天津河东区2017高三二模数学试题(理)(word版含答案)
天津市十二区县重点中学2017高三毕业班联考(数学理)(含答案)word版
• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它 答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号 二三15 16 17 18 1920总分分数得分 评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数） 相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为 的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于 ．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的 五位数的个数是 ．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分 评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作 为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分 评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求 的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分 评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分 评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为 ． 答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为 参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ． 答案： 43 511．已知离心率为 的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物 线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________． 答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于 ．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是 ．（用数字作答） 答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ， 四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分 当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ， 代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分 要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分 （Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分 从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分 评卷人 已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分 （Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。
2017年高三数学二模(理科)答案
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。
天津市河东区2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．783．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为．10．（﹣）5的展开式中的常数项是（用数字作答）．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为．12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．2017-2018学年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由==bi+1，得a=1，b=﹣1，∴a+b=0．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．78【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=13时不满足条件i ≤12，退出循环，输出S的值为78，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=0，i=1，S=0执行循环体，a=3，S=3，i=3满足条件i≤12，执行循环体，a=7，S=10，i=5满足条件i≤12，执行循环体，a=11，S=21，i=7满足条件i≤12，执行循环体，a=15，S=36，i=9满足条件i≤12，执行循环体，a=19，S=55，i=11满足条件i≤12，执行循环体，a=23，S=78，i=13不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78．故选：D．3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即，∴对应的双曲线方程为，∵双曲线的一个焦点为F1（5，0），∴c=5，且λ＞0，则﹣=1，则a2=9λ，b2=16λ，则c2=9λ+16λ=25λ=25，则λ=1，即双曲线的方程为，故选：C4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】函数的图象．【分析】令h（x）=lnx﹣，判断h（x）的单调性并计算h（x）的极值，根据极值与0的大小关系判断h（x）的零点个数，得出答案．【解答】解：令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0．∴当x=e时，h（x）取得最大值h（e）=0．∴h（x）=lnx﹣只有一个零点，即f（x）与g（x）的图象只有1个交点，故选：B．5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解出即可判断出结论．【解答】解：圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0配方化为：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4，若点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解得≤a≤2+2，∴“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的充分不必要条件．故选：A．6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算．【分析】直接利用余弦定理求出A的一半的余弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cos===，cosA=2cos2﹣1=2×﹣1=．故选：D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4﹣x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，根据进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．【解答】解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4﹣x，则：D（0，0），A（0，﹣1），B（﹣x，0），C（4﹣x，0），E（）；∴；∴；∵x＞0，∴解得x=1；∴B（﹣1，0），又A（0，﹣1）；∴．故选：C．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]【考点】函数的值域．