2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】.doc
2015 年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（ 5 分）（ 2015?四川）设集合A={x| （ x+1 ）（ x﹣ 2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ，则 A ∪B= （）A ． { x|﹣ 1＜ x＜ 3}B ． { x|﹣ 1＜x＜ 1}C． { x|1＜ x＜ 2} D ． { x|2＜ x＜ 3}考点：并集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求解不等式得出集合A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，根据集合的并集可求解答案．解答：解：∵集合 A={x| （x+1 ）（ x﹣2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ，∴集合 A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∵A∪ B={x| ﹣ 1＜ x＜ 3} ，故选： A点评：本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．2．（ 5 分）（ 2015?四川）设 i 是虚数单位，则复数i 3﹣ =（）A ．﹣ iB ．﹣3i C． i D ． 3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：通分得出，利用 i 的性质运算即可．解答：解：∵ i 是虚数单位，则复数 i 3﹣，∴===i ，故选； C点评：本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．3．（ 5 分）（ 2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）A ．B ．C．﹣ D ．﹣考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当 k=5 时满足条件k＞ 4，计算并输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞ 4， k=3不满足条件k＞ 4， k=4不满足条件k＞ 4， k=5满足条件k＞ 4，S=sin=，输出 S的值为．故选： D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．4．（ 5 分）（ 2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A ．）B．y=sin （2x+ ）y=cos（ 2x+C． y=sin2x+cos2x D ． y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．解答：解：y=cos （ 2x+ ）=﹣ sin2x ，是奇函数，函数的周期为： π，满足题意，所以 A 正确y=sin （ 2x+） =cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以 B 不正确；y=sin2x+cos2x= sin （ 2x+ ），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以 C 不正确；y=sinx+cosx= sin （x+），函数是非奇非偶函数，周期为 2π，所以 D 不正确；故选： A ．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．5．（ 5 分）（ 2015?四川）过双曲线 x 2﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的 两条渐近线于 A 、B 两点，则 |AB|= （）A ．B ． 2C ． 6D ． 4考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出双曲线的渐近线方程，求出 AB 的方程，得到 AB 坐标，即可求解 |AB| ．解答：解：双曲线 x 2﹣=1 的右焦点（ 2， 0），渐近线方程为 y= ，过双曲线 x 2﹣=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线， x=2，可得 y A =2， y B =﹣ 2 ，∴ |AB|=4 ． 故选： D ．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．6．（ 5 分）（ 2015?四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数， 其中比 40000 大的偶数共有（ ）A ．144 个B ．120 个C ．96 个D ．72 个考点 ：排列、组合及简单计数问题． 专题 ：应用题；排列组合．分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、 5 其中 1 个，末位数字为 0、 2、 4 中其中 1 个；进而对首位数字分 2 种情况讨论， ① 首位数字为 5 时， ② 首位数字为4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5 其中 1 个，末位数字为 0、2、4中其中 1个； 分两种情况讨论：① 首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A 4 3=24 种情况，此时有 3×24=72 个，② 首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A 43=24 种情况，此时有 2×24=48 个，共有 72+48=120 个． 故选： B点评：本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．7．（ 5 分）（ 2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形， | |=6， ||=4，若点 M 、 N 满足，，则 =（）A ．20B ．15C ． 9D ． 6考点 ：平面向量数量积的运算． 专题 ：平面向量及应用．分析：根据图形得出 = + = ，==，= ?（） =2﹣，结合向量结合向量的数量积求解即可．解答：解： ∵四边形 ABCD 为平行四边形，点 M 、N 满足，，∴ 根据图形可得： = + =，==，∴ =，∵= ?（） =2﹣，2=22，=22，| |=6， ||=4，∴=22=12﹣ 3=9故选： C点评：本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．8．（ 5 分）（ 2015?四川）设 a 、b 都是不等于 1 的正数，则 “3a ＞ 3b＞3”是 “log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件 B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题 ：简易逻辑．分析：求解 3a ＞ 3b＞ 3，得出 a ＞ b ＞ 1，log a 3＜log b 3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．解答：解： a 、b 都是不等于 1 的正数，ab∵ 3 ＞3 ＞3， ∴ a ＞ b ＞1，∵ log a 3＜ log b 3，∴，即＜ 0，或求解得出： a ＞ b ＞ 1 或 1＞ a ＞ b ＞ 0 或 b ＞ 1， 0＜ a ＜ 1根据充分必要条件定义得出： “3a ＞ 3b＞ 3”是 “log a 3＜ log b 3”的充分条不必要件， 故选： B ．点评：本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．9．（ 5 分）（ 2015?四川）如果函数 f （x ） = 2（ m ≥0，n ≥0）在区间 （m ﹣2） x +（n ﹣ 8）x+1 [ ] 上单调递减，那么 mn 的最大值为（）A ．16B ．18C ． 25D ．考点 ：基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题 ：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：函数 f （ x ）=（m ﹣ 2） x 2+（n ﹣ 8）x+1（ m ≥0，n ≥0）在区间 [ ] 上单调递减，则f ′（ x ）≤0，故（ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8≤0 在[，2]上恒成立．而（ m ﹣ 2）x+n ﹣8 是一次函数，在 [ ， 2] 上的图象是一条线段．故只须在两个端点处 f ′（ ） ≤0， f ′（ 2） ≤0 即可．结合基本不等式求出 mn 的最大值．解答： 解： ∵ 函数 f （ x ） = （ m ﹣ 2）x 2+（ n ﹣ 8） x+1（ m ≥0， n ≥0）在区间 [ ] 上单调递减，∴ f ′（ x ）≤0，故（ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8≤0 在 [ ，2] 上恒成立．而（ m ﹣ 2） x+n ﹣ 8 是一次函数，在 [ ，2] 上的图象是一条线段． 故只须在两个端点处 f （′ ）≤0，f （′2）≤0 即可．即由（ 2）得 m ≤ （ 12﹣ n ），∴ mn ≤ n （ 12﹣n ） ≤=18 ，当且仅当 m=3，n=6 时取得最大值，经检验 m=3，n=6 满足（ 1）和（ 2）． 