2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科)

2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<2}，B={x|2x>1}，则A∩B=( )A. {x|0<x<2}B. {x|1<x<2}C. {x|x>0}D. {x|x<2}=1−i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=( )2.已知2a+iA. −1B. 1C. 2D. −23.已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和.若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=( )A. 31B. 32C. 63D. 644.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影).设直角三角形有一内角为30∘，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A. 134B. 866C. 300D. 5005.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2−x，则不等式f(x)>0的解集用区间表示为( )A. (−1，1)B. (−∞，−1)∪(1，+∞)C. (−∞，−1)∪(0，1)D. (−1，0)∪(1，+∞)6.(1+x−x2)10展开式中x3的系数为( )A. 10B. 30C. 45D. 2107.某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π8.已知[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. 450B. 460C. 495D. 5509. 已知函数f(x)=x m e x+nx(m ，n 为整数)的图象如图所示，则m ，n 的值可能为( )A. m =2，n =−1B. m =2，n =1C. m =1，n =1D. m =1，n =−110. 已知f(x)=cosωx ，(ω>0)的图象关于点(3π4，0)对称，且f(x)在区间(0，2π3)上单调，则ω的值为( )A. 1B. 2C. 103D. 2311. 已知抛物线C 1：y 2=4x 和圆C 2：(x −1)2+y 2=1，直线y =k(x −1)与C 1，C 2依次相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)四点(其中x 1<x 2<x 3<x 4)，则|AB|⋅|CD|的值为( )A. 1B. 2C. k 24D. k 212. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1，分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ) A. 2√2 B. 3 C. 2√3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为边BC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 已知实数x ，y 满足{1≤x +y ≤2x ≥0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为______．15. 已知双曲线E 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E 的离心率为______．16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为______．4 7 10 ... a 1j ... 7 12 17 ... a 2j (10)1724… a 3j … … … … … … … a i1 a i2 a i3 … a ij … ………………三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，A =30∘，BC =2√5，点D 在AB 边上，且∠BCD 为锐角，CD =2，△BCD 的面积为4． (1)求cos∠BCD 的值； (2)求边AC 的长．18.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB//CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE．(1)求证：ED⊥平面ABCD；(2)若AB⊥AD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为√6，求AF的长．619.某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：A服务机构分数的频数分布表分数区间频数[0，10)20[10，20)30[20，30)50[30，40)150[40，50)400[50，60]350定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数[0，30)[30，50)[50，60]满意度指数012(1)在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；(2)从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；(3)如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与直线l ：bx −ay =0都经过点M(2√2，√2).直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于A ，B 两点，直线MA ，MB 与x 轴分别交于E ，F 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：△MEF 为等腰三角形．21. 已知函数f(x)=lnx +a(x −1)2(a >0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(0，1)内有唯一的零点x 0，证明：e −32<x 0<e −1．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√13，求直线的倾斜角α的值．23.已知函数f(x)=|2x+1|−|x|+a，(1)若a=−1，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)=2x有三个不同的解，求a的取值范围．答案和解析【答案】 1. A 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B7. C8. B 9. B 10. D 11. A 12. C13. 3 14. 415. √5+1216. 717. 解：(1)∵BC =2√5，CD =2，则：S △BCD =12BC ⋅CD ⋅sin∠BCD =4， ∴sin∠BCD =2√55． ∴cos∠BCD =√55； (2)在△BCD 中，CD =2，BC =2√5，cos∠BCD =√55，由余弦定理得：DB 2=CD 2+BC 2−2CD ⋅BC ⋅cos∠BCD =16， 即DB =4，∵DB 2+CD 2=BC 2， ∴∠BCD =90∘，即△ACD 为直角三角形， ∵A =30∘，∴AC =2CD =4．18. 证明：(1)因为平面CBE 与平面BDE 垂直， 且CB ⊥BE ，平面CBE 与平面BDE 的交线为BE ， 所以CB ⊥面BDE ，又ED ⊂面BDE ，所以，CB ⊥ED ， 在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ，又四边形ABCD 为梯形，AB//CD ，所以AD 与CB 相交， 故ED ⊥平面ABCD ．