辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考 数学(含答案)
辽宁省六校2021届高三第一学期期中联考数学试题【含答案】
辽宁省六校2021届高三第一学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,R a b ∈，则“20a b +="是“2ab=-”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是( )A.10,3⎛⎫⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭3.8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．235x B ．220x C ．470x D ．435x4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*N n ∈的都有11n n a a n +=++，则1299111...a a a +++=（ ）A.9998B.2C.9950D.991005.设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()23log 3f f -+=( )A.9B.11C.13D.156.设函数1()ln1xf x x x+=-,则函数的图像可能为( ) A. B. C. D.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
例：五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，512BC AC-=。
根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.1254- B.358+-C.514+-D.458+-8.若==>1,则48x yz xy ++的取值范围是( )A.[]1,4B.[)1,+∞C.(22,)+∞ D.[)4,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题(解析版)
解：第一空：当 时， ，
则 或 ．
即不等式 的解集为 ；
第二空：将 在平面直角坐标系内作出两函数 与 的图象如图，
由图可知，当 时， 与 有两个交点，
即函数 有两个零点，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题．
【答案】0.4
【解析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合 ，求得 ，则 可求．
【详解】
随机变量 服从正态分布 ， 其对称轴方程为 ，
又 ， ，
则 ．
故答案为：0.4．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
14． 的展开式中 的系数为__________.
本题考查诱导公式，倍角公式在三角运算中的应用，考查了学生计算能力，是中档题．
18．设函数 ，其中 ．
（1）若 ， 且 为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若 ， 且 在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3） ， ，解关于x的不等式 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）答案见解析.
【解析】（1）先由 求得 的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案；
【详解】
因为 ，
所以
．
故选： ．
【点睛】
本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
6．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数图象关于原点对称，排除AC，再根据当 从正数趋近于 时，函数值为负数排除D，进而得答案.
辽宁省2021版高三上学期数学第一次联考试卷(I)卷
辽宁省2021版高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A . {1，﹣3}B . {1，0}C . {1，3}D . {1，5}2. （2分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为(， 0)，直线与其相交于两点，且的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为（）A .B .C .D .3. （2分）如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·七台河期中) 设满足，则目标函数的最小值是（）A . 0B . －1C . －4D . －55. （2分）设，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三上·长葛月考) 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·南昌期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2 ，则（）A . =5，s2＞3B . =5，s2＜3C . ＞5，s2＜3D . ＞5，s2＞38. （2分） (2019高一下·重庆期中) 下列命题正确的是（）A . 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B . 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C . 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D . 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
辽宁省葫芦岛市协作校2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题及答案
