√)题型一测量距离问题【例1】如下图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为1 m，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离.(结果可含根号)解在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BCsin 30°＝CDsin 45°，则BC＝CD sin 30°sin 45°＝22m.在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形，∴AC＝CD＝1 m.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝1＋12－2×1×22×22＝12，∴AB＝22m.答：A、B两点间的距离为22m.规律方法求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.【训练1】如图，货轮在海上以40 m/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解在△ABC中，BC＝40×12＝20( m)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20×sin 30°sin 45°＝102( m).答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 2 m.题型二测量高度问题【例2】如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.【训练2】如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选两点A ，B ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h . ∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2×3h ×h ×12， 解得h 2＝4004－3＝400（4＋3）13，∴h ＝204＋313＝201352＋13 3.答：旗杆的高度为2013 52＋133m.题型三 测量角度问题【例3】如图，甲船在A 处遇险，在甲船西南10海里B 处的乙船收到甲船的警报后，测得甲船是沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，则乙船应以多大速度，以何方位角航行？(已知cos 68°13′≈0.37)解 设乙船速度为x 海里/时，且乙船在40分钟后在点C 处追上甲船，则 BC ＝4060x ＝23x (海里)， AC ＝4060×9＝6(海里).由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2＝102＋62－2×10×6×cos(90°－15°＋45°)，∴x ＝21，BC ＝14. 由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴sin B＝614sin 120°≈0.37，∴B≈21°47′.答：乙船应以每小时21海里的速度沿北偏东23°13′航行.规律方法(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题.(2)解决它们的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.【训练3】甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝3x，由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC＝12， 而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝a .∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a nmile.课堂达标1.甲、乙两楼相距a ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.解析 甲楼的高为a tan 60°＝3a ， 乙楼的高为3a －a tan 30°＝3a －33a ＝233a .答案 3a ，233a2.某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334 m 2，则此人这时离开出发点的距离为________m.解析 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ， ∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9 ＝3(m).答案 33.一艘船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是________海里/时.解析 由题意得在三角形SAB 中，∠BAS ＝30°，∠SBA ＝180°－75°＝105°，∠BSA ＝45°.由正弦定理得SA sin 105°＝AB sin 45°， 即82sin 105°＝AB sin 45°，得AB ＝8(6－2)， 因此此船的航速为8（6－2）12＝16(6－2)(海里/时). 答案 16(6－2)4.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°方向，则灯塔A 在灯塔B的北偏西________方向.解析由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA ＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.答案10°5.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的飞行高度为18 m，速度为1 000 m/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，1分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的高度约为多少？(精确到0.1 m)解AB＝1 000×160＝503，∴BC＝ABsin 45°·sin 30°＝5032.∴航线离山顶的距离h＝5032×sin 75°＝5032×6＋24＝25（3＋1）6≈11.4.∴山高约为18－11.4＝6.6( m).课堂小结1.测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.基础过关1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________.解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.答案34°27′2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么d1，d2的大小关系是________.解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.答案d1<d23.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a m，灯塔A在观察站C 的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是________ m.解析如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝3a( m)，即灯塔A与灯塔B的距离为3a m.答案3a4.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A ＝30°，则其跨度AB的长为________米.解析△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48， ∴AB ＝4 3 米.答案 4 35.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________.解析 在△ABC 中，由正弦定理AB sin 30°＝AC sin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，ACsin （θ＋90°）＝CD sin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD ＝3－1. 答案 3－1 6.如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，求通信塔CD 的高.解在Rt△ABM中，AM＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt∠CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以ACsin 105°＝AMsin∠ACM＝206sin 30°，所以AC＝60＋203，所以CN＝30＋103，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60.