(精品)2016-2017学年辽宁省六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学（理）试题一、单选题1．若集合A={x |x 2+5x +4＜0}，集合B={x |x ＜﹣2}，则A ∩（∁R B ）等于（ ） A. （﹣2，﹣1） B. [﹣2，4） C. [﹣2，﹣1） D. ϕ 【答案】C【解析】由题得{|41}A x x =-<<-，∁R B ={|2}x x ≥-故A ∩（∁R B ）=[﹣2，﹣1） 2．抛物线22y x =-的焦点坐标是 A. 10,4⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,8⎛⎫⎪⎝⎭ D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先化为标准方程： 212x y =-故焦点坐标为10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知向量18,2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， (),1b x =， 0x >，若2a b -与2a b +共线，则x 的值为（ ）A. 4B. 8C. 0D. 2 【答案】A【解析】由题可知： 2a b -=182,22x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2a b +=()16,2x x ++，因为共线故： ()()()182221642x x x x x ⎛⎫-+=-+⇒=⎪⎝⎭4．已知平面α∩平面β=m ，直线l ⊂α，则“l ⊥m”是“l ⊥β”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据题意可知l ⊥m 只有一条线垂直故缺乏条件得出l ⊥β，而l ⊥β则垂直面内所有的线，因为m β⊂，所以l ⊥m 故“l ⊥m”是“l ⊥β”的必要不充分条件5．已知函数()()log 32(0,1)a g x x a a =-+>≠的图象经过定点M ，若幂函数()f x x α=的图象过点M ，则α的值等于A. 1-B. 12C. 2D. 3 【答案】B【解析】由题得函数()g x 过点M （4,2），又幂函数()f x x α=的图象过点M ，故α的值等于126．几何体的三视图如图，则该几何体的体积是A.43π B. 223π+ C. 53π D. 243π+ 【答案】C【解析】根据该三视图可知，该几何体由一个半球和一个半圆柱组合而成，故体积为：3241151+12=3223πππ⨯⨯⨯⨯⨯ 7．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+， 1315a a a +++=（ ）A. 124B. 120C. 128D. 121 【答案】D 【解析】当1n =时，12a =，当2n ≥时，()22111121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，12a =不符合，则2,1{21,2n n a n n ==-≥ ，()135157......259 (2925291212)a a a a +++=++++=++=，选D. 【点睛】已知数列的前n 项和n S ，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当2n ≥时利用前n 项和与前n-1项和作差求出第n 项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题求和要注意首项不满足，数列从第二项开始成等差数列，从第二项以后利用等差数列前n 项和公式求和，而第一项要要单独相加.8．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>，左右焦点分别为12,,F F P 为双曲线右支上一点， 12F PF ∠的平分线为l ，点1F 关于l 的对称点为Q ,22F Q =，则双曲线方程为（ ）A. 2212x y -=B. 2213y x -=C. 2212y x -=D. 2213x y -=【答案】C【解析】由题可得： l 是线段1F Q 的中垂线，则122222a PF PF PQ PF F Q =-=-==,则a=1，故22b =，所以选C9．已知3tan24θ=， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos2sin 4θθπθ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】由3tan24θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1t a n3θ=，而2s i n csi n 4θθπθ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2222sin cos tan 12θθθθθ==++ ，由1tan 3θ=， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos θ=，故代入得原式 点睛：此题关键是要将问题简化，根据二倍角公式和和差公式将其同一角度化简，然后根据三角函数的计算关系及所给角度范围确定cos θ的值即可得出答案. 10．在△ABC 中，B ＝4π，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.10B. 10C. 10-D. 10- 【答案】C 【解析】试题分析：设,2,sin cos ,sin cos 2AD a ABCD a AC A ααββ=⇒===⇒====⇒()cos αβ=+=故选C.【考点】解三角形.11．已知在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P ，使满足90APB ︒∠>，则P 点出现的概率为 （ ） A.556π B. 556C. 12D. 不确定 【答案】A【解析】依题意可得， P 点在以AB 为直径的圆内，如图所以P 点出现的概率为2155225756ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=⨯，故选A 12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b a b+=>>与直线y x = y x =相交于M ， N 两点，若在椭圆上存在点P ，使得直线MP ， NP 斜率之积为49-49-，则椭圆离心率为（ ）A.23 23B.C.D.【答案】B【解析】设()()(),,,,,P x y M m m N m m --，在直线MP,NP 的斜率分别为：4,?9y m y m y m y m x m x m x m x m -+-+⇒=--+-+，则222249y m x m -=--，因为M,P 在椭圆上代入椭圆得： 222222221,1x y m m a b a b +=+=，两式相减可得： 2249b a =，故离心率为：c a ==点睛：本题根据题意要注意直线y x =，故M,N 两点具有对称性，然后射出坐标表示出MP,NP 的斜率求出2249b a =，从而得出结论二、填空题13．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则将()f x 的图象向右平移6π个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.【答案】sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】由图可知：A=1,3113241264T T ππππω=-=⇒=⇒=,将点,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入f(x)得()sin 266f x x ππϕ⎛⎫=⇒=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位后得s i n 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则9a b +的最小值为_________. 【答案】16 【解析】由题可得：111a b +=，故()119991916a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭15．已知三棱锥D ABC -中， 1AB BC ==， 2AD =， BD = AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】6π【解析】如图：AD=2,AB=1,BD =,满足勾股定理，所以,A D A B A D B C A D A B C ⊥⊥⇒⊥又面,因为1ABBC ==， AC =，所以AB BC⊥,故BC DAB ⊥面,所以CD 是三棱锥的外接球的直径，因为,所以,所以三棱锥的外接球表面积为6π16．函数()21f x ax bx =+-，且()011f ≤≤， ()210f -≤-≤，则23a bz a b+=+23a bz a b+=+的取值范围是__________．【答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题得： 12,11a b a b ≤+≤-≤-≤，如图表示的可行域：则22,,33ba b b a z t b a b aa a++===++令可得21555,0,0,13339393t z t t t t +⎛⎤==+≥∈ ⎥+++⎝⎦，又b=1,a=0成立，此时13z =，可得1,23z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦点睛：此题解题关键在于要能将其转化为线性规划的问题来理解，然后将目标函数变形整理为所熟悉的表达形式，从而轻松求解.三、解答题17．已知函数())1cos .cos 2f x x x x ωωω=-+（其中0ω>），若()f x 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为4π．（Ⅰ）求()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、满足()()2c o s c o sb a Cc A f B -=⋅，且恰是()f x 的最大值，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（Ⅰ）[,]()63k k k Z ππππ-++∈ ；（Ⅱ）等边三角形． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用倍角与两角和与差的正弦公式化简函数表达式，然后根据对称轴离最近的对称中心的距离为4π求得T ，从而求得ω ，进而由正弦函数的图象与性质求得单调增区间；（Ⅱ）先用正弦定理将条件等式中的边化为角，求得角C ，从而得到角B 的范围，然后根据正弦函数的图象求得()f B 的最大值，从而求得角A ，进而判断出三角形的形状．试题分析：因为（Ⅰ）2211()cos cos 2(2cos 1)222f x x x x x x ωωωωω=⋅-+=--12cos 2sin(2)226x x x πωωω=-=- 因为()f x 的对称轴离最近的对称中心的距离为4π所以T π=，所以22ππω=，所以1ω=，所以()sin(2)6f x x π=- 由222262k x k πππππ-+≤-≤+，得63k x k ππππ-+≤≤+所以函数()f x 单调增区间为[,]()63k k k Z ππππ-++∈（Ⅱ）因为(2)cos cos b a C c A -=⋅，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =，所以3C π= 所以203B π<<，4023B π<<，72666B πππ-<-<．根据正弦函数的图象可以看出，()f B 无最小值，有最大值max 1y =， 此时262B ππ-=，即3B π=，所以3A π=，所以ABC ∆为等边三角形【考点】1、三角函数的图象与性质；2二倍角；3、两角和与差的正弦；4、正弦定理． 18．某高中有高一新生500名，分成水平相同的两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试 （1）求该学校高一新生两类学生各多少人？（2）经过测试，得到以下三个数据图表：图1：75分以上两类参加测试学生成绩的茎叶图图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图下图表格：100名学生成绩分布表：①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.【答案】（1）A类学生200人，B类学生有300人；（2）【解析】（1）由题意知A类学生有（人）则B类学生有500－200=300（人）.（2）①表一图二②79分以上的B 类学生共4人，记80分以上的三人分别是，79分的学生为.从中抽取2人，有（12）、（13）、（1a ）、（23）、（2a ）、（3a ）共6种抽法； 抽出2人均在80分以上有：（12）、（13）、（23）共3种抽法则抽到2人均在80分以上的概率为19．已知数列{}n a 的各项均为正数的等比数列，且12342,32a a a a ⋅=⋅= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足3121 (113521)n n b b b b a n +++++=--（n ∈N ），求设数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 12n n a -=；(Ⅱ) ()2323nn T n =-+.