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2021-2022学年辽宁省六校协作体高三(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−4<x <2}，B ={x|x 2−x −6<0}，则A ∩B =(( )A. (−4,3)B. (−4,−2)C. (−2,2)D. (2,3)2. 已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z ，使得α=kπ+(−1)k β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知复数z 满足z ⋅i =4−3i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数等于( )A. 3−4iB. 3+4iC. −3−4iD. −3+4i4. 已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(−1,−2)，C(3,1)，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则顶点D 的坐标为( )A. (2,72)B. (2,−12)C. (3,2)D. (1,3)5. 函数y =(x 2−1)e |x|的图象大致是( )A.B.C.D.6. 设P =(1π)−0.3,Q =ln2,R =sin 87π，则( )A. R <Q <PB. P <R <QC. Q <R <PD. R <P <Q7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2=(a −b)2+6，C =π3，则△ABC 的面积为( )A. 3B. 9√32 C. 3√32D. 3√38. 边长为2的正三角形ABC 内一点M(包括边界)满足：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−43,23]B. [−23,23]C. [−43,43]D. [−2,2]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知f(x)=(x 3−1x )8，则( )A. f(x)的展开式中的常数项是56B. f(x)的展开式中的各项系数之和为0C. f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70D. f(x)的展开式中不含x 4的项10. 下列说法正确的是( )A. 当x ∈(0,1)时，x√1−x 2≤12 B. sin 2x +2sin 2x 的最小值为2√2C. x 2x 4+2≤√24D. 若a >1，b >12，则2√(log 2a)⋅(log 22b)1+log 2ab≤111. 在公比为q 等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 1=1，a 5=27a 2，则下列说法正确的是( )A. q =3B. 数列{2S n −3n }是等差数列C. 数列{a n −3n }是等比数列D. 数列{lga n −3n }是等比数列12. 已知函数f(x)={x +1x −4,x >0|x+1x |,x <0，若关于x 的方程f(|x|−2)=k 有6个不同的实数根，则实数k 的值可以是( )A. 0B. 12C. 23D. 1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)的定义域是R ，f(1−x)=f(1+x)，且f(x)在(1,+∞)为单调递增函数，则满足条件的f(x)=______.(写出一个满足条件的函数即可)14. 某种品牌的摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为______． 15. 已知f(x)=2sin(2x +π3)，若∃x 1，x 2，x 3∈[0,3π2]，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，若x 1+x 2+x 3的最大值为M ，最小值为N ，则M +N =______．16. 设函数f(x)=e x (sinx −cosx)，若0≤x ≤2011π，则函数f(x)的各极大值之和为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．(1)求角B的大小；(2)①b=3，②sinC=2sinA，③c=2√3，以上三个条件任选两个，求边a，角C．18.已知向量a⃗=(1,−√3)，b⃗ =(sinx,cosx)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)若f(θ)=0，求2cos2θ2−sinθ−1√2sin(θ+π4)的值；(Ⅱ)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的值域．19.已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)，且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．20. 忽如一夜春风来，翘首以盼的5G 时代，已然在全球“多点开花”，一个万物互联的新时代，即将呈现在我们的面前．为更好的满足消费者对流量的需求，中国电信在某地区推出六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如表：对数据作初步的处理，相关统计量的值如表：其中v i =lnx i ，ωi =lny i ，且绘图发现，散点(v i ,ωi )(l ≤i ≤6)集中在一条直线附近．(1)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(2)按照某项指标测定，当购买人数y 与月资费x 的比在区间(e 9,e7)内，该流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”，现有一家三口从这六款套餐中，购买不同的三款各自使用．记三人中使用“主打套餐”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：对于一组数据(v 1,ω1)，(v 2,ω2)，…，(v 3,ω3)，其回归直线ω=bv +a 的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b ̂=∑v i n i=1ωi −nvω−∑v i 2n i=1−nv−2，a ̂=ω−−b ̂v −．21. 已知等差数列{a n }满足S 6=21，S 7=28，其中s n 是数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项； (2)令b n =(−1)n−14n(1a n −1)(2a n+1)，证明：b 1+b 2+⋯+b n ≤2n+22n+1．22. 已知函数f(x)=1+ln(x+1)x.(x >0)(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论； (2)若当x >0时，f(x)>kx+1恒成立，求正整数k 的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|−4<x<2}，B={x|−2<x<3}，∴A∩B=(−2,2)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键，属于中档题．根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k为偶数和奇数时，是否成立即可．【解答】解：当k=2n，为偶数时，α=2nπ+β，此时sinα=sin(2nπ+β)=sinβ，当k=2n+1，为奇数时，α=2nπ+π−β，此时sinα=sin(π−β)=sinβ，即充分性成立，当sinα=sinβ，则α=2nπ+β，n∈Z或α=2nπ+π−β，n∈Z，即α=kπ+(−1)kβ，即必要性成立，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件，故选：C．3.【答案】D【解析】解：由z⋅i=4−3i，得z=4−3ii =−i(4−3i)−i2=3i2−4i=−3−4i，则z−=−3+4i．