故选： B ．解法二：∵ 函数 f （x ） = （ m ﹣ 2） x 2+（ n ﹣ 8）x+1 （ m ≥0， n ≥0）在区间 []上单调递减，∴ ① m=2， n ＜8对称轴 x= ﹣，②即③即设或 或设 y=，y′=，当切点为（ x0， y0）， k 取最大值．① ﹣=﹣ 2． k=2x，∴y0 =﹣2x 0+12 ， y0==2x 0，可得 x0 =3， y0=6 ，∵x=3＞ 2∴k 的最大值为 3×6=18② ﹣=﹣．，k=，y0==，2y 0+x 0﹣ 18=0，解得： x0=9， y0=∵x0＜ 2∴ 不符合题意．③ m=2， n=8， k=mn=16综合得出： m=3， n=6 时 k 最大值 k=mn=18 ， 故选； B点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．10．（ 5 分）（2015?四川）设直线 l 与抛物线 y 2=4x 相交于 A 、B 两点，与圆（ x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围 是（）A ．（ 1，3）B ．（1， 4）C ．（2，3）D ．（ 2，4）考点 ：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题 ：综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先确定 M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2 ，所以交点与圆心 （ 5，0）的距离为 4，即可得出结论．解答：解：设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， M （ x 0， y 0），斜率存在时，设斜率为 k ，则 y 12=4x 1，y 22=4x 2，则，相减，得（ y 1+y 2）（ y 1﹣ y 2）=4（ x 1﹣x 2），当 l 的斜率存在时，利用点差法可得 ky 0=2 ，因为直线与圆相切，所以 =﹣ ，所以 x 0=3，即 M 的轨迹是直线 x=3 ．22，将 x=3 代入 y =4x ，得 y =12， ∴∵M 在圆上， ∴， ∴ r 2=，∵ 直线 l 恰有 4 条， ∴y 0≠0， ∴4＜ r 2＜ 16， 故 2＜ r ＜ 4 时，直线 l 有 2 条；斜率不存在时，直线 l 有 2 条；所以直线 l 恰有 4 条， 2＜ r ＜ 4，故选： D ．点评：本题考查直线与抛物线、 圆的位置关系， 考查点差法， 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
【高考真题】2015年高考数学(理科)课标卷(二)Ⅱ(Word版,含答案解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)=1+log2(2-x), x<1,2x-1,x≥1,则f(-2)+f(log212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.26B.8C.46D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A. B.2 C.3 D.12.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .14.若x,y满足约束条件x-y+1≥0,x-2y≤0,x+2y-2≤0,则z=x+y的最大值为.15.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .16.设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(Ⅰ)求sin∠Bsin∠C;(Ⅱ)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=23,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=t cosα,y=t sinα(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(Ⅰ)若ab>cd,则a+c+(Ⅱ)a+>c+|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A∩B={-1,0}.选A.2.B∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,∴4a=0,a2-4=-4,解得a=0.3.D由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D不正确.4.B设{a n}的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).∴a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.5.C∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;∵log212>1,∴f(log212)=2log212-1=2log26=6.∴f(-2)+f(log212)=9.6.D如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a3,剩余部分的体积为a3-16a3=56a3.它们的体积之比为15.故选D.评析本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力.7.C设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±26,则|MN|=|(-2+2)-(-2-2.8.B开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4;第二次循环:a=10,b=4;第三次循环:a=6,b=4;第四次循环:a=2,b=4;第五次循环:a=2,b=2.此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助.9.C∵S△OAB是定值,且V O-ABC=V C-OAB,∴当OC⊥平面OAB时,V C-OAB最大,即V O-ABC最大.设球O的半径为R,则(V O-ABC)max=13×12R2×R=16R3=36,∴R=6,∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+ 5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2 .显然1+ >2 ,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈ 0,π4时, f(x)=tan x+ 4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a -y 2b =1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a, 3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a )2a -( 3a)2b =1,解得b 2=a 2,∴e= 1+b 2a = .12.A 令g(x)=f (x )x,则g'(x)=xf '(x )-f (x )x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f (1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又∵g(-x)=f (-x )-x=-f (x )-x=f (x )x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f (x )x.二、填空题 13.答案12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析作出可行域,如图:由z=x+y得y=-x+z,当直线y=-x+z过点A1,12时,z取得最大值,z max=1+12=32.15.答案 3解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.16.答案-1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴1S n是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S △ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820, P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH= EH 2-E M 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE =(10,0,0),HE=(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则 n ·FE =0,n ·HE=0,即 10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF =(-10,4,8),故|cos<n ,AF >|=|n ·AF||n ||AF |=4 515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4 515.