平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题〔共13小题〕1．点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，且点N 到y轴的距离为5，那么点N的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，将线段AB平移，使其一个端点到C〔3，2〕，那么平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．假设在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，那么滚动过程中，经过点〔75，0〕的是〔填A、B、C、D或E〕．4．如图，弹性小球从点P〔0，3〕出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，那么点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，点A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，那么△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，那么P2008的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依1 / 60次得到点P1，P2，P3…P2012．那么点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，〔每个正方形从第三象限的顶点开场，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…〕的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，假设它们的边长依次是2，4，6…，那么顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其顺序按图中“→〞方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如下图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…：A〔1，3〕，A1〔2，3〕，A2〔4，3〕，A3〔8，3〕；B〔2，0〕，B1〔4，0〕，B2〔8，0〕，B3〔16，0〕．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．13．如图，在平面直角坐标系上有点A〔1，0〕，点A第一次向左跳动至点A1〔﹣1，1〕，第二次向右跳动至点A2〔2，1〕，第三次向左跳动至点A3〔﹣2，2〕，第四次向右跳动点A4〔3，2〕，…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是．二．解答题〔共27小题〕14．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点〔不与点E重合〕，过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．〔1〕如图1，试说明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；请在以下解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB〔过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行〕．∵AB∥CD〔〕，∴MQ∥CD〔如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相2 / 60平行〕∴∠1=∠3，∠2=∠4〔〕∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性质〕即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔〕∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代换〕．〔2〕如图2，假设HP⊥EF，求∠HMF的度数；〔3〕如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．〔1〕求证：∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；〔3〕如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，假设∠ADC=α，请直接写出∠M的度数〔用含α的式子表示〕3 / 6016．直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．〔1〕假设E是AB，CD一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，假设∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F 与∠MEN的数量关系．〔2〕假设E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．，AB∥CD，点E为射线FG上一点．〔1〕如图1，假设∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=°；〔2〕如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，那么∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；〔3〕如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．4 / 6018．小明在学习了“平行线的判定和性质〞知识后，对下面问题进展探究：在平面，直线AB∥CD，E为平面一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．〔1〕当点E分别在如以下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．〔2〕请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．〔3〕运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC 的度数是．〔直接写出结果，不用写计算过程〕19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．〔1〕试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；〔2〕如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；〔3〕如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，假设AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．直线AB∥CD．〔1〕如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；5 / 60〔2〕如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；〔3〕如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，那么=．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．〔1〕求证：∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕假设点C在线段AD上〔不与A、D、G重合〕，连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜测并证明∠CBG与∠AHB 的数量关系；〔3〕假设直线AD的位置如图3所示，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请证明；假设不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，6 / 60第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．〔1〕如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；〔2〕如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；〔3〕猜测：假设∠En=α度，那∠BEC等于多少度？〔直接写出结论〕．23．“一带一路〞让中国和世界更严密，“中欧铁路〞为了平安起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM 开场顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开场顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停穿插照射巡视．假设灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．〔1〕填空：∠BAN=°；〔2〕假设灯B射线先转动30秒，灯A射线才开场转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？〔3〕如图2，假设两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．假设射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，那么在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？假设不变，请求出其数量关系；假设改变，请说明理由．24．，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．7 / 60〔1〕如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．〔2〕如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．〔3〕如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．25．直线AB∥CD．〔1〕如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．〔2〕如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．〔3〕如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．AM∥CN，点B为平面一点，AB⊥BC于B．〔1〕如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；〔2〕如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；〔3〕如图3，在〔2〕问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，假设∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，8 / 60求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE 分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．〔1〕求证：EM∥NG；〔2〕连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP 交AB于点P，求∠PEG的度数．28．，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．〔1〕如图1，假设∠OCD=120°，求∠BOE的度数；〔2〕把“∠AOB=90°〞改为“∠AOB=120°〞，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，〔如图2所示〕，探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；〔3〕在〔2〕的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP 交于点P，假设∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′〔请直接写出答案〕．9 / 6029．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．〔1〕填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为〔2〕如图2，假设∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．〔3〕在〔2〕中，假设∠B=α，其它条件不变，那么∠FDG=．30．：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试答复以下问题：〔1〕如图①所示，求证：OB∥AC．〔注意证明过程要写依据〕〔2〕如图②，假设点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．〔ⅰ〕求∠EOC的度数；〔ⅱ〕求∠OCB：∠OFB的比值；〔ⅲ〕如图③，假设∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．〔在横线上填10 / 60上答案即可〕31．数学思考：〔1〕如图1，AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：〔2〕①如图2，AA1∥BA3，请你猜测∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜测；②如图3，AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：〔3〕①如图4，假设AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α C.180°﹣α﹣γ+βD.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，那么∠GHM的大小是．32．，直线AB∥CD〔1〕如图1，点E在直线BD的左侧，猜测∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；〔2〕如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜测∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；〔3〕如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；11 / 60那么第〔2〕题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜测是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜测，并证明．33．阅读以下材料并填空：〔1〕探究：平面上有n个点〔n≥2〕且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面有5个点时，一共可以画条直线，…平面有n个点时，一共可以画条直线．〔2〕迁移：某足球比赛中有n个球队〔n≥2〕进展单循环比赛〔每两队之间必须比赛一场〕，一共要进展多少场比赛？有2个球队时，要进展场比赛，有3个球队时，要进展场比赛，有4个球队时，要进展场比赛，…那么有20个球队时，要进展场比赛．34．假设∠C=α，∠EAC+∠FBC=β12 / 60〔1〕如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，假设AM∥BN，那么α与β有何关系？并说明理由．〔2〕如图②，假设∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．〔用α、β表示〕〔3〕如图③，假设α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，那么∠P5=．〔用α、β表示〕35．，AB∥CD，点E为射线FG上一点．〔1〕如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；〔2〕如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；〔3〕如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．36．AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．〔1〕探究发现：〔填空〕填空：如图1，过P作PQ∥AB，13 / 60∴∠A+∠1=°〔〕∵AB∥CD〔〕∴PQ∥CD〔〕∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC=°；〔2〕解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF 分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P 与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，假设∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，那么∠M的度数为〔直接写出结果〕．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．〔1〕判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；〔2〕如图2，假设∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD 与∠AED之间的数量关系；〔3〕将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，假设∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a 上，被a反射后的光线为n，那么入射光线m、反射光线n与平面镜a14 / 60所夹的锐角∠1=∠2．〔1〕如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．假设被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，那么∠2=°，∠3=°．〔2〕在〔1〕中m∥n，假设∠1=55°，那么∠3=°；假设∠1=40°，那么∠3=°．〔3〕由〔1〕、〔2〕，请你猜测：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？〔4〕如图3，两面镜子的夹角为α°〔0＜α＜90〕时，进入光线与离开光线的夹角为β°〔0＜β＜90〕．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．〔1〕如图1，假设∠1=60°，那么∠2=度；〔2〕如图2，假设∠1=∠B﹣20°．那么∠2=度；〔3〕如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，假设是求值，不是说明理由．40．AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面一点．〔1〕如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．〔2〕如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．1.〔﹣5，2〕或〔5，2〕;2. 〔1，3〕或〔5，1〕3. B;4.〔8，3〕，〔5，0〕;5.〔8052，0〕6.〔2007，1〕7. 45．8.〔4023，〕．9.〔5，﹣5〕．15 / 6010.〔﹣5，13〕．11.〔14，10〕;12.〔32，3〕，〔64，0〕;13.〔﹣1009，1009〕七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题〔共13小题〕1．点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，且点N 到y轴的距离为5，那么点N的坐标为〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【分析】根据点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为〔﹣5，2〕或〔5，2〕．故答案为：〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【点评】此题考察坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，将线段AB平移，使其一个端点到C〔3，2〕，那么平移后另一端点的坐标为〔1，3〕或〔5，1〕．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C〔3，2〕，A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为〔1，3〕，②如图2，当B平移到点C时，16 / 60∵C〔3，2〕，A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为〔5，1〕，故答案为：〔1，3〕或〔5，1〕．【点评】此题考察坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移一样，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．假设在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，那么滚动过程中，经过点〔75，0〕的是 B 〔填A、B、C、D 或E〕．【分析】根据点〔75，0〕的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过〔5，0〕的点经过〔75，0〕，找到经过〔5，0〕的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．∴按题中滚动方法点E经过点〔3，0〕，点A经过点〔4，0〕，点B经过点〔5，0〕，∵点〔75，0〕的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过〔5，0〕的点经过〔75，0〕，∴点B经过点〔75，0〕．故答案为：B．【点评】此题考察了正多边形和圆与坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点〔75，0〕的点就是经过〔5，0〕的点．4．如图，弹性小球从点P〔0，3〕出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，那么点P3的坐标是〔8，3〕；点P2014的坐标是〔5，0〕．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点〔0，3〕，17 / 60当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：〔8，3〕；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为〔5，0〕．故答案为：〔8，3〕，〔5，0〕．【点评】此题主要考察了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，点A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，那么△2013的直角顶点的坐标为〔8052，0〕．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置一样可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为〔8052，0〕．故答案为：〔8052，0〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考察了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，那么P2008的坐标为〔2007，1〕．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．18 / 60【解答】解：根据规律P 1〔1，1〕，P2〔2，0〕=P3，P4〔3，1〕，P 5〔5，1〕，P6〔6，0〕=P7，P8〔7，1〕…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是〔2007，1〕故答案为：〔2007，1〕【点评】此题主要考察了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，表达了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考察本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45 ．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0完毕，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点完毕，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是〔45，0〕，第2012个点是〔45，13〕，所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】此题考察了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．19 / 608．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．那么点P2012的坐标是〔4023，〕．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为〔1，〕；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位〔即等边三角形的边长〕，可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1〔1，〕；而P1P2=P2P3=2，∴P2〔3，〕，P3〔5，〕；依此类推，Pn 〔1+2n﹣2，〕，即Pn〔2n﹣1，〕；当n=2012时，P2012〔4023，〕．故答案为：〔4023，〕．【点评】考察了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，〔每个正方形从第三象限的顶点开场，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…〕的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，假设它们的边长依次是2，4，6…，那么顶点A20的坐标为〔5，﹣5〕．