【分析】由f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab===，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为44．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率以及高一和高二年级的总人数，用高一和高二年级的总人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，而高一和高二年级的总人数是150+180=330，故高一和高二年级一共抽取的人数为330×=44，故答案为：4410．（﹣）5的展开式中的常数项是﹣80（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：（﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1=•（）5﹣r•（﹣1）r•（）r=（﹣2）r••，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为﹣80．故答案为：﹣80．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为54π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴该儿童玩具的体积V=×33+×6=54π．故答案为：54π．12．曲线y=sinx 与直线y=x 所围成的平面图形的面积是 2﹣．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】分别画出直线y=x 与曲线y=sinx 的图象，确定出交点，积分区间，则问题可解【解答】解：分别画出直线y=x 与曲线y=sinx ，如图所示，则y=x 与曲线y=sinx 的交点坐标是（﹣，0），（0，0），（，0），∴直线y=x 与曲线y=sinx 围成的区域面积S=2（sinx ﹣x ）dx=2（﹣cosx ﹣x 2）|=2[（0﹣）+1]|=2﹣；故答案为：2﹣．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=4．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．【解答】解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．∴∠ADE=∠B．又∠AED公用，∴△ADE∽△DBE．∴，即=，解得AB=9．由DE∥AC，∴=，∴，解得BC=6．∵DA切圆O于点A，∴AD2=DC•DB=2×（2+6）=16，解得AD=4．故答案为：4．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围结合二次函数的性质得到△≥0，求出a的范围即可．【解答】解：若存在x∈R使g（x）≥f（x），即x2+|x﹣a|+a﹣4≤0有解，x≥a时，x2+x﹣4≤0，显然有解，x＜a时，x2﹣x+2a﹣4≤0，由△=1﹣4（2a﹣4）≥0，解得：a≤，故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角和与差的正弦化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间；（2）由x得范围求出相位的范围，则函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值可求．【解答】解：（1）=，最小正周期T=．由，得，∴函数f（x）的单调减区间为[]，k∈Z；（2）由x∈[﹣，0]，得4x∈[]，∴，则f（x）在[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．（2）ξ的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．【解答】解：（1）事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为；…（2）ξ的取值为0、1、2、3，则，，，；17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出相关点的坐标，推出，，利用，证明PA⊥BO．（2）求出平面APB法向量为=（x0，y0，z0），求出，通过，证明DO∥平面PAB．（3）求出平面DPC法向量为，结合（2），利用空间向量的数量积求解平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，1，0），O（，，0），P（，，1）…=（，，1），=（1，，0），，∴PA⊥BO．…（2）证明：=（，，1），=（，﹣1，0），设平面APB法向量为=（x0，y0，z0）可得，令x°=1，则=（1，，）…．=（，，0），，DO∥平面PAB…（3）=（，，1），=（，0，0）设平面DPC法向量为，可得，令y°=1，则=（0，1，）…．平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为…18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得到A点坐标，代入椭圆方程即可求得椭圆的离心率；（2）把椭圆方程用含有a的代数式表示，写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，求得B的坐标，由数量积为0求得a值，得到，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A的坐标为（，），∴，即，∴b2=3c2，联立b2=a2﹣c2，得a2﹣c2=3c2，即a2=4c2，∴；（2）由（1）得，A（），则过A（）且斜率为的直线方程为y﹣=（x﹣），即y=，椭圆方程为，联立，得2x2+ax﹣a2=0，解得：B（﹣a，0），∵AB为直径的圆过点P（，），∴，即﹣（）（）﹣=0．解得：a=﹣5（舍），或a=．∴，，则=，，∴=．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设b n的公差为d，d＞1，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．求出d，然后求解{b n}、{a n}的通项公式．（2）c n=，利用错位相减法求解T n，即可证明T n＜．【解答】解：（1）设b n的公差为d，d＞1，b2=﹣1+d，b n=﹣1+d（n﹣1）当n=1时，当n≥2时，b2S n+a n①b2S n﹣1+a n﹣1②由①﹣②得到，由已知，解为d=2，d=1（舍）{b n}、{a n}的通项公式分别为n∈N*…（2）证明：、当n≥2时，，设①②由①﹣②得到，整理为．∴…20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），对a讨论，分a≤0时，a=时，a＞时，0＜a＜时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间；（3）通过讨论a的范围，确定函数在闭区间[0，1]上的单调性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解关于a的不等式，求出即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x的导数为：f′（x）=a（e x+xe x）﹣2ae x﹣x+1=（x﹣1）（ae x﹣1），可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae2﹣1，切点为（2，0），即有切线的方程为y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即为y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），①当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1），当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＞0时，若a=，则f′（x）=（x﹣1）（e x﹣1﹣1），f（x）在R上递增；若a＞，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞）；a=时，f（x）的增区间为R；a＞时，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，ln），减区间为（ln，1）；0＜a＜时，f（x）的增区间为（ln，+∞），（﹣∞，1），减区间为（1，ln）；（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a≤0，②0＜a≤时，ln＞1，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a，故0＜a≤符合题意，③＜a＜1时，0＜ln＜1，f（x）在[0，ln）递增，在（ln，1]递减，而f（1）﹣f（0）=+a（2﹣e）＜0，∴f（x）max=f（ln）=，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴2ln﹣2﹣+ae﹣）≤a+1，不等式无解，④a≥1时，f（x）在[0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=﹣2a，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴﹣2a+ae﹣≤a+1，解得：a≥﹣，综上，a∈[，]∪[1，+∞）．2017-2018学年8月16日。
