中考压轴题之平面直角坐标系下角度相等问题
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中考压轴题之——平面直角坐标系下的角度相等问题中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。
与平面直角坐标系结合，将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察学生对知识综合、灵活应用的能力，同时考察学生解题方法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。
平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：1、利用三角形全等解决2、利用三角形相似解决3、利用三角函数解决4、利用圆的知识解决下面分类举例说明：类型一、利用三角形全等解决角度相等问题例1、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A （﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】：（1）∵抛物线y=ax +bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），带入两点坐标即可。
∴抛物线的表达式为y=-x +2x+3；(2) 设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为（0，1），得到直线BP的解析式为y=- 1/3x+1，最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可．【解答】解：（1）抛物线的表达式为y=-x +2x+3；(过程略）（2）存在．如图，设BP交轴y于点G，∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，∴当x＝2时，m＝﹣2 +2×2+3＝3，∴点D的坐标为（2，3），把x＝0代入y＝﹣x +2x+3，得y＝3，∴点C的坐标为（0，3），∴CD∥x轴，CD＝2，∵点B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，又∵∠PBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△CGB≌△CDB（ASA），∴CG＝CD＝2，∴OG＝OC﹣CG＝1，∴点G的坐标为（0，1），设直线BP的解析式为y＝kx+1，将B（3，0）代入，得3k+1＝0，解得k＝﹣1/3，∴直线BP的解析式为y＝﹣1/3x+1，令﹣1/3x+1＝﹣x +2x+3，解得x1=-2/3，x2＝3，∵点P是抛物线对称轴x＝1左侧的一点，即x＜1，∴x＝﹣2/3，把x＝﹣2/3代入抛物线y＝﹣x +2x+3中，解得y＝11/9，∴当点P的坐标为（﹣2/3，11/9）时，满足∠PBC＝∠DBC．【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在全等三角形中，利用全等的性质解决问题。
在平面直角坐标系中,到两坐标轴的距离相等的点的轨迹
在平面直角坐标系中，经常会遇到一些特殊的点集合，比如到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
这个主题涉及到了点的集合和距离的概念，对于数学爱好者来说，是一个非常有趣的课题。
下面将从几何和代数两个角度来解析这个主题。
一、几何角度的分析在平面直角坐标系中，我们可以很容易地找到到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
我们设这样的点为P(x, y)，且到x轴和y轴的距离相等，即|x|=|y|。
不难看出，当x和y都为正数或者负数时，点P(x, y)分别位于第一象限和第三象限；当x为正数而y为负数，或者x为负数而y为正数时，点P(x, y)分别位于第二象限和第四象限。
在平面直角坐标系中，我们将点P(x, y)的坐标表示为(x, x)或者(-x, -x)以及(x, -x)或者(-x, x)，描绘出这些点的位置，就会得到一个以坐标原点为中心的，交叉于坐标轴的直线集合。
这个直线集合就是到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
二、代数角度的分析从代数的角度来看，到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹也可以进行分析。
设点P(x, y)到x轴和y轴的距离相等，即|x|=|y|。
我们可以列出以下方程组：|x| = |y|x² = y²根据以上方程组，我们可以解得：x = ±y将上述解代入点P(x, y)的坐标中，得到P(x, x)和P(-x, -x)以及P(x, -x)和P(-x, x)。
这些点的集合就构成了到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹。
到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹形成了四条直线，它们分别经过坐标原点，并且与坐标轴成45度角。
这些直线的集合形成了一个交叉于坐标轴的图形，这个图形就是所求的点的轨迹。
在数学中，通过分析几何和代数性质可以得到同一个结果，这充分展现了数学的美妙与严谨。
对于这种点的轨迹，我们不仅可以通过纯几何的方法来得到，也可以通过代数的方法来解决。