解：(2)由(1)知，ED 垂直DA ，ED 垂直DC ，又AD 垂直AB ，AB 平行CD ，所以DC 垂直DA ，如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间坐标系 AD =AB =1，AB ⊥AD ，BD =√2 又CB ⊥BD ，∠CDB =45∘，所以DC =2， 设DE =a ，则B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，a)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−1，a)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0) 设平面BEC 的法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−x −y +az =0−x +y =0，令x =1，则y =1，z =2a ，所以平面BEC的法向量为n⃗ =(1，1，2a )， 平面ADEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0，1，0)，因为平面BCE 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值为√66，则|cos〈n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=√66，即√2+24=√66，解得a=1，即AF =DE =1．19. 解：(1)由对B 服务机构的频率分布直方图，得：对B 服务机构“满意度指数”为0的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2， 所以，对B 服务机构评价“满意度指数”为0的人数为1000×0.2=200人．(2)设“对B 服务机构评价‘满意度指数’比对A 服务机构评价‘满意度指数’高”为事件C ． 记“对B 服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B 1；“对B 服务机构评价‘满意度指数’为2”为事件B 2；“对A 服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A 0；“对A 服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件A 1．所以P(B 1)=(0.02+0.02)×10=0.4，P(B 2)=0.4， 由用频率估计概率得：P(A 0)=0.1，P(A 1)=0.55， 因为事件A i 与B j 相互独立，其中i =1，2，j =0，1． 所以P(C)=P(B 1A 0+B 2A 0+B 2A 1)=0.3，所以该学生对B 服务机构评价的“满意度指数”比对A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3．(3)如果从学生对A ，B 两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B 服务机构“满意度指数”X 的分布列为：因为E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以E(X)<E(Y)，会选择A 服务机构．20. 解：(1)由直线l ：bx −ay =0都经过点M(2√2，√2)，则a =2b ， 将M(2√2，√2)代入椭圆方程：x 24b 2+y 2b 2=1，解得：b 2=4，a 2=16，∴椭圆C 的方程为x 216+y 24=1；(2)证明：设直线m 为：y =12x +t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 联立：{x 216+y 24=1y =12x +t，整理得x 2+2tx +2t 2−8=0， ∴x 1+x 2=−2t ，x 1x 2=2t 2−8，设直线MA ，MB 的斜率为k MA ，k MB ，要证△MEF 为等腰三角形， 只需k MA +k MB =0，由k MA =1√2x −2√2k MB =2√2x −2√2，k MA +k MB =x 1x 2+(t−2√2)(x 1+x 2)(x 1−2√2)(x 2−2√2)，2t 2−8+4√2t−2t 2−4√2t+8(x 1−2√2)(x 2−2√2)=0，所以△MEF 为等腰三角形．21. 解：(1)f′(x)=2ax2−2ax+1x，①当0<a ≤2时，在(0，+∞)上单调递增，②当a >2时，设2ax 2−2ax +1=0的两个根为x 1，x 2(0<x 1<12<x 2)，且x 1=a−√a 2−2a2a，x 2=a+√a 2−2a2a，y =f(x)在(0，x 1)，(x 2，+∞)单调递増，在(x 1，x 2)单调递减．(2)证明：依题可知f(1)=0，若f(x)在区间(0，1)内有唯一的零点x 0， 由(1)可知a >2，且x 0=x 1∈(0，12)．于是：lnx 0+a(x 0−1)2=0①2ax 02−2ax 0+1=0②由①②得lnx 0−x 0−12x 0=0，设g(x)=lnx −x−12x，(x ∈(0，1))，则g′(x)=2x−12x 2，因此g(x)在(0，12)上单调递减， 又g(e −32)=e 32−42>0，g(e−1)=e −1−32<0根据零点存在定理，故e −32<x 0<e −1．22. 选修4−4：坐标系与参数方程(本小题满分(10分)，第(1)问(5分)，第(2)问5分)解：(1)由曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ． ∵x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0，即(x −2)2+y 2=4． (2)将直线l 的参数方程{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数)代入圆的方程，得：(tcosα−1)2+(tsinα)2=4， 化简得t 2−2tcosα−3=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则{t 1+t 2=2cosαt 1t 2=−3，∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4cos 2α+12=√13， 4cos 2α=1，解得cosα=±12， ∴α=π3或α=2π3．23. 解：(1)当a =−1时，不等式f(x)≥0可化为：|2x +1|−|x|−1≥0，∴{x <−12−(2x +1)−(−x)−1≥0或{−12≤x <0(2x +1)−(−x)−1≥0或{x ≥0(2x +1)−x −1≥0，…(3分)解得：x ≤−2或x ≥0，…(4分)∴不等式的解集为(−∞，−2]∪[0，+∞). …(5分) (2)由f(x)=2x 得：a =2x +|x|−|2x +1|，令g(x)=2x+|x|−|2x+1|，则：g(x)={3x+1 (x<−12)−x−1 (−12≤x<0)x−1 (x≥0)，…(7分)作出函数y=g(x)的图象如图示，易知A(−12 ，−12) ，B(0 ，−1)，结合图象知：当−1<a<−12时，函数y=a与y=g(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)=2x有三个不同的解，…(9分)∴a的取值范围为(−1 ，−12).…(10分)【解析】1. 