2017天津河东区高考一模数学理科试题及答案
2017年天津市河东区高三一模理科试卷解析一、选择题1.B解析：集合:-33Q x ≤≤,{}:1,2,3,4P ,所以{}=1，2，3P Q 所以选择B点评：本题主要考察集合的运算以及解绝对值不等式的基础，属于基础题。
2.C解析：做出可行域为：可行域为三角形ABC 及其内部，其中()()()-1,1，2,1，1,0A B C 由2z x y =-可知，1122y x z =-，所以平移得到过点（1,0）时取到最大值为1，故选C.点评：本题考查不等式中的直线的线性规划的问题，主要先把可行域画准确，然后平行过程中要注意每个经过的点的情况，虽然有点复杂，但不难，属于基础题。
3.B解析：S=1，k=1，k=1+1=2，S=2×1+2=4k<4S=4，k=2，k=1+2=3，S=2×4+3=11k<4S=12，k=3，k=1+3=4，S=2×11+4=26k=4S=26，k=4，k=1+4=5，S=2×26+5=57k>4故选B.4.C解析：1213(3)003(0,3)(1,3)x x x x x -<⇒-<<-<⇒<<⊆-，故选C.5.D解析：34a 由已知条件cos ,得sin ，由正弦定理55sin sin bB B A B===，直接求得a=5，所以选择D.点评：本题主要考察在三角形中正弦定理的应用，已知两角与一角的对边求另一角的对边，直接应用正弦定理求解即可，属于简单题.6.D解析：39因为02lnln ln 1,24a e <==<=3434340.30.3211l o g 0,21,32b c -⎛⎫=<==> ⎪⎝⎭所以b<a<c ，所以选D.点评：本题考查指数与对数的函数值的大小比较，考查基本知识的应用.7.B解析：如图所示，由抛物线x2=4y 可得焦点F（0，1）．设直线AB 的方程为：y=kx+1，（k≠0）．∵AB⊥CD，可得直线CD 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．联立y＝kx+1，x2＝4y化为x2-4kx-4=0，得x1+x2=4k，x1x2=-4．同理可得x3x4=-4．∴FA•FB=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）=x1x2+（y1-1）（y2-1）=（1+k2）x1x2=-4（1+k2）．同理可得FC•FD=−4(1+1k2)．∴FA•FB+FC•FD=−4(2+k2+1k2)≤−4(2+2k2•1k2)=-16，当且仅当k=±1时取等号．∴FA•FB+FC•FD 的最大值等于-16．故选：B．点评：设直线AB 的方程为：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD 的方程，分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出。
2017年天津市河东区高考数学模拟试卷
2017年天津市河东区高考数学模拟试卷一、选择题（共25分，每个3分）1. 已知全集，集合，集合，则集合A. B. C. D.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集，集合，，又集合，则集合．故选：．2. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，即，即，此时，故选：3. 已知命题，，则（）A.￢，B.￢，C.￢，D.￢，【答案】C【考点】命题的否定【解析】利用“￢”即可得出．【解答】解：∵命题，，∴￢，．故选：．4. 设条件；条件，那么是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若，则，是充分条件，若，解得：或，不是必要条件，故选：．5. 设，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．【解答】解：，则（）．故选：．6. 函数，在处的切线斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值，先求导函数，然后将点的横坐标代入即可求得结果．【解答】解：∵∴，令，即可得斜率为：．故选．7. 等于（）A. B. C. D.【答案】D【考点】三角函数的化简求值【解析】由诱导公式和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式得：．故选：．8. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】直线与圆相交的性质【解析】直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离不大于半径．【解答】解：的圆心，半径，圆心到直线的距离，∵直线与圆有公共点，∴，解得，∴实数的取值范围是．故选：．9. 椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质【解析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得、，从而算出，由此即得该椭圆离心率的值．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴，，可得，因此椭圆的离心率，故选：10. 若焦点在轴的双曲线，一条渐近线为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】根据双曲线的方程求得渐近线方程为，即可求出的值，【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为，又已知一条渐近线方程为，∴，，故选：11. 若抛物线，准线方程为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】抛物线的求解【解析】利用抛物线的准线方程求解即可．【解答】解：抛物线，准线方程为，∴，解得，故选：12. 在等差数列中，若，，则A. B. C. D.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列中，若，，则，解得．故选．13. 等比数列中，，前项之和，则公比的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【考点】等比数列的通项公式【解析】当公比时，满足；当公比时，可得，解方程可得．【解答】解：∵等比数列中，，前项之和，∴当公比时，，满足；当公比时，可得，解得或（舍去），综上可得公比的值为：或故选：．14. 函数，是（）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由函数，根据余弦函数的图象和性质，三角函数的周期性及其求法即可解得．【解答】解：函数，显然函数是偶函数，函数的周期是．故选．15. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用估值法知大于，在与之间，小于．【解答】，由指对函数的图象可知：，，，16. 函数在定义域内零点的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】函数的零点对数函数的单调性与特殊点【解析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数，的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．【解答】解：由题意，函数的定义域为；由函数零点的定义，在内的零点即是方程的根．令，，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选．17. 