故选：D ．由z ⋅i =4−3i ，得z =4−3i i=−i(4−3i)−i 2=3i 2−4i =−3−4i ，从而即可确定z 的共轭复数．本题考查复数的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】 【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果． 【解答】解：设顶点D 的坐标为(x,y) ∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)， 且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{2x =42y −4=3⇒{x =2y =72故选A ．5.【答案】C【解析】解：因为f(−x)=(x 2−1)e |x|=f(x)， 所以f(x)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，故排除B ， 当x →+∞时，y →+∞，故排除A 当−1<x <1时，y <0，故排除D 故选：C ．根据函数的函数奇偶性，值域即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为y=(1π)x在R上为减函数，且−0.3<0，所以(1π)−0.3>(1π)0=1，即P>1，因为y=lnx在(0,+∞)上为增函数，且1<2<e，所以0=ln1<ln2<lne=1，即0<Q<1，因为R=sin8π7=sin(π+π7)=−sinπ7<0，所以R<Q<P．故选：A．利用指数函数、对数函数和正弦函数的性质比较与中间量0，1的大小，从而可得结论．本题考查了利用函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．属于基础题．根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=(a−b)2+6，∴c2=a2−2ab+b2+6，即a2+b2−c2=2ab−6，∵C=π3，∴cosπ3=a2+b2−c22ab=2ab−62ab=12，解得ab=6，则三角形的面积S=12absinC=12×6×√32=3√32．故选C．8.【答案】B【解析】解：∵点M 在边长为2的正三角形△ABC 一点，(包括边界)满足：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， ∴0≤λ≤23，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(λ−1)⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2λ−2+13×4=2λ−23∈[−23,23]， 故选：B ．通过已知M 在三角形内或者边界，得到λ的范围，然后利用向量的数量积的定义解答． 本题考查了向量的三角形法则以及数量积运算，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：∵f(x)=(x 3−1x )8，其二项展开式的通项为T r+1=C 8r⋅x 24−4r ⋅(−1)r ，令24−4r =0，得r =6，常数项为：C 86×(−1)6=28，故A 错误；各项系数和为f(1)=0，故B 正确；二项式系数的最大值为：C 84=70，故C 正确；令24−4r =4⇒r =5，故D 错误． 故选：BC ．写出二项展开式的通项，然后逐一分析得答案．本题主要考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A ：由于x ∈(0,1)，故x√1−x 2≤x 2+1−x 22=12，当且仅当x =√22时，等号成立，故A 正确；对于B ：函数f(x)=sin 2x +2sin 2x ，设sin 2x =t ，t ∈(0,1]，所以f(t)=t +2t ，当t =1时，对勾函数在t =1时取得最小值，即sinx =±1时，f(x)min =1+2=3，故B 错误； 对于C ：x 2x 4+2=12x 2+x 2≤2√2=√24，当x4=2时，等号成立，故C 正确；对于D ：若a >1，b >12，故log 2a >0，log 22b >0，则2√(log 2a)⋅(log 22b)1+log 2ab≤log 2a+log 22b log 2(a⋅2b)=1，故D 正确．故选：ACD ．直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：在公比为q 等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，a 1=1，a 5=27a 2， ∴1×q 4=27×1×q ，解得q =3，故A 正确； S n =1−3n 1−3=3n −12，∴2S n −3n =−1，∴数列{2S n −3n }是等差数列，故B 正确；a n =1×3n−1=3n−1，∴a n −3n =3n−1−3n =−23×3n ， ∴数列{a n −3n }是等比数列，故C 正确；lga n −3n =(n −1)lg3−3n ，∴数列{lga n −3n }不是等比数列，故D 错误． 故选：ABC ．利用等比数列通项公式求出公式判断A ；利用等比数列前n 项和公式和等差数列定义判断B ；利用等比数列通项公式及定义判断CD ．本题考查命题真假的判断，考查等比数列、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)={x +1x −4,x >0|x+1x |,x <0的图象如图所示，由图象可知，方程f(t)=k 的实根个数可能为0，1，2，3，4，当k<−2时，方程f(t)=k无实数根；当k=−2时，方程f(t)=k有唯一实根；当−2<k<0时，方程f(t)=k有2个实根；当k=0或k=1时，方程f(t)=k有3个实根；当0<k<1时，方程f(t)=k有4个实根，因为t=|x|−2最多有2个实根，此时t>−2，则方程f(|x|−2)=k有6个不同的实数根，等价于f(t)=k的实根至少有3个，当k=0时，f(t)=k的三个根均大于−2，符合题意；时，f(t)=k的四个根均大于−2，则f(|x|−2)=k有8个不同的实根，不合当0<k<12题意；时，f(|x|−2)=k有7个不同的实根，不合题意；当k=12时，f(t)=k只有三个均大于−2的不同实根，符合题意．当k>12,+∞)．综上所述，实数k的取值范围为{0}∪(12故选：ACD．作出函数f(x)的图象，由图象可知方程f(t)=k的实根个数可能为0，1，2，3，4，而t=|x|−2最多有2个实根，由此分类讨论，求解即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．13.【答案】|x−1|(答案不唯一)【解析】解：由f(1−x)=f(1+x)，可得f(x)关于x=1对称，又f(x)在(1,+∞)为单调递增函数，可得满足条件的f(x)=|x−1|，f(x)=(x−1)2．故答案为：|x−1|(答案不唯一)．由题意可得f(x)关于x=1对称，再结合f(x)在(1,+∞)为单调递增函数，即可求得结论．本题主要考查函数的对称性及单调性，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，属于基础题．14.