【解析】试题分析：（1）根据等比数列的定义和性质先求出首项和公比（2）根据第二问已知条件可知：数列{}n b 满足3121 (113521)n n b b b b a n +++++=--，只需将原式退一项然后两式相减即可得1221n nb n -=-， ()1212n n b n -∴=-，（） ，然后检验首项是否成立从而确定通项公式()1212n n b n -=-，在根据通项特点可知为错位相减法求和.解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得 又∵10,0a q >>，解得11{ 2a q ==3分 ∴12n n a -=； （2）由题意可得12211321n n b b b n +++=--① ()11122121323n n b b bn n --+++=-≥-②相减得1221n nb n -=-， ()1212n n b n -∴=-，（） 当1n =时， 11b =，符合上式， ()1212n n b n -∴=-设()12113252212n n T n -=+⋅+⋅++-⋅则()()2312123252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减得： ()()2112222212n n n T n --=+++--⋅∴()2323nn T n =-+．点睛：考察对等比数列的通项的求法的理解及求和中所用的一些技巧：例如错位相减法，裂项相消法，分组求和法都是必须要掌握的方法20．在如图所示的几何体中，正方形ABEF 所在的平面与正三角形ABC 所在的平面互相垂直， //CD BE ，且2BE CD =， M 是ED 的中点．（1）求证： AD ∥平面BFM ；（2）求二面角E BM F --的余弦值．【答案】(1)见解析；(2). 【解析】试题分析：证明线面平则只需在平面内找一线与之平行即可，通常找中位线和建立平行四边形来证明，本题中可以容易发现连接AE 交BF 于点N ，连接MN ，可证MN 为中位线；（2）二面角的问题通常借助于空间坐标系来求解，本题中可建立如图的坐标系，然后求出各面的法向量，再根据向量的夹角公式即可得出结论解析：（1）连接AE 交BF 于点N ，连接MN ． 因为ABEF 是正方形，所以N 是AE 的中点，又M 是ED 的中点，所以MN ∥AD ．因为AD ⊄平面BFM ，MN ⊂平面BFM ，所以AD ∥平面BFM ．（2）因为ABEF 是正方形，所以BE ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC=AB ，所以BE ⊥平面ABC ，因为CD ∥BE ，所以取BC 的中点O ，连接OM ，则OM ⊥平面ABC ，因为△ABC 是正三角形，所以OA ⊥BC ， 所以以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：设CD=1，则B （0，1，0），E （0，1，2），D （0，﹣1，1），，．设平面BMF 的一个法向量为， 则，所以，令，则z=﹣6，y=﹣9，所以． 又因为是平面BME 的法向量， 所以．所以二面角E ﹣BM ﹣F 的余弦值为．21．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（2）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,,M N 求直线MN 的方程；（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点,P Q ，若P O Q ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．【答案】（1）AB =（2）340x y +-=;（3）22b -<<，且0b ≠.【解析】【试题分析】（1）依据题设先求圆的半径和方程，再运用弦心距、半弦长、半径之间的关系进行分析求解；（2）依据题设条件构造圆以GC 为直径的圆的方程，再运用两圆的相交弦所在直线即为所求；（3）依据题设条件借助题设条件“POQ ∠为钝角”建立不等式分析探求：（1）由题意得：圆心()0,0到直线1:0l x y --=的距离为圆的半径，22r ==，所以圆C 的标准方程为： 224x y +=所以圆心到直线2l 的距离1d ==∴ AB ==（2）因为点()1,3G ,所以OG ==GM ==所以以G 点为圆心，线段GM 长为半径的圆G 方程： ()()22136x y -+-= （1） 又圆C 方程为： 224x y += （2），由()()12-得直线MN 方程： 340x y +-= （3）设直线l 的方程为： y x b =-+联立224x y +=得： 222240x bx b -+-=， 设直线l 与圆的交点()()1122,,,P x y Q x y ， 由()()222840b b ∆=--->，得28b <， 212124,2b x x b x x -+=⋅= （3） 因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<,即满足12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线，又1122,y x b y x b =-+=-+，所以()21212121220x x y y x x b x x b +=-++< （4）由（3）（4）得24b <，满足0∆>，即22b -<<，当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠22．已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且.（1）求C 的方程； （2）过F 的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相较于M ，N 两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.【答案】（1）；（2）直线的方程为或．【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求点的坐标，再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值，从而可得抛物线C的方程；（2）由已知条件可知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的点参式方程：，代入消元得．设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长，同理可得的中点的坐标及的长．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，由此列方程可求得的值，进而可得直线的方程．试题解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．【考点】1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系．。
2015-2016年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．68．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．999．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3] 11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．100812．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab）n=a n b n”类比推理出“（a+b）n=a n+b n”；②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ．其中结论正确的有个．16．（5分）若函数f（x）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a的值为．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z====2+i，则=2﹣i，则对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）=a，∴f′（x）=，∴f′（1）=1=，∴a=2，故选：C．4．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．【解答】解：【法一】∵（1﹣i）z=，∴z===﹣1，∴|z|=1．【法二】∵（1﹣i）z=，∴|1﹣i|•|z|=，即•|z|=，解得|z|=1．故选：A．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．【解答】解：由f（x）=sin（4x+）+ax，得：f′（x）=4cos（4x+）+a，∴f′（0）=2+a，即曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线的斜率为2+a．又曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，∴2+a=3，解得a=1．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项【解答】解：用数学归纳法证明1+++…+＜n的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：C．7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．6【解答】解：由题意，由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积S=∫01（2x2﹣x+2）dx==．故选：A．8．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．99【解答】解：由已知得出：若9+=92×（a，b为正整数），则a=92﹣1=80，b=9，所以a+b=89，故选：A．9．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定【解答】解：∵P=+，Q=+1，∴P﹣Q=+﹣﹣1==，∵a1、a2∈（1，+∞），∴1﹣a1＜0，a2﹣1＞0，∴P﹣Q＜0，即P＜Q．故选：C．10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3]【解答】解：∵f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1），可得a2﹣1＞0，解得a＜﹣1或a＞1，∴f′（x）=3ax2﹣4ax+（a+1），△=16a2﹣12a（a+1）≤0时，即1＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件综上，函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x不存在极值点的充要条件是1＜a≤3．故选：D．11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．1008【解答】解：观察下列数的规律图：12343456745678910…知：第1行各数之和是1=12=（2×1﹣1）2，第2行各数之和是2+3+4=32=（2×2﹣1）2，第3行各数之和是3+4+5+6+7=52=（2×3﹣1）2，第4行各数之和是4+5+6+7+8+9+10=72=（2×4﹣1）2，∴第n行各数之和是（2n﹣1）2，由20152=（2n﹣1）2，解得n=1008．故选：D．12．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）【解答】解：∵y=f（x﹣3）为奇函数，∴f（0）=f（3﹣3）=﹣f（﹣3﹣3）=﹣f（﹣6）=3设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，又∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）﹣f（x）＞0，∴g′（x）＞0．∴y=g（x）单调递增．由f（x）＜3e x．即g（x）＜3．又∵g（0）==3，∴g（x）＜g（0）∴x＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=﹣1．【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i 它是实数1+m3=0∴m=﹣1故答案为：﹣1．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=﹣．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+2x ﹣1的导数为：f ′（x ）=3ax 2+2，f ′（1）=3a+2，而f （1）=a+1，切线方程为：y ﹣a ﹣1=（3a+2）（x ﹣1）， 因为切线方程经过（3，4）， 所以4﹣a ﹣1=（3a+2）（3﹣1），解得a=﹣． 故答案为：﹣．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab ）n =a n b n ”类比推理出“（a+b ）n =a n +b n ”；②已知直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ． 其中结论正确的有 0 个．【解答】解：当n=2时，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2≠a 2+b 2，故①错； 当=，向量与不一定平行，故②错；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交，故③错． 