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为〔1，﹣1〕，同理可得：A8的坐标为〔2，﹣2〕，A12的坐标为〔3，﹣3〕，∴A20的坐标为〔5，﹣5〕，故答案为：〔5，﹣5〕．【点评】此题考察坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其顺序按图中“→〞方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为〔﹣5，13〕．20 / 60【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以与在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：〔0，1〕，共1个，〔0，2〕，〔1，2〕，共2个，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，〔13﹣1〕÷2=6，∴第91个点的坐标为〔﹣6，13〕，第90个点的坐标为〔﹣5，13〕．故答案为：〔﹣5，13〕．【点评】此题考察了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如下图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为〔14，10〕．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点〔1，0〕作为第一列，〔2，1〕和〔2，0〕作为第二列，依此类推，那么第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n个数．那么n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，那么第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是〔14，10〕．故答案填：〔14，10〕．【点评】此题考察了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．21 / 6022 / 6012．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…：A 〔1，3〕，A 1〔2，3〕，A 2〔4，3〕，A 3〔8，3〕；B 〔2，0〕，B 1〔4，0〕，B 2〔8，0〕，B 3〔16，0〕．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 〔32，3〕 ，B 5的坐标是 〔64，0〕 ．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A 、A 1、A 2…A n 都在平行于X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A 5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n =2n ．因而点A 5的横坐标是25=32； B 、B 1、B 2…B n 都在x 轴上，B 5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n =2n+1，因而点B 5的横坐标是B 5=25+1=64． ∴点A 5的坐标是〔32，3〕，点B 5的坐标是〔64，0〕．故答案分别是：〔32，3〕，〔64，0〕．【点评】考察X 轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A 〔1，0〕，点A 第一次向左跳动至点A 1〔﹣1，1〕，第二次向右跳动至点A 2〔2，1〕，第三次向左跳动至点A 3〔﹣2，2〕，第四次向右跳动点A 4〔3，2〕，…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 〔﹣1009，1009〕． ．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标一样，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是〔2，1〕， 第4次跳动至点的坐标是〔3，2〕， 第6次跳动至点的坐标是〔4，3〕， 第8次跳动至点的坐标是〔5，4〕， …第2n 次跳动至点的坐标是〔n+1，n 〕，那么第2018次跳动至点的坐标是〔1010，1009〕， 第2017次跳动至点A 2017的坐标是〔﹣1009，1009〕． 故答案为：〔﹣1009，1009〕．【点评】此题考察了坐标与图形的性质，以与图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题〔共27小题〕14．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点〔不与点E重合〕，过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．〔1〕如图1，试说明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；请在以下解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB〔过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行〕．∵AB∥CD〔〕，∴MQ∥CD〔如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行〕∴∠1=∠3，∠2=∠4〔两直线平行，错角相等〕∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性质〕即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔角平分线定义〕∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代换〕．〔2〕如图2，假设HP⊥EF，求∠HMF的度数；〔3〕如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】〔1〕根据两直线平行，错角相等，以与角平分线定义进展判断即可；〔2〕先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据〔1〕中结论即可得到∠HMF的度数；〔3〕先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：〔1〕由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，错角相等；角平分线定义．〔2〕如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，23 / 60∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°〔三角形的角和等于180°〕又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由〔1〕得：∠HMF=〔∠EHP+∠DFP〕=×90°=45°．〔3〕如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°〔三角形的角和等于180°〕．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=〔∠HFE+∠EFD〕=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2〔90°﹣∠FNQ〕=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】此题主要考察了平行线的性质与判定，角平分线的定义以与平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，错角相等；两直线平行，同旁角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．〔1〕求证：∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；〔3〕如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，假设∠ADC=α，请直接写出∠M的度数〔用含α的式子表示〕24 / 60。
2024年初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提升难题压轴题练习(含答案解析)知识点:1、对应关系:平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
2、平面内两条相互垂直、原点重叠组成的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上 为正方向;两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点Ｐ，过Ｐ分别向x轴,y轴作垂线，垂足分别在x轴,y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
象限:两条坐标轴把平面提成四个部分，右上部分叫第一象限,按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内３、三大规律（1）平移规律:点的平移规律 左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点（2）对称规律有关ｘ轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数； 有关ｙ轴对称→横坐标互为相反数，纵坐标不变;有关原点对称→横纵坐标都互为相反数。
第三象限第四象限 (—，—) （+，—) 特性坐标:x轴上→纵坐标为0;y轴上→横坐标为0;第一、三象限夹角平分线上→横纵坐标相等;常考题：一．选择题（共15小题)１．点Ｐ在第二象限内,Ｐ到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P的坐标为（ )A．（﹣4,３)B．(﹣３，﹣４)ﻩＣ.(﹣3，4） D.(3,﹣４)２.如图,小手盖住的点的坐标也许为（ )A.（５，2）ﻩＢ.（﹣6,3)ﻩＣ．（﹣４，﹣6) D.(3，﹣4)3．如图，已知棋子“车”的坐标为(﹣2，3）,棋子“马”的坐标为(１,3)，则棋子“炮”的坐标为（ ）A．(3,2）ﻩB.（3，1)C.(2,2）ﻩＤ．（﹣2，２）4．在平面直角坐标系中,点（﹣１，m２+１）一定在( ）A.第一象限ﻩB.第二象限ﻩC.第三象限ﻩD．第四象限5.线段CD是由线段AＢ平移得到的.点A（﹣1，4)的对应点为C(4,７),则点B（﹣4，﹣１)的对应点D的坐标为（）A.(2,９）Ｂ．（5,3）ﻩC．(1,2)Ｄ.（﹣9,﹣4)6.如图,A，B的坐标为(2,0)，(0,1),若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（ ）A．2B．３ﻩＣ.4Ｄ．５7.点P(﹣2，﹣3）向左平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得到的点的坐标为( )A.（﹣3，0)ﻩB．（﹣１,6）ﻩC.(﹣3，﹣6)ﻩＤ.(﹣1,0）8.假如点P（m＋3,ｍ＋１)在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（ )Ａ.(0,2)B．(２,0）C．（4,0)ﻩD．(０,﹣4）9.课间操时，小华、小军、小刚的位置如图１，小华对小刚说，假如我的位置用(0,0)表示,小军的位置用(2，１)表示,那么你的位置能够表示成（ ）A.（5，4）ﻩＢ.（4，5)ﻩC.（３,４)ﻩD.（4,3)10.在平面直角坐标系中,将点Ａ(ｘ,y）向左平移５个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2)重叠，则点Ａ的坐标是（ )Ａ.（2，５）ﻩＢ.（﹣８，5)ﻩC.(﹣８,﹣1)ﻩD.(2，﹣1）11.在平面直角坐标系中，若点Ｐ(m﹣3,m+1)在第二象限，则m的取值范围为( ）A．﹣1＜m<３B．m＞3ﻩC.m＜﹣１ﻩＤ．m>﹣112.若点Ａ（a+１,b﹣2）在第二象限,则点Ｂ(﹣a,ｂ+1)在( ）A.第一象限Ｂ.第二象限ﻩC．第三象限ﻩＤ.第四象限1３.在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第２步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走１个单位…依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时，则向右走1个单位；当n被３除，余数为2时，则向右走２个单位，当走完第1０0步时,棋子所处位置的坐标是（）A.（66，34)ﻩＢ．(６7，３3)ﻩC.(１０0，33）ﻩD．(9９，３４）14.小明的家,学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上,学校在家南边20米,书店在家北边100米,小明从家出来向北走了５0米，又向北走了﹣７0米，此时,小明的位置在（ )A．家B．学校ﻩC．书店ﻩD.不在上述地方15．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录.依照图中两人的对话纪录，若下列有一个走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为何？（ )Ａ．向北直走700公尺，再向西直走1００公尺B.向北直走100公尺,再向东直走700公尺C．向北直走300公尺,再向西直走40０公尺D．向北直走400公尺,再向东直走300公尺二.填空题（共10小题）16.在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n）,要求如下两种变换:（１）f（m,ｎ）＝（ｍ,﹣ｎ),如f（2，1)=(2,﹣1）；(2)g（m，ｎ）=(﹣m，﹣n),如ｇ(2，1）=（﹣2，﹣1）按照以上变换有：f[g（3，4)]=f(﹣3,﹣4）=(﹣3，4)，那么g[f(﹣3,2）]= ．17．已知点Ｍ(３,﹣2），将它先向左平移４个单位，再向上平移3个单位后得到点Ｎ,则点N的坐标是 ．1８．如图,把“ＱＱ”笑脸放在直角坐标系中,已知左眼A的坐标是（﹣2，3),嘴唇C点的坐标为(﹣1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移３个单位后,右眼B的坐标是 .19.若第二象限内的点P（x，y）满足｜ｘ|＝3,y2=25,则点P的坐标是 . 20．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋②的坐标为（﹣7，﹣４），白棋④的坐标为(﹣6，﹣8),那么黑棋①的坐标应当是 .2１．如图,将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别变为本来的,那么点A的对应点A′的坐标是 .２2．如图,这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系,要求一个单位长度表示１km,甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A 处的位置．则椒江区B处的坐标是．23．如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发，按向上，向右，向下,向右的方向不停地移动，每次移动一个单位，得到点Ａ1(0，1)，A2(1,1)，A３（１，０)，A4（2,０）,…那么点A４n+１(n为自然数）的坐标为 (用n表示）．２4．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动,即(0,0)→（0，1)→（１，1)→(１，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第３5秒时质点所在位置的坐标是.2５．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中“→”方向排列,如（1，0)，（2，0）,(２,1),(3,2),(3，1),(3,0）（4,0)依照这个规律探索可得,第100个点的坐标为 ．三．解答题（共15小题)26.如图，直角坐标系中,△ABＣ的顶点都在网格点上,其中,C点坐标为(1，２）．（1)写出点A、B的坐标:Ａ（ , )、B( , ）（2)将△ABC先向左平移２个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A′B′C′,则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′( ， )、B′（ , )、Ｃ′（, )．(3)△ＡBC的面积为 .27．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩,回到家后,她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示.可是她忘掉了在图中标出原点和x轴、y轴.只懂得游乐园D 的坐标为（2,﹣2),你能帮她求出其他各景点的坐标吗?28.如图，一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为１）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、Ｄ处的其他甲虫,要求：向上向右走为正,向下向左走为负．假如从A到B记为:A→B（＋1,+3),从B到Ａ记为：A→B(﹣1,﹣３)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向,那么图中（1)A→C（ ，）,Ｂ→D（ , ）,Ｃ→ （+１， ）；(2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→Ｄ,请计算该甲虫走过的旅程；（3）若这只甲虫从Ａ处去甲虫Ｐ处的行走路线依次为（+2，+2),（+1，﹣1),(﹣2,+3），(﹣１,﹣2)，请在图中标出Ｐ的位置．29.如图所示的直角坐标系中,四边形ＡBCD各顶点的坐标分别为A（0,０)、B（9，0）、C(7,5)、Ｄ（2，7）.求四边形ＡBCD的面积．３0.小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排．和平广场位于爷爷家东４00米,老年大学位于爷爷家西6０0米．从爷爷家到和平路小学需先向南走300米，再向西走40０米. 上午6:０0﹣7：00与奶奶一起到和平广场锻炼与奶奶一起上老年大学 上午９：00﹣１1：00下午4：30﹣５:３0到和平路小学讲校史（１）请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置;（２）求爷爷家到和平路小学的直线距离．3１．已知点A(﹣1,﹣2），点B（1，4）（1)试建立对应的平面直角坐标系;(2）描出线段AB的中点C，并写出其坐标;（3)将线段AB沿水平方向向右平移3个单位长度得到线段A１B1，写出线段A1B1两个端点及线段中点C１的坐标．３2．在平面直角坐标系中，点M的坐标为(a，﹣２a）.（1)当a=﹣1时,点M在坐标系的第 象限;(直接填写答案)（2）将点Ｍ向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点Ｎ，当点N在第三象限时，求a的取值范围.３3．已知：A(0,1)，Ｂ（2,0），C（4，3）（１)求△ABＣ的面积；（2）设点Ｐ在坐标轴上,且△ＡBP与△ABＣ的面积相等，求点P的坐标.３4．如图,在下面直角坐标系中,已知A（０，a),B（b，0），C(b，ｃ）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2｜+(b﹣3)2=0，(c﹣4)2≤0(1）求a、ｂ、c的值；(2)假如在第二象限内有一点P（m，),请用含m的式子表示四边形AＢＯP的面积；(3)在(２)的条件下，是否存在点P，使四边形ABOＰ的面积与△ABＣ的面积相等？若存在,求出点P的坐标，若不存在，请阐明理由.35．如图，已知A（﹣2，3)、Ｂ(４，3）、C（﹣１,﹣3)(1)求点C到ｘ轴的距离；（2）求△ＡBC的面积;(3)点P在y轴上，当△AＢP的面积为6时，请直接写出点P的坐标.36．有趣玩一玩:中国象棋中的马颇有骑士风度，自古有“马踏八方”之说，如图,按中国象棋中“马”的行棋规则，图中的马下一步有A、B、Ｃ、D、E、Ｆ、G、H八种不一样选择,它的走法就象一步从“日”字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点,不能多也不能少．要将图中的马走到指定的位置P处，即从(四,6）走到(六,4）,现提供一个走法:（四,6）→（六,5）→（四，4）→（五,2）→(六，4）(1)下面是提供的另一走法,请你填上其中所缺的一步:（四,6）→（五，8）→（七,7）→ →（六,4)（2）请你再给出另一个走法（只要与前面的两种走法不完全相同即可,步数不限），你的走法是： ．你还能再写出一个走法吗.37.如图,在直角坐标系中，四边形ＡBCD各个顶点的坐标分别是Ａ（﹣2,﹣3）、B(5，﹣2)、C(2，4)、D（﹣2，2)，求这个四边形的面积．38．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1,0),（3，0），现同时将点A，B分别向上平移２个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C，D,连接AＣ,BD．(１)求点Ｃ，D的坐标及四边形AＢＤＣ的面积Ｓ四边形ABDＣ；（2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PＢ,使S△ＰAＢ=Ｓ四边形ABＤＣ?若存在这么一点,求出点Ｐ的坐标；若不存在，试阐明理由.39.如图,长方形OAＢＣ中，O为平面直角坐标系的原点,A点的坐标为（４,0），C点的坐标为（0,6)，点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣Ａ﹣B﹣Ｃ﹣O的路线移动(即：沿着长方形移动一周）.(1）写出点B的坐标( ).（2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置,并求出点Ｐ的坐标.(3)在移动过程中，当点Ｐ到x轴距离为5个单位长度时,求点P移动的时间．４0．先阅读下列一段文字,在回答背面的问题.已知在平面内两点P１（x1,y1）、Ｐ2(x2，y2)，其两点间的距离公式,同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为|ｘ2﹣x1｜或|ｙ２﹣ｙ１｜.(1）已知A（2，4)、Ｂ(﹣3,﹣8）,试求Ａ、Ｂ两点间的距离;（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1,试求A、B两点间的距离.（3)已知一个三角形各顶点坐标为Ａ（0,6）、B（﹣３,2)、Ｃ(3,2)，你能判定此三角形的形状吗？阐明理由.初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提升难题压轴题练习(含答案解析）参考答案与试题解析一.选择题（共1５小题)1.（•舟山)点P在第二象限内，Ｐ到x轴的距离是４，到y轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ）A.(﹣4，3)ﻩＢ．（﹣3,﹣4)ﻩC.（﹣3,4)ﻩD.（3，﹣4）【分析】先依照P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再依照点到坐标轴距离的意义即可求出点Ｐ的坐标．【解答】解:∵点P在第二象限内，∴点的横坐标＜0,纵坐标>0，又∵P到x轴的距离是4,即纵坐标是4,到y轴的距离是3,横坐标是﹣3，∴点P的坐标为(﹣３,4).故选：C.【点评】解答此题的核心是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号,及点的坐标的几何意义.2.(•长春）如图,小手盖住的点的坐标也许为( )A.（５,2）Ｂ．(﹣6,3) C.（﹣4，﹣6)D．（3，﹣4)【分析】依照题意,小手盖住的点在第四象限,结合第四象限点的坐标特点,分析选项可得答案．【解答】解：依照图示,小手盖住的点在第四象限,第四象限的点坐标特点是：横正纵负；分析选项可得只有Ｄ符合.故选D．【点评】处理本题处理的核心是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座,四个象限的符号特点分别是:第一象限(＋，＋)；第二象限（﹣，＋)；第三象限（﹣,﹣）;第四象限（＋，﹣)．3.(•盐城）如图,已知棋子“车”的坐标为(﹣2,3)，棋子“马”的坐标为(1，3)，则棋子“炮”的坐标为（ )Ａ．(3，2)ﻩB.(3,1）ﻩC．（2,２）ﻩＤ．（﹣2，2)【分析】依照已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系,然后确定其他点的坐标．【解答】解：由棋子“车”的坐标为（﹣2,3）、棋子“马”的坐标为(1,３）可知,平面直角坐标系的原点为底边正中间的点,以底边为x轴,向右为正方向,以左右正中间的线为ｙ轴,向上为正方向;依照得出的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（３,２）.故选：A．【点评】此题考查了点的坐标处理实际问题的能力和阅读了解能力，处理此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标.4．（•江西)在平面直角坐标系中,点(﹣1,m2+１)一定在( )A.第一象限ﻩB.第二象限ﻩC.第三象限Ｄ．第四象限【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：因为点(﹣１，ｍ2＋１)，横坐标＜０,纵坐标ｍ2+1一定不小于0，因此满足点在第二象限的条件．故选B．【点评】处理本题的核心是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限(＋，+)；第二象限(﹣，+);第三象限（﹣,﹣);第四象限(+，﹣）．５．(春•潮阳区期末）线段ＣD是由线段AB平移得到的.点A(﹣1，4）的对应点为C （4,7）,则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为( )A．(2，9)ﻩB．（５,3）C．（1,2）ﻩＤ．(﹣9,﹣４)【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解:平移中，对应点的对应坐标的差相等,设D的坐标为（x，y);依照题意：有4﹣(﹣１)=x﹣（﹣４);7﹣4=y﹣(﹣1)，解可得:x=1，ｙ=2;故D的坐标为（1，2）．故选：C.【点评】本题考查点坐标的平移变换，核心是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等.6.（•菏泽)如图,A，Ｂ的坐标为(2,0），（0,１），若将线段ＡB平移至A1B1,则ａ+ｂ的值为( )Ａ.2B．3ﻩC．４D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.【解答】解:由B点平移前后的纵坐标分别为１、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3,可得A点向右平移了１个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移１个单位，再向右平移1个单位，因此点A、B均按此规律平移，由此可得a=０+1=1，b=0+1＝１，故ａ+b=2．