完成下列两项调查：①从某社区户高收入家庭、户中等收入家庭、户低收入家庭中选出户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的名艺术特长生中选出名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是（）A.①简单随机抽样，②系统抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①系统抽样，②分层抽样D.①②都用分层抽样【答案】B【考点】收集数据的方法【解析】由于①中，某社区户高收入家庭、户中等收入家庭、户低收入家庭中选出户，其收入差别较大，故要用分层抽样，而②中总体和样本容量较小，且无明显差别，可用随机抽样．【解答】解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响,而社区中各个家庭收入差别明显,①用分层抽样法；而从某中学的名艺术特长生，要从中选出人调查学习负担情况的调查中,个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴ ②用随机抽样法.故选.18. 对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（）A.都可以分析出两个变量的关系B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系C.都可以作出散点图D.都可以用确定的表达式表示两者的关系【答案】C【考点】变量间的相关关系【解析】本题主要考查对变量间的相关关系的理解．【解答】解：给出两个变量的统计数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定能得出两个变量有线性相关关系或函数关系．故选．19. 下列四式不能化简为的是（）A.B.C.D.【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则，分别将、、三个选项中的向量式化简，利用排除法得正确选项【解答】解：由向量加法的三角形法则和减法的三角形法则，，故排除故排除，故排除故选20. 已知，，则与夹角的余弦为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】利用向量的模的坐标公式求出向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量的数量积求出向量的夹角余弦．【解答】解：，，，设与夹角为，所以故选．21. 已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么A. B. C. D.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为∴，，∴故选．22. 如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．其中真命题的个数是A. B. C. D.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】由三棱柱的三视图中，两个矩形，一个三角形可判断①的对错，由四棱柱的三视图中，三个均矩形，可判断②的对错，由圆柱的三视图中，两个矩形，一个圆可以判断③的真假．本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键．【解答】解：存在正三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条件，故①为真命题；存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故②为真命题；对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故③为真命题.故选23. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】先将复数进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．【解答】解：∵∴复数在复平面对应的点的坐标是∴它对应的点在第四象限.故选.24. 在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得，再由正弦定理求得的值．【解答】解：∵在中，，，，，∴．再由正弦定理可得，解得.故选．25.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：额为（）A.万元B.万元C.万元D.万元【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为代入，预报出结果．【解答】解：∵，，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为，∴，∴，∴线性回归方程是，∴广告费用为万元时销售额为.故选．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）过且与直线垂直的直线方程为________．【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据要求的直线与已知直线垂直，运用两垂直直线的斜率之积等于求出斜率，然后直接代入直线方程的点斜式．【解答】解：因为直线的斜率为，要求的直线与该直线垂直，所以所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即．故答案为．某中学田径共有名队员，其中男生名、女生名，采用分层抽样的方法选出人参加一个座谈会．求运动员甲被抽到的概率以及选出的男、女运动员的人数为________．【答案】，，【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由等可能事件概率计算公式能求出运动员甲被抽到的概率，由分层抽样性质能求出选出的男、女运动员的人数．【解答】解：某中学田径共有名队员，其中男生名、女生名，采用分层抽样的方法选出人参加一个座谈会．运动员甲被抽到的概率．男生选出：人，女生选出：人．故答案为：，，．甲乙两人进行中国象棋比赛，甲赢的概率为，下和的概率为，则甲不输的概率为________．【答案】【考点】互斥事件的概率加法公式【解析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出【解答】解：∵甲不输与甲，乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率．故答案为：．已知正数，满足，使得取最小值的实数对是________．【答案】【考点】基本不等式【解析】利用“乘法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数，满足，∴，当且仅当时取等号．∴使得取最小值的实数对是．故答案为：．执行如图所示的程序框图，则输出的值等于________．【答案】【考点】程序框图【解析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知该程序运行后输出的算式为．故答案为：．。
天津市河北区2017届高三总复习质量检测二理数试题Word版含答案
河北区2016-2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学 （理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3x R B x ∈≥=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,2,3}B ．{3,4,5}C ．{1,2}D ．{4,5}2.若,x y 满足20,20,0,x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．12 D ．-123.在ABC ∆中，已知1,,3BC B ABC π==∆AC 的长为（ ）A ．3 B．4.执行如图所示的程序框图，如果输入5n =，则输出S 的值为（ ） A ．49 B ．89 C.511 D ．10115.已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥ C. 1a ≥- D ．3a ≤-6.已知点(2,3)A 在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．-2B ．43-C.34- D ．12- 7.若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形 C.等腰直角三角形 D ．等边三角形 8.