故答案为：0．16．（5分）若函数f （x ）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a 的值为．【解答】解：由f （x ）=lnx+（x ＞0），得f ′（x ）=﹣=，f ′（x ）=0则x=a ，若a ＜1，则f （x ）min =f （1）=a=，不满足题意；若a ＞e ，则f （x ）min =f （e ）=1+=，则a=＜e ，不合题意；若e ≥a ≥1，则f （x ）min =f （a ）=lna+1=，则a=＜e ，满足题意；故答案为：．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．【解答】解：复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，可得：a2﹣1=0，a2﹣3a+2≠0，解得a=1．a的值为：1；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，可得：a2﹣1＞﹣a2+3a﹣2≠0，解得a＞1或a且a≠2．a的取值范围：（﹣∞，）∪（1，2）∪（2，+∞）．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则a2+b2=25，∵（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=（3a﹣4b）+（4a+3b）i，∴，解得或．∴z=4+3i或z=﹣4﹣3i．（2）证明：∵m＞0，∴1+m＞0，欲证（）2≤成立，只需证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），即证m（a2﹣2ab+b2）≥0，即证（a﹣b）2≥0，显然（a﹣b）2≥0恒成立，∴（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．【解答】解：由f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，则f′（x）=sinx+xcosx+acosx﹣（ax+b）sinx=（x+a）cosx﹣（ax+b﹣1）sinx，与f′（x）=xcosx﹣sinx比较可得：，可得．∴a=0，b=2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立．∵x≥1．∴a ≤（x ﹣），当x≥1时，令g（x）=（x ﹣）是增函数，g（x）min=（1﹣1）=0．∴a≤0．（2）∵x=3是f（x）的极值点∴f′（3）=0，即27﹣6a﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x有极大值点x=﹣，极小值点x=3．此时f（x）在x∈[﹣，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数．∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=﹣18，最大值是：f（1）=﹣6，（因f（a）=f（4）=﹣12）．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）S1=a1=，S2=（2×4﹣2）（S2﹣S1），∴S2=，S3=（2×9﹣3）（S3﹣S2），∴S3=，S4=（2×16﹣4）（S4﹣S3），∴S4=（2）由（1）的计算可猜想S n =，下面用数学归纳法证①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k时结论成立，即S k =，则当n=k+1时，S k+1=[2×（k+1）2﹣（k+1）]（S k+1﹣S k），第11页（共13页）∴（2k2+3k）S k+1=k（k+1），∴S k+1==，故当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S n =．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．【解答】解：（1）f′（x）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=e x+e x（x﹣1）=xe x，当x＞0时，h′（x）=xe x＞0，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）|f（x）﹣1|=||，当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，原不等式化为＜a，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令∅（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=e x﹣（1+a），由∅′（x）=0得：e x=1+a，解得x=ln（1+a），当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）令s（a）=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0．第12页（共13页）故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0．因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）第13页（共13页）。
2017-2018年辽宁省六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1D．¬p：∀x∈R，sinx＞12．（5分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理4．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的虚部等于（）A．2B．2i C．﹣2D．﹣2i5．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣40B．40C．﹣80D．806．（5分）若e是自然对数的底数，则=（）A．﹣1B．1﹣C．1﹣e D．e﹣17．（5分）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，用反证法证明：a，b，c，d中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）A．假设a，b，c，d至多有一个小于0B．假设a，b，c，d中至多有两个大于0C．假设a，b，c，d都大于0D．假设a，b，c，d都是非负数8．（5分）函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则b的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）学校艺术节对绘画类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖．在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品观测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D10．（5分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）A．12B．24C．36D．4812．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为14．（5分）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为．15．（5分）三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），又三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．受此启发，请你写出圆内接四边形的面积公式：．16．（5分）若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a7的值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）是否存在常数a，b使得等式12+22+..+n2=n（2n+1）（an+b）对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．20．（12分）已知圆M：x2+y2+2x=0，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点，点D（3，0），直线DB交曲线C于另一点E，求证：直线AE过定点，并求该定点的坐标．21．（12分）函数f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，其中m＜0．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知当m≤﹣（其中e是自然对数的底数）时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：当m=﹣1时，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1D．¬p：∀x∈R，sinx＞1【解答】解：∵p：∃x∈R，sinx≤1，∴p：∀x∈R，sinx＞1考查四个选项，D正确故选：D．2．（5分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．（5分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选：A．4．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的虚部等于（）A．2B．2i C．﹣2D．﹣2i【解答】解：∵z==+=1+i+i=1+2i，∴=1﹣2i，∴的虚部是﹣2．故选：C．5．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣40B．40C．﹣80D．80【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C5r x10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2，所以展开式中的常数项为（﹣2）2C52=40，故选：B．6．（5分）若e是自然对数的底数，则=（）A．﹣1B．1﹣C．1﹣e D．e﹣1【解答】解：∵（﹣e2﹣x）′=e2﹣x∴=﹣e2﹣x=﹣e﹣1+e0=1﹣故选：B．7．（5分）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，用反证法证明：a，b，c，d中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）A．假设a，b，c，d至多有一个小于0B．假设a，b，c，d中至多有两个大于0C．假设a，b，c，d都大于0D．假设a，b，c，d都是非负数【解答】解：由于命题：“若a，b，c，d中至少有一个小于0”的反面是：“a，b，c，d都是非负数”，故用反证法证明若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，那么a，b，c，d中至少有一个小于0，假设应为“a，b，c，d都是非负数”，故选：D．8．（5分）函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则b的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：y′=3x2﹣2bx+1，若函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则y′=3x2﹣2bx+1与x轴有2个不同的交点，故△=4b2﹣12＞0，解得：b＞或b＜﹣，故选：C．9．（5分）学校艺术节对绘画类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖．在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品观测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D【解答】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品B为一等奖；故选：B．10．（5分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，令AB=1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），=（0，﹣1，﹣1），=（0，﹣1，﹣2），∴|cos＜，＞|=||=．∴异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．故选：C．11．（5分）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，则共有2×2×6=24种排法，故选：B．12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，属于OE∥PF'因为|OE|=a，所以|PF'|=2a又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），双曲线的渐近线为y=±x，即x±y=0，则抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离d==；故答案为：．