故选:A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律,在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减．7.(•安顺）点P(﹣２，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）A．(﹣3，0)B．(﹣1，６）C．（﹣3,﹣6）ﻩＤ.(﹣1，0)【分析】依照平移时，坐标的变化规律“上加下减,左减右加”进行计算.【解答】解：依照题意,得点P（﹣2，﹣３)向左平移1个单位，再向上平移３个单位,所得点的横坐标是﹣２﹣1=﹣３,纵坐标是﹣3+3＝0，即新点的坐标为（﹣３，０)．故选A．【点评】此题考查了平移时,点的坐标变化规律:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减．8.（秋•平川区期末)假如点P（m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，P点坐标为( ）A．(0,2)Ｂ.（２,０)Ｃ．(4,0）ﻩD.（0，﹣4)【分析】因为点P（m+3，ｍ＋１)在直角坐标系的x轴上，那么其纵坐标是0，即ｍ+1=０,ｍ=﹣１，进而可求得点P的横纵坐标．【解答】解：∵点P（m+３,ｍ＋１)在直角坐标系的x轴上，∴m＋１=０,∴ｍ=﹣1,把m＝﹣1代入横坐标得:ｍ+3=2．则Ｐ点坐标为（2，0)．故选B．【点评】本题重要考查了点在ｘ轴上时纵坐标为０的特点,比较简单.9．（春•和县期末)课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，假如我的位置用(0,0）表示，小军的位置用（2,１)表示,那么你的位置能够表示成（ )A.（５,4)B.（4，5)C．（3，4）D.(4,3）【分析】依照已知两点的坐标确定平面直角坐标系,然后确定其他各点的坐标.【解答】解:假如小华的位置用（0，０)表示，小军的位置用（２,1)表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限,因此小刚的位置为（4，3)．故选Ｄ.【点评】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，是学数学在生活中用的例子.10．（•钦州)在平面直角坐标系中，将点A（x，y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3，2）重叠，则点A的坐标是（ )A．（2，５)B．（﹣8，5） C.（﹣8,﹣1)Ｄ．(2，﹣1)【分析】逆向思考,把点(﹣3,2）先向右平移５个单位，再向下平移3个单位后可得到A点坐标.【解答】解：在坐标系中,点（﹣3,2）先向右平移5个单位得(2,2），再把(2,2）向下平移3个单位后的坐标为（２，﹣1)，则A点的坐标为(２,﹣１)．故选:Ｄ．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去）一个整数a，对应的新图形就是把原图形向右（或向左)平移a个单位长度;假如把它各个点的纵坐标都加(或减去）一个整数a,对应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．（即:横坐标，右移加,左移减;纵坐标，上移加,下移减．11.（•菏泽)在平面直角坐标系中,若点Ｐ（m﹣3,m＋1)在第二象限,则ｍ的取值范围为（ )A．﹣1＜ｍ<3ﻩB.ｍ＞3ﻩC.ｍ<﹣1 D.m＞﹣1【分析】依照点P(m﹣3，m+1)在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个有关m的不等式组，解之即可得m的取值范围．【解答】解:∵点Ｐ(m﹣3,m＋1)在第二象限，∴可得到,解得m的取值范围为﹣1＜m<3．故选A．【点评】处理本题的核心是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法,四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+）；第二象限（﹣,+）;第三象限（﹣,﹣);第四象限（＋,﹣）.12.（•威海)若点A（a+1,b﹣2）在第二象限，则点B(﹣a，b+1)在( )A．第一象限ﻩB.第二象限 C.第三象限ﻩD．第四象限【分析】依照第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标不小于零，可得有关a、b的不等式，再依照不等式的性质,可得Ｂ点的坐标符号.【解答】解：由A（a+１，b﹣２）在第二象限,得a+1＜0,b﹣2＞0．解得ａ＜﹣1,b>２．由不等式的性质，得﹣ａ>１,ｂ+１＞3，点Ｂ(﹣a，b+1）在第一象限,故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标不小于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题核心.13．（•株洲）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位，第２步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是:当ｎ能被３整除时，则向上走1个单位；当ｎ被3除,余数为１时,则向右走1个单位;当n被３除，余数为2时，则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是( ）Ａ．（６６,34）ﻩB．(67,33）C.（100,33)D．(９9，34)【分析】依照走法,每3步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用10０除以3,然后依照商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可.【解答】解:由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上１个单位，∵1０0÷3=33余1,∴走完第１00步,为第３4个循环组的第1步,所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1＝３3,∴棋子所处位置的坐标是(1００,33）.故选：Ｃ.【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并了解每3步为一个循环组依次循环是解题的核心．14．(秋•杭州期末)小明的家,学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上,学校在家南边2０米，书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米,又向北走了﹣70米，此时，小明的位置在（ ）A．家B．学校C．书店Ｄ．不在上述地方【分析】以家为坐标原点建立坐标系,依照题意即可确定小明的位置．【解答】解:依照题意:小明从家出来向北走了５0米，又向北走了﹣70米,即向南走了20米,而学校在家南边2０米.故此时，小明的位置在学校．故选Ｂ．【点评】本题考查了类比点的坐标及学生的处理实际问题的能力和阅读了解能力，画出平面示意图能直观地得到答案.15．(•台湾）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录.依照图中两人的对话纪录，若下列有一个走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？( )Ａ．向北直走700公尺，再向西直走1０0公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺Ｃ．向北直走3０0公尺,再向西直走40０公尺Ｄ．向北直走400公尺，再向东直走３00公尺【分析】依照题意先画出图形，可得出AE＝400，AＢ＝CD=3００,再得出DＥ=100，即可得出邮局出发走到小杰家的途径为：向北直走AB+ＡE=７00，再向西直走DE=１00公尺．【解答】解：依题意，OA=OＣ=4０0=AE，AB=CD=300，DE=4０0﹣30０＝100，因此邮局出发走到小杰家的途径为，向北直走AＢ+ＡE=70０,再向西直走ＤＥ=100公尺.故选：A．【点评】本题考查了坐标确定位置,依照题意画出图形是解题的核心．二．填空题(共１0小题)1６.（•黔西南州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(ｍ,ｎ）,要求如下两种变换:（1)f(ｍ，n）＝(m，﹣ｎ）,如f（２，１）＝(2,﹣1）;（２)g(m，n）＝（﹣m，﹣ｎ）,如ｇ（２,1)=（﹣2,﹣1）按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=(﹣３,４)，那么g[f(﹣3，2）]= （3，２）．【分析】由题意应先进行f方式的运算,再进行g方式的运算,注意运算次序及坐标的符号变化．【解答】解：∵f(﹣3,２）=（﹣3,﹣2)，∴g[f(﹣3,2)]=g（﹣3,﹣2)=(3，2),故答案为：(3，2)．【点评】本题考查了一个新型的运算法则,考查了学生的阅读了解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，核心是明白两种运算变化了哪个坐标的符号.１7.(•天水）已知点M(3，﹣2）,将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点Ｎ,则点N的坐标是 (﹣1，1) .【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加,下移减.【解答】解:本来点的横坐标是３，纵坐标是﹣2，向左平移４个单位,再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1，纵坐标为﹣2+３=1．则点N的坐标是(﹣1,1).故答案填：（﹣1,1）．【点评】解题核心是要懂得左右平移点的纵坐标不变,而上下平移时点的横坐标不变,平移变换是中考的常考点,平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加,下移减.18．(•绵阳)如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中,已知左眼A的坐标是(﹣2，3）,嘴唇C点的坐标为（﹣1，1),则将此“ＱQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是(3，3) .【分析】先确定右眼B的坐标,然后依照向右平移几个单位,这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变,由此可得出答案.【解答】解：∵左眼Ａ的坐标是（﹣2,3)，嘴唇C点的坐标为（﹣１,1),∴右眼的坐标为(0，3)，向右平移3个单位后右眼B的坐标为(3，3）．故答案为:(3,3).【点评】本题考查了平移变换的知识,注意左右平移纵坐标不变,上下平移横坐标不变．19.(•广元）若第二象限内的点P（x,y）满足｜ｘ|=3,y2＝2５，则点Ｐ的坐标是 (﹣3，５) ．【分析】依照绝对值的意义和平方根得到x＝±5,y＝±2，再依照第二象限的点的坐标特点得到ｘ<0，y＞0，于是ｘ=﹣５，y=２,然后可直接写出Ｐ点坐标．【解答】解：∵｜x|=3，y2=25,∴ｘ＝±３，y=±5，∵第二象限内的点P（x,y），∴x<0,y>0,∴x=﹣3,y＝5，∴点P的坐标为(﹣3,5)，故答案为：(﹣3，5）.【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特性以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是处理的核心，四个象限的符号特点分别是:第一象限(＋，+)；第二象限(﹣，+）；第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣）.20.(•杭州)如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(﹣７,﹣4),白棋④的坐标为(﹣6,﹣８）,那么黑棋①的坐标应当是 (﹣3,﹣7） .【分析】依照已知两点的坐标建立坐标系,然后确定其他点的坐标.【解答】解:由白棋②的坐标为(﹣7,﹣4）,白棋④的坐标为（﹣6，﹣8)得出：棋盘的y轴是右侧第一条线，横坐标从右向左依次为﹣1,﹣2,﹣3，…;纵坐标是以上边第一条线为﹣1，向下依次为﹣2，﹣３,﹣4,…．∴黑棋①的坐标应当是(﹣３，﹣7).故答案为:（﹣3，﹣７）．【点评】考查类比点的坐标处理实际问题的能力和阅读了解能力．依照已知条件建立坐标系是核心，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减，上加下减来确定坐标.21.(•青岛)如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别变为本来的,那么点A的对应点A′的坐标是 (2，3） .【分析】先写出点A的坐标为(６，３）,横坐标保持不变,纵坐标分别变为本来的，即可判断出答案.【解答】解:点A变化前的坐标为(6，3），将横坐标保持不变,纵坐标分别变为本来的,则点A的对应点的坐标是(2，3）,故答案为(2，3）．【点评】此题考查了坐标与图形性质的知识，依照图形得到点A的坐标是解答本题的核心.２2.(•台州)如图，这是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、ｙ轴的正方向建立直角坐标系，要求一个单位长度表示１ｋm,甲、乙两人对着地图如下描述路桥区Ａ处的位置．则椒江区Ｂ处的坐标是 （10，8）．【分析】依照Ａ点坐标,可建立平面直角坐标系,依照直角三角形的性质，可得AＣ的长,依照勾股定理,BC的长．【解答】解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点,由题意，得AB=16,∠ＡBC=30°,AC=8,BC＝8．OＣ=OA＋AC＝10,B(１0，8）．【点评】本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题核心,利用了直角三角形的性质：３0°的角所正确直角边是斜边的二分之一．２3.（•聊城)如图，在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右，向下，向右的方向不停地移动，每次移动一个单位，得到点A1(０,1),A2(1,1），Ａ3（1,0)，A４(2，0)，…那么点A４n+１(n为自然数)的坐标为 （2n,1) (用n表示）．【分析】依照图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后依照变化规律写出即可．【解答】解:由图可知,n=1时，４×１+１=5，点A5（２，１)，。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13 小题）1．已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2， 0），点 B 的坐标为（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C（ 3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，此中 C、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的状况下，将此五边形沿着x 轴向右滚动，则转动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点 P（ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1，第2次遇到矩形的边时的点为2，，第n次P遇到矩形的边时的点为P n，则点 P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点 A（﹣ 3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，挨次获得△1、△2、△3、△4，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB沿 x 轴正方向连续翻转2008 次，点 P 挨次落在点 P1，P2，P3，P4，，P2008的地点，则 P2008的坐标为．1 / 65第 1页（共 65页）7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向摆列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2， 2）依据这个规律，第2012 个点的横坐标为．8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折2012 次，依次获得点 P1，2，3 P2012．则点2012 的坐标是．P P P9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，（每个正方形从第三象限的极点开始，按顺时针方向次序，挨次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6， A7，A8； A9，A10，A11，A12；）的中心均在座标原点O，各边均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长挨次是2， 4， 6，则极点 A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中“→”方向摆列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3），依据这个规律研究可得，第90 个点的坐标为．11．以下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中箭头方向摆列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，依据这个规律研究可得，第102 个点的坐标为．2 / 65第 2页（共 65页）二．解答题（共 27 小题）14．如图，已知直线 AB∥ CD，直线 EF分别与 AB、CD 订交于点 E、F，12．如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB变换成△ OA1B1，第二次将FM 均分∠ EFD，点 H 是射线 EA 上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直△OA1 1变换成△22，第三次将△ 2 2 变换成△ 3 3线交 EF于点 P，HM 均分∠ BHP交 FM 于点 M ．B OA B OA B OA B已知： A（1，3），A1（2，3）， A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（）如图，试说明：∠HMF=（∠∠）；11BHP+DFP（4，0），B2（，），3（，）．察看每次变换前后的三角形有何变80B16 0请在以下解答中，填写相应的原因：化，依照变换规律，第五次变换后获得的三角形A5的坐标是，解：过点 M 作 MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平B5的坐标是．行）．∵AB∥ CD（已知），∴MQ∥CD（假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．如图，在平面直角坐标系上有点（，），点A 第一次向左跳动至∴∠ 1=∠3，∠ 2=∠ 4（）13A 1 0点 A1（﹣，），第二次向右跳动至点A 2（，），第三次向左跳动至点∴∠ 1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）1 1213（﹣，），第四次向右跳动点4（，），，挨次规律跳动下去，即∠ HMF=∠ 1+∠2．A22A32点 A 第 2017 次跳动至点 A2017的坐标是．∵FM 均分∠ EFD，HM 均分∠ BHP（已知）3 / 65第 3页（共 65页）∵∠ 1= ∠BHP ，∠ 2= ∠DFP （）连结 FE 并延长至点 A ，连结 BA 和 CA ，使∠ AEC=∠BAC ．（1）求证：∠ BFA+∠BAC=180°；∴∠ HMF= ∠ BHP+ ∠DFP= （∠ BHP+∠ DFP ）（等量代换）．（2）请在图 1 中找出与∠ CAF 相等的角，并加以证明；（2）如图 2，若 HP ⊥EF ，求∠ HMF 的度数；（3）如图 2，连结 BC 交 AF 于点 D ，作∠ CBF 和∠ CEF 的角均分线交于 （3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 均分∠ HFE 交 AB 于点 N ，过点点 M ，若∠ ADC=α，请直接写出∠ M 的度数（用含 α的式子表示）N 作 NQ ⊥FM 于点 Q ，试说明不论点 H 在哪处都有∠ EHF=2∠FNQ ．16．已知直线 AB ∥ CD ，M ，N 分别是 AB ，CD 上的点．．如图 1 ，直线 、 在直线 m 上，点 、 在直线 n 上，（1）若 E 是 AB ，CD 内一点．15 m ∥n ，点 B F E C4 / 65第 4页（共 65页）①如图甲所示，请写出∠ BME，∠ DNE，∠ MEN 之间的数目关系，并证明．②如图乙所示，若∠ 1=∠BME，∠ 2=∠ DNE，请利用①的结论研究∠F 与∠ MEN 的数目关系．（2）若 E 是 AB， CD 外一点．①如图丙所示，请直接写出∠ EMB，∠ END，∠ E 之间的数目关系．②如图丁所示，已知∠ BMP= ∠EMB，在射线 MP 上找一点 G，使得∠AED、∠ EAF、∠ EDG之间知足如何的关系，请说明你的结论；（3）如图 3，DI 均分∠ EDC，交 AE于点 K，交 AI 于点 I，且∠ EAI：∠ BAI=1：2，∠ AED=22°，∠ I=20 °求∠， EKD的度数．MGN= ∠E，请在图中画出点 G 的大概地点，并求∠ ENG：∠GND 的值．17．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．18．小明在学习了“平行线的判断和性质”知识后，对下边问题进行研究：在平面内，直线 AB∥ CD，E 为平面内一点，连结 BE、CE，依据点 E 的位（1）如图 1，若∠ EAF=30°，∠ EDG=40°，则∠ AED=°；（2）如图 2，当点 E 在 FG 延长线上时，此时 CD 与 AE 交于点置研究∠ B 和∠ C、∠ BEC的数目关系．（ 1）当点 E 分别在以以下图①、图H，则∠5 / 65第 5页（共 65页）②和图③所示的地点时，请你直接写出三个图形中相应的∠ B 和∠ C、∠BEC的数目关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜爱的结论加以证明．（ 3）运用上边的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP均分∠ ABE，CP均分∠ DCE，∠ BEC=100°，∠ BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图 1，AC均分∠ DAB，∠ 1=∠2．（1）试说明 AB 与 CD的地点关系，并予以证明；（2）如图 2，当∠ ADC=120°时，点 E、F 分别在 CD 和 AC 的延长线上运动，尝试讨∠ E 和∠ F 的数目关系；（3）如图 3，AD 和 BC交于点 G，过点 D 作 DH∥ BC交 AC 于点 H，若AC⊥BC，问当∠ CDH为多少度时，∠ GDC=∠ADH．20．已知直线 AB∥ CD．（1）如图 1，直接写出∠ BME、∠ E、∠ END的数目关系为；6 / 65第 6页（共 65页）（2）如图 2，∠ BME 与∠ CNE的角均分线所在的直线订交于点P，尝试（2）若点 C 在线段 AD 上（不与 A、D、G 重合），连结 BC，∠ MAG 和究∠ P 与∠ E 之间的数目关系，并证明你的结论；∠PBC的均分线交于点 H，请在图 2 中补全图形，猜想并证明∠ CBG与（3）如图 3，∠ ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线 MB、ND 交于点∠AHB 的数目关系；（3）若直线 AD 的地点如图 3 所示，（ 2）中的结论能否建立？若建立，F，则=．请证明；若不建立，请直接写出∠CBG与∠ AHB 的数目关系．22．如图，已知 AB∥CD， CE、BE的交点为 E，现作以下操作：21．如图 1，MN ∥PQ，直线 AD 与 MN、PQ 分别交于点 A、D，点 B 在第一次操作，分别作∠ ABE和∠ DCE的均分线，交点为E1，直线 PQ 上，过点 B 作 BG⊥AD，垂足为点 G．第二次操作，分别作∠ ABE1和∠ DCE1的均分线，交点为E2，（1）求证：∠ MAG+∠ PBG=90°；第三次操作，分别作∠ ABE2和∠ DCE2的均分线，交点为E3，，7 / 65第 7页（共 65页）第 n 次操作，分别作∠ ABE n﹣1和∠ DCE n﹣1的均分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠ BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠ BE2C= ∠ BEC；（3）猜想：若∠ E n=α度，那∠ BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更密切，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁布置了两座可旋转探照灯．如图 1 所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立刻展转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立刻展转，两灯不断交错照耀巡视．若灯 A 转动的速度是每秒 2 度，灯B 转动的速度是每秒 1 度．假设主道路是平行的，即 PQ∥ MN，且∠ BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠ BAN=°；（2）若灯 B 射线先转动 30 秒，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线抵达BQ以前， A 灯转动几秒，两灯的光束相互平行？（3）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线抵达 AN 以前．若射出的光束交于点 C，过 C 作∠ ACD交 PQ于点 D，且∠ ACD=120°，则在转动过程中，请研究∠ BAC 与∠ BCD 的数目关系能否发生变化？若不变，恳求出其数目关系；若改变，请说明原因．24．已知，直线 AB∥DC，点 P 为平面上一点，连结AP 与 CP．（1）如图1，点P 在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，8 / 65第 8页（共 65页）求∠ APC．（2）如图 2，点 P 在直线 AB、 CD之间，∠ BAP与∠ DCP的角均分线相交于点 K，写出∠ AKC与∠ APC之间的数目关系，并说明原因．（3）如图 3，点 P 落在 CD 外，∠ BAP与∠ DCP的角均分线订交于点K，∠AKC与∠ APC有何数目关系？并说明原因．25．已知直线 AB∥CD．26．已知 AM∥CN，点 B 为平面内一点， AB⊥ BC于 B．（1）如图 1，直接写出∠ A 和∠ C 之间的数目关系（1）如图 1，直接写出∠ ABE，∠CDE和∠ BED之间的数目关系是．；（2）如图 2，BF，DF 分别均分∠ ABE，∠CDE，那么∠ BFD和∠ BED有怎（2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，求证：∠ ABD=∠C；样的数目关系？