对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ）A ．()(,lg lg lge ]e -∞-B ．(,1]-∞ C.()1,lg lg lge e -⎡⎤⎣⎦ D ．()lg lg lge ,e -+∞⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.i 是虚数单位，复数3223ii+=- ． 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ．11.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ． 12.若()5a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a = ．13.在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则AB = ．14.设函数()y f x =是定义在R 上以1为周期的函数，若()()2g x f x x =-在区间[2,3]上的值域为[-2,6]，则函数()g x 在[-2017,2017]上的值域为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()2cos cos tan tan 11A C A C -=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a c b +==ABC ∆的面积16.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （Ⅰ）求袋中原有白球的个数：（Ⅱ）求取球次数X 的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，222AB AD CD ===，E 是PB 上的一点. （Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）如图（1），若13PE PB =u u u r u u u r，求证：//PD 平面EAC ；（Ⅲ）如图（2），若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18.已知等差数列{}n a 满足：()*111,n n a a a n N +=>∈，11a +，21a +，31a +成等比数列，22log 1n n a b +=-.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率32e a b =+=. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，,,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设MN 的斜率为m ，BP 的斜率为n ，试证明：2m n -为定值.20.已知函数()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-.（Ⅰ）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（Ⅱ）对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）探讨函数()12lnx xF x e ex=-+是否存在零点？若存在，求出函数()F x 的零点，若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDBCB 6-8: CBA二、填空题9.i ； 10.16； 11.4； 12.1； 13.2； 14. [-4030,4044].三、解答题15.解：（Ⅰ）由()2cos cos tan tan 11A C A C -=， 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭.∴()2sin sin cos cos 1A C A C -=. ∴()1cos 2A C +=-. ∴1cos 2B =. 又0B π<<， ∴3B π=.（Ⅱ）由2222cos b a c ac B =+-，得()223a c ac b +-=，又a c b +== ∴4ac =.∴11sin 422ABC S ac B ∆==⨯=16.解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，由题意知()()24271112=767672n n n n C C --==⨯⨯， 所以()1=6n n -.解得3n = (2n =-，舍去). 即袋中原有3个白球.（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4,5.()317P X ==；()4322767P X ⨯===⨯； ()4336376535P X ⨯⨯===⨯⨯；()432334765435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；()43213157654335P X ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯.所以，取球次数X 的分布列为.所以()12345277353535E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 17.（Ⅰ）证明：∵PC ⊥底面ABCD ， ∴PC AC ⊥.∵222AB AD CD ===，//,AB CD AB AD ⊥, ∴AC BC ==∴222AC BC AB +=.∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：连BD 交AC 于点F ，连EF ， ∵//,2AB CD AB CD =，∴12DF CD FB AB ==. ∵13PE PB =u u u r u u u r ，∴PE DF EB FB=. ∴//EF PD .又EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ， ∴//PD 平面EAC .（Ⅲ）解：以点C 为原点，建立如图的空间直角坐标系， 则000,(1,1,0)(11,0)()C A B -，，,，， 设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∴()()111,1,0,0,0,,,,222a CA CP a CE ⎛⎫===- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r .取()1,1,0m -r，则0m CP m CA ⋅=⋅=u u u r u u u r r r ，∴m r为平面PAC 的法向量.设(),,n x y z =r为平面PAC 的法向量，则0n CE n CA ⋅=⋅=u u u r u u u r r r .∴0,0.x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取x a =，则,2y a z =-=-, ∴(),,2n a a =--r.∵cos ,m n m n m n ⋅<>===r r r rr r ∴2a =.∴()2,2,2n =--r.设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,=3PA n PA n PA nθ⋅=<>=u u u r r u u u r r u u u r r . ∴直线PA 与平面EAC所成角的正弦值为3. 18.解：（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，11a =， 则231,12a d a d =+=+，∵11a +，21a +，31a +成等比数列， ∴()()22242d d +=+. ∵0d >， ∴2d =. ∴21n a n =-. ∵22log 1n n a b +=-， ∴2log n b n =-. ∴12n nb =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知212n n nn a b -⋅=，∴23135212222n n n T -=++++L ， 234111352122222n n n T +-=++++L . ①-②得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭L ， 2-111111111211132322211222222212n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+⨯-=+-=--，∴2332n nn T +=-. 