解：∵B={x|2x>1}={x|x>0}，∴A∩B={x|0<x<2}，故选：A求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 解：由2a+i=1−i，得2=(1−i)(a+i)=a+1+(1−a)i，∴{a+1=21−a=0，即a=1．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得a 值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3. 解：设公比为q，因为{a n}是递增的等比数列，所以q>0.a n>a n−1因为a1+a3=a1+a1q2=5，且a1>0，a3>0，又a1a3=a22=4，所以得a1=1，a2=2，a3=4，q=2，则S6=a11−q(1−q6)=q6−1=64−1=63．故选C⋅根据等比数列通项公式进行计算即可．本题主要考查等比数列的应用，求出公比是关键.属于中档题目，细节容易出错．4. 解：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为√3x−x，向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为a，则a1000=(√3x−x)2(2x)2，解得a =1000(4−2√34)≈134．故选：A ．设大正方形的边长为2x ，则小正方形的边长为√3x −x ，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，落在小正方形(阴影)内的米粒数个数．本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 5. 解：根据题意，当x >0时，f(x)=x 2−x ，若f(x)>0，则有x 2−x >0，解可得x >1，即在(1，+∞)上，f(x)>0，反之在(0，1)上，f(x)<0，又由函数为奇函数，则在(0，−1，)上，f(x)>0，在(−∞，−1)上，f(x)<0， 则不等式f(x)>0的解集为(−1，0)∪(1，+∞)； 故选：D ．根据题意，由函数的解析式，在(0，+∞)上，解f(x)>0可得x 的取值范围，进而利用函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质与应用，涉及不等式的解法，关键是掌握奇函数的对称性．6. 解：(1+x −x 2)10=[1+(x −x 2)]10 的展开式的通项公式为T r+1=C 10r(x −x 2)r ． 对于(x −x 2)r ，通项公式为T m+1=C r m⋅x r−m .(−x 2)m ， 令r +m =3，根据0≤m ≤r ，r 、m 为自然数，求得{r =2m =1，或{r =3m =0．∴(1+x −x 2)10展开式中x 3项的系数为−C 102C 21+C 103C 30=−90+120=30． 故选：B ．先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x 的幂指数等于3，求得r 、m 的值，即可求得x 3项的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7. 解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，其中△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC =2，AB ⊥AC ，AA 1⊥平面ABC ，AA 1=2，如图，∴该三棱柱外接球的半径R =B 1C 2=√22+22+222=√3，∴该三棱柱外接球的表面积：S =4πr 2=4π×(√3)2=12π． 故选：C ．由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1其中△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC =2，AB ⊥AC ，AA 1⊥平面ABC ，AA 1=2，从而该三棱柱外接球的半径R =B 1C 2，由此能求出该三棱柱外接球的表面积．本题考查三棱柱外接球的表面积的求法，考查几何体的三视图、三棱锥及外接球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．8. 解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =[110]+[210]+[310]+⋯+[9910]+[10010]的值，S =[110]+[210]+[310]+⋯+[9910]+[10010]=10×0+10×1+10×2+⋯+10×9+10=10+20+30+⋯+90+10=460． 故选：B ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =[110]+[210]+[310]+⋯+[9910]+[10010]的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题主要考查了程序框图和算法，正确理解新定义的算法是解题的关键，属于基本知识的考查．9. 解：根据图象可得f(1)=1e +n ∈(1，2)，当n =−1时，不满足，故排除A ，D ；当m =n =1时，f(x)=xe x+x ，f′(x)=1−x e x+1=e x −x+1e x>0恒成立，故函数f(x)无极值点，故不符合题意，故选：B根据图象可得f(1)=1e +n ∈(1，2)，当n =−1时，不满足，故排除A ，D ；当m =n =1时，求得f(x)=x ex +x ，f′(x)=1−x e x+1=e x −x+1e x>0即可判定，本题考查了函数的图象，属于中档题．10. 解：f(x)的图象关于(3π4，0)对称，∴cos3π4ω=0，∴3π4ω=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=23+4k 3，k ∈Z ；令kπ≤ωx ≤π+kπ，解得kπω≤x ≤πω+kπω，k ∈Z ；∴f(x)在[0，πω]上是单调减函数， ∵f(x)在(0，2π3)上单调，∴2π3≤πω，解得ω≤32；又∵ω>0， ∴ω=23．故选：D ．根据余弦函数的对称性与单调性，即可求出ω的取值范围． 本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 11. 解：∵y 2=4x ，焦点F(1，0)，准线l 0：x =−1． 由定义得：|AF|=x A +1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A ， 同理：|CD|=x D ，当l ⊥x 轴时，则x D =x A =1，∴|AB|⋅|CD|=1，当l ：y =k(x −1)时，代入抛物线方程，得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， ∴x A x D =1，则|AB|⋅|CD|=1． 综上所述，|AB|⋅|CD|=1， 故选：A ．利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1，得出|AB|=x A ，同理可得：|CD|=x D ，分l ⊥x 轴和l 不垂直x 轴两种情况分别求值，当l ⊥x 轴时易求，当l 不垂直x 轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系求得答案．本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12. 解：如图，不妨设N 在B 处，AM =ℎ，CQ =m ，则有MB 2=ℎ2+4，BQ 2=m 2+4，MQ 2=(ℎ−m)2+4由MB 2=，=BQ 2+MQ 2⇒m 2−ℎm +2=0．△=ℎ2−8≥0⇒ℎ2≥8该直角三角形斜边MB =√4+ℎ2≥2√3． 故选：C ．