2014届高考理科数学第一轮复习导学案43.doc

第9章解析几何学案45直线与方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．自主梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________．(2)倾斜角的范围为________________．(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k＝________，倾斜角是90°的直线斜率________．(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_____________________.2自我检测1．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为________．2．直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为_______________________________________________________．3．下列四个命题中，假命题是________(填序号)．①经过定点P (x 0，y 0)的直线不一定都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示；③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程x a ＋yb ＝1表示； ④经过点Q (0，b )的直线都可以表示为y ＝kx ＋b . 4．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．5．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为______________．探究点一 倾斜角与斜率例1 已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率．变式迁移1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是______________．探究点二 直线的方程例2 过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．变式迁移2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)P A·PB最小时l的方程．变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？数形结合思想例 (14分)已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．【答题模板】解 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，[4分]由图可知：k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得：A (1,1)，B (－1,5)， ∴43≤k ≤8，[10分] 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.[14分]【突破思维障碍】解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x 1≠x 2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求直线方程，但都可以写成(x 2－ x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知直线l 经过A (2,1)、B (1，m 2) (m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是__________________．2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．3．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y的最小值是________．4．(2011·淮安期末)点A (a ＋b ，ab )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0一定不经过第________象限．5．经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为________．6．过两点A (m 2＋2，m 2－3)，B (3－m －m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝________.7．过点P (－1,2)，且方向向量为a ＝(－1,2)的直线方程为______________．8．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且P A ＝PB ，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)求直线AB 的方程；(3)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．10．(14分)已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的范围．11．(14分)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．学案45 直线与方程答案自主梳理1．(1)逆时针 最小正角 0° (2)0°≤α<180° (3)tan α 不存在 (4)y 2－y 1x 2－x 1 2.y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b ＝1 Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不全为0)自我检测 1.12 2.－23 3.④ 4.三 5.x ＋2y －3＝0 课堂活动区例1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．解 设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知：tan 2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34.整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0.解得tan α＝13或tan α＝－3，∵tan 2α＝34>0， ∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式迁移1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1. 当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， 当－1≤k <0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．(2)求直线方程常用方法——待定系数法．待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．解 方法一 过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0， ① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，②由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. 故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.方法二 设所求直线与已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )． 又M (0,1)是AB 的中点，由中点坐标公式，得A (－t,2t －6)． ∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.变式迁移2 解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为：y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.例3 解题导引 先设出A 、B 所在的直线方程，再求出A 、B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值．确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．解 设直线的方程为x a ＋yb ＝1 (a >2，b >1)，由已知可得2a ＋1b ＝1.(1)∵22a ·1b ≤2a ＋1b ＝1，∴ab ≥8. ∴S △AOB ＝12ab ≥4.当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为x 4＋y2＝1， 即x ＋2y －4＝0.(2)由2a ＋1b ＝1，得ab －a －2b ＝0，变形得(a －2)(b －1)＝2， P A ·PB ＝(2－a )2＋(1－0)2·(2－0)2＋(1－b )2 ＝[(2－a )2＋1]·[(1－b )2＋4] ≥2(a －2)·4(b －1).当且仅当a －2＝1，b －1＝2， 即a ＝3，b ＝3时，P A ·PB 取最小值4. 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.变式迁移3 解 如图所示建立直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴线段EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )． 又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20(1－m 30)．∴S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时EP PF ＝30－55＝5.所以当矩形草坪的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大．课后练习区1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 3.4 2 4．三解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0，即a >0，b >0. 由bx ＋ay －ab ＝0知y ＝－b a x ＋b .∴该直线的斜率k <0且在y 轴上的截距b >0，故该直线一定不经过第三象限．5．2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析 当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y 2a ＝1，∵点P 在l 上，∴2a －12a ＝1，则a ＝32.∴l 的方程为2x ＋y ＝3.当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴k ＝－12.∴x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0.6．－2解析 由题意得：m 2－3－2m m 2＋2－3＋m ＋m 2＝1， 解得：m ＝－2或m ＝－1.又m 2＋2≠3－m －m 2，∴m ≠－1且m ≠12，∴m ＝－2.7．2x ＋y ＝0解析 由已知方向向量得直线斜率k ＝－2，∴由点斜式方程得2x ＋y ＝0.8．x ＋y －5＝0解析 易知A (－1,0)，∵P A ＝PB ，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上．∴B (5,0)．∵P A 、PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1.∴l PB ∶y －0＝－(x －5)．∴x ＋y －5＝0.9．解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；(1分)当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(3分) (2)当m ＝－1时，AB 的方程为x ＝－1，(5分)当m ≠－1时，AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， 即y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1.(7分) ∴直线AB 的方程为x ＝－1或y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1. (8分)(3)①当m ＝－1时，α＝π2；(10分)②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.(13分) 综合①②，知直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.(14分) 10.解 方法一 直线x ＋my ＋m ＝0恒过A (0，－1)点．(4分)k AP ＝－1－10＋1＝－2， k AQ ＝－1－20－2＝32，(8分) 则－1m ≥32或－1m ≤－2， ∴－23≤m ≤12且m ≠0.(12分)又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，(13分)∴所求m 的范围是－23≤m ≤12.(14分)方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)．(5分) 即y ＝13x ＋43，代入x ＋my ＋m ＝0，整理得：x ＝－7m m ＋3，由已知－1≤－7m m ＋3≤2，(12分) 解得：－23≤m ≤12.(14分)11．(1)证明 直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；(7分) 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(9分)(3)解 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0， B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧ －1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.(11分)∵S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.(14分)。