19.解：（Ⅰ）∵c e a==，∴,a b ==. 代入3a b +=解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2,0B ，因为P 不为椭圆顶点， 则直线BP 的方程为()2y n x =-，10,2n n ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭. 将①代入2214x y +=，解得222824,4141n n P n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为112y x =+. ①与②联立解得424,2121n n M n n +⎛⎫⎪--⎝⎭. 由()()2228240,1,,,,14104n n P n n D N x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭三点共线得222410141820041nn n x n ---+=---+，解得42,021n N n -⎛⎫⎪+⎝⎭.∴MN 的斜率为()()()22404212121424242212212121nn n n n m n n n n n n -++-===+-+----+. ∴211222n m n n +-=-=（定值）.20.解（Ⅰ）()()ln 10f x x x '=+>， 由()0f x <得10x e <<，由()0f x '>得1x e>， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当10t e <≤时，12t e+>， ∴()min 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 当1t e>时，()f x 在上[],2t t +单调递增，()()min ln f x f t t t ==， ∴()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（Ⅱ）原问题可化为32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x=++>，则()()()231x x h x x +-'=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在（0,1）上单调递减； 当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增： ∴()()min 14h x h ==. ∴a 的取值范围为(,4]-∞. （Ⅲ）令()0F x =，得12ln 0x x e ex -+=，即()2ln 0xx x x x e e=->，由（Ⅰ）知当且仅当1x e=时，()()ln 0f x x x x =>的最小值是11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()()20x x x x e e ϕ=->，则()1xxx eϕ-'=， 易知()x ϕ在（0,1）上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， ∴当且仅当1x =时，()x ϕ取最大值，且()11eϕ=-， ∴对()0,x ∈+∞都有，2ln x x x x e e >-，即()12ln 0xF x x e ex=-+>恒成立. ∴函数()F x 无零点.。
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河东区2017年高考二模考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( ) A ．(0,1) B ．(-1,2) C ．),1(+∞- D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．65 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[- 8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=ax x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ．13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？16. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知2)4tan(=+A π.（Ⅰ）求)32cos(π+A 的值；（Ⅱ）若4π=B ，3=a ，求ABC ∆的面积.17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //，且，3===AC AD AB ，4==BC PA ，M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，且N 为PC的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）求证：平面⊥PMC 平面PAD ； （Ⅲ）求直线AN 与平面PMC 所成角的正弦值.18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a .（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值. 20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值；（Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.河东区2017年高考二模考试 数学试卷（文史类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 2113. π 14.-2三、解答题15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为x 万元，y 万元，利润为z （万元），由题意有：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.113,10y x y x y x y x z 5.0+=.作出不等式组的平面区域：当直线z x y 22+-=过点M 时，纵横距最大，这时z 也取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+18310y x y x .得4=x ，6=y ，即)6,4(M .765.041=⨯+⨯=z .故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.16.解：（Ⅰ）∵2)4tan(=+A π，则2tan 4tan1tan 4tan=-+AAππ，∴31tan =A . ∵A 为三角形内角，则),0(π∈A ，则1010sin =A ，10103cos =A ， ∴53cos sin 22sin ==A A A ，541cos 22cos 2=-=A A ， ∴3cos2cos )32cos(ππA A =+1010343sin2sin -=-πA . （Ⅱ）由正弦定理可知，AaB b sin sin =∴53=b . ∵B A B A C cos sin )sin(sin =+=552sin cos =+B A . ∴9sin 21==C ab S . 17.解：（1）取PB ，BC 中点E ，F ，连EN ，AE ，AF ，由N 为PC 中点，所以BC EN //，且221==BC EN .由MD AM 2=，3=AC ，则2=AM ，又BC AD //，则AM EN //. 所以四边形ENMA 为平行四边形，所以AE MN //，且⊂AE 面PAB ，⊄MN 面PAB ，则//MN 面PAB .（2）∵AC AB =，∴BC AF ⊥，又FC AM //，2==FC AM 所以四边形AFCM 为平行四边形，故AD CM ⊥.又∵⊥PA 面ABCD .⊂CM 面ABCD ，∴⊥CM PA .又A PA AD = ，所以⊥CM 面PAD ，∵⊂CM 面ABCD ，∴面⊥PMC 面PAD .（3）过A 作PM AG ⊥，垂足为G .由（2）知面⊥PMC 面PAD ，面 PMC 面PAD PM =，⊂AG 面PAD ，∴⊥AG 面PMC ，连接AN ，GN .