14．（5分）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为ln2﹣1．【解答】解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣115．（5分）三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），又三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．受此启发，请你写出圆内接四边形的面积公式：（其中a，b，c，d为各边长，p为四边形半周长）．【解答】解：三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），结合三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．利用类比推理得出圆内接四边形的面积公式：（其中a，b，c，d为各边长，s为四边形半周长）故答案为：（其中a，b，c，d为各边长，s为四边形半周长）．16．（5分）若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a7的值是﹣131．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8=（﹣2）7=﹣128．令x=0得a0=1；令x=1得a0+a1+a2+…+a8=﹣2，∴a1+a2+…+a8=﹣2﹣a0﹣a8=﹣2﹣1﹣128=﹣131．故答案为：﹣131．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）18．（12分）是否存在常数a，b使得等式12+22+..+n2=n（2n+1）（an+b）对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解答】解：分别取n=1，2得，解得a=，b=．猜想12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．对一切正整数n都成立．证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=×1×（1+1）×（2+1）=1，即原式成立，假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k（k+1）（2k+1），当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k（k+1）（2k+1）+（k+1）2=（k+1）（k+2）（2k+3），即原式成立，根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立，∴12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点E，连结EF，∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点．在△BSD中，F为SB的中点，∴EF∥SD，又∵EF⊂面CFA，SD⊄面CFA，∴SD∥平面CFA．（2）解：以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．则有，，，，∴，，，，（7分）设平面SAB的一个法向量为由得，令z=1得：x=1，y=﹣1∴同理设平面SCD的一个法向量为由，得，令b=1得：a=﹣1，c=1，∴设面SCD与面SAB所成二面角为θ，则=，∴面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值为．20．（12分）已知圆M：x2+y2+2x=0，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点，点D（3，0），直线DB交曲线C于另一点E，求证：直线AE过定点，并求该定点的坐标．【解答】解：（1）圆M：x2+y2+2x=0的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心为N（1，0），半径r2=3，………（2分）设动圆P的半径为R，∵圆P与圆M外切，与圆N内切，∴|PM|=R+1，|PN|=3﹣R，∴|PM|+|PN|=4，……（4分）∴曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2的椭圆（左顶点除外），其方程为；………（6分）（2）设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1），由题意知直线AE的斜率存在，设直线AE为：y=kx+m，代入，得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，则△=（8km）2﹣4（4k2+3）×（4m2﹣12）＞0，整理得m2＜4k2+3①，……（8分）∴，，∵D、B、E共线，∴k PB=k PD，即，整理得2kx1x2+（m﹣3k）（x1+x2）﹣6m=0，∴，整理得，满足判别式①；∴直线AE的方程是，过定点．………（12分）21．（12分）函数f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，其中m＜0．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知当m≤﹣（其中e是自然对数的底数）时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：当m=﹣1时，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，∴f′（x）=x﹣+m==；①当2m+1=0，即m=﹣时，f′（x）≥0，故f（x）在（，+∞）上是增函数；②当0＜2m+1＜1，即﹣＜m＜0时，故f（x）在（，﹣），（0，+∞）上是增函数；在（﹣，0）上是减函数；③当m＜﹣时，f（x）在（，0），（﹣，+∞）上是增函数；在（0，﹣）上是减函数；（Ⅱ）∵m≤﹣，∴≤﹣，故在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立可化为f（0）＞e+1，即﹣2m＞e+1，故m＜﹣；（Ⅲ）证明：当m=﹣1时，f′（x）=x+﹣1在（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数，且f′（0）=0，f′（1）=；故f′（x）＜，任意x∈（0，1），而由导数的定义可得，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）∵点M的直角坐标是（0，3），直线l倾斜角是1350，…（1分）∴直线l参数方程是，即，…（3分）即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ化简得x2+y2﹣2x﹣2y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0；…（5分）（2）代入x2+y2﹣2x﹣2y=0，得，∵△＞0，∴直线l和曲线C相交于两点A、B，…（7分）设的两个根是t1，t2，t1t2=3，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜5⇔，或，或．解得1＜x＜3，或3≤x＜4，或4≤x＜6．因此此不等式解集是{x|1＜x＜6}．…………（5分）（2）因为|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，当（x﹣4）（x﹣3）≤0，即3≤x≤4时取等号，所以此不等式解集不是空集时，实数a的取值范围是{a|a＞1}．…………（10分）。
2016-2017学年辽宁省六校协作体高二下学期期初数学(文)试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年辽宁省六校协作体高二下学期期初数学（文）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：①“囧函数”的值域为； ②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称； ④“囧函数”有两个零点； ⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则（）A．4 B．3 C． D．3、已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（）A． B． C． D．4、设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则；其中真命题的序号是（）A．②③ B．③④ C．①④ D．①②5、若满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C． D．6、一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．7、若正数满足，则的最小值是（ ）A ．24B ．28C ．30D ．258、成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如 “今有女善织，日益功疾。
初日织五尺，今一月日织九匹三丈。
问日益几何。
”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺9、已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．10、如图，输入时，则输出的（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知向量，满足，且，，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．12、某防疫站对学生进行身体健康调查，与采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（ ）A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线，，所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到V 个点。
2016-2017年辽宁省实验中学分校高二(下)6月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（下）6月月考数学试卷（理科）一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i2．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]3．（5分）直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为（）A．（x+）2+y2＝B．x2+（y+）2＝C．x2+（y﹣）2＝D．（x﹣）2+y2＝4．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为（）A．A62C42B．A62A42C．2A62D．6．（5分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）A．l1和l2必定平行B．l1与l2必定重合C．l1和l2有交点（s，t）D．l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）7．（5分）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣15B．85C．﹣120D．2748．（5分）已知a∈R，则“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为（）A．20B．18C．16D．1110．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种11．（5分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝，其中A的各位数中，a1＝1，a k（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．记ξ＝a1+a2+a3+a4+a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望（）Eξ＝A．B．C．D．12．（5分）给出下列四个命题：①若a＜b，则a2＜b2；②若a≥b＞﹣1，则；③若正整数m和n满足：m＜n，则；④若x＞0，且x≠1，则；．其中真命题的选项是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上. 13．（5分）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，，则曲线C1与C2交点的极坐标为．14．（5分）若（9x﹣）n（n∈N+）的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．16．（5分）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在直角坐标系xoy中，设复数z满足|z﹣1|＝1．（Ⅰ）求复数z所对应的点（x，y）的轨迹方程C；（Ⅱ）以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，把（Ⅰ）中的曲线C化为极坐标方程，并判断其与曲线的位置关系．