在数学学习中，应该既注重几何思维，又注重代数方法，这样才能更好地理解和运用数学知识。
中考二次函数与角度有关的问题知识解读
二次函数与角度有关的问题知识解读【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
为此，下面将与角度有关的常见压轴题题型及解法做统一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP 上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。
当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+−=x x 及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。
在Rt ⊿BDE 中，可知tan ∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。
2020中考数学专题—存在性问题之45°角或等角
2020中考专题16——存在性问题之45°角或等角班级姓名.【方法解读】这里所说的角的存在性问题主要涉及45°角(或135°角)、两角相等的存在性问题.45°角是一个非常特殊的角,它不仅是直角的一半,也是等腰直角三角形的底角,解决此类问题的一般策略是构造等腰直角三角形(见下图);角的相等问题常借助相似(全等)或等腰三角形求解.【例题分析】例1.如图，已知反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点E （3，4），在该图象上面找一点P ，使∠POE ＝45°，则点P 的坐标为．例2.如图，在平面直角坐标系中,反比例函数)0(2>=x x y 的图象与正比例函数y=kx,y=k1x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB 的面积是.例3.如图，抛物线y ＝2ax ＋ｂx ＋ｃ经过A （－1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【巩固训练】1.如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2,0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是．3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且经过点C(0，2)、D（3，），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，当∠PCD＝45°时，求点P的坐标．4.如图，直线y＝3x和双曲线y＝（x＞0）交于点A，点P为双曲线上一点，且∠POA＝∠1+∠2，求点P的坐标．5..如图，二次函数y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．6.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，问在抛物线上是否存在点P，使∠DBP＝45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），C（3，0）；过A作AB∥x轴交抛物线于点B，连接AC、BC，点P为抛物线上动点．（1）求抛物线解析式；（2）当∠PAB＝∠BCA时，求点P的坐标；（3）当点P在抛物线上BC两点之间移动时，点Q为x轴上一动点，连接AP、AQ，使得tan∠PAQ＝2，且AP交BC于点G，过G作GH⊥AQ交AQ于点H，设点H的坐标为（m，n），求n关于m的函数关系式．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α＝∠ABM时，求P点坐标．2020中考专题16——存在性问题之45°角或等角参考答案例1.解：方法一、过点E作EA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥x轴于点B，如图所示．∵点E（3，4）在函数y＝的图象上，∴k＝3×4＝12，∴设点P的坐标为（n，），则点A（3，0），点B（n，0），S四边形OBPE＝S△OAE+S梯形PBAE＝|k|+（PB+EA）•AB＝6+（+4）（n﹣3）＝2n﹣+6．S△OEP＝S四边形OBPE﹣S△OBP＝2n﹣+6﹣|k|＝2n﹣．由两点间的距离公式可知：OE＝＝5，OP＝，S△OEP＝OE•OP•sin∠EOP＝＝2n﹣，即7n4﹣576n2﹣1008＝0，解得：n2＝84或n2＝﹣84（舍去），∴n1＝2，n2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，）；方法二、如图，过点E作EF⊥OE交OP于点F，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，过点F作FM ⊥NE于点M，∴∠ONE＝∠EMF＝90°，∴∠NOE+∠OEN＝90°，∵∠OEF＝90°，∴∠OEN+∠FEM＝90°，∴∠NOE＝∠MEF，若∠POE＝45°，则OE＝EF，在△ONE和△MEF中，∵，∴△ONE≌△MEF（AAS），∴EM＝ON＝4、MF＝NE＝3，则点F的坐标为（7，1），∴直线OF的解析式为y＝x，由，解得x＝2或x＝﹣2（舍），当x＝2时，y＝＝＝＝，即点P（2，），故答案为：（2，）．例2.