请说明原因．（3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E、F 在 DM 上，连结 BE、BF、CF，（3）如图 3，点 E 在直线 BD 的右边， BF，DF 仍均分∠ ABE，∠ CDE，请BF均分∠ DBC， BE均分∠ ABD，若∠ FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，直接写出∠ BFD和∠ BED的数目关系．求∠ EBC的度数．9 / 65第 9页（共 65页）27．如图，直线 AB∥ CD，直线 MN 与 AB，CD分别交于点 M，N， ME，28．已知，∠ AOB=90°，点 C 在射线 OA 上， CD∥OE．NE分别是∠ AMN 与∠ CNM 的均分线， NE交 AB 于点 F，过点 N 作 NG⊥（1）如图 1，若∠ OCD=120°，求∠ BOE的度数；EN交 AB 于点 G．（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线 OE沿射线 OB 平移，得 O′E，（1）求证： EM∥ NG；其余条件不变，（如图 2 所示），研究∠ OCD、∠ BO′E的数目关系；（2）连结 EG，在 GN 上取一点 H，使∠ HEG=∠ HGE，作∠ FEH的均分线（3）在（ 2）的条件下，作PO′⊥OB 垂足为 O′，与∠ OCD 的均分线 CP EP交 AB 于点 P，求∠ PEG的度数．交于点 P，若∠ BO′E=α，请用含α的式子表示∠ CPO′（请直接写出答案）．10 / 65第 10页（共 65页）DG 均分∠ CDE交 BE于 G，求∠ FDG．（3）在（ 2）中，若∠ B=α，其余条件不变，则∠ FDG=．30．已知：如图， BC∥OA，∠ B=∠ A=100°，试回答以下问题：（1）如图①所示，求证： OB∥ AC．（注意证明过程要写依照）29．如图 1．将线段 AB 平移至 CD，使 A 与 D 对应，B 与 C 对应，连 AD、（2）如图②，若点E、F 在 BC上，且知足∠ FOC=∠AOC，而且 OE均分BC．∠BOF．（ⅰ）求∠ EOC的度数；（ⅱ）求∠ OCB：∠ OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠ OEB=∠ OCA．此时∠ OCA 度数等于．（在横（1）填空： AB 与 CD的关系为，∠ B 与∠ D 的大小关系为线上填上答案即可）（2）如图 2，若∠ B=60°， F、 E 为 BC的延长线上的点，∠ EFD=∠EDF，11 / 65第 11页（共 65页）拓展应用：（3）①如图 4，若 AB∥ EF，用含α，β，γ的式子表示 x，应为A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180 °﹣α﹣γ+β D.180 °+α+β﹣γ②如图 5，AB∥ CD，∠ EFA=30°，∠ FGH=90°，∠ HMN=30°，∠ CNP=50°，则∠ GHM 的大小是．31．数学思虑：32．已知，直线 AB∥CD（1）如图 1，已知 AB∥CD，研究下边图形中∠ APC和∠ PAB、∠ PCD的（1）如图 1，点 E在直线 BD 的左边，猜想∠ ABE、∠ CDE、∠ BED的数关系，并说明你研究的结论的正确性．量关系，并证明你的结论；推行延长：（2）如图 2，点 E 在直线 BD的左边， BF、DF 分别均分∠ ABE、∠ CDE，（2）①如图 2，已知 AA1∥3，请你猜想∠1、∠1、∠ 2、∠ 2、∠猜想∠ BFD和∠ BED的数目关系，并证明你的结论；BA A B B A3（3）如图 3，点 E 在直线 BD的右边， BF、DF 分别均分∠ ABE、∠ CDE；A 的关系，并证明你的猜想；②如图 3，已知 AA1∥n，直接写出∠1、∠ 1、∠ 2、∠ 2、∠ n﹣1、那么第（ 2）题中∠ BFD和∠ BED的数目关系的猜想能否仍建立？假如成BA A B B A B∠A n的关系．立，请证明；假如不建立，请写出你的猜想，并证明．12 / 65第 12页（共 65页）（2）迁徙：某足球竞赛中有n 个球队（ n≥2）进行单循环竞赛（每两队之间一定竞赛一场），一共要进行多少场竞赛？有 2 个球队时，要进行场竞赛，有 3 个球队时，要进行场竞赛，有4个球队时，要进行场竞赛，那么有 20 个球队时，要进行场竞赛．33．阅读以下资料并填空：34．若∠ C=α，∠ EAC+∠ FBC=β（1）研究：平面上有 n 个点（ n≥2）且随意 3 个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确立一条直线．平面上有 2 个点时，能够画条直线，平面内有 3 个点时，一共能够画条直线，平面上有 4 个点时，一共能够画条直线，平面内有 5个点时，一共能够画条直线，平面内有 n 个点时，一共能够画条直线．13 / 65第 13页（共 65页）（3）如图 3，AI 均分∠ BAE，DI 交 AI 于点 I，交 AE 于点 K，且∠ EDI：∠CDI=2：1，∠ AED=20°，∠ I=30 °求，∠EKD的度数．（1）如图①， AM 是∠ EAC的均分线， BN 是∠ FBC的均分线，若 AM∥BN，则α与β有何关系？并说明原因．（2）如图②，若∠ EAC的均分线所在直线与∠ FBC均分线所在直线交于P，尝试究∠ APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠ EAC与∠ FBC的均分线订交于P1，∠ EAP1与∠FBP1的均分线交于 P2；依此类推，则∠ P5=．（用α、β表示）36．已知 AB∥CD，点 P 在直线 AB、CD之间，连结 AP、CP．35．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．（1）研究发现：（填空）（1）如图 1，直接写出∠ EAF、∠ AED、∠ EDG之间的数目关系；填空：如图 1，过 P 作 PQ∥ AB，（2）如图 2，当点 E 在 FG延长线上时，求证：∠ EAF=∠AED+∠EDG；14 / 65第 14页（共 65页）∴∠ A+∠1=°（）（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠ AGD的余∵AB∥ CD（已知）角等于2∠E的补角，求∠ BAE的大小．∴PQ∥ CD（）∴∠ C+∠ 2=180°结论：∠ A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图 2，延长 PC至点 E，AF、CF分别均分∠ PAB、∠ DCE，试判断∠ P与∠ F 存在如何的数目关系并说明原因；②如图 3，若∠ APC=100°，分别作 BN∥AP，DN∥PC， AM、DM 分别平分∠ PAB，∠ CDN，则∠ M 的度数为（直接写出结果）．38．实考证明，平面镜反射光芒的规律是：射到平面镜上的光芒和被反37．如图 1，AB∥CD， E 是 AB、CD之间的一点．射出的光芒与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光芒 m 射到平面镜（1）判断∠ BAE，∠ CDE与∠ AED之间的数目关系，并证明你的结论；a 上，被 a 反射后的光芒为n，则入射光芒m、反射光芒 n 与平面镜 a （2）如图 2，若∠ BAE、∠ CDE的两条均分线交于点F．直接写出∠ AFD所夹的锐角∠ 1=∠2．（ 1）如图 2，一束光芒m 射到平面镜 a 上，被 a 与∠ AED之间的数目关系；15 / 65第 15页（共 65页）反射到平面镜 b 上，又被 b 反射．若被 b 反射出的光芒 n 与光芒 m 平行，且∠ 1=50°，则∠ 2=°，∠ 3=°．（2）在（ 1）中 m∥n，若∠ 1=55°，则∠ 3=°；若∠ 1=40°，则∠3=°．（3）由（ 1）、（ 2），请你猜想：当两平面镜a、b 的夹角∠ 3=°时，能够使任何射到平面镜 a 上的光芒 m，经过平面镜 a、b 的两次反射40．已知 AD∥CE，点 B 为直线 AD、CE所确立的平面内一点．后，入射光芒 m 与反射光芒 n 平行．你能说明原因吗？（1）如图 1 所示，求证：∠ ADB=∠B+∠BFE．（4）如图 3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜ 90）时，进入光芒与走开光（2）如图 2，FG均分∠ BFE， DG 交 FG于点 G 交 BF于点 H，且∠BDG：线的夹角为β°（0＜β＜90）．尝试究α与β的数目关系．直接写出答∠ADG=2：1，∠ B=20°，∠ DGF=30°，求∠ BHD的度数．案．．39．已知 EF∥ MN，向来角三角板如图搁置．∠ACB=90°．（1）如图 1，若∠ 1=60°，则∠ 2=度；（2）如图 2，若∠ 1=∠B﹣20°．则∠ 2=度；（3）如图 3，延长 AC交直线 MN 于 D，GH 均分∠ CGN，DK 均分∠ ADN交 GH 于 K，问∠ GKD能否为定值，假如求值，不是说明原因．16 / 65第 16页（共 65页）1.（﹣ 5，2）或（ 5， 2）;2. （1，3）或（ 5， 1）3. B;4.（ 8，3），（5，0） ;5.（8052，0）6.（2007， 1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣ 5，13）． 11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣ 1009，1009）∴点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等．∴y=2．∵点 N 到 y 轴的距离为 5，∴| x| =5．得， x=± 5．∴点 N 的坐标为（﹣ 5， 2）或（ 5，2）．故答案为：（﹣ 5，2）或（ 5， 2）．【评论】本题考察坐标与图形的性质，解题的重点是明确与x 轴平行的直线上全部点的纵坐标相等，到y 轴的距离是点的横坐标的绝对值．七下平行线，平面直角坐标系压轴题2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为参照答案与试题分析（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C（ 3，2），则平移后另一端一．填空题（共 13 小题）点的坐标为（ 1， 3）或（ 5，1）．1．已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为（﹣ 5，2）或（ 5， 2）．【剖析】依据点 M（ 3，2）与点 N（ x， y）在同一条平行于 x 轴的直线上，可得点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等，由点 N 到 y 轴的距离为 5，【剖析】分两种状况①当 A 平移到点 C 时，②当 B 平移到点 C 时，分别可得点 N 的横坐标的绝对值等于 5，从而能够求得点 N 的坐标．利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：∵点 M （3， 2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直【解答】解：①如图 1，当 A 平移到点 C 时，线上，17 / 65第17页（共 65页）3．如图的坐标平面上有一正五边形 ABCDE，此中 C、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的状况下，将此五边形沿着x 轴向右滚动，则转动过程中，经过点（ 75，0）的是 B （填 A、B、C、D 或 E）．∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∴点 A 的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的 B 坐标为（ 1，3），②如图 2，当 B 平移到点 C 时，【剖析】依据点（ 75， 0）的横坐标是 5 的倍数，而该正五边形转动 5次正好一周，由此可知经过（ 5， 0）的点经过（ 75， 0），找到经过（ 5，0）的点即可．【解答】解：∵ C、 D 两点坐标分别为（ 1，0）、（ 2， 0）．∴按题中转动方法点 E 经过点（ 3，0），点 A 经过点（ 4，0），点 B 经过点（ 5，0），∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∵点（ 75，0）的横坐标是 5 的倍数，而该正五边形转动 5 次正好一周，∴点 B 的横坐标增大了3，纵坐标增大 2，∴可知经过（ 5，0）的点经过（ 75， 0），∴平移后的 A 坐标为（ 5， 1），∴点 B 经过点（ 75，0）．故答案为：（ 1， 3）或（ 5，1）．故答案为： B．【评论】本题考察坐标系中点、线段的平移规律，重点要理解在平面直【评论】本题考察了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的重点是了角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而经过某点的变解正五边形转动 5 次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就化状况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；是经过（ 5， 0）的点．纵坐标上移加，下移减．18 / 65第 18页（共 65页）故答案为：（ 8， 3），（5，0）．4．如图，弹性小球从点 P（ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1，第2次遇到矩形的边时的点为2，，第n次P遇到矩形的边时的点为P n，则点3的坐标是（8，3）；点2014 的P P坐标是（5，0）．【评论】本题主要考察了点的坐标的规律，作出图形，察看出每 6 次反弹为一个循环组挨次循环是解题的重点．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣ 3，0）、 B（ 0， 4），对△ OAB连续作旋转变换，挨次获得△ 1、△2、△3、△4，则△ 2013 的直角极点的坐标为（8052，0）．【剖析】依据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个循环组挨次循环，用 2014 除以 6，依据商和余数的状况确立所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（0，3），当点 P 第 3 次遇到矩形的边时，点 P 的坐标为：（ 8， 3）；∵2014÷ 6=335 4，【剖析】依据勾股定理列式求出 AB 的长，再依据第四个三角形与第一∴当点 P 第 2014 次遇到矩形的边时为第 336 个循环组的第 4 次反弹，个三角形的地点相同可知每三个三角形为一个循环组挨次循环，而后求点 P 的坐标为（ 5， 0）．出一个循环组旋转行进的长度，再用2013 除以 3，依据商为 671 可知第19 / 65第 19页（共 65页）2013 个三角形的直角极点为循环组的最后一个三角形的极点，求出即可．【解答】解：∵点 A（﹣ 3， 0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组挨次循环，一个循环组行进的长【剖析】依据图形得出点的坐标变化规律，再依据规律对2008 变形，度为： 4+5+3=12，得出结论．∵2013÷ 3=671，【解答】解：依据规律∴△ 2013的直角极点是第 671 个循环组的最后一个三角形的直角极点，1234∵671×12=8052，P（1，1），P（2，0）=P ，P （3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）∴△ 2013 的直角极点的坐标为（8052，0）．每 4 个一循环，能够判断 P2008坐标在502次循环后与 4 坐标纵坐标一致，故答案为：（ 8052， 0）．P 坐标应当是（ 2007，1）【评论】本题是对点的坐标变化规律的考察了，难度不大，认真察看图故答案为：（ 2007， 1）形，获得每三个三角形为一个循环组挨次循环是解题的重点，也是求解【评论】本题主要考察了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的的难点．理解和掌握，表现了由特别到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考察本节的知识点时常常用到，是在研究特例的过程中总结规律．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB沿 x 轴正方向连续翻转2008 次，点 P 挨次落在点 P1，2，3， 4，， 2008 的地点，则2008 的坐标为（，P P P P P20071）．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向摆列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（ 1，2），（2，2）依据这个规律，第2012 个点的横坐标为45．20 / 65第20页（共 65页）∴第 2025 个点是（ 45，0），第 2012 个点是（ 45，13），所以，第 2012 个点的横坐标为 45．故答案为： 45．【评论】 本题考察了点的坐标，察看出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的重点．【剖析】 察看图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数2012 次，依8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折 等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，而且右下角的点的横坐标是奇3 P 2012．则点 2012 的坐标是 （ ， ） ．次获得点 P 1， 2，PPP4023数时最后以横坐标为该数，纵坐标为 0 结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为 1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减 1 的点结束，根据此规律解答即可．【解答】 解：依据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，【剖析】依据等边三角形的性质易求得P 1 的坐标为（ ，）；在等边三比如：右下角的点的横坐标为 1，共有 1 个， 1=12，1右下角的点的横坐标为 2 时，共有 4 个， 4=22， 角形翻折的过程中， P 点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增添2右下角的点的横坐标为 3 时，共有 9 个， 9=32，个单位（即等边三角形的边长） ，可依据这个规律求出点 P 2012 的坐标．【解答】 解：易得 P 1（ ， ）；右下角的点的横坐标为 4 时，共有16 个， 16=42，1而P 12 23 ，∴2（，），3（，）；P=PP=2P3P 5依此类推， P n （﹣ ，），即 n （﹣ ，）；2n右下角的点的横坐标为 n 时，共有 n 2 个，1+2n 2P1∵452 ， 是奇数，当 n=2012 时， P 2012（ ，）．454023=202521 / 65第 21页（共 65页）故答案为：（ 4023，）．∵A4所在正方形的边长为2，【评论】考察了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，往常要根4A 的坐标为（ 1，﹣ 1），据简单的条件获得一般化规律，而后依据规律求特定的值．同理可得： A8的坐标为（2，﹣）， 12 的坐标为（，﹣），2 A33∴A20的坐标为（，﹣），55．如图，正方形 1 2 3 4， 5 6 7 8， 9 10 11 12，，（每个正方形从故答案为：（ 5，﹣ 5）．9AAAA AAAA AA A A第三象限的极点开始，按顺时针方向次序，挨次记为A1，2，3，4；【评论】本题考察坐标与图形的性质，解题重点是第一找出A20所在的A A AA5，A6， A7，A8； A9，A10，A11，A12；）的中心均在座标原点O，各边象限．均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长挨次是 2， 4， 6，则极点 A20的坐标为（ 5，﹣ 5）．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中“→”方向摆列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3），依据这个规律研究可得，第90 个点的坐标为（﹣ 5，13）．【剖析】由 =5 易得 A20在第四象限，依据 4 的坐标，A 8 的坐标， 12A A的坐标不难推出 A20的坐标．【解答】解：∵=5，【剖析】察看可知，纵坐标的数值与点的个数相等，而后求出第 90 个点∴A20在第四象限，的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再依据纵坐标是奇数的从右到左22 / 65第 22页（共 65页）计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，而后解答即可．【解答】解：（0，1），共 1 个，（0， 2），（1，2），共 2 个，（1， 3），（0，3），（﹣ 1， 3），共 3 个，，依此类推，纵坐标是n 的共有 n 个坐标，1+2+3+ +n=，当 n=13 时，=91，所以，第 90 个点的纵坐标为 13，（13﹣1）÷ 2=6，∴第 91 个点的坐标为（﹣ 6， 13），第 90 个点的坐标为（﹣ 5，13）．故答案为：（﹣ 5，13）．【评论】本题考察了点的坐标与规律变化问题，察看出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的重点．11．以下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中箭头方向摆列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，依据这个规律研究可得，第 102 个点的坐标为（14，10）．【剖析】应先判断出第 102 个数在第几行，第几列，再依据剖析获得的规律求解．【解答】解：把第一个点（ 1，0）作为第一列，（2，1）和（ 2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有 2 个数，第 n 列有 n 个数．则 n 列共有个数，而且在奇数列点的次序是由上到下，偶数列点的次序由下到上．由于 105=1+2+3+ +14，则第 102 个数必定在第 14 列，由下到上是第 11 个数．因此第 102 个点的坐标是（ 14，10）．故答案填：（ 14，10）．【评论】本题考察了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的重点是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△ OA1B1，第二次将23 / 65第 23页（共 65页）△OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3已知： A（1，3），A1（2，3）， A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4， 0），B2（8，0）， B3（ 16， 0）．察看每次变换前后的三角形有何变化，依照变换规律，第五次变换后获得的三角形 A5的坐标是（32，3）， B5的坐标是（ 64，0）．【剖析】找寻规律求解．【解答】解： A、A1、A2 A n都在平行于 X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以 A5的纵坐标是 3；这些点的横坐标有必定的规律：A n=2n．因此点 A5的横坐标是25=32；B、B1、B2 B n都在 x 轴上， B5的纵坐标是 0；这些点的横坐标也有必定的规律：B n=2n+1，因此点B5的横坐标是B5 =25+1=64．∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【评论】考察 X 轴上的点的特色与平行于X 轴的直线上点的特色．注意数形联合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的重点．13．如点 A1（A3（﹣点 A 第【剖析加上1加上 1【解答第 4 次跳动至点的坐第 2n 次则第 2第2 0 1 7次跳动至点1009，24 / 65第 24页（共 65页）【评论】本题考察了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，联合图形获得偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化状况是解题的重点．二．解答题（共27 小题）14．如图，已知直线 AB∥CD，直线 EF分别与 AB、CD 订交于点 E、F，FM 均分∠ EFD，点 H 是射线 EA上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直线交 EF于点 P，HM 均分∠ BHP交 FM 于点 M．（1）如图1，试说明：∠HMF= （∠BHP+∠DFP）；请在以下解答中，填写相应的原因：解：过点 M 作 MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥ CD（已知），∴MQ∥CD（假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行）∴∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4（两直线平行，内错角相等）∴∠ 1+∠ 2=∠3+∠4（等式的性质）即∠ HMF=∠ 1+∠2．∵FM 均分∠ EFD，HM 均分∠ BHP（已知）∵∠ 1=∠BHP，∠ 2=∠DFP（角均分线定义）∴∠ HMF= ∠ BHP+∠DFP=（∠ BHP+∠ DFP）（等量代换）．（2）如图 2，若 HP⊥EF，求∠ HMF 的度数；（3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 均分∠ HFE交 AB 于点 N，过点N 作 NQ⊥FM 于点 Q，试说明不论点 H 在哪处都有∠ EHF=2∠ FNQ．【剖析】（1）依据两直线平行，内错角相等，以及角均分线定义进行判断即可；（2）先依据HP⊥EF，AB∥CD，获得∠EHP+∠DFP=90°，再依据（1）中结论即可获得∠ HMF 的度数；（3）先依据题意获得∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再依据FN 均分∠HFE，FM 均分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后依据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠ EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，获得∠1=∠3，∠2=∠4，其依照为：两直线平行，内错角相等；由 FM 均分∠ EFD，HM 均分∠ BHP，获得∠ 1= ∠BHP，∠ 2= ∠DFP，其依照为：角均分线定义．25 / 65第 25页（共 65页）故答案为：两直线平行，内错角相等；角均分线定义．（2）如图 2，∵ HP⊥ EF，∴∠ HPE=90°，∴∠ EHP+∠HEP=180°﹣ 90°=90°（三角形的内角和等于180°）【评论】本题主要考察了平行线的性质与判断，角均分线的定义以及平又∵ AB∥CD，行公义的运用，解决问题的重点是掌握：两直线平行，内错角相等；两∴∠ HEP=∠DFP．直线平行，同旁内角互补．∴∠ EHP+∠DFP=90°．由（ 1）得：∠ HMF= （∠ EHP+∠DFP）=×90°=45°．15．如图 1，直线 m∥ n，点 B、F 在直线 m 上，点 E、C 在直线 n 上，连结 FE并延长至点 A，连结 BA 和 CA，使∠ AEC=∠BAC．（3）如图 3，∵ NQ⊥FM，（1）求证：∠ BFA+∠BAC=180°；∴∠ NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．（2）请在图 1 中找出与∠ CAF相等的角，并加以证明；∴∠ NFQ=90°﹣∠ FNQ．（3）如图 2，连结 BC 交 AF 于点 D，作∠ CBF和∠ CEF的角均分线交于∵FN 均分∠ HFE，FM 均分∠ EFD，点 M ，若∠ ADC=α，请直接写出∠ M 的度数（用含α的式子表示）又∵∠ NFQ=∠ NFE+∠ QFE= （∠ HFE+∠EFD） = ∠ HFD，∴∠ HFD=2∠NFQ．又∵ AB∥CD，∴∠ EHF+∠HFD=180°，∴∠ EHF=180°﹣∠ HFD=180°﹣ 2∠ NFQ=180°﹣2（90°﹣∠ FNQ）=2∠FNQ，即不论点 H 在哪处都有∠ EHF=2∠ FNQ．26 / 65第 26页（共 65页）。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题精编版.doc