18．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．（参考公式：其中n＝a+b+c+d）19．（12分）在直角坐标系xoy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求以MN为直径的圆的极坐标方程；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．20．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1+1，设S＝a1+a2++a n+1．（Ⅰ）求S；（Ⅱ）试比较S与A＝2n+n3的大小，并利用数学归纳法予以证明．21．（12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．22．（12分）已知f（x）＝|2x﹣1|+ax﹣5，（a是常数，a∈R）（Ⅰ）已知x＞0，当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集A；（Ⅱ）如果函数y＝f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）条件下，若m，n，t∈（0，+∞），m0为A中的最小元素且．求证：m+2n+3t≥．2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（下）6月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i【解答】解：复数＝＝＝i，则复数的共轭复数是﹣i，故选：C．2．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【解答】解：①当x≤0时；f（x）＝x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）＝﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选：A．3．（5分）直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为（）A．（x+）2+y2＝B．x2+（y+）2＝C．x2+（y﹣）2＝D．（x﹣）2+y2＝【解答】解：∵极坐标方程ρ＝cosθ，∴ρ2＝ρcosθ，∴x2+y2＝x，∴直角坐标方程为（x﹣）2+y2＝．故选：D．4．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为（m+ni）（n﹣mi）＝2mn+（n2﹣m2）i为实数所以n2＝m2故m＝n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以，故选：C．5．（5分）某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为（）A．A62C42B．A62A42C．2A62D．【解答】解：由题意知本题需要分步来解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，故分组方案应为种，第二步将此两组大学生分到六个部门中的两个部门中，不同的安排方式有A62，故不同的安排方案有种故选：D．6．（5分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）A．l1和l2必定平行B．l1与l2必定重合C．l1和l2有交点（s，t）D．l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）【解答】解：∵两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点是（s，t）∵回归直线经过样本的中心点，∴l1和l2都过（s，t）故选：C．7．（5分）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣15B．85C．﹣120D．274【解答】解：含x4的项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣15．故选：A．8．（5分）已知a∈R，则“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数y＝|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜2时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y＝|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充要条件故选：C．9．（5分）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为（）A．20B．18C．16D．11【解答】解：此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有A22A33＝12；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154．四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16．故选：C．10．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【解答】解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33＝6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有24+1＝25种结果，故选：C．11．（5分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝，其中A的各位数中，a1＝1，a k（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．记ξ＝a1+a2+a3+a4+a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望（）Eξ＝A．B．C．D．【解答】解：由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数为都出现1，记其概率为P1；②后4个数位只出现1个1，记其概率为P2；③后4位数位出现2个1，记其概率为P3；④后4个数为上出现3个，记其概率为P4，又由于出现0的概率为，出现1的概率为，所以，，，，又ξ＝a1+a2+a3+a4+a5，由题意可以知ξ＝5，2，3，4，该随机变量ξ的分布列为：所以Eξ＝5×＝．故选：C．12．（5分）给出下列四个命题：①若a＜b，则a2＜b2；②若a≥b＞﹣1，则；③若正整数m和n满足：m＜n，则；④若x＞0，且x≠1，则；．其中真命题的选项是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④【解答】解：利用排除法：取a＝﹣2，b＝0，则a＜b，此时a2＞b2，说法①错误，排除A选项；当x＝e﹣1时，，说法④错误，排除BD选项；故选：C．二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上. 13．（5分）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，，则曲线C1与C2交点的极坐标为．【解答】解：我们通过联立解方程组解得，即两曲线的交点为．故填：．14．（5分）若（9x﹣）n（n∈N+）的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为84．【解答】解：由题意可得：＝36，化为：＝36，解得n＝9．∴的展开式的通项公式可得：T r+1＝（9x）9﹣r＝（﹣1）r318﹣3r，令9﹣＝0，解得r＝6，∴其展开式中的常数项＝（﹣1）630＝84．故答案为：84．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．【解答】解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）＝1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）＝（）3+（）3＝，∴P（A）＝1﹣P（B）＝；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）＝C31（）3+C32（）3＝；故答案为：16．（5分）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段DE的长度是a，b的调和平均数．【解答】解：在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2＝AC•CB，∴，即CD长度为a，b的几何平均数，将OC＝代入OD•CE＝OC•CD可得故，∴ED＝OD﹣OE＝，∴DE的长度为a，b的调和平均数．故选CD；DE三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在直角坐标系xoy中，设复数z满足|z﹣1|＝1．（Ⅰ）求复数z所对应的点（x，y）的轨迹方程C；（Ⅱ）以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，把（Ⅰ）中的曲线C化为极坐标方程，并判断其与曲线的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）依题意复数z满足|z﹣1|＝1．设复数z所对应的点为（x，y），则点的轨迹方程C为：（x﹣1）2+y2＝1．（Ⅱ）首先把（x﹣1）2+y2＝1转化为：x2+y2﹣2x＝0，再转化为极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ＝0，∴ρ＝2cosθ．把．．由于d＝r∴直线与圆相切．18．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．（参考公式：其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3﹣﹣﹣﹣（5分）20～30岁之间的人数是3人﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分），，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）E（ξ）＝＝1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）在直角坐标系xoy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求以MN为直径的圆的极坐标方程；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝1，∴，∴C的直角坐标方程为，∴．圆心坐标为，半径为，∴圆的方程为．化为极坐标方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为（0，），P点的直角坐标为，∴p点的极坐标为，∴直线OP的极坐标方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1+1，设S＝a1+a2++a n+1．（Ⅰ）求S；（Ⅱ）试比较S与A＝2n+n3的大小，并利用数学归纳法予以证明．【解答】解：（Ⅰ）S＝（1+1）+（2+1）+…+（2n+1）．＝（++…+）+（++…+2n）＝2n+（1+2）n，＝2n+3n，（Ⅱ）比较S与A＝2n+n3的大小，只需比较3n与n3的大小，当n＝1时，3n＞n3当n＝2时3n＞n3，当n＝3时，二者相等，当n≥4时，3n＞n3．下面用数学归纳法证明当n≥4时，3n＞n3成立．证明：（1）当n＝4时已经成立；（2）假设n＝k（k≥4）时命题成立，即3k＞k3成立．那么3k+1＞3•3k＞3k3，只需要证明3k3≥（k+1）3，即k≥k+1，即k（﹣1）≥1，当k≥4时显然成立，所以当n＝k+1时命题成立．因而，当n≥4时，3n＞n3．21．（12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则．∴，ξ的分布列是22．（12分）已知f（x）＝|2x﹣1|+ax﹣5，（a是常数，a∈R）（Ⅰ）已知x＞0，当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集A；（Ⅱ）如果函数y＝f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）条件下，若m，n，t∈（0，+∞），m0为A中的最小元素且．求证：m+2n+3t≥．【解答】解：（I），∵x＞0，∴f（x）≥0的解为{x|x≥2}．（II）由f（x）＝0得，|2x﹣1|＝﹣ax+5．令y＝|2x﹣1|，y＝﹣ax+5，作出它们的图象，可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数y＝f（x）有两个不同的零点．（III）证明：由（I）知m0＝2，∴，∴m+2n+3t＝（m+2n+3t）≥×3×＝，当且仅当m＝2n＝3t＝时取等号．∴．。