【答案】14【解析】解：∵ξ～N(μ,σ2)，P(ξ≥2)=0.8，P(ξ≥6)=0.2，∴P(ξ<2)=0.2，显然P(ξ<2)=P(ξ≥6)…(3分)由正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，即每支这种灯管的平均使用寿命是4年；…(5分)∴在4年内一个摄像头都能正常工作的概率12，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为12×12=14．故答案为：14根据题意ξ～N(μ,σ2)，且P(ξ<2)=P(ξ≥6)，结合正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，从而得出每支这种摄像头的平均使用寿命，即可得到在4年内一个摄像头都能正常工作的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式即得这两个摄像头都能正常工作的概率．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的变化特点，本题是一个基础题．15.【答案】23π6【解析】解：作出函数f(x)在[0,3π2]上的图象，x1，x2，x3为函数f(x)的图象与函数y=m 图象的交点的横坐标，数形结合即可求出M和N的值；作出函数f(x)的图象；如图所示：①当函数f(x)的图象与函数y=√3的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，此时取N，x1+x2=π12×2=π6，f(π)=2sin(3π+π3)=−√3，所以x3=π，所以N=x1+x2+x3=π12×2+π=7π6，②当函数f(x)的图象与函数y=−√3的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，此时取M，x1+x2=7π12×2=7π6，f(3π2)=2sin(3π+π3)=−√3即x3=3π2，所以：M=7π6+3π2=8π3，故M+N=8π3+7π6=23π6．故答案为：23π6．直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的值的应用求出函数的最大值和最小值，最后求出最值的和．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】eπ(1−e2012π)1−e2π【解析】解：∵f(x)=e x(sinx−cosx)，∴令f′(x)=e x(sinx−cosx)+e x(cosx+sinx)=2e x sinx=0；则x=kπ(k∈Z)，故函数f(x)的极大值点为π+2kπ(k∈Z)，故函数f(x)的各极大值为eπ(sinπ−cosπ)，e3π(sin3π−cos3π)，e5π(sin5π−cos5π)，…，e2009π(sin2009π−cos2009π)；即eπ，e3π，e5π，…，e2009π；故其和为eπ+e3π+e5π+⋯+e2009π=eπ(1−e2π⋅1005)1−e2π=eπ(1−e2010π)1−e2π；先求出其导函数，利用导函数得到其单调区间以及其极大值点，进而求出其极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f(x)的各极大值之和即可．本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列求和公式的应用．在求函数的极大值时，须注意极大值两侧导函数值是先正后负，原函数是先增后减．17.【答案】解：(1)由正弦定理，可将bsinA=√3acosB化为sinBsinA=√3sinAcosB，sinA≠0，则sinB=√3cosB，即tanB=√3，所以B=π3．(2)若选①②，由sinC=2sinA可得c=2a，因为b=3，由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，则9=5a2−2a2，解得a=√3，由c2=a2+b2得C=π2．若选①③，由正弦定理可得，sinCc =sinBb，则sinC=1，所以C=π2，则A=π6，因此a=csinA=√3．若选②③，由sinC=2sinA可得c=2a，因为c=2√3，所以a =√3，由c 2=a 2+b 2得C =π2．【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． (2)若选①②，结合正弦，余弦定理，即可求解． 选①③，结合正弦定理，即可求解．选②③，结合正弦定理，以及勾股定理的逆定理，即可求解． 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵a ⃗ =(1，−√3)，b ⃗ =(sinx,cosx)， ∴f(x)=a ⃗ ⋅b −=sinx −√3cosx ， ∵f(θ)=0，即sinθ−√3cosθ=0， ∴tanθ=√3， ∴2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ+π4)=cosθ−sinθsinθ+cosθ=1−tanθtanθ+1=√3√3+1=−2+√3．(Ⅱ)f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， ∵x ∈[0,π]， ∴x −π3∈[−π3,2π3]，当x −π3=−π3即x =0时，f(x)min =−√3， 当x −π3=π2，即x =5π6时，f(x)max =2，∴当x ∈[0,π]时，函数f(x)的值域为[−√3,2]．【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积的坐标运算知，f(x)=a ⃗ ⋅b −=sinx −√3cosx ，f(θ)=0⇒tanθ=√3，再对所求关系式降幂化简为cosθ−sinθsinθ+cosθ，“弦”化“切”即可； (Ⅱ)x ∈[0,π]时，x −π3∈[−π3,2π3]，从而可求得f(x)=2sin(x −π3)的值域． 本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f′(x)=3x 2+2ax ，所以曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)=3+2a ，即3+2a =−3，所以a =−3． 又函数过(1,0)点，即−2+b =0，所以b =2．所以f(x)=x 3−3x 2+2.---------------------------------------------------(2分) (2)由f(x)=x 3−3x 2+2，f′(x)=3x 2−6x ． 由f′(x)=0，得x =0或x =2．①当0<t ≤2时，在区间(0,t)上f′(x)<0，f(x)在[0,t]上是减函数，所以f(x)max =f(0)=2，f(x)min =f(t)=t 3−3t 2+2.---------------------------(4分) ②当2<t <3时，当x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表：--------------------------------------------------------------------(6分) f(x)min =f(2)=−2，f(x)max 为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)−f(0)=t 3−3t 2=t 2(t −3)<0．