∴通信塔CD的高是60 m.7.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.解如图所示，AB为塔高，某人从C处沿CD方向前进，过B作BE⊥CD于E，连接AE，则∠AEB＝30°.在△BDC 中，CD ＝40，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠DCB， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米).∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米).在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米).故所求的塔高为103(3－3)米.能力提升8.在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________.解析 如图，设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸.则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6. 答案 π69.某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为 3 m ，那么x 的值为________.解析 如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余弦定理(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°，∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝ 3 或2 3.答案 23或 310.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为________ m.解析 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋（519）2－1522×10×519＝7219， ∠ABC ∈(0°，180°)， ∴sin ∠ABC ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫72192＝33219， ∴在Rt △ABD 中， AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝1523. 答案 152 311.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线和甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度为________米.解析由题可知，如图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处.则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，∴在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(3h)2＝5002＋h2－2×500×h×cos 120°，∴h＝500(米).答案50012.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴甲船用34小时能最快追上乙船.13.(选做题)如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 m 处和54 m 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A 、20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是 1.5 m/s.(1)设A 到P 的距离为x m ，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离.(精确到0.01 m)解 (1)由题意得PA －PB ＝1.5×8＝12( m)，PC －PB ＝1.5×20＝30( m)，∴PB ＝(x －12) m ，PC ＝(x ＋18) m.在△PAB 中，AB ＝20 m ，由余弦定理，得cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ×20＝3x ＋325x .同理，可得cos ∠PAC ＝72－x 3x .又cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327.(2)由题意作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt △PDA 中，PD ＝PA ·cos ∠APD ＝PA cos ∠PAB ＝x ·3x ＋325x≈17.71( m).答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 m.。
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用在数学解题中，余弦定理与正弦定理是两个非常重要且经常被使用的定理。
它们能够帮助我们求解各种三角形相关的问题。
本文将探讨余弦定理与正弦定理的定义、应用以及解题技巧。
一、余弦定理余弦定理是描述三角形边与角之间关系的定理。
它可以用来解决一些已知三边或两边一角的三角形问题。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，^2表示乘方，cosC表示角C的余弦值。
余弦定理可以应用于以下几种情况：1. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用余弦定理计算角A、角B、角C的大小。
2. 已知两边一角求边长：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的长度。
3. 已知两边和夹角求第三边：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的可能范围。
二、正弦定理正弦定理也是解决三角形相关问题的重要工具。
它可以描述三角形的边和角之间的关系。
对于一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用有以下几种情况：1. 已知两角一边求另外一边：如果已知三角形的两个角A、B和一边c的长度，我们可以利用正弦定理计算另外两个边a、b的长度。
2. 已知两边一角求角度：如果已知三角形的两个边长a、b和夹角C 的大小，我们可以利用正弦定理计算另外两个角A、B的大小。
3. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用正弦定理计算三个角A、B、C的大小。
三、解题技巧1. 判断何时使用余弦定理或正弦定理：根据已知条件的不同，确定使用何种定理。
如果已知两边一角，则通常使用余弦定理；如果已知两角一边，则通常使用正弦定理。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用三角学是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，尤其是测量学中。
而正弦定理和余弦定理作为三角学中的基本定理，具有重要的实际应用价值。
本文将探讨正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。
1. 正弦定理的应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
根据这个定理，我们可以得到以下几个实际问题中的应用。
1.1 测量高度正弦定理常用于测量无法直接得到的高度。
例如，在测量一棵树的高度时，我们可以站在树的底部和树的顶部，分别测量出与水平线的夹角，然后利用正弦定理可以求得树的高度。
这种方法在工程测量、地理测量等领域也得到广泛应用。
1.2 三角形的边长比较正弦定理可以用于比较三角形的边长。
例如，在一个三角形中，已知两个角的大小和一个边的长度，我们可以利用正弦定理求得另外两个边的长度。
这对于解决实际问题中的边长比较非常有帮助。
1.3 解决航空、航海等问题正弦定理在航空、航海、导弹制导等领域也有着广泛的应用。
通过测量角度、距离等信息，可以利用正弦定理计算出目标的位置、飞行轨迹等重要参数，从而更好地实现对目标的监控和控制。
2. 余弦定理的应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。
以下是余弦定理的一些实际应用。
2.1 测量距离余弦定理可以用于测量两点之间的距离。
例如，在航海中，通过测量其中一个角度、两点间的距离和另一个角度，可以利用余弦定理求得两个点之间的距离。
这对于制定航线、航行安全等都起着重要的作用。
2.2 三角形的面积计算余弦定理可以用于计算三角形的面积。
已知三角形的三边长度a、b、c，以及两个角的大小A、C，可以利用余弦定理计算出三角形的面积。
这在建筑、地理等领域中都有重要的应用。
2.3 解决物理问题余弦定理在物理学中也有广泛的应用。
正弦定理、余弦定理的应用