2016-2017学年辽宁六校协作体高二期初考试数学试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年辽宁六校协作体高二期初考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：138分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、函数的图像与函数（）的图像的交点为,则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82、若函数，对任意的都有,则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ArrayA． B． C． D．14、函数的最小值为（）A． B． C． D．5、已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数是（）A．1 B．2 C．3 D．46、在中，，则（）A．1 B．2 C．3 D．47、若，则（）A． B． C． D．8、设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则D．若，，则9、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度10、已知，则（）A． B． C． D．11、已知，则（）A． B． C． D．12、设集合，则（）A． B．C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，则角的大小为_________14、已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则______.15、已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，则______.16、_______.三、解答题（题型注释）17、设函数的定义域为，并且满足，且，当时，.（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性,并给出证明；（3）如果，求的取值范围．18、已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程;（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.19、如图，在四棱锥中，底面，四边形为长方形，，点、分别是线段、的中点．（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，并证明平面；若不存在，请说明理由．20、的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的面积.21、已知函数.（1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间.22、 （1）计算；（2）计算.参考答案1、D2、D3、A4、C5、B6、A7、C8、A9、C10、B11、A12、D13、或14、415、016、17、（1）；（2）函数为奇函数；（3）；18、（1）；（2）或19、（1）平面；（2）线段上存在一点，使得平面（点为线段的四等分点）20、（1）（2）21、（1）（2）22、（1）（2）【解析】1、试题分析：的图象由奇函数的图象向右平移一个单位得到，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点的个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2，由此画图可得出正确答案，故选D考点：三角函数的周期性及其性质2、试题分析：由可知，函数的对称轴为，又因为在对称轴处取最指，所以,故选D考点：余弦函数图像的考查3、试题分析：由三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面积，故选A考点：由三视图求体积和表面积4、试题分析：由题意可知，对利用诱导公式进行化简，最终化成=，当t=1时，取最小值-5，故选C考点：三角函数诱导公式运用，换元法，二次函数求最值问题5、试题分析：由题意可知，圆M的圆心为（0，2），半径为2，圆N的圆心为（1，1），半径为1，MN=<3,所以圆M与圆N相交，则圆与圆的公切线条数只有两条，判断两圆的位置关系是关键，故选B考点：圆与圆的位置关系的判定以及公切线相关知识6、试题分析：由题意可知，由正弦定理，所以我们需要求的值，因此由余弦定理得，，故b=c或b=-2c（舍），所以=1，故选A考点：正弦定理及余弦定理的综合应用7、试题分析：由题意可知，介绍一个比较简答的方法，有点类似特殊值的方法，我们可以得到，，故选C考点：三角函数二倍角公式，切弦互化8、试题分析：由题意可知，选项A：两直线平行，一直线垂直一个平面，另一直线必垂直这个平面成立，故A正确；而选项B：一直线和一平面内一条直线垂直不足以判定这个直线和这个平面垂直，而是需要一直线与平面内两相交直线都垂直才能判定，故B 错误；选项C：一直线与一个平面平行并不意味着这条直线能和平面内任意一条直线都平行，故C错误；选项D：两直线分别和一个平面平行，这两条直线并没有任何关系，它们可能平行，垂直，相交，都有可能，故D错误；综上：选A考点：直线与平面平行，垂直的判定及性质9、试题分析：由题意可知，由平移的性质可知：左加右减，上加下减（此性质对所有的函数平移均适用），要想将平移成，必须是沿x轴向左平移，平移的长度由2（）可知为个单位，而不是，容易选错的原因是沿x轴平移是x在变化而2x,故选C考点：向量的数量积运算10、试题分析：由题意可知，，因为a,b 不是同底数幂故无法直接比大小，因此需要将他们取相同的对数，再比较大小，即，，故选B考点：指数比较大小，指数函数，对数函数相关性质11、试题分析：由题意可知，,因此=故选A考点：向量的数量积运算12、:试题分析：由题意可知，集合A=,集合B=，则，故选D考点：一元二次不等式的解集，对数函数的定义域，集合交集运算；13、试题分析：若的面积，则结合正弦定理，二倍角公式，即可求出角A的大小，在sinC=cosB时，可得到两个结论：B+C=,或C=B+,千万不要漏掉情况！考点：三角形面积的计算，二倍角公式的运用14、试题分析：先画出草图，比较容易求出,再利用三角函数求出4即可考点：直线与圆的位置关系，弦长的计算15、试题分析：因为以2为周期为函数，故，而由奇函数可知，所以考点：函数的周期性及奇偶性综合应用16、试题分析：考点：三角函数的周期性及特殊角的三角函数值17、试题分析：（1）利用赋值法，求的值，即令，能求出；（2）利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，即令,可得到与的关系；（3）由奇偶性及，对进行转化，可得到，然后再利用定理证明在R上的单调性，即可求出的取值范围试题解析：（1）令，则，所以；（2）因为，所以，由（1）知，所以，又函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以函数为奇函数.（3）任取，不妨设，则，因为当时，所以，即，所以所以函数在定义域R上单调递增.因为所以所以因为所以所以因为函数在定义域R上单调递增所以从而所以的取值范围为考点：1.抽象函数及其应用；2.函数的奇偶性与单调性综合应用；18、试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心的位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径，设C2（6,n）,则圆C2为,从而得到，由此能求出圆C2的标准方程；（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程，由题意可得，OA=,设,则圆心C1到直线的距离：，由此能求出直线的方程；试题解析：（1）因为在直线上，所以可设，因为圆与轴相切，则圆为又圆与圆外切，圆则，解得所以圆的标准方程为（2）因为直线，所以直线的斜率为.设直线的方程为，则圆心到直线的距离则，又，所以，解得或，即直线的方程为：或考点：1.直线方程；2.直线与圆；3.圆的方程；4.圆与圆的位置关系。
辽宁省六校协作体2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题
2017-2018学年度下学期省六校协作体高二期中考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知命题，则命题的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据含有量词的命题的否定的方法求解即可．详解：由含量词的命题的否定可得，命题的否定是“”．故选D．（2）含量词的命题的否定与命题的否定是不同的，解题时要注意二者的区别．2. 已知都是实数，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：根据充分必要条件的定义求解，即判定由“”是否推出“”和由“”是否能推出“”两个结论是否成立，然后可得结论．详解：当“”时，“”不一定成立，如“”成立，而“”不成立．反之，当“”成立时，“”也不一定成立，如“”成立，而“”不成立．故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．点睛：判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．3. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（）A. 演绎推理B. 类比推理C. 合情推理D. 归纳推理【答案】A【解析】试题分析：所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于演绎推理考点：演绎推理4. 已知复数，是的共轭复数，则的虚部等于（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】分析：先将复数通过计算化为代数形式，然后求出后可得其虚部．详解：由题意得，∴，∴的虚部等于．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算、共轭复数的概念和虚部的概念，解题的关键是准确把握有关概念．解题时容易出错的地方是把复数的虚部误认为是．5. 展开式中的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出二项展开式的通项，令x的次数等于零可求得常数项．详解：二项式展开式的通项为．令，可得，即展开式中的常数项是．故选B．点睛：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k，再将k 的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．求常数项时，即这项中不含“变元”，可令通项中“变元”的幂指数为0建立方程，求得k后可得所求．6. 若是自然对数的底数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据微积分的运算性质和微积分基本定理求解即可．详解：．故选A．点睛：定积分的计算是考查定积分的一种常见形式，能否快速、准确地求解原函数是解决问题的关键，然后再根据微积分基本定理求解．7. 已知实数满足，，用反证法证明：中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）A. 假设至多有一个小于0B. 假设中至多有两个大于0C. 假设都大于0D. 假设都是非负数【答案】D【解析】分析：考虑命题“中至少有一个小于0”的反面，即可得出结论．．详解：由于命题“若a，b，c，d中至少有一个小于0”的反面是“a，b，c，d都是非负数”，故用反证法证明时假设应为“a，b，c，d都是非负数”．故选D．点睛：用反证法证题的第一步时作出假设，假设时要分清命题包含的所有情况，除去所要证的命题即为要假设的内容，然后以假设为条件进行推理、得到矛盾即可．8. 函数有极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：求出导函数，根据导函数的判别式大于零可得的范围．详解：∵，∴．∵函数有极值点，∴，解得或．∴实数的取值范围为．故选C．点睛：导函数的零点并不一定就是函数的极值点，只有当导函数在其零点左右的函数值异号时，此零点才是极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．9. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖．对于选项A，若作品获得一等奖，则四人说法都错误，不符合题意．对于选项B，若作品获得一等奖，则甲、丁人说法都错误，乙丙说法正确，符合题意．对于选项C，若作品获得一等奖，乙说法错误，其余三人说法正确，不符合题意．对于选项D，若作品获得一等奖，则乙丙丁人说法都错误，不符合题意．综上可得作品获得一等奖．选B．10. 已知正四棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：连，则，故可得为异面直线与所成角（或其补角），解三角形可得所求的余弦值．详解：连，则在正四棱柱中可得，∴即为异面直线与所成角（或其补角）．设，则在中，，由余弦定理得，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选D．11. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种．故选B．点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”12. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：双曲线的右焦点的坐标为，利用为的中点，为的中点，可得为的中位线，从而可求．再设，由勾股定理得出关于的关系式，最后即可求得离心率．详解：设双曲线的右焦点为，则的坐标为，抛物线为，则为抛物线的焦点．由为的中点，为的中点，则为的中位线，∴，由为圆的切线，则，所以，设，则由抛物线的定义可得，∴，∴．又，在中，由勾股定理得，∴，即，整理得，解得．∴双曲线的离心率为．点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2016-2017学年辽宁省六校协作体高二下学期期初数学(文)试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年辽宁省六校协作体高二下学期期初数学（文）试卷（带解析注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知集合={|−3x<0},B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=（）A. {−1}B. {1,2}C. {0,3}D. {−1,1,2,3}2．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾。