【答案】2【解析】过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ．过点A 作AM ⊥y 轴，垂足为M ，过点B 作BN ⊥x 轴，垂足为N ．设点A 的横坐标为a ，则点A 的纵坐标为a 2．∵点A 在一次函数数y ＝kx 上，∴a 2＝ka ．k ＝22a ．∴OB 所在直线的解析式为y ＝22a x ．令22a x ＝x 2．得x ＝a 2．∴y ＝a ．∴OA ＝OB ，△OAM ≌△OBN ．∵∠AOB ＝45°，∴∠AOC ＝∠AOM ．∴△OAM ≌△OAC ．∴S △OAB ＝2S OAM ＝2．故填2．BO A xy CN M 例3.解：（1）由题意得，016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得，34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴y =23944x x -++3.（2）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴403k b b +=⎧⎨=⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y =﹣34x +3．设D （a ，23944a a -++3）（0＜a ＜4）．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于M ．∴M （a ，﹣34a +3）.∴DM =239333444a a a ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2334a a -+．∵∠DME =∠OCB ，∠DEM =∠COB ，∴△DEM ∽△BOC ，∴DE DM =OB BC．∵OB =4，OC =3，∴BC =5，∴DE =45DM ．∴DE =231255a a -+=()2312255a --+.当a =2时，DE 取最大值，最大值是125．（3）假设存在这样的点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等．∵F 是AB 的中点，∴OF =32，tan∠CFO =OC OF=2．过点B 作BG ⊥BC 交CD 的延长线于G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H ．∵DE ⊥BC ，故∠CED =90°，则只存在另外两个角与∠CFO 相等．①若∠DCE =∠CFO ，∴tan∠DCE =OC OF =2，∴BG =10．∵△GBH ∽△BCO ，∴GH BO =HB OC =GB BC．∴GH =8，BH =6.∴G （10，8）．设直线CG 的解析式为y =kx +b ，∴3108b k b =⎧⎨+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y =12x +3．依题意得，213239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得x =73，或x =0（舍）．②若∠CDE =∠CFO ，同理可得，BG =52，GH =2，BH =32，∴G （112，2）．同理可得，直线CG 的解析式为y =－211x +3．依题意得，2231139344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得x =10733，或x =0（舍）．综上所述，存在D 使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，其横坐标为73或10733．【巩固训练】答案1.解：作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，过B 点作BC ⊥y 轴于C ，交AE 于G ，如图所示：则AG ⊥BC ，∵∠OAB ＝90°，∴∠OAE +∠BAG ＝90°，∵∠OAE +∠AOE ＝90°，∴∠AOE ＝∠GAB ，在△AOE 和△BAG 中，，∴△AOE ≌△BAG （AAS ），∴OE ＝AG ，AE ＝BG ，∵点A （n ，1），∴AG ＝OE ＝n ，BG ＝AE ＝1，∴B （n +1，1﹣n ），∴k ＝n ×1＝（n +1）（1﹣n ），整理得：n 2+n ﹣1＝0，解得：n ＝（负值舍去），∴n＝，∴k ＝；故答案为：．2.（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2，则B（0，2）．∴OB＝OA＝2，AB＝2．设点O到直线AB的距离为d，＝OA2＝AB•d，得由S△OAB4＝2d，则d＝．故答案是：．（2）作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CPA＝∠ABO＝45°，所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则△PCD∽△APB，所以＝，即＝，解得m＝12．故答案是：12．3.解：∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．（3）存在．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝y F﹣EM＝m，∴tan∠CFM＝2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN•tan∠PFN＝FN•tan∠CFM＝2FN．∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝m，PN＝2FN＝m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝＝m．∵PF＝y P﹣y F＝（﹣m2+m+2）﹣（m+2）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝m，整理得：m2﹣m＝0，解得m＝0（舍去）或m＝，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．4.解：过点A作x平行线交y轴于点E，过点P作y轴的平行线交x轴于点F，交EA于点B，连接AP．如图所示．将一次函数解析式y＝3x代入到反比例函数解析式y＝（x＞0）中，3x＝，即3x2＝3，解得：x＝1，或x＝﹣1（舍去）．当x＝1时，y＝＝3，∴点A的坐标为（1，3）．设点P的坐标为（n，）（n＞0），则OF＝n，OE＝3，BP＝3﹣，AB＝n﹣1，OA＝＝，OP＝．∵∠POA＝∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2＝90°，∴∠POA＝45°．S POA＝S矩形OFBE﹣S△OAE﹣S△OPF﹣S△ABP＝3n﹣﹣﹣（3﹣）（n﹣1）＝（1+）（n﹣1）＝（n﹣）．又∵S POA＝OA•OP•sin∠POA＝＝（n﹣），即4n4﹣18n2﹣36＝0，解得：n2＝6，或n2＝﹣（舍去）．∵n＞0，∴n＝，∴点P的坐标为（，）．5..解：（1）∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1，∴，解得，m1＝﹣1，m2＝0（舍去）∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），（2）如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，∵∠PQO+∠OPQ＝90°，∠OPQ+∠HPE＝90°，∴∠HPE＝∠PQO，由旋转知，PQ＝PE，在△EPH和△PQO中，，∴△EPH≌△PQO，∴EH＝OP＝﹣t，HP＝OQ＝5∴E（﹣t，5+t）当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t＝﹣t2﹣2t+3解得t1＝﹣2，t2＝﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），（3）设点M（a，﹣a2+2a+3）①若点M在x轴上方，如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB∴∠MCN＝∠DAF∴△MCN∽△DAF，∴，即∴，a2＝0（舍去）∴，②若点M在x轴下方，如图3，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB∴∠MCN＝∠ADF∴△MCN∽△ADF∴，即∴a1＝4，a2＝0（舍去）∴M（4，﹣5）综上所述，或M（4，﹣5）．6.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，∴代入A，C点坐标得：，解得：a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）将D点代入抛物线解析式得：m+1＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝2，m2＝﹣1（不符合题意，舍去）∴D点坐标（2，3）；∴AB∥DC，∴∠DCB＝∠ABC＝45°＝∠BCO，∴点D关于BC的对称点D'落在OC上，∴CD＝CD'＝2，∴D'坐标（0，1）；（3）假设存在点P使得∠DBP＝45°交y轴于点F，作D关于BC对称点D'，连接DD'交BC于点E，连接BD，AC，BF，∵﹣x2+2x+3＝0时，x＝﹣1或3，∴点B坐标（3，0），∴BC＝3，∵CD＝2，CD'＝2，∴DD'＝2，CE＝，BE＝BC﹣CE＝2，∵∠CBO＝∠DBF＝45°，∴∠DBE＝∠ABF，∵∠DBP＝∠ABC＝45°，∠DBE＝∠ABF，∠DEB＝∠FOB＝90°，∴△FOB∽△DEB，∴＝，即＝，∴FO＝，∴F（0，），∵B（3，0），设直线BF解析式为y＝kx+b，代入B，F点坐标得：直线BF解析式为y＝﹣x+，设直线BF与抛物线交点坐标为（x，y），则，解得：，（不符合题意，舍去），∴存在P点坐标为（﹣，）．7.（1）将A（0，3），C（3，0）代入得：，解得b＝2，c＝3．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1中，当点P在抛物线上BC两点之间时，连接PA交BC于E，作BM⊥OC于M，EN⊥BM于N．∵∠PAB＝∠ACB，∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BE•BC，∴BE•BC＝4，∵BC＝，∴BE＝，∵EN∥MC，∴＝＝，∴＝＝，∴BN＝，EN＝，∴E（，），∵A（0，3），∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，由解得或，∵A（0，3），∴P（，），根据对称性直线AP关于直线AB的对称的直线AP′的解析式为y＝x+3，由解得或，∴P′（，），综上所述，满足条件的点P坐标为P（，）或（，）；（3）如图2中，作HM⊥OA于M，GN⊥MH于N．