七下平行线，平面直角坐标系压轴题碰到矩形的边时的点为 P n ，则点3 的坐标是；点2014 的坐标PP一．填空题（共 13 小题）是．1．已知点 M （3，2）与点 N （x ，y ）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 2， 0），点B 的坐标为（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C （ 3，2），则平移后另一端点的坐标为．5．如图，在直角坐标系中，已知点A （﹣ 3，0）、B （0，4），AB=5.对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△ 1、△2、△3、△4 ，则△ 2013 的直角顶 点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中 C 、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着 x 轴向右滚动，则滚动过程中， 经过点（75，0）的是（填 A 、B 、C 、D 或 E ）．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2008 次，点 P 依次落在点 P 1，P 2，P 3，P 4， ，P 2008 的位置，则 P 2008 的坐标为 ．4．如图，弹性小球从点 P （ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰 到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰 到矩形的边时的点为 P 1，第 2 次碰到矩形的边时的点为 2， ，第 n 次P7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2， 2）根据这个规律，第2012 个点的横坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3），根据这个规律探索可得，第90 个点的坐标为．8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折2012 次，依次得到点 P1，2，3 P2012．则点2012 的坐标是．P P P9．如图，正方形 A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，（每个正方形从11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，2，3，4；箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，A A AA5，A6， A7，A8； A9，A10，A11，A12；）的中心均在坐标原点O，各边根据这个规律探索可得，第 102 个点的坐标为．均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长依次是 2， 4， 6，则顶点 A20的坐标为．二．解答题（共 27 小题）14．如图，已知直线 AB ∥ CD ，直线 EF 分别与 AB 、CD 相交于点 E 、F ，12．如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB 变换成△ OA B ，第二次将 FM 平分∠ EFD ，点 H 是射线 EA 上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直1 1 △OA 1 1 变换成△2 2，第三次将△2 2 变换成△3 3线交 EF 于点 P ，HM 平分∠ BHP 交 FM 于点 M ．B OA BOA BOA B已知： A （ 1， 3），A 1 （2，3）， A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（ ）如图，试说明：∠ HMF= （∠∠）；11BHP+ DFP（4，0），B 2（，），3（，）．观察每次变换前后的三角形有何变80 B16 0请在下列解答中，填写相应的理由：化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5 的坐标是，解：过点 M 作 MQ ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平B 5 的坐标是．行）．∵AB ∥ CD （已知），∴MQ ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．如图，在平面直角坐标系上有点 （，），点 A 第一次向左跳动至∴∠ 1=∠3，∠ 2=∠ 4（）13A 1 0点 A 1（﹣ ， ），第二次向右跳动至点A 2（ ， ），第三次向左跳动至点∴∠ 1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）1 12 13（﹣， ），第四次向右跳动点4（ ， ）， ，依次规律跳动下去，即∠ HMF=∠ 1+∠2．A22A 32点 A 第 2017 次跳动至点 A 2017 的坐标是．∵FM 平分∠ EFD ，HM 平分∠ BHP （已知）∵∠ 1= ∠BHP ，∠ 2= ∠DFP （） 连结 FE 并延长至点 A ，连结 BA 和 CA ，使∠ AEC=∠BAC ．（1）求证：∠ BFA+∠BAC=180°；∴∠ HMF= ∠ BHP+ ∠DFP= （∠ BHP+∠ DFP ）（等量代换）．（2）请在图 1 中找出与∠ CAF 相等的角，并加以证明；（2）如图 2，若 HP ⊥EF ，求∠ HMF 的度数；（3）如图 2，连结 BC 交 AF 于点 D ，作∠ CBF 和∠ CEF 的角平分线交于（3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 平分∠ HFE 交 AB 于点 N ，过点点 M ，若∠ ADC=α，请直接写出∠ M 的度数（用含 α的式子表示）N 作 NQ ⊥FM 于点 Q ，试说明无论点 H 在何处都有∠ EHF=2∠FNQ ．16．已知直线 AB ∥ CD ，M ，N 分别是 AB ，CD 上的点．．如图 1 ，直线 、 在直线 m 上，点 、 在直线 n 上，（1）若 E 是 AB ，CD 内一点．15m ∥n ，点 B F E C①如图甲所示，请写出∠ BME，∠ DNE，∠ MEN 之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠ 1=∠BME，∠2=∠ DNE，请利用①的结论探究∠F 与∠ MEN 的数量关系．（2）若 E 是 AB， CD 外一点．①如图丙所示，请直接写出∠ EMB，∠ END，∠ E 之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠ BMP= ∠EMB，在射线 MP 上找一点 G，使得∠AED、∠ EAF、∠ EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图 3，DI 平分∠ EDC，交 AE于点 K，交 AI 于点 I，且∠ EAI：∠ BAI=1：2，∠ AED=22°，∠ I=20 °求∠， EKD的度数．MGN= ∠E，请在图中画出点 G 的大致位置，并求∠ ENG：∠GND 的值．17．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线 AB∥ CD，E 为平面内一点，连接 BE、CE，根据点 E 的位（1）如图 1，若∠ EAF=30°，∠ EDG=40°，则∠ AED= °；（2）如图 2，当点 E 在 FG 延长线上时，此时 CD 与 AE 交于点H，则∠置探究∠ B 和∠ C、∠ BEC的数量关系．（ 1）当点 E 分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠ B 和∠ C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（ 3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ ABE，CP平分∠ DCE，∠ BEC=100°，∠ BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图 1，AC平分∠ DAB，∠ 1=∠2．（1）试说明 AB 与 CD的位置关系，并予以证明；（2）如图 2，当∠ ADC=120°时，点 E、F 分别在 CD 和 AC 的延长线上运动，试探讨∠ E 和∠ F 的数量关系；（3）如图 3，AD 和 BC交于点 G，过点 D 作 DH∥ BC交 AC 于点 H，若AC⊥BC，问当∠ CDH为多少度时，∠ GDC=∠ADH．20．已知直线 AB∥ CD．（1）如图 1，直接写出∠ BME、∠ E、∠ END的数量关系为；（2）如图 2，∠ BME 与∠ CNE的角平分线所在的直线相交于点 P，试探（2）若点 C 在线段 AD 上（不与 A、D、G 重合），连接 BC，∠ MAG 和究∠ P 与∠ E 之间的数量关系，并证明你的结论；∠PBC的平分线交于点 H，请在图 2 中补全图形，猜想并证明∠ CBG与（3）如图 3，∠ ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线 MB、ND 交于点∠AHB 的数量关系；（3）若直线 AD 的位置如图 3 所示，（ 2）中的结论是否成立？若成立，F，则= ．请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠ AHB 的数量关系．22．如图，已知 AB∥CD， CE、BE的交点为 E，现作如下操作：21．如图 1，MN ∥PQ，直线 AD 与 MN、PQ 分别交于点 A、D，点 B 在第一次操作，分别作∠ ABE和∠ DCE的平分线，交点为E1，直线 PQ 上，过点 B 作 BG⊥AD，垂足为点 G．第二次操作，分别作∠ ABE1和∠ DCE1的平分线，交点为E2，（1）求证：∠ MAG+∠ PBG=90°；第三次操作，分别作∠ ABE2和∠ DCE2的平分线，交点为E3，，∠BAN=2：1．（1）填空：∠ BAN=°；（2）若灯 B 射线先转动 30 秒，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线到达第 n 次操作，分别作∠ ABE n﹣1和∠ DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠ BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠ BE2C= ∠ BEC；（3）猜想：若∠ E n=α度，那∠ BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图 1 所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 A 转动的速度是每秒 2 度，灯B 转动的速度是每秒 1 度．假定主道路是平行的，即 PQ∥ MN，且∠ BAM：BQ之前， A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线到达 AN 之前．若射出的光束交于点 C，过 C 作∠ ACD交 PQ于点 D，且∠ ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠ BAC 与∠ BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线 AB∥DC，点 P 为平面上一点，连接AP 与 CP．（1）如图 1，点 P 在直线 AB、 CD之间，当∠ BAP=60°，∠ DCP=20°时，求∠ APC．（2）如图 2，点 P 在直线 AB、 CD之间，∠ BAP与∠ DCP的角平分线相交于点 K，写出∠ AKC与∠ APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图 3，点 P 落在 CD 外，∠ BAP与∠ DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠ APC有何数量关系？并说明理由．25．已知直线 AB∥CD．26．已知 AM∥CN，点 B 为平面内一点， AB⊥ BC于 B．（1）如图 1，直接写出∠ A 和∠ C 之间的数量关系（1）如图 1，直接写出∠ ABE，∠CDE和∠ BED之间的数量关系是．；（2）如图 2，BF，DF 分别平分∠ ABE，∠CDE，那么∠ BFD和∠ BED有怎（2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，求证：∠ ABD=∠C；样的数量关系？请说明理由．（3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E、F 在 DM 上，连接 BE、BF、CF，（3）如图 3，点 E 在直线 BD 的右侧， BF，DF 仍平分∠ ABE，∠ CDE，请BF平分∠ DBC， BE平分∠ ABD，若∠ FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，直接写出∠ BFD和∠ BED的数量关系．求∠ EBC的度数．927．如图，直线 AB∥ CD，直线 MN 与 AB，CD分别交于点 M，N， ME，28．已知，∠ AOB=90°，点 C 在射线 OA 上， CD∥OE．NE分别是∠ AMN 与∠ CNM 的平分线， NE交 AB 于点 F，过点 N 作 NG⊥（1）如图 1，若∠ OCD=120°，求∠ BOE的度数；EN交 AB 于点 G．（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线 OE沿射线 OB 平移，得 O′E，（1）求证： EM∥ NG；其他条件不变，（如图 2 所示），探究∠ OCD、∠ BO′E的数量关系；（2）连接 EG，在 GN 上取一点 H，使∠ HEG=∠ HGE，作∠ FEH的平分线（3）在（ 2）的条件下，作PO′⊥OB 垂足为 O′，与∠ OCD 的平分线 CP EP交 AB 于点 P，求∠ PEG的度数．交于点 P，若∠ BO′E=α，请用含α的式子表示∠ CPO′（请直接写出答案）．10DG 平分∠ CDE交 BE于 G，求∠ FDG．（3）在（ 2）中，若∠ B=α，其它条件不变，则∠ FDG=．30．已知：如图， BC∥OA，∠ B=∠ A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证： OB∥ AC．（注意证明过程要写依据）29．如图 1．将线段 AB 平移至 CD，使 A 与 D 对应，B 与 C 对应，连 AD、（2）如图②，若点E、F 在 BC上，且满足∠ FOC=∠AOC，并且 OE平分BC．∠BOF．（ⅰ）求∠ EOC的度数；（ⅱ）求∠ OCB：∠ OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠ OEB=∠ OCA．此时∠ OCA 度数等于．（在横（1）填空： AB 与 CD的关系为，∠ B 与∠ D 的大小关系为线上填上答案即可）（2）如图 2，若∠ B=60°， F、 E 为 BC的延长线上的点，∠ EFD=∠EDF，拓展应用：（3）①如图 4，若 AB∥ EF，用含α，β，γ的式子表示 x，应为A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180 °﹣α﹣γ+β D.180 °+α+β﹣γ②如图 5，AB∥ CD，∠ EFA=30°，∠ FGH=90°，∠ HMN=30°，∠ CNP=50°，则∠ GHM 的大小是．31．数学思考：32．已知，直线 AB∥CD（1）如图 1，已知 AB∥CD，探究下面图形中∠ APC和∠ PAB、∠ PCD的（1）如图 1，点 E在直线 BD 的左侧，猜想∠ ABE、∠ CDE、∠ BED的数关系，并说明你探究的结论的正确性．量关系，并证明你的结论；推广延伸：（2）如图 2，点 E 在直线 BD的左侧， BF、DF 分别平分∠ ABE、∠ CDE，（2）①如图 2，已知 AA1∥3，请你猜想∠1、∠1、∠ 2、∠ 2、∠猜想∠ BFD和∠ BED的数量关系，并证明你的结论；BA A B B AA3的关系，并证明你的猜想；（3）如图 3，点 E 在直线 BD的右侧， BF、DF 分别平分∠ ABE、∠ CDE；②如图 3，已知 AA1∥n，直接写出∠1、∠ 1、∠ 2、∠ 2 、∠ n﹣1、那么第（ 2）题中∠ BFD和∠ BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成BA A B B A B∠A n的关系．立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．（2）迁移：某足球比赛中有n 个球队（ n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有 2 个球队时，要进行场比赛，有 3 个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，那么有 20 个球队时，要进行场比赛．33．阅读下列材料并填空：34．若∠ C=α，∠ EAC+∠ FBC=β（1）探究：平面上有 n 个点（ n≥2）且任意 3 个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有 2 个点时，可以画条直线，平面内有 3 个点时，一共可以画条直线，平面上有 4 个点时，一共可以画条直线，平面内有 5 个点时，一共可以画条直线，平面内有 n 个点时，一共可以画条直线．（3）如图 3，AI 平分∠ BAE，DI 交 AI 于点 I，交 AE 于点 K，且∠ EDI：∠CDI=2：1，∠ AED=20°，∠ I=30 °求，∠EKD的度数．（1）如图①， AM 是∠ EAC的平分线， BN 是∠ FBC的平分线，若 AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠ EAC的平分线所在直线与∠ FBC平分线所在直线交于P，试探究∠ APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠ EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠ EAP1与∠FBP1的平分线交于 P2；依此类推，则∠ P5=．（用α、β表示）36．已知 AB∥CD，点 P 在直线 AB、CD之间，连接 AP、CP．35．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．（1）探究发现：（填空）（1）如图 1，直接写出∠ EAF、∠ AED、∠ EDG之间的数量关系；填空：如图 1，过 P 作 PQ∥ AB，（2）如图 2，当点 E 在 FG延长线上时，求证：∠ EAF=∠AED+∠EDG；∴∠ A+∠1=°（）（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠ AGD的余∵AB∥ CD（已知）角等于2∠E的补角，求∠ BAE的大小．∴PQ∥ CD（）∴∠ C+∠ 2=180°结论：∠ A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图 2，延长 PC至点 E，AF、CF分别平分∠ PAB、∠ DCE，试判断∠ P与∠ F 存在怎样的数量关系并说明理由；②如图 3，若∠ APC=100°，分别作 BN∥AP，DN∥PC， AM、DM 分别平分∠ PAB，∠ CDN，则∠ M 的度数为（直接写出结果）．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反37．如图 1，AB∥CD， E 是 AB、CD之间的一点．射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线 m 射到平面镜（1）判定∠ BAE，∠ CDE与∠ AED之间的数量关系，并证明你的结论；a 上，被 a 反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线 n 与平面镜 a（2）如图 2，若∠ BAE、∠ CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠ AFD所夹的锐角∠ 1=∠2．（ 1）如图 2，一束光线m 射到平面镜 a 上，被 a与∠ AED之间的数量关系；反射到平面镜 b 上，又被 b 反射．若被 b 反射出的光线 n 与光线 m 平行，且∠ 1=50°，则∠ 2= °，∠ 3= °．（2）在（ 1）中 m∥n，若∠ 1=55°，则∠ 3= °；若∠ 1=40°，则∠3= °．（3）由（ 1）、（ 2），请你猜想：当两平面镜a、b 的夹角∠ 3= °时，可以使任何射到平面镜 a 上的光线 m，经过平面镜 a、b 的两次反射40．已知 AD∥CE，点 B 为直线 AD、CE所确定的平面内一点．后，入射光线 m 与反射光线 n 平行．你能说明理由吗？（1）如图 1 所示，求证：∠ ADB=∠B+∠BFE．（4）如图 3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜ 90）时，进入光线与离开光（2）如图 2，FG平分∠ BFE， DG 交 FG于点G 交 BF于点 H，且∠BDG：线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答∠ADG=2：1，∠ B=20°，∠ DGF=30°，求∠ BHD的度数．案．．39．已知 EF∥ MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图 1，若∠ 1=60°，则∠ 2=度；（2）如图 2，若∠ 1=∠B﹣20°．则∠ 2=度；（3）如图 3，延长 AC交直线 MN 于 D，GH 平分∠ CGN，DK 平分∠ ADN交 GH 于 K，问∠ GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．1.（﹣ 5，2）或（ 5， 2）;2. （1，3）或（ 5， 1）3. B;4.（ 8，3），（5，0） ;5.（8052，0）6.（2007， 1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣ 5，13）． 11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣ 1009，1009）∴点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等．∴y=2．∵点 N 到 y 轴的距离为 5，∴| x| =5．得， x=± 5．∴点 N 的坐标为（﹣ 5， 2）或（ 5，2）．故答案为：（﹣ 5，2）或（ 5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x 轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y 轴的距离是点的横坐标的绝对值．七下平行线，平面直角坐标系压轴题2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C（ 3，2），则平移后另一端一．填空题（共 13 小题）点的坐标为（ 1， 3）或（ 5，1）．1．已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为（﹣ 5，2）或（ 5， 2）．【分析】根据点 M（ 3，2）与点 N（ x， y）在同一条平行于 x 轴的直线上，可得点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等，由点 N 到 y 轴的距离为 5，【分析】分两种情况①当 A 平移到点 C 时，②当 B 平移到点 C 时，分别可得点 N 的横坐标的绝对值等于 5，从而可以求得点 N 的坐标．利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：∵点 M （3， 2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直【解答】解：①如图 1，当 A 平移到点 C 时，17∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∴点 A 的横坐标增大了1，纵坐标增大了 2，平移后的 B 坐标为（ 1，3），②如图 2，当 B 平移到点 C 时，∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∴点 B 的横坐标增大了3，纵坐标增大 2，∴平移后的 A 坐标为（ 5， 1），故答案为：（ 1， 3）或（ 5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形 ABCDE，其中 C、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着 x 轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（ 75，0）的是 B （填 A、B、C、D 或 E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5 的倍数，而该正五边形滚动5 次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵ C、 D 两点坐标分别为（ 1，0）、（ 2， 0）．∴按题中滚动方法点 E 经过点（ 3，0），点 A 经过点（ 4，0），点 B 经过点（ 5，0），∵点（ 75，0）的横坐标是 5 的倍数，而该正五边形滚动 5 次正好一周，∴可知经过（ 5，0）的点经过（ 75， 0），∴点 B 经过点（ 75，0）．故答案为： B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动 5 次正好一个轮回，并由此判断经过点（ 75，0）的点就是经过（ 5， 0）的点．故答案为：（ 8， 3），（5，0）．4．如图，弹性小球从点 P （ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰 到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰 到矩形的边时的点为 P 1 ，第 2 次碰到矩形的边时的点为 2 ， ，第 n 次P 碰到矩形的边时的点为 P n ，则点 P 3 的坐标是 （8，3） ；点 P 2014 的坐标是 （5，0） ．