初日织五尺，今一月日织九匹三丈。
问日益几何。
”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A. 47尺 B. 1629尺 C. 815尺 D. 1631尺3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（）A. 1030人 B. 97人 C. 950人 D. 970人4．已知向量a，b满足a⋅(a−2b)=3，且|a|=1，b=(1,1)，则a与b的夹角为（）A. 2π3B. 3π4C. π3D. π45．若正数x,y满足3x +1y=1，则3x+4y的最小值是（）A. 24B. 28C. 30D. 256．如图，输入n=5时，则输出的S=（）A. 34B. 45C. 56D. 677．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（）A. 29πB. 30πC. 29π2D. 216π8．若x,y满足约束条件{x≥0x+3y≥43x+y≤4，则z=2x−y的最大值是（）A. B. 43C. D.9．设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不重合的平面，有以下四个命题：①若m//α,n//β且α//β，则m//n；②若m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α,n//β且α//β，则m⊥n；④若m//α,n⊥β且α⊥β，则m//n；其中真命题的序号是（）A. ②③B. ③④C. ①④D. ①②10．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中，则S5=（）项为54A. 63B. 33C. 31D. 1511．已知直线l:x+m y+3m−3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与y轴交于C,D两点，若|A B|=23，则|C D|=（）A. 4B. 3C. 3D. 4 3(a>0,b>0)的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．12．函数f(x)=b|x|−a下列命题：①“囧函数”的值域为R；②“囧函数”在(0,+∞)上单调递增；③“囧函数”的图象关于y轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线y=k x+m(k≠0)至少有一个交点．正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．已知f (x )={log 2x ,x >0(12)x ,x ≤0则f (8)+f (log 214)=___________. 14．设函数y =f (x )为区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y =f (x )及直线x =0，x =1，y =0所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,⋯,x N 和y 1,y 2⋯y N ，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,⋯,N )，再数出其中满足y i ≤f (x i )(i =1,2,⋯,N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为___________15．若sin (π6−α)=13,则cos (2π3+2α)=_________________. 16．在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1−y )，若存在x i (i =1,2,x 1≠x 2)，1⊗(2k −3−kx i )=1+ 4−x i，则实数k 的取值范围为_______.三、解答题17．在ΔA B C 中，边a ,b ,c 的对角分别为A ,B ,C ；且b =4,A =π3，面积S =2 3．（1）求a 的值；（2）设f (x )=2(cos C sin x −cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．18．如图，已知A F ⊥平面A B C D ，四边形A B E F 为矩形，四边形A B C D 为直角梯形，∠D A B =90°，A B //C D ，A D =A F =C D =2，A B =4．（1）求证：A F //平面B C E ；（2）求证：A C ⊥平面B C E .（3）求三棱锥E −B C F 的体积．19．为检验寒假学生自主学习的效果，年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计，下面是政治成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]．（1）求图中的x值及平均成绩；（2）从分数在[70,80)中选5人记为a1,a2,⋯,a5，从分数在[40,50)中选3人，记为b1,b2,b3,8人组成一个学习小组．现从这5人和3人中各选1人做为组长，求a1被选中且b1未被选中的概率．20．已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，且4S n=a n2+2a n−3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知b n=2n,求数列{a n b n}的前n项和T n.．21．已知圆C的方程为：x2+y2=4．（1）求过点P(2,1)且与圆C相切的直线的方程；（2）直线l过点D(1,2)，且与圆C交于A,B两点，若|A B|=23，求直线l的方程；（3）圆C上有一动点M(x0,y0)，O N=(0,y0)，若向量O Q=O M+O N，求动点Q的轨迹方程．22．已知函数成等差数列，点P是函数y=f(x)图像上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图像（1）解关于x的不等式2f(x)+g(x)≥0；（2）当x∈[0,1)时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立，求m的取值范围．参考答案1．B【解析】因A={x|0<x<3}，故A∩B={1,2}，应选答案B。
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2016-2017学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣i B．﹣2i C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}3．（5分）若点P（cosθ，sinθ）在直线2x+y=0上，则cos2θ+sin2θ=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．4．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l 上，则数列{a n}的前15项和S15=（）A．12 B．32 C．60 D．1205．（5分）设α，β，γ表示平面，l表示直线，则下列命题中，错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γC．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β6．（5分）已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A．72种B．54种C．36种D．24种8．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．329．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14．如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．12 B．24 C．36 D．4811．（5分）实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（，2）D．12．（5分）已知a∈R，b∈R+，e为自然数的底数，则[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2的最小值为（）A．（1﹣ln2）2B．2（1﹣ln2）2C．1+ln2 D．（1﹣ln2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知随机变量X服从正态分布，则X的数学期望E（X）=．14．（5分）若（x+a）6的展开式中x3的系数为160，则x a dx的值为．15．（5分）三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sin2B+cos2A﹣cos2C=sinBsinC，且三角形ABC外接圆面积为4π，则a=．16．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，，设函数（1）求函数f（x）的最小正周期和其图象的对称中心；（2）当时，求函数f（x）的值域．18．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（1）设b n=，证明：数列{b n}是等差数列．（2）求数列{a n}的前n项和．19．（12分）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考数据：20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）与y轴的正半轴相交于点M，点F1，F2为椭圆的焦点，且△MF1F2是边长为2的等边三角形，若直线l：y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A、B．（1）直线MA，MB的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值．若不是．请说明理由．（2）求△ABM的面积的最大值．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣e1﹣x，g（x）=a（x2﹣1）﹣．（1）判断函数y=f（x）零点的个数，并说明理由；（2）记h（x）=g（x）﹣f（x）+，讨论h（x）的单调性；（3）若f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）（2017•全国二模）复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣i B．﹣2i C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由=，得复数的虚部为：﹣1．故选：C．2．（5分）（2017•大连一模）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，={x|x＜0或x＞1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}．故选：D．3．（5分）（2016秋•安徽期末）若点P（cosθ，sinθ）在直线2x+y=0上，则cos2θ+sin2θ=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．【解答】解：若点P（cos θ，sin θ）在直线2x+y=0上，则2cos θ+sin θ=0，即tan故cos 2θ+sin 2θ===﹣1，故选：A．4．（5分）（2014•太原一模）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列{a n}的前15项和S15=（）A．12 B．32 C．60 D．120【解答】解：由题意可得a8=4∵点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上∴a n可写为关于n的一次函数即可设a n=kn+m，则a n﹣a n﹣1=k（为常数）∴{a n}为等差数列由等差数列的性质可知，a1+a15=2a8=8∴=15a8=60故选C5．（5分）（2016秋•池州期末）设α，β，γ表示平面，l表示直线，则下列命题中，错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γC．