兔房里的数列

兔房里的数列
—— 斐波那契数列教学案例
深圳南山外国语学校数学组 邓亚轩
背景介绍
为了促进应试教育向素质教育的转变，全国范围内的课程改革正在积极推进，广东省是课程改革实验省，深圳市高中数学教材选择的是江苏出版社出版的教材，这套教材充分体现了引导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学；使学生应用数学知识解决实际问题。

我所教的两个班的学生基础不是很好，思维不是很活跃，对数学学习兴趣不是很高，所以，我在教学中要精心地选择一些数学问题从而激发学生的学习兴趣。

情景描述
1 斐波那契数列的提出：
在上述教材的习题中有这样一道题目，（1）已知数列}{n a 的第一项是1，第二项是2，以后各项由)3(21≥+=--n a a a n n n 给出，请写出这个数列的前5项；（2）用上面的数列}{n a ，通过公式1
+=n n n a a b 构造一个新的数列}{n b ，写出数列}{n b 的前5项。

教材正文中没有反映相邻三项关系的递推公式，我让同学们通过这个习题来体会相邻三项的递推关系以及用已知数列定义新数列，同学们很快得到}{n a 的前5项分别是1、2、3、5、8，}{n b 的前5项分别是21、32、53、85、13
8，这时我告诉同学们数列}{n a 是由意大利数学家斐波那契提出的，所以叫斐波那契数列，本来到这就可以结束了，继续原计划的其它内容，可是这时有一个同学问这个数列有什么实际意义，怎么想出来的，当时，我有两种选择：一是调整学生的思路，使课堂回到预设的轨道上来；二是放弃原来的教学设计，让学生思维创新的种子萌发、生长，在学生渴求的目光中我选择了后者，于是我提出了如下的问题，说有一个人年初时在一间房子里放了一对一雌一雄的小兔，两个月后每月可生一雌一雄的小兔，新生的每对小兔在两个月后也每月生一对一雌一雄的小兔，问年底兔房里共有多少对兔子？问题一出，同学们鸦雀无声，每个人都开始了认真的推算，几分钟后有些人开始讨论，讨论的人数越来越多，声音也越来越大，甚至有些人由于结果不同争论得面红而赤，每个人都在说明自己的理由，试图说服其他同学，争执不下，同学们就拿出各自的答案让我看，同学们的答案是千奇百怪，五花八门，但遗憾的是没有一个结果是正确的，这时我没有急于否定大家，也没有马上说出答案，而是与同学们共同研究，第一个月是一对，第二个月仍是一对，第三个月新生了一对兔宝宝，加上原来的一对，共计是两对，第四个月的兔子也是由两部分组成，一部分是上个月就存在的2对，另一部分是本月新生的一对兔宝宝，新生的兔宝宝对数就是两个月前兔子的对数，以此类推，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，年底兔子的对数就相当于求数列)3(21≥+=--n a a a n n n 的第十二项14412=a ，同学
们觉得挺有趣，嚷着问这个人是谁，我告诉同学们这个人就是斐波那契，他出生在比萨，大约生活在1175年至1240年，距现在已有800多年，他主要著作叫《算盘书》，兔子问题就是此书中的一个问题，后来人们为了纪念斐波那契，就用他的名字命名了这个数列叫斐波那契数列。

2 斐波那契数列的魅力
到这我想学生应该满足了，可是事情却偏偏不向我所想的方向发展，有几个同学追问这个数列有什么现实意义？此时我想，如果继续按学生的思路走，这节课肯定完成不了原定的教学任务，但如果不满足学生的要求，那么学生探究的思维就会受到扼杀，为了保护同学们探究的积极性，我还是选择了后者，我在网络上查找到几张植物果实的图片，
（1）（2）
（3）（4）
让同学们仔细观察果实排列的形状，通过观察发现果实排列成从中心出发按逆时针旋转和顺时针旋转的两种曲线，第一张图片顺时针旋转的曲线有十三条，逆时针旋转的曲线有二十一条，第二张图片顺时针旋转的曲线有二十一条，而逆时针旋转的曲线有十三条，两种曲线的条数与第一张刚好相反，其他图片上两种曲线也都有类似的规律，即两种曲线的条数刚好是斐波那契数列中相邻的两项，难道这只是一种偶然的巧合吗？下面让我们来探究一下，我们知道，植物经过漫长的进化，使它的结构日趋合理和给人以美感，许多结构的比例都符合黄金分割率，而在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……中，请同
学们利用计算器计算以任何一项为分子，以它的下一项为分母的分数值，11
=1； 2
1=0.5； 32=0.66667; 53=0.6; 85=0.625 138=0.61538; 2113=034
21=0.61765; 5534=0.61818; 89
55=0.61798; 14489=0.61806，通过计算和观察同学们发现当项数逐渐增大时所得的分数值就趋向于黄金分割率0.618，同学们都感到非常奇妙，也正是因为这一点，斐波那契数列才放射着它无尽的光辉，斐波那契数列体现了数学美与自然美的和谐统一。