则GN 为AN 在平面PMC 上的射影，∴ANG ∠为AN 与平面PMC 所成角. ANG Rt ∆中==PC AN 21252122=+AC PA ， 55422=+∙=AM PA AM PA AG ，2558sin ==∠AN AG ANG ， ∴AN 与平面PMC 所成角正弦值为2558.18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ， +⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.① 设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.②由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+.令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，xex x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xex x e x x f -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f xg 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x .设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x .∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增； ∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减； 所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点；②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点；④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点. 综上所述：当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点.（3）对任意0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xmx ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减.∴011)(2≤--='xmx x h 在),0(+∞上恒成立，∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）.∴m 的取值范围是),41[+∞.。
天津市河东区2016届高三第二次模拟考试数学（理）
天津市河东区2016届高三第二次模拟考试数学（理）天津市河东区2016年高三年级第二次模拟考试数学试卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1. i 是虚数单位，已知11 +=+bi iai ，则b a +为（）A ．2-B ．0C ．2D ．i -12. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（）D ．783. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( ) A ．191622=-y x B ． 191622=-x y C ． 116922=-y x D ． 116922=-x y 4. 已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定5．“2=a ”是“点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件6. 在三角形ABC 中，A ∠的平分线为AD ，点D 在边BC 上，3=AD ，4=AC ，2=CD ，则A co s 的值为( )A ．3227 B ．43C ．3217-D ．32177. 如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD , 4=BC ，点E 为AC 的中点，215=，则AB 的长度为( ) A ．2 B ．23 C ．2 D ．38. c b a -=+1且0,0,0≥≥≥b a c ，则()c f 的取值范围为( ) A ．??-1,81 B ．[]1,0C ．41,0D ．??-1,91二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9. 某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为________． 10. 在53)2(xx -的二项展开式中，常数项为___________．11. 如右图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为______．12. 正弦曲线x y sin =与直线x y π2=所围成的封闭图形的面积为．13. 如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //，点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ，则=AD ________．a +，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取值范围是____________．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15. （本小题满分13分）已知函数)( 41-)sin2x 62cos()(R x x x f ∈-=π（1）求函数)(x f 的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数)(xf 在??-0,4π上的最大值和最小值．16. （本小题满分13分）D某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．17. （本小题满分13分）如图四棱锥ABCD P -，三角形ABC 为正三角形，边长为2，DC AD ⊥，1=AD ，PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1=PO ．（1）证明BO PA ⊥；（2）证明//DO 平面PAB ；（3）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值．18.（本小题满分13分）椭圆)0( 1:2222>>=+b a by a x C 的右顶点为Q ，O 为坐标原点，过OQ 的中点作x 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A ，点A 的纵坐标为c 23，c 为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A 斜率为21的直线l 与椭圆交于另一点B ，以AB 为直径的圆过点P(21，29)，求三角形APB 的面积．19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，0,11>-=n b b （2≥n ）22=+n n a S b 且13223a a a +=．（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n a c 1=，1112211++?++++=n n n c b c b c b T ，证明：25<="">20. （本小题满分14分已知函数x x ae x ae x f xx+--=2212)(．（1）求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）对任意[]1,0,21∈x x ，1)()(12+≤-a x f x f 恒成立，求a 的范围．PBA CDO河东区2016年高三年级二模考试数学（理）答案一、选择题：本大题共8二、填空题：本大题共69． 44 10。