∵AH⊥GH，∴∠AHG＝90°，由△AHM∽△HGN，∴＝＝，∵tan∠GAH＝＝2，H（m，n），∴＝＝，∴HN＝6﹣2n，GN＝2m，∴G（6﹣﹣2n+m，2m+n），∵直线BC的解析式为y＝﹣3x+9，∵点G在直线BC上，∴2m+n＝﹣3（6﹣2n+m）+9，∴n＝m+．8.（1）抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，顶点M（1，﹣3），令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣3＝﹣2，点A（0，﹣2），x＝3时，y＝（3﹣1）2﹣3＝4﹣3＝1，点B（3，1）；（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，∵EB＝EA＝3，∴∠EAB＝∠EBA＝45°，同理可求∠FAM＝∠FMA＝45°，∴△ABE∽△AMF，∴＝＝，又∵∠BAM＝180°﹣45°×2＝90°，∴tan∠ABM＝＝；（3）过点P作PH⊥x轴于H，∵y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），①点P在x轴的上方时，＝，整理得，3x2﹣7x﹣6＝0，解得x1＝﹣（舍去），x2＝3，∴点P的坐标为（3，1）；②点P在x轴下方时，＝，整理得，3x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝（舍去），x2＝，x＝时，x2﹣2x﹣2＝﹣×＝﹣，∴点P的坐标为（，﹣），综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，﹣）．。
中考数学复习考点知识归类讲解与练习01 平面直角坐标系与函数基本概念
中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
部编数学七年级下册期末难点特训(三)和平面直角坐标系有关的压轴题(解析版)含答案
(1)已知点A的坐标为（﹣3，1），(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)如图（1），若点D 的坐标为()1,0-，点(),F m n 为线段DE 12，求m 的取值范围；(3)如图（2），若DE 与y 轴的交点G 在B 点上方，点P 为EBO Ð，BPD Ð，PDA Ð之间的数量关系．【答案】(1)()4,0A ，()0,2B ，()0,3C -14Q 将线段AB 平移到DE ，AB DE \=，AB DE ∥，AD =\四边形ABED 的面积25=´=152ABF ABEDS S D \==四边形，ABF ADF ABO ABFD S S S S D D D =+=+Q 四边形11155422(222n m \+´´=´´+´´-Q将线段AB平移到DE \∥，AD BE AB DE∥ADP BFD\Ð=Ð，\Ð=°-Ð=180180 PFB BFD Q，Ð=Ð+ÐEBO BPD BFPEBO BPD\Ð=Ð+°-Ð180Q将线段AB平移到DE \∥，AD BE\Ð+Ð=°，PDA BFD180\Ð=°-Ð，180BFP PDAÐ=Ð+ÐQ，EBO BFP BPF\Ð=°-Ð+180180 EBO PDA如图，当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，EBO BEG EGB Ð=Ð+ÐQ ，又BE AD Q ∥，BEG GDT \Ð=Ð，由对顶角得EGB TGD Ð=Ð，PTD TGD TDG Ð=Ð+ÐQ ，PTD EBO \Ð=Ð，PDA PTD TPD Ð=Ð+ÐQ ，PDA EBO BPD\Ð=Ð+Ð综上所述：当点P 在点B 的下方时，180EBO BPD ADP Ð=Ð+°-Ð；当点P 在B 、与AD 的延长线与y 轴的交点之间时，360EBO PDA BPD Ð+Ð+Ð=°；当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，PDA EBO BPD Ð=Ð+Ð．【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB 平移至线段CD ，点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的正半轴上，连接AC 、BD ．(1)若(3,0)A -、(2,2)B --，(0,2)C ，直接写出点D 的坐标；(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点(2,0)M ，两个动点(,21)E a a +、(,23)F b b -+．请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图③，在直线EF 上有两点A 、C ，分别引两条射线AB 、CD ．110BAF Ð=°，//EF OM Q ，EF OM =，\点E 与F 的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为即2123a b +=-+，||a b -=如图①，AB 与CD 在EF 的两侧时，110BAF Ð=°Q ，60DCF Ð=°，18060312031203ACD t t t \Ð=°-°-°´=°-°´=°-°要使//AB CD ，则ACD BAF ÐÐ=，即120°-解得5t =，此时(18060)340°-°¸°=，040t \<<，∴a−6＝0，c＋8＝0，∴a＝6，c＝−8，∴A（6，0），B（6，−8）．