后来人们把植物果实、叶子这种排列的螺旋线叫做斐波那契螺旋。

电脑技术发展到今天，我们可以利用电脑绘制出更美丽、更奇特的斐波那契螺旋，请同学们欣赏两幅，看到这两幅图片，同学们都惊呼起来：“哇！真漂亮”这时，我看到同学们兴奋的笑脸就象斐波那契螺旋一样美丽，此时作为教师的我也很兴奋，也很陶醉，全然忘记了是在给学生上课。

另外，今后同学们若是到意大利去，在参观伽俐略做落体实验的比萨斜塔的同时，别忘了去欣赏一下在比萨的斐波那契雕塑，在网上找一张斐波那契雕塑的照片让同学们欣赏。

斐波那契雕塑
3 斐波那契数列的应用
接下来学生又问，斐波那契数列对我们现在的学习有什么应用，说句实话，当时我心里有些紧张，本来这个内容是不想介绍的，准备不够充分，现在又问有什么应用，刚才我的得意和兴奋被一扫而光，感觉就象是题目不会解，而被挂在黑板上似的，尴尬得很，我搜肠刮
肚想了好一会儿，终于想出了一个问题，我请同学们考虑如下的问题，
9号蜂房，问有多少种不同的爬法？于是同学们又开始了研究，这回经过几分钟的研究和讨论大约有三分之二的同学发现到一号蜂房有一种爬法，到二号蜂房有两种爬法，到三号蜂房的爬法应该等于到一号蜂房与到二号蜂房爬法之和，有一加二等于三种爬法，依次类推得到了正确答案97855a a a =+=，点评后，我告诉同学们这是2003年全国希望杯数学邀请赛的一道题目，利用斐波那契数列很快就会得出结果，同学们高兴得再一次惊叫：“哇！绝了”。

我却是出了一身的冷汗。

同学们满意了，可下课的时间也到了，而我的教学目标早被抛跑到了九霄云外。

教学诠释
1．教材选用这一题目，目的之一是反映相邻几项的递推关系，目的之二就是要了解斐波那契数列，特别是第二小题引导学生继续探索下去，发现分数值趋向于黄金分割率，同学们观察到这一结果时，就像哥伦布发现新大陆时一样兴奋。

2．此习题中数列的第一项是斐波那契数列的第二项。

3．这一案例涉及到数学史、黄金分割、数列的递推关系、斐波那契数列的应用，时间跨度、知识跨度比较大，但难度不大，教学时应调动学生的学习积极性，使学生主动的去探究。

4．本案例比较适合作为课外活动材料，如果学生的探究意识不强或不会提出问题，教师可给予适当的引导和启发。

教学研究
这节课后我进行了反思，这节课与长期形成的“规范”的课堂教学相比，有浪费时间的嫌疑，教学未能按计划实施，偏离了预定的教学目标。

然而本节课学生获得了自主探究的机会，经历了一个提出问题、克服困难、战胜挫折、解决问题的过程，从学生的课堂表情中看出，他们感受到了探索与成功的喜悦，虽然偏离了教学目标，但整个教学过程贴近学生、激发了学生学习兴趣和动力，所以我觉得耽误了一点时间“值得”。

课后我还对学生进行了调查，特别是平时课堂上不是很积极的同学说，他们喜欢上这样的课，喜欢这样上课，所要探究的问题不是事先藏在教师头脑中的谜底，而是师生共同去探索，体现了同学间的合作以及师生间的合作。

要实施素质教育，提高学生的能力就应把课堂真正的还给学生，学生既是课堂的主体，也是课堂的主人，教师是设置教学情境，提供教学素材，引导同学们自主探究的引路人。

我认为教师转变教学观念是实施教学改革的第一步，但是只有这一步还是远远不够的，实施教学改革的关键在于实践，在实践中创新，在实践中发展。

案例点评
本案例是以一道习题引出的研究课，形散而神不散，以斐波那契数列的提出、与黄金分割率的联系、应用为明的线索层层递进，特别是本案例始终以激发学生的探究欲望为暗的线索，使这一课题得以圆满解决。

本案例给学生们提供了一次合作交流、共同参与的机会，这种合作与参与不是靠教师命令式的将学生机械地分成几个小组，要求学生以小组为单位进行讨论，由于这节课研究的问题学生感兴趣，同学们很自然的自由组合起来进行研究，这是我们合作学习的真正目标。

本案例充分体现了变“教教材”为“用教材教”的思想，尤其在目前一本标准，多本教材的形势下，教师更应该灵活的用教材，而不是拘泥于一本教材。

本案例不仅使学生了解了斐波那契数列，而且向学生渗透了数学文化，数学思想，感受了数学家研究问题的方法，严谨态度和锲而不舌的探索精神，本案例可以作为数学史选讲的材料。

本案例一改传统课堂上，学生被动地跟着教师走的模式，所要探究的问题不是教师课前准备好的，这一点体现了教师的勇气和信心。

南山外国语学校数学组：邓亚轩 2005年1月8日。