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河东区2017年高三二模考试数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( ) A ．(0,1) B ．(-1,2) C ．),1(+∞- D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．65 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．12+ C.2 D ．3 7. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[- 8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ．13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则BC AP ∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x .（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上单调性求出的值域. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与P ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率P ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥，点D 在线段AB 上.（Ⅰ）证明C B AC 1⊥；（Ⅱ）若D 是AB 中点，证明//1AC 平面CD B 1； （Ⅲ）当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值. 20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值；（Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.河东区2017年高考二模考试 数学试卷（理工类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 21 13. π14.-2三、解答题15.解：（Ⅰ）+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x++=x x 2sin 232cos 21 )cos )(sin cos (sin x x x x +- x x x x 22cos sin 2sin 232cos 21-++= x x x 2cos 2sin 232cos 21-+= )62sin(π-=x .∴周期ππ==22T . 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ. ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. （Ⅱ）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x . )62sin()(π-=x x f 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减， 当3π=x 时，)(x f 取最大值1.∵21)2(23)12(=<-=-ππf f .∴12π-=x ，23)(max -=x f . 所以值域为]1,23[-. 16.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得161)1())(1(22=-=-p B P ， 解得43=p 或45=p （舍去），所以乙投球的命中率为43.（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知21)(=A P ，21)(=A P ，43)(=B P ，41)(=B P .ξ可能的取值为0,1,2,3，故P A P P )()0(==ξ321)41(21)(2=⨯=∙B B ， )()()1(B B P A P P ∙==ξ)()()(12A P B P B P C +3272141432)41(212=⨯⨯⨯+⨯=， )()()3(B B P A P P ∙==ξ329)43(212=⨯=， 3215)3()0(1)2(==-=-==ξξξP P P .ξ分布列为：所以321320++⨯=ξE 2323322=⨯+⨯+. 17. 解：（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -.则)0,0,3(B ，)0,4,0(A ，)4,4,0(1A ，)4,0,3(1B ，)4,0,0(1C .)0,4,0(-=AC ，)4,0,3(1--=C B ， 01=∙C B AC ，所以C B AC 1⊥.（Ⅱ）解法一：)4,4,0(1-=设平面CD B 1的法向量),,(z y x =，由)4,0,3(1--=∙m C B 043),,(=--=∙y x z y x ， 且∙=∙)0,2,23(0223),,(=+=y x z y x ， 令4=x 得)3,3,4(--=，所以0)3,3,4()4,4,0(1=--∙-=∙AC ， 又⊄1AC 平面CD B 1，所以//1AC 平面CD B 1； 解法二：证明：连接1BC ，交1BC 于E ，DE . 因为直三棱柱111C B A ABC -，D 是AB 中点， 所以侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线. 所以1//AC DE ，因为⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1， 所以//1AC 平面CD B 1. （Ⅲ）由（Ⅰ）知BC AC ⊥， 设)0,0)(0,,(>>b a b a D ，因为点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即=BD 31BA . 所以2=a ，34=b ，=BD )0,34,1(-.所以)4,0,3(1--=C B ，)0,34,2(=.平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n . 设平面CD B 1的法向量为)1,,(2y x n =，由021=∙n B ，02=∙n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0342043y x x ，所以34-=x ，2=y ，=2n )1,2,34(-.设二面角1B CD B --的大小为θ，所以613cos ==θ. 所以二面角1B CD B --的余弦值为61613. 18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.① 设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.②由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122kmm +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+.令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ.因此存在常数21-=λ使得结论成立.20. 解：（1）由题设，当e m =时，xex x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xex x e x x f -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f xg 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x .设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x .∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增； ∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减； 所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点；④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点. 综上所述：当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点.（3）对任意0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*.设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xmx ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减.∴011)(2≤--='xmx x h 在),0(+∞上恒成立，∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）.∴m 的取值范围是),41[+∞.。