当点P到AB的距离为2个单位长度时，运动路程s＝6−2＝4或s＝6＋8＋2＝16，∴4÷2＝2s或16÷2＝8s，故答案为：2s或8s；(2)①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）；②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时PA＝2t−6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P （6，6−2t）；③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t−OA−AB＝2t−14，PC＝BC−PB＝6−（2t−14）＝20−2t，∴P（20−2t，−8）；(3)当点P在线段AB上时，分两种情况：①如图3中，结论：∠PEA＋∠PFC＝160°，理由如下：连接OP，∵∠PFC＝∠FPO＋∠FOP，∠AEP＝∠EOP＋∠EPO，∴∠PEA＋∠PFC＝∠FPO＋∠FOP＋∠EOP＋∠EPO＝∠AOF＋∠EPF＝90°＋70°＝160°；②如图4中，结论：∠PFC−∠AEP＝20°，理由如下：a______，b=______；(1)直接写出=轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P=，设OC mAE BDQ∥，\ADQ=(1)求B 点的坐标时，小明是这样想的：先设B 点坐标为以()m n ,是方程2x y -=-的解；又因为B 点在直线BC 解，从而m ，n 满足228m n m n -=-ìí+=î，据此可求出B 点坐标为______；C 点坐标为______．（均直接写出结果）(2)若线段BC 上存在一点D ，使12OCD ABC S S =△△（O∵S△ABM+S梯形AMNF=S△FBN，∴1 2×4×4+12（4+FN）×3=12×FN×7，∴FN=7，∴F（-5，-3），过点∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DG⊥x轴于E，过点M作MG⊥DG于G，同理得△BOA≌△AED，△MGD≌△DEQ，∴DE=MG=OA=2，OE=2+6=8，∴OE=8=m+2，∴m=6，∴OQ=OE+EQ=OE+DG=8+2+3m-6=3m+4=22，∴Q（22，0）；③如图4，∠MDQ=90°，△MDQ 是等腰直角三角形，过点D作DE⊥x轴于E，过M作MG∥y轴，过点D作DG⊥MG于G，同理得：OA=DE=DG=2，∴m=2+6+2=10，∴OQ=EQ-OE=MG-OE=2+3m-6-8=18，∴Q（-18，0）；综上，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或（-18，0）．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角形全等．过点过点过点(1)求点A ，B 的坐标；(2)如图1，将AB 平移到A B ¢¢，使点B 的对应点B ¢落在x 轴的正半轴上，在且20ABP Ð=°，试判断PB A ¢¢Ð与B PB ¢Ð之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，线段AB 与y 轴交于点M ，将AB 平移到A B ¢¢，连接MA ¢∵由平移得：AB A B ¢¢∥∴PQ A B ¢¢∥∴QPB PB A ¢¢¢Ð=Ð，20QPB PBA Ð=Ð=°∴PB A QPB B PB QPB B PB PBA ¢¢¢¢¢Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð∵ACDB ACOM OMDBS S S =+梯形梯形梯形∴()()(111826246222m ´´+=´++´´解得：4m =如图3，过点A ¢、B ¢构造矩形A GEF ¢∴A B M A GB MEB A GEF S S S S ¢¢¢¢¢¢=---矩形△△△(1118884488222n n =´-´´-´×-´×-64162324n n---+216n =+\Ð∵Q由平移可得：,MN PQ ∥180,MNQ PQN EQP MNE ENQ EQN \Ð+Ð=°=Ð+Ð+Ð+Ð 180,NEQ ENQ EQN Ð+Ð+Ð=°Q,NEQ EQP MNE \Ð=Ð+Ð如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），同理可得：180,180,MNQ PQN QNE NEQ NQE Ð+Ð=°Ð+Ð+Ð=° 360,MNE NEQ EQP \Ð+Ð+Ð=°如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，同理，当C 点平移后的点不是“自大点时”， 1t …或3t …，\当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，1t …或7t …，故答案为：1t …或7t …．【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的平移变化，根据题意，准确找出“自大点”的纵横坐标满足的关系是解答此题的关键．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