并且在Ｃ、Ｄ两点分别测得
ABC , ACD , CDB , BDA
在三角形ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC
a sin( ) sin[180 (
)]
a sin( ) sin( )
a sin
a sin
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
大速度，沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
C
10 A
50
B
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、利用解三角形知识解应用题的一般步骤:
分析
建摸
求解
检验
实际问题 画图形
检验
实际问题的解
数学模型
解 三 角 形
数学模型的解
课后作业 课本第14页练习1、2
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
第4章 第6讲 第1课时 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理必备知识自主学习1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝□1b2＋c2－2bc cos A；b2＝□2a2＋c2－2ac cos B；c2＝□3a2＋b2－2ab cos Casin A＝□4bsin B＝□5csin C＝2R常见变形cos A＝□6b2＋c2－a22bc；cos B＝□7c2＋a2－b22ac；cos C＝□8a2＋b2－c22ab(1)a＝2R sin A，b＝□92R sin B，c＝□102R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝□11b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝□12sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A2A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<ba≥b a>b a≤b解的个数□13一解□14两解□15一解□16一解□17无解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高).(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A＝abc4R(R为外接圆的半径).(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆的半径).常用结论►(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π，变形：A＋B2＝π2－C2.(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sin C．②cos(A＋B)＝－cos C．③sin A＋B2＝cos C2.④cos A＋B2＝sin C2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B．()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．π6B．π3C．2π3D．5π63．(教材改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝．4．(教材改编)在△ABC中，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则C＝．关键能力互动探究命题点1利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)(2024·山西太原质检)在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝2，则B等于() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°(2)(2023·北京卷T7)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝()A．π6B．π3C．2π3D．5π6命题点睛►1．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．针对训练(2023·天津卷T16)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a39，b＝2，A＝120°.(1)求sin B的值；(2)求c的值；(3)求sin(B－C)的值．命题点2 判断三角形的形状例2 (1)在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形(2)在△ABC 中，sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为等边三角形． 命题点睛►判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．针对训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb ＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形2．(2024·河南商丘质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为直角三角形．命题点3 三角形的面积问题例3 (2023·全国乙卷理T18)在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1. (1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD ＝90°，求△ADC 的面积．命题点睛►三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．针对训练(2023·新课标Ⅱ卷T17)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC 面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.拓展培优10三角形中的射影定理设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A．以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名射影定理．其证明如下：[证明] 如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cos C＝CD，c cos B＝BD，故b cos C＋c cos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cos C＋c cos B，同理可证b＝c cos A＋a cos C，c＝a cos B＋b cos A．例(1)(2023·全国乙卷文T4)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B－b cosA＝c，且C＝π5，则B＝()A．π10B．π5C．3π10D．2π5(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若c cos B＋b cos C＝a sin A，S＝312(b2＋a2－c2)，则B＝()A．90°B．60°C．45°D．30°体验练1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos B＋b cos A＝3，且sin2A＋B2＝34，b＝3，则a＝()A．34B．32C．3D．3 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝a cos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－14，则△ABC的面积为．课时作业[基础巩固练]1．(2023·辽宁丹东二模)△ABC中，AC＝2，BC＝3，A＝60°，则cos B＝()A．±22B．±12C．12D．22 2．(2023·四川成都二模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a tan B＝203，b sinA＝4，则a的值为()A．6B．5 C．4D．33．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin A＋b sin B－c sin C＝62a sin B，则cos C＝()A．68B．66C ．64D ．634．(2023·山东济宁二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB 边上的高为2c ，A ＝π4，则cos C ＝( )A ．1010B ．31010C ．3510D ．555．