所以f(x)max =f(0)=2.--------------------------------------------------(8分) (3)令g(x)=f(x)−c =x 3−3x 2+2−c ，g′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)． 在x ∈[1,2)上，g′(x)<0；在x ∈(2,3]上，g′(x)>0． 要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则{g(1)≥0g(2)<0g(3)≥0，解得−2<c ≤0.-------------------------------------------(12分)【解析】(1)利用导数的几何意义求出a ，根据函数过(1,0)点，求出b ，即可求出函数f(x)的解析式；(2)求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求出函数f(x)在区间[0,t](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a 的取值范围．本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．20.【答案】解：(1)∵散点(v i ,ωi )(l ≤i ≤6)集中在一条直线附近).设回归直线方程为ω=bv +a ，由v −=16∑v i 6i =4.1，ω−=16∑ωi 6i=1=3.05， 则b ̂=∑v i ni=1ωi −nvω−∑v i 2n i=1−nv −2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.1×4.1=12， a ̂=ω−−b ̂v −=3.05−12×4.1=1， ∴变量ω交于v 的回归方程为ω=12v +1，∵v i =lnx i ，ωi =lny i ，∴y =12lnx +1，∴y =ex 12， 综上，y 关于x 的回归方程为y =ex 12． (2)由yx=ex 12x=ex 12∈(e 9,e7)，解得49<x <81，∴x =58，68，78，∴C 、D 、E 为“主打套餐”，则三人中使用“主打套餐”的人数X 服从超几何分布，X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 33C 63=120，P(X =1)=C 31C 32C 63=920， P(X =2)=C 32C 31C 63=920，P(X =3)=C 33C 63=120，∴X 的分布列为：E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．【解析】(1)设回归直线方程为ω=bv +a ，由v −=16∑v i 6i =4.1，ω−=16∑ωi 6i=1=3.05，则b ̂=12，a ̂=ω−−b ̂v −=1，变量ω交于v 的回归方程为ω=12v +1，由v i =lnx i ，ωi =lny i ，求出y 关于x 的回归方程． (2)由yx=ex 12x=ex 12∈(e 9,e7)，得C 、D 、E 为“主打套餐”，则三人中使用“主打套餐”的人数X 服从超几何分布，X 的可能取值为0，1，2，3，由此能求出X 的分布列和E(X)． 本题考查回归直线方程的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列、概率的求法，考查超几何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列{a n }为等差数列，依题意有{7a 1+21d =286a 1+15d =21，解得：a 1=1，d =1， 所以a n =1+(n −1)×1， 所以a n =n ，证明：(2)b n =(−1)n−14n(2an −1)(2a n +1)=(−1)n−112n−1−(−1)n12n+1，b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n =(1+13)+(−13−15)+(15+17)+⋅⋅⋅+[(−1)n−112n−1−(−1)n12n+1]=1−(−1)n 12n+1≤1+12n+1=2n+22n+1．【解析】(1)由题意，根据S 6=21，S 7=28，列出方程，求出a n 即可， (2)将a n 代入b n ，再利用裂项相消求数列的和，再证明不等式成立即可．本题考查数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的综合能力，属于难题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=1+ln(x+1)x∴f′(x)=1x 2[xx+1−1−ln(x +1)]=−1x 2[1x+1+ln(x +1)]． 由x >0，x 2>0，1x+1>0，ln(x +1)>0，得f′(x)<0． 因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数．(2)解法一：当x >0时，f(x)>kx+1恒成立，令x =1有k <2[1+ln2]． 又k 为正整数．则k 的最大值不大于3．下面证明当k =3时，f(x)>kx+1(x >0)恒成立． 即证明x >0时(x +1)ln(x +1)+1−2x >0恒成立． 令g(x)=(x +1)ln(x +1)+1−2x ， 则g′(x)=ln(x +1)−1．当x >e −1时，g′(x)>0；当0<x <e −1时，g′(x)<0． ∴当x =e −1时，g(x)取得最小值g(e −1)=3−e >0． ∴当x >0时，(x +1)ln(x +1)+1−2x >0恒成立． 因此正整数k 的最大值为3．解法二：当x >0时，f(x)>k x+1恒成立． 即ℎ(x)=(x+1)[1+ln(x+1)]x>k 对x >0恒成立．即ℎ(x)(x>0)的最小值大于k．由ℎ′(x)=x−1−ln(x+1)，记Φ(x)=x−1−ln(x+1).(x>0)x2>0，则Φ′(x)=xx+1∴Φ(x)在(0,+∞)上连续递增．又Φ(2)=1−ln3<0，Φ(3)=2−2ln2>0，∴Φ(x)=0存在惟一实根a，且满足：a∈(2,3)，a=1+ln(a+1)，由x>a时，Φ(x)>0，ℎ′(x)>0；0<x<a时，Φ(x)<0，ℎ′(x)<0知：ℎ(x)(x>0)的最小值为ℎ(a)=(a+1)[1+ln(a+1)]=a+1∈(3,4)．a因此正整数k的最大值为3．【解析】(1)直接求函数f(x)的导函数，化简导函数分子，判断正负即可；(2)可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；或者构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可．本题考查函数的导数在最大值、最小值中的应用，以及函数的导数法研究函数的单调性，同时转化思想是解决此类恒成立问题的“良方”．。
2021-2022学年辽宁省名校联盟高三上学期联合考试数学试题及答案解析