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中考压轴题之平面直角坐标系下的角度相等问题中考题最后的压轴题中，经常出现与角度相关的问题。
与平面直角坐标系结合，将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起，考察学生对知识综合、灵活应用的能力，同时考察学生解题方法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。
平面直角坐标系下的角度相等问题，通常有以下几种解题思路：1、利用三角形全等解决2、利用三角形相似解决3、利用三角函数解决4、利用圆的知识解决下面分类举例说明：题型一、利用全等处理角等例1、（2017秋?莲湖区期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 BC．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点 M，使得△ MBC 的面积与△ OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接 BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P，满足∠ PBC＝∠ DBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点 A（﹣ 1，0），B（3，0），可求得抛物线的表达式；（2）根据直线 BC的解析式为 y＝﹣ x+3，可得过点 O 与 BC 平行的直线 y＝﹣ x，与抛物线的交点即为 M，据此求得点 M 的坐标；（3）设 BP交轴 y于点 G，再根据点 B、C、D 的坐标，得到∠ DCB＝∠ OBC＝∠ OCB＝45°，进而判定△ CGB≌△ CDB，求得点 G 的坐标为（0，1），得到直线 BP 的解析式为 y＝﹣x+1，最后计算直线 BP 与抛物线的交点 P 的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0），B（3，0），∴，∴，解得，∴抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+2x+3；（2）存在．∵抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+2x+3，∴点 C的坐标为（ 0，3），∵C（0，3），B（3，0），∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，∴过点 O与 BC平行的直线 y＝﹣x，与抛物线的交点即为 M，解方程组可得∴x＝（3）存在．如图，设 BP 交轴 y 于点 G ，∵点 D （2，m ）在第一象限的抛物线上， 2∴当 x ＝2 时，m ＝﹣ 22+2×2+3＝3，∴点 D 的坐标为（ 2，3），2把 x ＝0 代入 y ＝﹣ x 2+2x+3，得 y ＝ 3， ∴点 C 的坐标为（ 0，3）， ∴CD ∥x 轴， CD ＝2， ∵点 B （3，0）， ∴OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠ DCB ＝∠ OBC ＝∠ OCB ＝45°， 又∵∠ PBC ＝∠ DBC ，BC ＝ BC ， ∴△CGB ≌△CDB （ASA ）， ∴CG ＝CD ＝2， ∴OG ＝OC ﹣CG ＝ 1， ∴点 G 的坐标为（ 0，1）， 设直线 BP 的解析式为 y ＝kx+1， 将 B （ 3， 0）代入，得 3k+1＝0， 解得 k ＝﹣ ，M 1（， ），M 2（ ，）；∴直线 BP 的解析式为 y ＝﹣ x+1，令﹣ x+1＝﹣ x 2+2x+3， 解得 ，x 2＝3， ∵点 P 是抛物线对称轴 x ＝＝1 左侧的一点，即x<1，把 x＝﹣代入抛物线 y＝﹣ x2+2x+3 中，∴当点 P 的坐标为（﹣）时，满足∠ PBC＝∠DBC．【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在全等三角形中，利用全等的性质解决问题。
题型二、利用相似处理角等问题例2、声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得例 2 复例 2（ 2016?广州一模）2如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝x2+bx+c与y轴交于点 C，与x轴交于A，B两点，点 B的坐标为（ 3，0），直线 y＝﹣x+3恰好经过 B，C 两点（1）写出点 C 的坐标；（2）求出抛物线 y＝x2+bx+c 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 A的坐标；（3）点 P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为 D 且∠ APD＝∠ ACB，求点 P的坐标．【分析】（1）由直线 y＝﹣ x+3 可求出 C点坐标；（2）由 B，C 两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A 点坐标；（3）作出辅助线 OE，由三角形的两个角相等，证明△ AEC∽△ AFP，根据两边成比例，便可求出 PF 的长度，从而求出 P 点坐标．解答】解：（1）y ＝﹣ x+3与y 轴交于点 C ，故 C （0，3）．2）∵抛物线 y ＝x 2+bx+c 过点 B ，C ， y ＝ x 2﹣4x+3＝（x ﹣1）×（ x ﹣3），∴对称轴为 x ＝ 2， 点 A （ 1， 0）．