已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 内角B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形6．(2024·广东广州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，△ABC 的面积S ＝a 2＋b 2－c 24，且c ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为( ) A ．63 B ．62 C ．33D ．3 27．(2023·北京西城二模)在△ABC 中，若a ＝2，tan A ＝－43，cos B ＝45，则b ＝ ．8．(2023·陕西宝鸡三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c ＝4，且满足cos C ＝sin C ，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝c －23cos A ，则a 等于．9．(2024·江西九江质检)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＝(c －b )sin C ＋b sin B ，bc ＝6，则△ABC 的面积为 ．10．(2023·山东青岛三模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c sin B ＝(2a －c )tan C ．(1)求角B ；(2)若c ＝3a ，D 为AC 的中点，BD ＝13，求△ABC 的周长．11．(2023·全国甲卷文T17)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2cos A ＝2. (1)求bc ； (2)若a cos B －b cos A a cos B ＋b cos A －bc＝1，求△ABC 面积．[能力提升练]12．(2024·山西运城质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2b 2＝sin A cos Bsin B cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形13．(2023·山东淄博一模)已知△ABO 中，OA ＝1，OB ＝2，OA →·OB →＝－1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，则( )A ．OD →＝57OA →＋27OB →B ．OD →＝37OA →＋47OB →C ．OD →＝27OA →＋57OB →D ．OD →＝47OA →＋37OB →14．(2023·广东东莞三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求sin (2A －B )的值．。
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第一讲 正弦定理和余弦定理的应用（一）
【知识要点】
1． 关于三角形边、角的主要关系式
（1）正弦定理：Aasin=Ccsin=2R；
变形：①a=2RsinA ②sinA=错误!未找到引用源。Bbsin
③ a: b: c = sinA:sinB:sinC ④错误!未找到引用源。=Aasin=Bbsin=Ccsin=2R；
（2）余弦定理：Abccbacos2222，
Baccabcos2222
Cabbaccos2222
．
变形：.2cos,2cos,2cos222222222abcbaCacbcaBbcacbA
（3）三角形面积公式
ahSABC21
（其中h是a边上的高）．
AbcBacCabSABCsin21sin21sin21
；
（4）三角形内角和等于180°；任一内角（0°，180°）
（5）三角形中大边对大角，大角对大边：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（6）常用等式：
CBAsin)sin(，CBAcos)cos(
，2cos2sinCBA,2sin2cosCBA．
2． 三角形解的个数
在△ABC中，已知a、b和A时解的情况如下：
A为锐角 A
为钝角或直角
【典例精讲】
题型一 利用正、余弦定理及三角形面积公式解斜三角形
例1 在锐角ABC中，BC=1，B=2A，则AACcos的值等于 ．
例2 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba、、，若CaAcbcoscos)3(，
则Acos= ．
例3 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是cba、、，若a2-b2=3bc，sinC=23sinB，则A=
（ ）
A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°
例4 ABC中，内角A、B、 C的对边分别为cba、、，已知c=2，C=3．
（1）若ABC的面积等于3，求ba、；
（2）记m=（sinC+sin（B-A），2），n=（sin2A，1）若m与n共线，求△ABC的面积．
图形
关系
式
a
解的
个数
无解 一解 两解 一解 一解 无解
题型二 利用正、余弦定理判断三角形的形状
例5 ABC中，cba、、分别表示三个内角A、B、C的对边，如果
)sin()()sin()(2222BAbaBAba
，试判断该三角形的形状．
题型三 三角形解的个数
例6 在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． b=10，A=45°，C=70° B． a=60，c=48，B=60°
C． a=7，b=5，A=80° D．a=14，b=16，A=45°
题型四 正、余弦定理与其他知识的交汇
例7 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba、、，且abbac222．
（1）若tanA-tanB=33（1+tanA·tanB），求B；
（2）设m=（sinA，1），n=（3，cos2A），试求m·n的取值范围．
【课堂练习】
1． 在ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）
A． 36 B． 322 C． -36 D． -322
2． 在ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=7，则sin∠ABD=（ ）
A． 21 B． 23 C． 22 D． 33
3． 在ABC中，若sinC=2cosA sinB，则此ABC一定是（ ）
A． 直角三角形 B． 正三角形 C． 等腰三角形 D． 等腰直角三角形
4． 在ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A． 一解 B． 两解 C． 一解或两解 D． 无解
5. ABC的三内角A、B、C所对边分别是cba、、，设向量m=（ba，sinC），n=（3a+c，
sinB-sinA）， 若m//n，则角B的大小为（ ）
A． 6 B． 65 C． 3 D．
3
2
【思维拓展】
例1 已知ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为cba、、，且2R（sin2A- sin2C）
=（2a-b）sinB，那么C的大小为（ ）
A． 43 B． 4 C． 3 D． 2
例2 已知ABC中，cba、、分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式
06sin4cos2CxCx
的解集是空集．
（1）求C的最大值；
（2）若c=27，ABC的面积S=233，求当C取得最大值时ba的值．
例3 在ABC中，cba、、分别为角A、B、C的对边，已知向量m=（sinB，1-cosB）与向量n=
（0，1）的夹角为6．
（1）求B的大小；
（2）求bca的取值范围．
【课外作业】
1． ABC的内角A、B、C的对边分别为cba、、，若c=2，b=6，B=120°，则a等于（ ）
A． 6 B． 2 C． 3 D． 2
2． 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A． 185 B． 43 C． 23 D． 87
3． 在ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则CBsinsin的值为（ ）
A． 85 B． 58 C． 35 D． 53
4． 在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为cba、、，若ab+ba=6 cosC，则ACtantan+BCtantan的
值是 ．
5.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba、、，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则A 的
大小为 ．
6．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知0)()2(•ACABDADCDB，则ABC的形状
是 ．
7． 在ABC中，cosB=135，cosC=54．
（1）求sinA的值；
（2）设ABC的面积S△ABC=233，求BC的长．