不妨设N 在B 处，AM =ℎ，CQ =m ，则有MB 2=ℎ2+4，BQ 2=m 2+4，MQ 2=(ℎ−m)2+4由MB 2=，=BQ 2+MQ 2⇒m 2−ℎm +2=0.△=ℎ2−8≥0⇒ℎ2≥8，可得直角三角形斜边MB =√4+ℎ2≥2√3．本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题．13. 解：∵E 为等边三角形ABCBC 的中点，∴∠BAE =30∘，AE =√3， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos30∘=2×√3×cos30∘=3， 故答案为：3．E 为等边三角形ABCBC 的中点，∴∠BAE =30∘，AE =√3，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos30∘即可， 本题考查了向量在几何中的应用，属于中档题． 14. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)．由z =2x +y 得y =−2x +z ， 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点C 时，直线y =−2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y =2y =0，解得C(2，0) 将C(2，0)的坐标代入目标函数z =2x +y ，得z =2×2+0=4.即z =2x +y 的最大值为4． 故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15. 解：根据题意，如图：设双曲线E经过的正方形的四个顶点为A、B、C、D，其A在第一象限，双曲线的两个焦点为F1、F2，连接AF1，若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F1F2|=2c，|AF2|=c，则有|AF1|=√5c，则2a=|AF1|−|AF2|=(√5−1)c，则双曲线的离心率e=ca =√5+12；故答案为：√5+12根据题意，设出正方形的四个顶点以及双曲线的两个焦点，结合题意，由双曲线的几何性质可得|F1F2|=2c，|AF2|=c，计算可得|AF1|=√5c，由双曲线的定义可得a与c的关系，结合双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的定义构造三角形分析a、c的关系．16. 解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3(j−1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5(j−1)第i行是首项为4+3(i−1)，公差为2i+1的等差数列，因此a ij=4+3(i−1)+(2i+1)(j−1)=2ij+i+j，要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得2ij+i+j=112，所以j=112−i2i+1，当i=1时，j=37，当i=2时，j=22，当i=4时，j=12，当i=7时，j=7，当i=12时，j=4，当i=22时，j=2，当i=37时，j=1．∴112在这“等差数阵”中出现的次数为7．故答案为：7．推导出a ij=4+3(i−1)+(2i+1)(j−1)=2ij+i+j要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得2ij+i+j=112，从而j=112−i2i+1，由此能求出112在这“等差数阵”中出现的次数．本题考查等差数列中某项出一次数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．17. (1)首先利用三角形的面积公式求出sin∠BCD的值，进一步利用同角三角函数的关系式求出结果．(2)利用余弦定理和勾股定理逆定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，余弦定理和勾股定理逆定理的应用．18. (1)推导出CB⊥BE，从而CB⊥面BDE，进而CB⊥ED，再由ED⊥AD，能证明ED⊥平面ABCD．(2)以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系，利用向量法能出AF=DE=1．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19. (1)由对B服务机构的频率分布直方图，得对B服务机构“满意度指数”为0的频率为0.2，由此能求出对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数．(2)设“对B服务机构评价‘满意度指数’比对A服务机构评价‘满意度指数’高”为事件C.记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1；“对B服务机构评价‘满意度指数’为2”为事件B2；“对A服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A0；“对A服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件A1.P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)，由此能求出该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率．(3)如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看分别求出B服务机构“满意度指数”X的分布列和A服务机构“满意度指数”Y的分布列，由此能出结果．本题考查分层抽样、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查离散型随机变量等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. (1)将点M分别直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k MA+k MB= 0，即可求得△MEF为等腰三角形．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21. (1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)设g(x)=lnx−x−1，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．2x本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. (1)由曲线C的极坐标方程，得ρ2=4ρcosθ.由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．(2)将直线l的参数方程代入圆的方程，得：t2−2tcosα−3=0.利用韦达定理和弦长公式能求出直线的倾斜角α的值．本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查直线的倾斜角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．23. (1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；(2)求出a=2x+|x|−|2x+1|，令g(x)=2x+|x|−|2x+1|，结合函数的图象求出a 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数图象的交点问题，是一道中档题．。