【点评】 此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6 次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点 A （﹣ 3，0）、 B （ 0， 4），对△ OAB连续作旋转变换，依次得到△ 1、△2、△3、△4 ，则△ 2013 的直角顶点的坐标为 （8052，0） ．【分析】 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个 循环组依次循环，用 2014 除以 6，根据商和余数的情况确定所对应的点 的坐标即可．【解答】 解：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（ 0，3）， 当点 P 第 3 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为：（ 8， 3）；∵2014÷ 6=335 4，【分析】 根据勾股定理列式求出 AB 的长，再根据第四个三角形与第一 ∴当点 P 第 2014 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 4 次反弹， 个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求 点 P 的坐标为（ 5， 0）．出一个循环组旋转前进的长度，再用 2013 除以 3，根据商为 671 可知第2013 个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】 解：∵点 A （﹣ 3， 0）、B （0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长【分析】 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对 2008 变形，度为： 4+5+3=12，得出结论．∵2013÷ 3=671，【解答】 解：根据规律∴△ 2013 的直角顶点是第 671 个循环组的最后一个三角形的直角顶点， P 1（1，1），P 2（2，0）=P 3 ，P 4（3，1），∵671×12=8052，5678P （5，1），P （6，0）=P ，P （7，1） ∴△ 2013 的直角顶点的坐标为（ 8052，0）． 每 4 个一循环，可以判断 P 2008 坐标在 502 次循环后与 4 坐标纵坐标一致，故答案为：（ 8052， 0）．P坐标应该是（ 2007，1）【点评】 本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图故答案为：（ 2007， 1）形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解 【点评】 本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的的难点．理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2008 次，点 P 依次落在点 P 1， 2， 3， 4， ， 2008 的位置，则 2008 的坐标为 （，PPPPP20077．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺 1） ．序按图中 “→”方向排列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（ 1，2），（2，2） 根据这个规律，第 2012 个点的横坐标为45 ．∴第 2025 个点是（ 45，0），第 2012 个点是（ 45，13），所以，第 2012 个点的横坐标为45．故答案为： 45．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为 0 结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为 1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减 1 的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为 1，共有 1 个， 1=12，右下角的点的横坐标为 2 时，共有 4 个， 4=22，右下角的点的横坐标为 3 时，共有 9 个， 9=32，右下角的点的横坐标为 4 时，共有 16 个， 16=42，右下角的点的横坐标为n 时，共有 n2个，∵452=2025，45 是奇数，【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折 2012 次，依次得到点 P1， P2，P3 P2012．则点 P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（，）；在等边三1角形翻折的过程中， P 点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得 P1（，）；1而 P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推， P n（ 1+2n﹣ 2，），即 P n（2n﹣1，）；当 n=2012 时， P2012（4023，）．故答案为：（ 4023， ）．∵A 4 所在正方形的边长为 ，2【点评】 考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根 A 4 的坐标为（ 1，﹣ 1）， 据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．同理可得： A 8 的坐标为（ 2 ，﹣ ）， 12 的坐标为（ 3，﹣ 3），2 A∴A 20 的坐标为（ ，﹣ ），559．如图，正方形 A 1A 2A 3A 4，A 5A 6A 7A 8，A 9A 10A 11A 12， ，（每个正方形从 故答案为：（ 5，﹣ 5）．第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A 1， 2， 3， 4；【点评】 本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A 20 所在的A A AA 5，A 6， A 7，A 8； A 9，A 10，A 11，A 12； ）的中心均在坐标原点 O ，各边 象限．均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长依次是 2， 4， 6 ，则顶点 A 20 的坐标为 （5，﹣ 5） ．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中 “→”方向排列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3） ，根据这个规律探索可得，第 90 个点的坐标为 （﹣ 5，13） ．【分析】 由 =5 易得 A 20 在第四象限，根据4 的坐标， 8 的坐标，12A AA的坐标不难推出 A 20 的坐标．【解答】 解：∵ =5，【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等， 然后求出第 90 个点∴A 20 在第四象限，的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共 1 个，（0， 2），（1，2），共 2 个，（1， 3），（0，3），（﹣ 1， 3），共 3 个，，依此类推，纵坐标是n 的共有 n 个坐标，1+2+3+ +n=，当 n=13 时，=91，所以，第 90 个点的纵坐标为 13，（13﹣1）÷ 2=6，∴第 91 个点的坐标为（﹣ 6， 13），第 90 个点的坐标为（﹣ 5，13）．故答案为：（﹣ 5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，根据这个规律探索可得，第 102 个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第 102 个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（ 1，0）作为第一列，（2，1）和（ 2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有 2 个数，第 n 列有 n 个数．则 n 列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为 105=1+2+3+ +14，则第 102 个数一定在第 14 列，由下到上是第 11 个数．因而第 102 个点的坐标是（ 14，10）．故答案填：（ 14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△ OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3已知： A（1，3），A1（2，3）， A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1 （4， 0），B2（8，0）， B3（ 16， 0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．【分析】寻找规律求解．【解答】解： A、A1、A2 A n都在平行于 X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以 A5的纵坐标是 3；这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n．因而点 A5的横坐标是 25=32；B、B1、B2 B n都在 x 轴上， B5的纵坐标是 0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5 =25+1=64．∴点 A5的坐标是（32，3），点 B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查 X 轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（ 1，0），点 A 第一次向左跳动至点 A1（﹣ 1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣ 2，2），第四次向右跳动点A4（ 3， 2），，依次规律跳动下去，点 A 第 2017 次跳动至点 A2017的坐标是（﹣，）．．1009 1009【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上 1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第 2 次跳动至点的坐标是（ 2， 1），第 4 次跳动至点的坐标是（ 3，2），第 6 次跳动至点的坐标是（ 4，3），第 8 次跳动至点的坐标是（ 5，4），第 2n 次跳动至点的坐标是（ n+1，n），则第 2018 次跳动至点的坐标是（1010， 1009），第 2017 次跳动至点 A2017的坐标是（﹣ 1009，1009）．故答案为：（﹣ 1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27 小题）14．如图，已知直线 AB∥CD，直线 EF分别与 AB、CD 相交于点 E、F，FM 平分∠ EFD，点 H 是射线 EA上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直线交 EF于点 P，HM 平分∠ BHP交 FM 于点 M．（1）如图 1，试说明：∠ HMF= （∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点 M 作 MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥ CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4（两直线平行，内错角相等）∴∠ 1+∠ 2=∠3+∠4（等式的性质）即∠ HMF=∠ 1+∠2．∵FM 平分∠ EFD，HM 平分∠ BHP（已知）∵∠ 1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠ HMF= ∠ BHP+∠DFP=（∠BHP+∠ DFP）（等量代换）．（2）如图 2，若 HP⊥EF，求∠ HMF 的度数；（3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 平分∠ HFE交 AB 于点 N，过点N 作 NQ⊥FM 于点 Q，试说明无论点 H 在何处都有∠ EHF=2∠ FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据 HP⊥EF，AB∥CD，得到∠ EHP+∠DFP=90°，再根据（ 1）中结论即可得到∠ HMF 的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN 平分∠HFE，FM 平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠ EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由 MQ∥CD，得到∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由 FM 平分∠ EFD，HM 平分∠ BHP，得到∠ 1= ∠BHP，∠ 2= ∠DFP，其依据为：角平分线定义．。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．实用文案7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．实用文案12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）实用文案∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）∴∠HMF=∠BHP +∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．实用文案①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图实用文案②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；实用文案（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F ，则=．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，实用文案第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠E n=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．实用文案（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，实用文案求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP 交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．实用文案29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横实用文案线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠B n﹣1、∠A n的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α C.180°﹣α﹣γ+β D.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成实用文案立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β实用文案（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5=．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，实用文案∴∠A+∠1=°（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P 与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为（直接写出结果）．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD 与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a实用文案所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a 反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3=°．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2=度；（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2=度；（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN 交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．实用文案1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）; 13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．实用文案【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是B（填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了实用文案解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一实用文案个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3 ，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45．实用文案【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P 2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，P n（1+2n﹣2，），即P n（2n﹣1，）；实用文案当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点实用文案的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数．则n 列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．实用文案12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A、A1、A2…A n都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n．因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2…B n都在x轴上，B5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X轴上的点的特征与平行于X轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），实用文案第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP +∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；实用文案。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．大全7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．大全大全12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 ，B 5的坐标是 ．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 ．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，FM 平分∠EFD ，点H 是射线EA 上一动点（不与点E 重合），过点H 的直线交EF 于点P ，HM 平分∠BHP 交FM 于点M ．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP ）； 请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M 作MQ ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． ∵AB ∥CD （已知），∴MQ ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（ ） ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠HMF=∠1+∠2．∵FM 平分∠EFD ，HM 平分∠BHP （已知） ∵∠1=∠BHP ，∠2=∠DFP （ ）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．大全②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F 与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED= °；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E 的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③大全中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC ⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；大全（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC 的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，大全第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN= °；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．大全（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，大全求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE 分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP 交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP大全交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG= ．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠大全BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α C.180°﹣α﹣γ+β D.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量大全关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β大全（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5= ．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，大全∴∠A+∠1= °（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC= °；（2）解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P 与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为（直接写出结果）．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD 与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a 上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹大全的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= °，∠3= °．（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3= °；若∠1=40°，则∠3= °．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2= 度；（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2= 度；（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．大全1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．大全【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是 B （填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了大全解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个大全三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45 ．大全【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；大全当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点大全的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数．则n 列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．大全大全12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 （32，3） ，B 5的坐标是 （64，0） ．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A 、A 1、A 2…A n 都在平行于X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A 5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n =2n．因而点A 5的横坐标是25=32； B 、B 1、B 2…B n 都在x 轴上，B 5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n =2n+1，因而点B 5的横坐标是B 5=25+1=64． ∴点A 5的坐标是（32，3），点B 5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X 轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 （﹣1009，1009）． ．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2）， 第6次跳动至点的坐标是（4，3）， 第8次跳动至点的坐标是（5，4）， …第2n 次跳动至点的坐标是（n+1，n ），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）， 第2017次跳动至点A 2017的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM 平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．大全故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．（3）如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）大全。