2021-2022学年辽宁省名校联盟高三上学期联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={−1,0,1,2,4}，集合A={−1,0,2}，B={0,1,2,4}，则∁U(A∩B)=()A. ⌀B. {−1,1}C. {1,4}D. {−1,1,4}2.设复数z在复平面内对应的点为(2,−1)，则2z1−i的虚部为()A. iB. −1C. 1D. 33.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为()A. 6πm3B. 3√3πm3C. 9√3πm3D. 12πm34.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos15∘+sin15∘,cos15∘−sin15∘)，则tanα=()A. √33B. 1C. √3D. 25.在底面为正方形的长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，P，R分别为B1D1，DD1的中点，则直线C1P与AR所成角的正弦值为()A. 12B. √22C. √32D. √1556.已知点A(−5,0)，B(5,0)，动点P(m,n)满足：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为−1625，则4m2+n2的取值范围为()A. [16,100]B. [25,100]C. [16,100)D. (25,100)7.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，可以用公式v=v0⋅ln(1+Mm)计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为总质比，当总质比较大时，1+Mm用Mm近似计算.若将火箭的总质比从500提升到1000，则其最大速度v大约增加了()(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A. 5%B. 11%C. 20%D. 30%8.已知函数f(x)的定义域为R，且y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，f(x+1)为偶函数，f(2x+2)为奇函数，f(0)=0，当x∈(0,2)时，f(x)<0，则当x∈(2,8)时，f(x)>0的解集为()A. (4,5)B. (6,8)C. (5,7)D. (2,4)∪(6,8)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知命题p:∃x∈R，ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为()A. −2B. −1C. 0D. 310.若0<a<b，则下列结论正确的是()A. a4<ab3B. a+1b >b+1aC. a+2b>4√abD. ab<a+2b+211.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<1)的部分图像如图所示，下列结论正确的是()A. φ=−π4B. 将f(x)的图像向右平移1个单位，得到函数y =2sin π4x 的图像 C. f(x)的图像关于直线x =−1对称 D. 若|x 1−x 2|<4，则|f(x 1)−f(x 2)|<412. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：用a n 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{a n }满足：a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n .记∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ，则下列结论正确的是( )A. a 10=55B. 3a n =a n−2+a n+2(n ≥3)C. ∑a i 2019i=1=a 2021D. ∑a i 22021i=1=a 2021⋅a 2022三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(4,−2)，且a ⃗ ⊥(λa ⃗ −b ⃗ )，则实数λ的值为 ． 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)的解析式为f(x)= ． ①f(4−x)=f(x);②当x ∈(2,+∞)时，f ′(x )<0;③f(x)的最大值大于1．15. 已知圆C:x 2+y 2−4x −2y =0恰好被双曲线D:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平分成周长相等的两部分，则D 的离心率为 ．16. 对于函数f(x)与g(x)，若存在x 0，使f(x 0)=−g(x 0)，则称点A(x 0,f(x 0))，B(x 0,g(x 0))是函数f(x)与g(x)图像的一对“靓点”.已知函数f(x)={|lnx|,x >0,x 2+2x +2,x ⩽0,g(x)=kx ，若函数f(x)与g(x)恰有两对“靓点”，则k 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8=a4+8，S5=7a2．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=a n+2a n−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2−cosA)=√3asin B.(1)若a:b:c=1:2:2，则此时ΔABC是否存在⋅若存在，求ΔABC的面积;若不存在，请说明理由;(2)若ΔABC的外接圆半径为4，且b−c=a，求ΔABC的面积．219.已知圆C经过点A(−1,0)和B(5,0)，且圆心在直线x+2y−2=0上．(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点D(−1,1)，且与圆C相切，求直线l的方程;(3)设直线l′:x+√3y−1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求ΔPMN的面积S的最大值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=2√6，点E在PC上．(1)求证：平面BDE⊥平面PAC;(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值．21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,4)在C上，且|MF|=5p．2(1)求点M的坐标及C的方程;(2)设动直线l与C相交于A，B两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l是否恒过定点⋅若过，求出该点坐标;若不过，请说明理由．22.已知函数f(x)=xlnx−mx+m，其中m∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．①若对任意x∈(0,1)，不等式f(x)>−x恒成立，求m的最小整数值．②若存在x∈(1,+∞)，使得不等式f(x)<−lnx成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集与补集的混合运算，属于基础题．