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β【解答】解：对于A，如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于面α、β的交线，由线面平行的判定，可知A正确；对于B，在l任意取点P，利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA，PB重合即为l，故正确；对于C，如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β，故正确；对于D，如果α⊥β，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β，故选：D．6．（5分）（2017•南充三模）已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：，且，，∴+•=3，∴•=﹣1，设向量与夹角为θ，∴cosθ==﹣，∴sinθ==，故选：D．7．（5分）（2012•河北校级模拟）甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A．72种B．54种C．36种D．24种【解答】解：根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，排好后，丁、戊的两边和中间共有3个空位．再排甲、乙、丙三人，若甲乙相邻，则把甲乙视为一个元素，与丙一起放进三个空位中的两个空位中，有2A32=12种方法；若甲乙不相邻，则甲、乙、丙一起放进三个空位中，有A33=6种方法，根据分步、分类计数原理，不同的排法数目有2×（12+6）=36种，故选：C．8．（5分）（2017春•辽宁期中）某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【解答】解：由三视图得到几何体P﹣ABC，如图：所以体积为；故选A．9．（5分）（2017•包头一模）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由y2=4x，得F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣1），联立y2=4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，∵|AB|=，∴2++2=，∵倾斜角为钝角，∴k=﹣，故选D．10．（5分）（2017春•辽宁期中）我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14．如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．11．（5分）（2017春•辽宁期中）实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（，2）D．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，∴，画出它的可行域，如图所示：△ABC的内部．而表示可行域内的点与点M（2，2）连线的斜率，而直线MA的斜率为0，直线MB的斜率为=，故的取值范围是（0，），故选：A．12．（5分）（2015•防城港模拟）已知a∈R，b∈R+，e为自然数的底数，则[e a ﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2的最小值为（）A．（1﹣ln2）2B．2（1﹣ln2）2C．1+ln2 D．（1﹣ln2）【解答】解：构造函数y=，y=ln2x，则[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2的几何意义为两曲线y=与y=ln2x上两点间的距离的平方，而两函数y=与y=ln2x互为反函数，∴两曲线y=与y=ln2x上两点间的距离的最小值为曲线y=lnx上的点到直线y=x的距离的最小值的2倍．由y=lnx，得：，由，得x=1，∴曲线y=lnx上的点（1，ln2）到直线y=x的距离最小，根据对称性知，曲线y=上的点（ln2，1）到直线y=x的距离最小，则[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2的距离的最小值为[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2=．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2017春•辽宁期中）已知随机变量X服从正态分布，则X 的数学期望E（X）=6．【解答】解：随机变量X服从正态分布，∴μ=6，故E（x）=6．故答案为：6．14．（5分）（2013•吉林三模）若（x+a）6的展开式中x3的系数为160，则x a dx的值为．【解答】解：（x+a）6的展开式的通项为T r=x6﹣r a r，+1令6﹣r=3，则r=3，∴=160，∴a=2，∴x a dx=x2dx==．故答案为：．15．（5分）（2017春•辽宁期中）三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sin2B+cos2A﹣cos2C=sinBsinC，且三角形ABC外接圆面积为4π，则a= 2．【解答】解：∵sin2B+cos2A﹣cos2C=sinBsinC，可得：sin2B+1﹣sin2A﹣1+sin2C=sinBsinC，可得：sin2B﹣sin2A+sin2C=sinBsinC，∴由正弦定理可得：b2+c2﹣a2=，∴cosA==，∴由A为三角形年纪，可得sinA=，∵三角形ABC外接圆面积为4π，设外接圆半径为R，则4π=πR2，可得R=2，∴由正弦定理：，可得：，解得a=2．故答案为：2．16．（5分）（2016•静宁县一模）已知函数f（x）=，若关于x 的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【解答】解：作函数f（x）的图象如图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•辽宁期中）已知向量，，设函数（1）求函数f（x）的最小正周期和其图象的对称中心；（2）当时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）===；∴f（x）的周期T=π；令，k∈Z，则x=，k∈Z；∴图象对称中心为：，k∈Z；（2）；，∴；∴f（x）∈[3，6]；即f（x）的值域为[3，6]．18．（12分）（2016春•大同校级期末）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（1）设b n=，证明：数列{b n}是等差数列．（2）求数列{a n}的前n项和．=2a n+2n，∴，【解答】（1）证明：∵a n+1∴b n﹣b n=1．+1∴数列{b n}是等差数列，首项为=1，公差为1．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）=n，∴，∴，∴数列{a n}的前n项和S n=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，2S n=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，∴﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=（1﹣n）×2n﹣1．∴S n=（n﹣1）×2n+1．19．（12分）（2017•成都四模）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考数据：【解答】解：（Ⅰ）由列联表得K2=≈0.6494＜0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．…（3分）（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为=3人，“非古文迷”有=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人…（6分）（Ⅲ）因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．…（9分）所以随机变量ξ的分布列为于是Eξ=1×+2×+3×=．…（12分）20．（12分）（2017春•辽宁期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC，AC交BD于点G，连结EG．以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz，依题意得．因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且．所以，即PA∥EG，而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，因此PA∥平面EDB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解：（2），又，故，所以PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以平面EFD的一个法向量为．，不妨设平面DEB的法向量为则不妨取x=1则y=﹣1，z=1，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设所求二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ，因为θ∈[0，π]，所以．二面角F﹣DE﹣B的正弦值大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）（2017•四模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）与y轴的正半轴相交于点M，点F1，F2为椭圆的焦点，且△MF1F2是边长为2的等边三角形，若直线l：y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A、B．（1）直线MA，MB的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值．若不是．请说明理由．（2）求△ABM的面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）与y轴的正半轴相交于点M，点F1，F2为椭圆的焦点，且△MF1F2是边长为2的等边三角形，∴a=2，c=1，∴b2=4﹣1=3，∴椭圆E：=1．∴M（0，）．联立，得（4k2+3）x2+16+36=0，△=＞0，解得k＞1.5或k＜﹣1.5，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，k MA•k MB=====．∴直线MA，MB的斜率之积为定值．（2）|AB|==，M（0，）到直线l：y=kx+2的距离d=，∴△ABM的面积S==×△ABM==≤=，当且仅当=，即k2=时，△ABM的面积取最大值．22．（12分）（2017•潍坊一模）设函数f（x）=lnx﹣e1﹣x，g（x）=a（x2﹣1）﹣．（1）判断函数y=f（x）零点的个数，并说明理由；（2）记h（x）=g（x）﹣f（x）+，讨论h（x）的单调性；（3）若f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：x＞0，∴f′（x）=+＞0，故f（x）在（0，+∞）递增；又f（1）=﹣1，f（e）=1﹣e1﹣e=1﹣＞0，故函数y=f（x）在（1，e）内存在零点，∴y=f（x）的零点个数是1；（2）h（x）=a（x2﹣1）﹣﹣lnx+e1﹣x+﹣=ax2﹣a﹣lnx，h′（x）=2ax﹣=（x＞0），当a≤0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）递减，当a＞0时，由h′（x）=0，解得：x=±（舍取负值），∴x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，综上，a≤0时，h（x）在（0，+∞）递减，a＞0时，h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（3）由题意得：lnx﹣＜a（x2﹣1）﹣，问题等价于a（x2﹣1）﹣lnx＞﹣在（1，+∞）恒成立，设k（x）=﹣=，若记k1（x）=e x﹣ex，则（x）=e x﹣e，x＞1时，（x）＞0，k1（x）在（1，+∞）递增，k1（x）＞k1（1）=0，即k（x）＞0，若a≤0，由于x＞1，故a（x2﹣1）﹣lnx＜0，故f（x）＞g（x），即当f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立时，必有a＞0，当a＞0时，设h（x）=a（x2﹣1）﹣lnx，①若＞1，即0＜a＜时，由（2）得x∈（1，），h（x）递减，x∈（，+∞），h（x）递增，故h（）＜h（1）=0，而k（）＞0，即存在x=＞1，使得f（x）＜g（x），故0＜a＜时，f（x）＜g（x）不恒成立；②若≤1，即a≥时，设s（x）=a（x2﹣1）﹣lnx﹣+，s′（x）=2ax﹣+﹣，由于2ax≥x，且k1（x）=e x﹣ex＞0，即＜，故﹣＞﹣，因此s′（x）＞x﹣+﹣＞=＞0，故s（x）在（1，+∞）递增，故s（x）＞s（1）=0，即a≥时，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，综上，a∈[，+∞）时，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立．:sxs123；zlzhan；caoqz；吕静；陈高数；whgcn；涨停；changq；lcb001；zhczcb；刘长柏；w3239003；刘老师；wkl197822；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年6月19日。