平面直角坐标系找规律压轴和平行线解答题压轴题
标准文档七下平行线，平面直角坐标系压轴题碰到矩形的的点P n，点P3的坐是；点P2021的坐是．一．填空〔共13小〕1．点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x的直上，且点N到y的距离5，点N的坐．2．如，在平面直角坐系中，点 A的坐〔2，0〕，点B的坐〔0，1〕，将段AB平移，使其一个端点到C〔3，2〕，平移后另一端点的坐．5．如，在直角坐系中，点 A〔3，0〕、B〔0，4〕，AB=5.△OAB作旋，依次得到△1、△2、△3、△4⋯，△2021的直角点的坐．3．如的坐平面上有一正五形ABCDE，其中C、D两点坐分〔1，0〕、〔2，0〕．假设在没有滑的情况下，将此五形沿着x向右，程中，点〔75，0〕的是〔填A、B、C、D或E〕．6．如，将1的正方形OAPB沿x正方向翻2021次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，⋯，P2021的位置，P2021的坐．4．如，性小球从点P〔0，3〕出，沿所示方向运，每当小球碰到矩形OABC的反，反反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的的点P1，第2次碰到矩形的的点P2，⋯，第n次实用文案7．如，在平面直角坐系中，有假设干个横坐分整数的点，其序按中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕⋯根据个律，第2021个点的横坐．10．如，在平面直角坐系中，有假设干个整数点，其序按中“→〞方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔1，3〕⋯，根据个律探索可得，第90个点的坐．8．如，将2的等三角形沿x正方向翻折2021次，依次得到点P1，P2，P3⋯P2021．点P2021的坐是．9．如，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，⋯，〔每个正方形从11．如所示，在平面直角坐系中，有假设干个整数点，其序按中第三象限的点开始，按方向序，依次A1，A2，A3，A4；箭方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，⋯，5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；⋯〕的中心均在坐原点O，各根据个律探索可得，第102个点的坐．A均与x或y平行，假设它的依次是2，4，6⋯，点A20的坐．实用文案二．解答〔共27小〕14．如，直AB ∥CD ，直EF 分与AB 、CD 相交于点E 、F ， 12．如，在直角坐系中，第一次将△OAB 成△OA 1B 1，第二次将 FM 平分∠EFD ，点H 是射EA 上一点〔不与点E 重合〕，点H 的直△OA 11成△OA 22，第三次将△OA 22成△OA 33⋯交EF 于点P ，HM 平分∠BHP 交FM 于点M ．B BBB：A 〔1，3〕，A 1〔2，3〕，A 2〔4，3〕，A 3〔8，3〕；B 〔2，0〕，B 1 〔1〕如1，明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP 〕；〔4，0〕，B 2〔8，0〕，B 3〔16，0〕．察每次前后的三角形有何在以下解答中，填写相的理由：化，按照律，第五次后得到的三角形 A 5的坐是，解：点M 作MQ ∥AB 〔直外一点有且只有一条直与条直平B 5的坐是．行〕．∵AB ∥CD 〔〕，∴MQ ∥CD 〔如果两条直都和第三条直平行，那么两条直也互相平行〕．如，在平面直角坐系上有点〔，〕，点 A 第一次向左跳至∴∠1=∠3，∠2=∠4〔〕13 A 10点A 1〔1，1〕，第二次向右跳至点A 2〔2，1〕，第三次向左跳至点∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性〕 3〔2，2〕，第四次向右跳点A 4〔3，2〕，⋯，依次律跳下去，即∠HMF=∠1+∠2．A点A第2021次跳至点A2021的坐是．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕实用文案标准文档∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔〕连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．〔1〕求证：∠BFA+∠BAC=180°；∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代换〕．〔2〕请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；〔2〕如图2，假设HP⊥EF，求∠HMF的度数；〔3〕如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于〔3〕如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点点M，假设∠ADC=α，请直接写出∠M的度数〔用含α的式子表示〕N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．16．直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．．如图1 ，直线、在直线m 上，点、在直线n 上，〔1〕假设E是AB，CD内一点．15 m∥n，点BF EC 实用文案标准文档①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，假设∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．〔2〕假设E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；〔3〕如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°求∠，EKD的度数．MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．，AB∥CD，点E为射线FG上一点．〔1〕如图1，假设∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=°；〔2〕如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，那么∠18．小明在学习了“平行线的判定和性质〞知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．〔1〕当点E分别在如以下图①、图实用文案标准文档②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．〔2〕请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．〔3〕运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．〔直接写出结果，不用写计算过程〕〔1〕试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；〔2〕如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；〔3〕如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，假设AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．20．直线AB∥CD．〔1〕如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；实用文案标准文档〔2〕如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；〔3〕如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，那么=．〔2〕假设点C在线段AD上〔不与A、D、G重合〕，连接BC，∠MAG 和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜测并证明∠CBG 与∠AHB的数量关系；〔3〕假设直线AD的位置如图3所示，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请证明；假设不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，〔1〕求证：∠MAG+∠PBG=90°；实用文案标准文档第三次操作，分作∠ABE 和∠DCE 的平分，交点E ，⋯，B 的速度是每秒 1 度．假定主道路是平行的，即∥ MN ，且∠ ： 223PQBAM ∠BAN=2：1．〔1〕填空：∠BAN=°；〔2〕假设灯B 射先30秒，灯A 射才开始，在灯B 射到达n 次操作，分作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分，交点E n ．〔1〕如①，求：∠BEC=∠ABE+∠DCE ； 〔2〕如②，求：∠BE 2C=∠BEC ；〔3〕猜测：假设∠E n =α度，那∠BEC 等于多少度？〔直接写出〕．BQ 之前，A 灯几秒，两灯的光束互相平行？〔3〕如2，假设两灯同，在灯A 射到达AN 之前．假设射出的光束交于点C ，C 作∠ACD 交PQ 于点D ，且∠ACD=120°，在程中，探究∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否生化？假设不，求出其数量关系；假设改，明理由．24．，直AB ∥DC ，点P 平面上一点，接 AP 与CP ．23．“一一路〞中国和世界更密， “中欧路〞了平安起在某段 路两旁安置了两座可旋探照灯．如 1所示，灯A 射从AM 开始 旋至AN 便立即回，灯B 射从BP 开始旋至 BQ 便 立即回，两灯不停交叉照射巡．假设灯A 的速度是每秒 2度，灯实用文案标准文档〔1〕如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．求∠APC．〔2〕如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．〔3〕如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．25．直线AB∥CD．26．AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．〔1〕如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是〔1〕如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；．〔2〕如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；〔2〕如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎〔3〕如图3，在〔2〕问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，样的数量关系？请说明理由．BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，假设∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，〔3〕如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请实用文案标准文档求∠EBC 的度数．EP 交 AB 于点，求∠ 的度数．P PEG28．，∠AOB=90°，点C 在射线OA 上，CD ∥OE ． 27．如图，直线AB ∥CD ，直线MN 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，ME ，〔1〕如图1，假设∠OCD=120°，求∠BOE 的度数；NE 分别是∠AMN 与∠CNM 的平分线，NE 交AB 于点F ，过点N 作NG ⊥〔2〕把“∠AOB=90°〞改为“∠AOB=120°〞，射线OE 沿射线OB 平移，得O ′E，EN 交AB 于点G ．其他条件不变，〔如图2所示〕，探究∠OCD 、∠BO ′E 的数量关系；〔1〕求证：EM ∥NG ；〔3〕在〔2〕的条件下，作 PO ′⊥OB 垂足为O ′，与∠OCD 的平分线CP 〔2〕连接EG ，在GN 上取一点H ，使∠HEG=∠HGE ，作∠FEH 的平分线 交于点P ，假设∠BO ′E=α，请用含α的式子表示∠CPO ′〔请直接写出答案〕．实用文案标准文档〔2〕如图2，假设∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．〔3〕在〔2〕中，假设∠B=α，其它条件不变，那么∠FDG=．30．：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试答复以下问题：29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、〔1〕如图①所示，求证：OB∥AC．〔注意证明过程要写依据〕BC．〔2〕如图②，假设点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．〔ⅰ〕求∠EOC的度数；〔ⅱ〕求∠OCB：∠OFB的比值；〔1〕填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为〔ⅲ〕如图③，假设∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．〔在横实用文案标准文档上填上答案即可〕∠A n的关系．拓展用：〔3〕①如4，假设AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，A．α+β+γB．β+γα°αγ+β°+α+βγ②如5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，∠GHM的大小是．31．数学思考：32．，直AB∥CD〔1〕如1，AB∥CD，探究下面形中∠APC和∠PAB、∠PCD的〔1〕如1，点E在直BD的左，猜测∠ABE、∠CDE、∠BED的数关系，并明你探究的的正确性．量关系，并明你的；推广延伸：〔2〕如2，点E在直BD的左，BF、DF分平分∠ABE、∠CDE，〔2〕①如2，AA1∥BA3，你猜测∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠猜测∠BFD和∠BED的数量关系，并明你的；A3的关系，并明你的猜测；〔3〕如3，点E在直BD的右，BF、DF分平分∠ABE、∠CDE；②如3，AA1∥BA n，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、⋯∠B n﹣1、那么第〔2〕中∠BFD和∠BED的数量关系的猜测是否仍成立？如果成实用文案标准文档立，明；如果不成立，写出你的猜测，并明．直，⋯平面内有n个点，一共可以画条直．〔2〕迁移：某足球比中有n个球〔n≥2〕行循比〔每两之必比一〕，一共要行多少比？有2个球，要行比，有3个球，要行比，有4个球，要行比，⋯那么有20个球，要行比．33．以下材料并填空：34．假设∠C=α，∠EAC+∠FBC=β〔1〕探究：平面上有n个点〔n≥2〕且任意3个点不在同一条直上，每两点画一条直，一共能画多少条直？我知道，两点确定一条直．平面上有2个点，可以画条直，平面内有3个点，一共可以画条直，平面上有4个点，一共可以画条直，平面内有5 个点，一共可以画条实用文案标准文档〔3〕如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°求，∠EKD的度数．〔1〕如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，假设AM∥BN，那么α与β有何关系？并说明理由．〔2〕如图②，假设∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．〔用α、β表示〕〔3〕如图③，假设α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于 P2；依此类推，那么∠P5=．〔用α、β表示〕35．，AB∥CD，点E为射线FG上一点．36．AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．〔1〕探究发现：〔填空〕〔1〕如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；填空：如图1，过P作PQ∥AB，〔2〕如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；实用文案标准文档∴∠A+∠1=°〔〕与∠AED之间的数量关系；∵AB∥CD〔〕〔3〕将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，假设∠AGD的余∴PQ∥CD〔〕角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC=°；〔2〕解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，假设∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，那么∠M的度数为〔直接写出结果〕．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反〔1〕判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；1，一束光线m射到平面镜射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图〔2〕如图2，假设∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFDa上，被a反射后的光线为n，那么入射光线 m、反射光线n与平面镜a 实用文案标准文档所夹的锐角∠1=∠2．〔1〕如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．假设被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，那么∠2=°，∠3=°．〔2〕在〔1〕中m∥n，假设∠1=55°，那么∠3=°；假设∠1=40°，那么∠3=°．〔3〕由〔1〕、〔2〕，请你猜测：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？〔4〕如图3，两面镜子的夹角为α°〔0＜α＜90〕时，进入光线与离开光线的夹角为β°〔0＜β＜90〕．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．交GH于K，问∠GKD是否为定值，假设是求值，不是说明理由．40．AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．〔1〕如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．〔2〕如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．39．EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．〔1〕如图1，假设∠1=60°，那么∠2=度；〔2〕如图2，假设∠1=∠B﹣20°．那么∠2=度；〔3〕如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN 实用文案1.〔﹣5，2〕或〔5，2〕;2.〔1，3〕或〔5，1〕3.B;4〔.8，3〕，〔5，0〕;5.〔8052，0〕6.〔2007，1〕．8.〔4023，〕．9.〔5，﹣5〕．10.〔﹣5，13〕．11.〔14，10〕;12.〔32，3〕，〔64，0〕; 标准文档线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．y=2．∵点N到y轴的距离为5，|x|=5．得，x=±5．13.〔﹣1009，1009〕七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题〔共13小题〕1．点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y 轴的距离为5，那么点N的坐标为〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【分析】根据点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直∴点N的坐标为〔﹣5，2〕或〔5，2〕．故答案为：〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【点评】此题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，将线段AB平移，使其一个端点到C〔3，2〕，那么平移后另一端点的坐标为〔1，3〕或〔5，1〕．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．实用文案标准文档【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．假设在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚∵C〔3，2〕，A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，动，那么滚动过程中，经过点〔75，0〕的是B〔填A、B、C、D或E〕．∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为〔1，3〕，②如图2，当B平移到点C时，【分析】根据点〔75，0〕的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过〔5，0〕的点经过〔75，0〕，找到经过〔5，0〕的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．∴按题中滚动方法点E经过点〔3，0〕，点A经过点〔4，0〕，点B经过∵C〔3，2〕，A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，点〔5，0〕，∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∵点〔75，0〕的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴平移后的A坐标为〔5，1〕，∴可知经过〔5，0〕的点经过〔75，0〕，故答案为：〔1，3〕或〔5，1〕．∴点B经过点〔75，0〕．【点评】此题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直故答案为：B．角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变【点评】此题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了实用文案标准文档解正五形5次正好一个回，并由此判断点〔75，0〕的点就∴当点P第2021次碰到矩形的第336个循的第4次反，是〔5，0〕的点．点P的坐〔5，0〕．故答案：〔8，3〕，〔5，0〕．4．如，性小球从点P〔0，3〕出，沿所示方向运，每当小球碰到矩形OABC的反，反反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的的点P1，第2次碰到矩形的的点P2，⋯，第n次碰到矩形的的点P n，点P3的坐是〔8，3〕；点P2021的坐是〔5，0〕．【点】此主要考了点的坐的律，作出形，察出每6次反一个循依次循是解的关．5．如，在直角坐系中，点A〔3，0〕、B〔0，4〕，△OAB作旋，依次得到△1、△2、△3、△4⋯，△2021的直角点的坐〔8052，0〕．【分析】根据反射角与入射角的定作出形，可知每6次反一个循依次循，用 2021除以6，根据商和余数的情况确定所的点的坐即可．【解答】解：如，6次反后点回到出点〔0，3〕，当点P第3次碰到矩形的，点P的坐：〔8，3〕；∵2021÷6=335⋯4，【分析】根据勾股定理列式求出AB的，再根据第四个三角形与第一实用文案标准文档个三角形的位置相同可知每三个三角形一个循依次循，然后求出一个循旋前的度，再用2021除以3，根据商671可知第2021个三角形的直角点循的最后一个三角形的点，求出即可．【解答】解：∵点A〔3，0〕、B〔0，4〕，【分析】根据形得出点的坐化律，再根据律2021形，∴AB==5，得出．由可知，每三个三角形一个循依次循，一个循前的度：4+5+3=12，∵2021÷3=671，∴△2021的直角点是第671个循的最后一个三角形的直角点，∵671×12=8052，∴△2021的直角点的坐〔8052，0〕．故答案：〔8052，0〕．【点】本是点的坐化律的考了，度不大，仔察形，得到每三个三角形一个循依次循是解的关，也是求解的点．6．如，将1的正方形OAPB沿x正方向翻2021次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，⋯，P2021的位置，P2021的坐〔2007，1〕．【解答】解：根据律P1〔1，1〕，P2〔2，0〕=P3，P4〔3，1〕，P5〔5，1〕，P6〔6，0〕=P7，P8〔7，1〕⋯4个一循，可以判断P2021坐在502次循后与P4坐坐一致，坐是〔2007，1〕故答案：〔2007，1〕【点】本主要考了正方形的性，坐与形性等知点的理解和掌握，体了由特殊到一般的数学方法，一解答的方法在考本的知点常用到，是在研究特例的程中律．7．