根据交集与补集的定义进行求解即可．【解答】解：由题意知A∩B={0,2}，所以∁U(A∩B)={−1,1,4}．故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，是基础题．由已知求得z，代入2z1−i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意得，z=2−i，∴2z1−i =4−2i1−i=(1+i)(4−2i)(1+i)(1−i)=3+i．所以2z1−i的虚部为1．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查锥体的几何性质以及体积求法，空间想象能力等知识，属于基础题．由题意分别求得锥体的底面圆的半径和高度，然后计算其体积即可．【解答】解：由已知可知，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=√3，故其体积V=13πr2ℎ=3√3πm3．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的定义以及两角和差正切公式，属于基础题．利用三角函数的定义以及两角差的正切公式可得tanα=tan(45∘−15∘)，即可求解．【解答】解：由正切函数的定义得tanα=cos15∘−sin15∘cos15∘+sin15∘=1−tan15∘1+tan15∘=tan45∘−tan15∘1+tan15∘tan45∘=tan(45∘−15∘)=√33．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力，属于基础题．由题意连接AC，可得C1P//AC，找出直线C1P与AR所成角，求解三角形得答案．【解答】解：连接AC，因为P为B1D1的中点，所以C1P//AC，所以C1P与AR所成角即为CA与AR所成角，即为∠CAR．连接CR，因为R为DD1的中点，AA1=2AB，设AB=1，所以AC=AR=CR=√2，所以△ACR为正三角形，所以∠CAR=π3，所以sin∠CAR=√32．故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了与椭圆有关的轨迹问题，直线的斜率及圆锥曲线中的范围问题，属于基础题．根据题目条件得到nm+5⋅nm−5=−1625，用m表示n，代入到4m2+n2中，即可得到结果．【解答】解：由题意可知，nm+5⋅nm−5=−1625，整理得m225+n216=1(m≠±5)，则n2=16−16m225⩾0，得到−5<m<5，故4m2+n2=16+84m225，因为−5<m<5，所以0≤m2<25，所以16≤16+84m225<100，即4m2+n2∈[16,100)．故选C项．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，主要考查对数的运算，属于基础题．当Mm =500时，v1≈v0ln500，当Mm=1000时，v2≈v0ln1000，因为v0ln1000v0ln500=lg1000lg500=32+lg5，即可求解．【解答】解：当Mm =500时，v1≈v0ln500，当Mm=1000时，v2≈v0ln1000，因为v0ln1000v0ln500=lg1000lg500=32+lg5=33−lg2≈33−0.3010≈1.11，所以将总质比从500提升到1000，其最大速度v大约增加了11%．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，对称性，周期性的应用，属于基础题．由条件得到f(x)的图象的对称性，再得到周期性，结合函数图象得到函数值的符号即可求解．【解答】解：因为f(x+1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，即f(−x+1)=f(x+1)，即f(x+2)=f(−x)，因为f(2x+2)为奇函数，则f(2−2x)=−f(2x+2)，所以f(2−x)=−f(x+2)，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(x+2)=−f(2−x)=f(−x)，所以f(2−x)=−f(−x)，即f(2+x)=−f(x)所以f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，于是可知，f(0)=f(2)=f(4)=0，又当x∈(0,2)时，f(x)<0，根据f(x)为定义在R上且图象不间断的函数，可作出f(x)的草图如下图所示：所以当x∈(2,8)时，f(x)>0的解集为(2,4)∪(6,8)．故选D．9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查存在量词命题的应用，利用判别式Δ进行求解是解决本题的关键．属于较易题。
辽宁省六校协作体2021届高三数学第一次联考试题 【含答案】
间”．另外，定义a,b的“复区间长度”为 2b a，已知函数 f x x2 1 ．则（
）
A．[0，1]是 f x的一个“完美区间”
1 B．
5 ,1
5
是
f
x 的一个“完美区间”
2
2
C． f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 5
cos
2x
6
1
，
所以 0≤g（x）≤3，故函数的 值域为[0，3]．。。。。。12 分
21.解：（1）记 B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”
，则事件 B，C 互斥，
且由频率分布直方图估计 P(B) 0.2 0.3 0.15 0.65 ， P(C) 0.1 0.09 0.19 ，
19．（本题 12 分）“新高考方案： 3 1 2 ”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外
语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史 2 门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门。某校
3
2
根据统计选物理的学生占整个学生的 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 ；在
12
,
3
，与之相邻的一个对称中心为 6
,
0
，将
f
x 的图象向右平移
6
个单位长度得
到函数 g x的图象，则（ ）
A． g x为偶函数
B．
g
x
的一个单调递增区间为
5 12
,
12
C． g x为奇函数
辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考数学试卷