2（3）由 y ＝ x 2﹣4x+3， 可得 D （2，﹣ 1），A （1，0）， ∴OB ＝3，OC ＝3，OA ＝1，AB ＝2， 可得△ OBC 是等腰直角三角形， ∴∠ OBC ＝45°， ． 如图，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F ，过点 A 作AE ⊥BC 于点 E ． ∴∠AEB ＝90 度． 可得 ， ．在△AEC 与△ AFP 中，∠ AEC ＝∠ AFP ＝90°，∠ ACE ＝∠ APF ， ∴△ AEC ∽△ AFP ． ∴， ∴，解得 PF ＝ 2．或者直接证明△ ABC ∽△ ADP 得出 PD ＝3， 再得 PF ＝ 2．∵点 P 在抛物线的对称轴上，∴点 P 的坐标为（ 2，2）或（ 2，﹣2）．∴抛物线的解析式【总结】出现角等的条件时，可以将两角构造在相似三角形中，利用相似对应边成比例的性质解决问题。
这类问题也可以用三角函数解决。
见类型三。
三、利用三角函数（ tan 值）处理角等问题2例 3、（2018?济南改编）如图 1，抛物线 y＝ ax2+bx+4 过 A（2，0）、B（4，0）两点，交 y 轴于点C，过点 C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 D，连接 AC、BC．点 P是该抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m（ m>4）．（1）求该抛物线的表达式和∠ ACB 的正切值；（2）如图 2，若∠ ACP＝45°，求 m 的值；【分析】（ 1）由点 A、B 坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为 y＝ x2﹣3x+4，作BG⊥CA，交 CA 的延长线于点 G，证△ GAB∽△ OAC 得＝，据此知 BG＝2AG．在Rt△ABG 中根据 BG2+AG2＝AB2，可求得 AG＝．继而可得 BG＝，CG＝AC+AG ＝，根据正切函数定义可得答案；（2）由题意可得，∠ BCD=4°5 ，若∠ ACP ＝45°，则∠ ACP=∠PCD 。
即 tan ∠ ACP=tan ∠ PCD 。
由（1）得tan ∠ACB=1/3，所以tan ∠PCD=1/3。
过P 做PH ⊥CD 于点H ，设出 P 点 坐标，列方程即可 。
解答】解：（1）将点A （2，0）和点B （4，0）分别代入 y ＝ax 2+bx+4，得∴该抛物线的解析式为 y ＝ x 2﹣3x+4．过点B 作BG ⊥CA ，交CA 的延长线于点 G （如图 1所示），则∠ G ＝90°∵∠ COA ＝∠ G ＝90°，∠ CAO ＝∠BAG ， ∴△ GAB ∽△ OAC ．∴BG ＝2AG．在 Rt △ABG 中，∵ BG 2+AG 2＝AB 2，在 Rt △BCG 中，tan ∠ACB ═ ＝ ．2）（2）∵∠BCD=45若∠ACP ＝45°，则∠ACP= ∠PCD 。
＝＝2．2AG ）2+AG 2＝22．解得： AG ＝CG ＝ AC+AG即 tan ∠ACP=tan ∠PCD 。
由（1）得 tan ∠ACB=1/3 ，∴tan ∠PCD=1/3 。
过 P 做 PH ⊥CD 于点 H设 P（m ，1/2m^2 ﹣3m+4 ）则 HC=m PH=4-1/2m^2+3m-4=-1/2m^2+3m∵tan ∠PCD=1/3∴ PH/HC=1/3即（ -1/2m^2+3m ）/m=1/3解得： m=16/3 或m=0 （舍去）∴ m=16/3【总结】出现角等的条件时，即两个角的正切值相等。
从而列出方程解决即可。
这类问题也可以用相似解决，见类型二。
题型四、利用隐圆处理角等2例4：（2018?日照改编）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．1）求抛物线解析式；2）在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P ，使△ PBC 面积为 1；x+1），则 D （x ，﹣ x+1），然后可得到 PD 与 x 之间的关系式，接下来，依据△ PBC 的面积为 1 列方程 求解即可；解答】 解：（1）设抛物线的解析式为 y ＝a （ x+1）（x ﹣3），将 C （0， 1）代入得﹣ 3a ＝ 1，解得： a ＝﹣2）过点 P 作PD ⊥x ，交BC 与点 D ．1）代入求得 a 的值即可； 2）过点 P 作 PD ⊥x ，交 BC 与点 D ，先求得直线 BC 的解析式为y ＝ ﹣ x+1，设点 P （ x ， ﹣ x 2+∴抛物线的解析式为 y ＝x 2+x+1．设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx+b ，则 ，解得： k ＝﹣∴直线 BC 的解析式为 y ＝﹣ x+1．x+ 2∴PD ＝（﹣ x 2+ ∴ S △PBC ＝ OB?DP ＝设点 P x ，x+1），则 D （x ，﹣ x+1）2﹣（﹣ x+1 ）＝﹣x +x ，2× 3×（﹣ x 2+ x ）＝﹣2x + x ．又∵ S △PBC ＝ 1， ∴﹣ x 2∴﹣ x +x ＝1，整理得：2x2﹣ 3x+2 ＝ 0，解得： x ＝1 或 x ＝2，∴点 P 的坐标为（ 1，）或（ 2， 1）．y ＝ a （ x+1）（x ﹣ 3），将 C【总结】出现角等的条件时，根据题目出现的条件，利用同弧所对的圆周角相等或同弧的圆周角是圆心角的一半，构造圆形解决问题。