如，在平面直角坐系中，有假设干个横坐分整数的点，其序按中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕⋯根据个律，第2021个点的横坐45．实用文案标准文档∵452， 45 是奇数，=2025∴第2025个点是〔45，0〕， 第2021个点是〔45，13〕， 所以，第2021个点的横坐45． 故答案：45．【点】本考了点的坐，察出点个数与横坐的存在的平方关系是解的关．【分析】察形可知，以最外的矩形上的点准，点的个数等于x 上右下角的点的横坐的平方，并且右下角的点的横坐是奇2021次，依8．如，将2的等三角形沿x 正方向翻折 数最后以横坐数，坐 0束，当右下角的点横坐是偶〔4023，数，以横坐1，坐右下角横坐的偶数减 次得到点P 1，P 2，P 3⋯P 2021．点P 2021的坐是〕．1的点束，根据此律解答即可．【解答】解：根据形，以最外的矩形上的点准，点的个数等于x 上右下角的点的横坐的平方， 例如：右下角的点的横坐1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐 2，共有 4个，4=22， 【分析】根据等三角形的性易求得P 1的坐〔1，〕；在等三角形翻折的程中，P 点的坐不，而每翻折一次，横坐增加2右下角的点的横坐 3，共有 9个，9=32，右下角的点的横坐4，共有16个，16=42，个位〔即等三角形的〕，可根据个律求出点P 2021的坐．【解答】解：易得P 1〔1，〕；⋯右下角的点的横坐n ，共有n 2个，而P 12 23 ，∴2〔3，〕，P 3〔5，〕；P=PP=2P依此推，P n 〔1+2n2，〕，即P n 〔2n1，〕；实用文案标准文档当n=2021，P2021〔4023，〕．∴A20在第四象限，故答案：〔4023，〕．∵A4所在正方形的2，【点】考了律型：点的坐．解答此律型，通常要根A4的坐〔1，1〕，据的条件得到一般化律，然后根据律求特定的．同理可得：A8的坐〔2，2〕，A12的坐〔3，3〕，∴A20的坐〔5，5〕，9．如，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，⋯，〔每个正方形从故答案：〔5，5〕．第三象限的点开始，按方向序，依次A1，A2，A3，A4；【点】本考坐与形的性，解关是首先找出A20 所在的A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；⋯〕的中心均在坐原点O，各象限．均与x或y平行，假设它的依次是2，4，6⋯，点A20的坐〔5，5〕．．如，在平面直角坐系中，有假设干个整数点，其序按中“→〞10方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔1，3〕⋯，根据个律探索可得，第90个点的坐〔5，13〕．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐，A8的坐，A12的坐不推出A20的坐．【解答】解：∵=5，【分析】察可知，坐的数与点的个数相等，然后求出第90 个点实用文案标准文档的坐，以及在一坐中的序数，再根据坐是奇数的从右到左数，坐是偶数的从左到右数，然后解答即可．【解答】解：〔0，1〕，共1个，〔0，2〕，〔1，2〕，共2个，〔1，3〕，〔0，3〕，〔1，3〕，共3个，⋯，依此推，坐是n的共有n个坐，1+2+3+⋯+n=，当n=13，=91，所以，第90个点的坐13，〔13 1〕÷2=6，∴第91个点的坐〔6，13〕，90个点的坐〔5，13〕．故答案：〔5，13〕．【点】本考了点的坐与律化，察出坐的数与相的点的坐的个数相等是解的关．11．如所示，在平面直角坐系中，有假设干个整数点，其序按中箭方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，⋯，根据个律探索可得，第102个点的坐〔14，10〕．【分析】先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的律求解．【解答】解：把第一个点〔1，0〕作第一列，〔2，1〕和〔2，0〕作第二列，依此推，第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n个数．n列共有个数，并且在奇数列点的序是由上到下，偶数列点的序由下到上．因105=1+2+3+⋯+14，第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐是〔14，10〕．故答案填：〔14，10〕．【点】本考了学生理解并律的能力，解决的关是能正确找出目中点的律．实用文案标准文档12．如，在直角坐系中，第一次将△OAB成△OA1B1，第二次将△OA1B1成△OA2B2，第三次将△OA2B2成△OA3B3⋯：A〔1，3〕，A1〔2，3〕，A2〔4，3〕，A3〔8，3〕；B〔2，0〕，B1〔4，0〕，B2〔8，0〕，B3〔16，0〕．察每次前后的三角形有何化，按照律，第五次后得到的三角形A5的坐是〔32，3〕，B5的坐是〔64，0〕．【分析】找律求解．【解答】解：A、A1、A2⋯A n都在平行于X的直上，点的坐都相等，所以A5的坐是3；些点的横坐有一定的律：A n=2n．因而点A5的横坐是25=32；B、B1、B2⋯B n都在x上，B5的坐是0；些点的横坐也有一定的律：B n=2n+1，因而点B5的横坐是B5=25+1=64．∴点A5的坐是〔32，3〕，点B5的坐是〔64，0〕．故答案分是：〔32，3〕，〔64，0〕．【点】考X上的点的特征与平行于X的直上点的特点．注意数形合思想在此的用，找到点的化律是解的关．13．如，在平面直角坐系上有点A〔1，0〕，点A第一次向左跳至点A1〔1，1〕，第二次向右跳至点 A2〔2，1〕，第三次向左跳至点A3〔2，2〕，第四次向右跳点A4〔3，2〕，⋯，依次律跳下去，点A第2021次跳至点A2021的坐是〔1009，1009〕．．【分析】根据形察，第偶数次跳至点的坐，横坐是次数的一半加上1，坐是次数的一半，奇数次跳与偶数次跳的横坐的相反数加上1，坐相同，然后写出即可．【解答】解：察，第2次跳至点的坐是〔2，1〕，4次跳至点的坐是〔3，2〕，6次跳至点的坐是〔4，3〕，8次跳至点的坐是〔5，4〕，⋯第2n次跳至点的坐是〔n+1，n〕，第2021次跳至点的坐是〔1010，1009〕，实用文案标准文档2021次跳动至点A2021的坐标是〔﹣1009，1009〕．故答案为：〔﹣1009，1009〕．【点评】此题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题〔共27小题〕14．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM 平分∠EFD，点H是射线EA上一动点〔不与点E重合〕，过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．〔1〕如图1，试说明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；请在以下解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB〔过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行〕．∵AB∥CD〔〕，∴MQ∥CD〔如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行〕∴∠1=∠3，∠2=∠4〔两直线平行，内错角相等〕∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性质〕即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔角平分线定义〕∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代换〕．〔2〕如图2，假设HP⊥EF，求∠HMF的度数；〔3〕如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】〔1〕根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；〔2〕先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据〔1〕中结论即可得到∠HMF的度数；〔3〕先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM 平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：〔1〕由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；实用文案标准文档FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．〔2〕如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°〔三角形的内角和等于180°〕又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由〔1〕得：∠HMF=〔∠EHP+∠DFP〕=×90°=45°．〔3〕如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°〔三角形的内角和等于180°〕．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=〔∠HFE+∠EFD〕=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2〔90°﹣∠FNQ〕=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．〔1〕求证：∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；〔3〕如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，假设∠ADC=α，请直接写出∠M的度数〔用含α的式子表示〕实用文案标准文档∴∠BFA+∠BAC=180°；【分析】〔1〕根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；〔2〕根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；〔3〕过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕，进而得到∠M的度数．【解答】解：〔1〕如图1，∵直线m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，〔2〕与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，∴∠ABF=∠ANC，∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；〔3〕如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，∵BF∥CE，∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，∴∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕=〔180°﹣α〕=90°﹣α，∵MG∥BF∥CE，∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°﹣α．实用文案标准文档MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．【分析】〔1〕①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠MFN=∠1+【点评】此题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；助线构造内错角，解题时注意：两直线平行，内错角相等．〔2〕①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，16．直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根据8字形〔1〕假设E是AB，CD内一点．结构得到∠GNQ=3α+3β，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证∠GND=∠1=α+β，据此可得∠ENG：∠GND的值．明．【解答】解：〔1〕①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②如图乙所示，假设∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠证明：如图甲，过E作EF∥AB，F与∠MEN的数量关系．〔2〕假设E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠∵AB∥CD，实用文案。
平面直角坐标系找规律压轴与平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 ，B 5的坐标是 ．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 ．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，FM 平分∠EFD ，点H 是射线EA 上一动点（不与点E 重合），过点H 的直线交EF 于点P ，HM 平分∠BHP 交FM 于点M ．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP ）； 请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M 作MQ ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． ∵AB ∥CD （已知），∴MQ ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（ ） ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠HMF=∠1+∠2．∵FM 平分∠EFD ，HM 平分∠BHP （已知） ∵∠1=∠BHP ，∠2=∠DFP （ ）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F 与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED= °；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E 的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC 的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC ⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．21．如图1，MN ∥PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为点G ． （1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，∠MAG 和∠PBC 的平分线交于点H ，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG 与∠AHB 的数量关系；（3）若直线AD 的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG 与∠AHB 的数量关系．22．如图，已知AB ∥CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E 1， 第二次操作，分别作∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2， 第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ． （1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE ；（2）如图②，求证：∠BE 2C=∠BEC ；（3）猜想：若∠E n =α度，那∠BEC 等于多少度（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ ∥MN ，且∠BAM ：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN= °；（2）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作∠ACD 交PQ 于点D ，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC ．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE 分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP 交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP 交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG= ．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α °﹣α﹣γ+β °+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5= ．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求 ∠EKD 的度数．36．已知AB ∥CD ，点P 在直线AB 、CD 之间，连接AP 、CP ． （1）探究发现：（填空） 填空：如图1，过P 作PQ ∥AB ， ∴∠A+∠1= °（） ∵AB ∥CD （已知）∴PQ ∥CD （ ） ∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC= °； （2）解决问题：①如图2，延长PC 至点E ，AF 、CF 分别平分∠PAB 、∠DCE ，试判断∠P 与∠F 存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN ∥AP ，DN ∥PC ，AM 、DM 分别平分∠PAB ，∠CDN ，则∠M 的度数为 （直接写出结果）．37．如图1，AB ∥CD ，E 是AB 、CD 之间的一点．（1）判定∠BAE ，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，若∠BAE 、∠CDE 的两条平分线交于点F ．直接写出∠AFD 与∠AED 之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G 得图3，若∠AGD 的余角等于2∠E 的补角，求∠BAE 的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射后的光线为n ，则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且∠1=50°，则∠2= °，∠3=°．（2）在（1）中m ∥n ，若∠1=55°，则∠3= °；若∠1=40°，则∠3= °．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案． ．39．已知EF ∥MN ，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°． （1）如图1，若∠1=60°，则∠2= 度； （2）如图2，若∠1=∠B ﹣20°．则∠2= 度；（3）如图3，延长AC 交直线MN 于D ，GH 平分∠CGN ，DK 平分∠ADN 交GH 于K ，问∠GKD 是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是 B （填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45 ．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 （32，3） ，B 5的坐标是 （64，0） ．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A 、A 1、A 2…A n 都在平行于X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A 5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n =2n ．因而点A 5的横坐标是25=32； B 、B 1、B 2…B n 都在x 轴上，B 5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n =2n+1，因而点B 5的横坐标是B 5=25+1=64． ∴点A 5的坐标是（32，3），点B 5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X 轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 （﹣1009，1009）． ．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1）， 第4次跳动至点的坐标是（3，2）， 第6次跳动至点的坐标是（4，3）， 第8次跳动至点的坐标是（5，4）， …第2n 次跳动至点的坐标是（n+1，n ），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）， 第2017次跳动至点A 2017的坐标是（﹣1009，1009）． 故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM 平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，。
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七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP 交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m 上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D ，作∠CBF 和∠CEF 的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD 上的点．（1）若E是AB ，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE ，∠MEN 之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED= °；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC 的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F 分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH 为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END 的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B 作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN= °；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC 有何数量关系？并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD 和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB ⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F 在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD 分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N 作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE 交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG= ．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA 度数等于．（在横线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α C.180°﹣α﹣γ+β D.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n ≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5= ．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，∴∠A+∠1= °（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC= °；（2）解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为（直接写出结果）．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m 射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= °，∠3= °．（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3= °．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b 的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2= 度；（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2= 度；（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH 平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是 B （填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45 ．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A、A1、A2…An都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：An=2n．因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2…Bn都在x轴上，B5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP 交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．（3）如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，。