数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．函数1()lg 2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ． (0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ） A.18种B.24种C.36种D.48种4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B ．2C ．1D ．05．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．16．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．sin ||()2cos x f x x =+ B ．sin ln ||()2cos x x f x x⋅=+C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=+ D ．cos ()xf x x=7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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间”．另外，定义a,b 的“复区间长度”为 2b a ，已知函数 f x x2 1 ．则（ ）
A．[0，1]是 f x 的一个“完美区间”
1
B．
2
5
,1 2
5 是
f
x 的一个“完美区间”
12
,
3
，
与之相邻的一个对称中心为
6
,
0
，将
f
x
的图象向右平移
6
个单位长度得到函数
g
x
的图
象，则（ ）
A． g x 为偶函数
B．
g
x
的一个单调递增区间为
5 12
,
12
C． g x 为奇函数
D．
g
x
在
0,
2
上只有一个零点
11．下列说法正确的是（ ）
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍；
18．（本题 12 分）设函数 f x ax mbx ，其中 a, m, b R ．
（1）若 a 2 ， b 1 且 f x 为 R 上偶函数，求实数 m 的值；
2
（2）若 a 4 ， b 2 且 f x 在 R 上有最小值，求实数 m 的取值范围；
（3） a 0,1 ， b 1，解关于 x 的不等式 f x 0 ．
C． f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 5
D． f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 2 5
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知随机变量 服从正态分布 N 4, 2 ，若 P 2 0.3 ，则 P(2 6) ______．
9．设全集U R ，集合 A {y | y x2 , x R} ，集合 B {x | x2 x 2 0, x R}，则（ ）
A．A∩B=(0,1)
B． A B (2, )
C．A∩ B=(0,+∞)
D． A∪ B=R
10．已知函数
f
x
Acos x
(A
0,
0, 0
)
的图象的一个最高点为
（本题第一个空 2 分，第二个空 3 分）
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
π
5
17．(10 分)已知 sin(α＋ )＝－ ，α∈(0，π)．
2
5
π
3π
sinα－ －cos ＋α
2
2
(1)求
的值；
sinπ－α＋cos3π＋α
3π (2)求 cos(2α－ )的值．
4
A． f (x) sin | x | 2 cos x
B． f (x) sin x ln | x | 2 cos x
C． f (x) cos x ln | x | D． f (x) cos x
2 cos x
x
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30 名学生参加环保知识竞赛，得分（10 分
辽宁省六校协作体 2021 届高三第一次联考
数学试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．“ m {1, 2} ”是“ ln m 1”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
2．函数
f
(x)
lg
C.36 种
D.48 种
4．若 x R ，使得 a x(2 x) 成立，则实数 a 的最大值为（ ）
A． 2 2
B． 2
C．1
D． 0
5．已知
f
(x)
cos x
f
(x
1)
1
(x
0)
，则
f
(4)
f
(
4) 的值为（
(x 0)
3
3
）
A． 1
B． 1 2
C． 0
D．1
6．已知函数 f (x) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能为（ ）
x
1 2x
的零点所在区间为（
A． (0,1)
B． (1, 2)
D．既非充分也非必要条件 ）
C． (2, 3)
D． (3, 4)
3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到 3 所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少
派 1 位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ）
A.18 种
B.24 种
制）的频数分布表如下：
得分
3
4
5
6
7
8
9 10
频数
2
3
10
6
3
2
2
2
设得分的中位数 me ，众数 m0 ，平均数 x ，下列关系正确的是（ ）
A． me m0 x
B． me m0 x
C． me m0 x
D． m0 me x
8．已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x 1) 是偶函数， f (x 1) 是奇函数， f (x) 在[1,1] 上单
14．
x
2 x
7
的展开式中
x
的系数为__________.
15．若 x 2 是函数 f (x) (x2 ax 1)ex1 的极值点，则 f (x) 的极小值为
．
16．已知函数
f
(x)
2x , x
x2
,
x
a, a. ① 的解集为__________；
②若存在实数 b ，使函数 g(x) f (x) b 有两个零点，则实数 a 的取值范围是__________.
调递增，则（ ）
A． f (0) f (2020) f (2019)
B． f (0) f (2019) f (2020)
C． f (2020) f (2019) f (0)
D． f (2020) f (0) f (2019)
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
19．（本题 12 分）“新高考方案： 3 1 2 ”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三
门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史 2 门科目中 选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门。某校根据统计选物理
1
B.若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概率为 ；
4
C.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 ， A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的 9
概率相同，则事件 A 发生的概率为 2 . 3