三角形的证明

三角形的证明基本方法：1、逆推综合法：从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”2、分析法：有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”3、综合分析法：顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。

基本思路1、当条件都满足时，结合已知条件，顺推论证2、当问题的条件不够时：添加辅助线构成新图形➨形成新关系➨使分散的条件集中➨建立已知与未知的桥梁➨把问题转化为自己能解决的问题。

这是证明题目常用的基本思路。

一、边边关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等1、不等关系：基本定理：三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在同一个三角形中大角对大边基本思路：通过构造全等、平移或者截取的方法，把三边集中到一个三角形中，利用以上基本定理来证明。

例1：已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：AB+AC＞BP+PC。

如图，延长BP交AC于点D在△BAD中AB+AD>BD ，即：AB+AD>BP+PD ①在△PDC中， PD+DC>PC ②①＋②得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC ，即AB+AC>BP+PC例2如图AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD ＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD＝CD （中线定义）在△ACD和△EBD中AB CDE⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD∴△ACD ≌△EBD （SAS ）∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等）∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋AC ＞2AD 。

（常延长中线加倍，构造全等三角形）例3：如图AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证法1：延长ED 至M ，使DM=DE ，连接CM ，MF 。

在△BDE 和△CDM 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM （SAS ） ∴ BE=CM又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF ＝90° ∴∠FDM ＝∠EDF ＝90° 在△EDF 和△MDF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证辅助线的作法DF DF FDM EDF MD ED∴△EDF ≌△MDF （SAS ）∴EF ＝MF （全等三角形对应边相等）∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF （三角形两边之和大于第三边） ∴BE ＋CF ＞EF注：上题也可加倍FD ，证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

证法2：分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（辅助线作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共边）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）∴BE+CF>EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素:例4：已知如图：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点求证：AB-AC>PB-PC分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。

证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中AN=AC（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP-PC<AB-AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，ABCDNMP16图12在△ABP和△AMP中AB=AM（辅助线作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共边）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB-AC>PB-PC。

2、相等关系：A 加倍延长中线例1：如图，已知在△ABC中，∠C=90︒，∠B=30︒，AD平分∠BAC，交BC于点D .求证：BD =2CD证明：延长DC 到E，使得CE=CD,联结AE∵∠C=90°∴AC⊥CD∵CD=CE∴AD=AE∵∠B=30°∠C=90°∴∠BAC=60°∵AD 平分∠BAC∴∠BAD=30°∴DB=DA∠ADE=60°∵∠ADE=60°AD=AE∴△ADE 为等边三角形∴AD=DE∵DB=DA∴BD=DE∴BD=2DC（2）如图，D是∆ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是∆ABD 的中线。

求证：AC=2AE。

证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中BE =DE∠AEB=∠FEDAE=FE∴△ABE ≌△FDE（SAS）∴AB=FD ∠ABE=∠FDE∵AB=DC∴ FD = DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD∵∠ADB = ∠BAD∴∠ADC=∠ABD+∠BDA∵∠ABE=∠FDE∴∠ADC=∠ADB+∠FDE即∠ADC = ∠ADF在△ADF 和△ADC 中AD=AD∠ADF = ∠ADCDF =DC∴△ADF≌ADC(SAS)∴AF=AC∴AC=2AE小结:熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

练习：如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E，交AD 于F，且AC=BF。

求证：AE=EF。

证明：延长AD 至点G，使得DG=AD，联结BD在△ADC 和△GDB 中AD=GD∠ADC=∠GDBBD=DC∴△ADC ≌△GDB（SAS）得AC= BG ∠CAD =∠BGD∵AC=BF∴BG= BF∴∠BFG=∠BGF∵∠CAD =∠BGD∴∠BFG= ∠CAD∵∠BFG=∠AFE∴∠AFE=∠FAE∴AE =AFB、借助角平分线造全等如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O，求证：OE=OD 证明：在AC 上截取AF=AE在△ABC 中，∠B+∠BAD+∠ACB=180°∵∠B =60 °∴∠BAD+∠ACB=120°∵AD 平分∠BAC中∴∠BAC= 2∠OAC∵CE 平分∠ACB∴∠ACB= 2∠ACO∴2∠OAC+2∠ACO=120°（ASA）∴∠OAC+∠ACO=60°∵∠AOE=∠OAC+∠ACO∴∠AOE=60°在△AOE 和△AOF 中AE=AF∠EAO=∠FAOAO = AO∴△AOE ≌△AOF（ASA）∴∠AOE=∠AOEOE=OF∵∠AOE=60°∠AOE+∠AOE+∠FOC=180°∠FOC=6O°∵∠AOE=∠COD∴∠COD=60°在△COD 和△COF∠DCO =∠FCOCO=CO∠DOC=∠FOC∴△COD≌△COF∴OD =OF∵OE=OF∴OE=OD如图，△ABC 中，∠BAC=90 度，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线CE 交BA 的延长线于F．求证：BD=2CE证明：延长BA，CE 交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC 中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD 和ΔACF 中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

【小结】解题后的思考：①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线。

C 旋转例1：如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．(1)求证：AD=CE，AD⊥CE(2)若△DBE 绕点B旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明（1）证明：如图1∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE．在△ABD和△CBE中AB＝BC∠ABD＝∠CBEBD＝BE∴△ABD≌△CBE（SAS），∵AD=CE，∠BAD=∠BCE．∵∠AGB与∠CGF是对顶角，∴∠AGB=∠CGF．∵∠BAD+∠AGB=90°，∴∠GCF+∠CGF=90°，∴∠CFG=90°，∴AD⊥CE；（2）AD=CE，AD⊥CE，理由如下如图2：∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠DBC，即∠ABD=∠CBE．在△ABD和△CBE中AB＝BC∠ABD＝∠CBEBD＝BE∴△ABD≌△CBE（SAS），∵AD=CE，∠BAD=∠BCE．∵∠AGB与∠CGF是对顶角，∴∠AGB=∠CGF．∵∠BAD+∠AGB=90°，∴∠GCF+∠CGF=90°，∴∠CFG=90°，∴AD⊥CE．例2 .如图在Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,O 为BC 中点. (1)写出O 点到△ABC 三个顶点A、B、C 的距离关系(不要求证明)(2)如果M、N 分别在线段AB、AC 上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△O M N的形状,并证明你的结论（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，∴OA= 1/2 BC=OB=OC所以 OA=OB=OC（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：连接AO∵AC=AB，OC=OB∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，在△AON与△BOM中AN=BM∠NAO=∠BOA=OB∴△AON≌△BOM（SAS）∴ON=OM，∠NOA=∠MOB∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM∴∠NOM=∠AOB=90°，∴△OMN是等腰直角三角形D、截长补短例1 如图，AC∥BD，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA，CD 过点 E，求证;AB＝AC+BD分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。