评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M=x1+x22=-kbk2+9,y M=kx M+b=9bk2+9.于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =-9k,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点m3,m,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(Ⅰ)得OM的方程为y=-9kx.设点P的横坐标为x P.由y=-9kx,9x2+y2=m2得x P2=k2m29k2+81,即x P=3 k2+9.将点m3,m的坐标代入l的方程得b=m(3-k)3,因此x M=k(k-3)m3(k2+9).四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是2=2×k(k-3)m3(k+9),解得k1=4-2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB为平行四边形.评析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析(Ⅰ)f '(x)=m(e mx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1≤0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1>0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是f(1)-f(0)≤e-1, f(-1)-f(0)≤e-1,即e m-m≤e-1,e-m+m≤e-1.①设函数g(t)=e t-t-e+1,则g'(t)=e t-1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].22.解析(Ⅰ)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上. 连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=3,所以OD=1.于是AD=5,AB=1033.所以四边形EBCF的面积为12×10332×32-12×(23)2×32=1633.23.解析(Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0,或x=32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,3 2.(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(23cos α,α).所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin α-π3.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析(Ⅰ)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd, 由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+2>(c+)2.因此a+b>c+d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得a+>c+(ii)若a+>c+则(a+2>(c+2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g （x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f （x ）＞0⇔x•g （x ）＞0⇔或，⇔0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行， ∴λ+=t （+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=x +y 的最大值为 ．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由得D （1，），所以z=x +y 的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n =﹣．【考点】8H ：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】通过S n+1﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n+1=S n+1S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．祝福语祝你考试成功!。
2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
2015年高考数学(四川卷,解析版)
（B）120 个
（C）96 个
（D）72 个
综上所述：总共有 72+48=120 种,选 B。 7.设四边形 ABCD 为平行四边形， AB 6 ， AD 4 .若点 M，N 满足 BM 3MC ， DN 2 NC ，则
(D) y sin x cos x
2
) sin 2 x ，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题
y2 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则 AB 3
（B） 2 3 （C）6 （D） 4 3
（A）
4 3 3
【答案】D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为 y 3 x ，且右焦点 (2, 0) ，则直线 x 2 与两条渐近线的交 点分别为 A (2, 2 3) ， B (2, 2 3) ，∴ | AB | 4 3 ,选 D. 6.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有 （A）144 个 【答案】B 【解析】这里大于 40000 的数可以分两类：
2 5
Q
M
P
【解析】以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AQ 为 z 轴建立空间直角坐标系， 并设正方形边长为 2 ，则 A 0, 0, 0 ， F 2,1, 0 ， E 1,0,0 ，
M 0, m, 2 ，∴ AF 2,1,0 ， EM 1, m, 2
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 2．（5分）若a 为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（5分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5 分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．（5 分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5 分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y 轴于M，N 两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b 分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．149．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5 分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0 时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0 成立的x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5 分）若x，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为．15．（5 分）（a+x）（1+x）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ．16．（5 分）设数列{a n}的前n 项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5 小题，满分60 分）17．（12 分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2 倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD 和AC 的长．18．（12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70 分70 分到89 分不低于90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．20．（12 分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点（，m），延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21．（12 分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m 的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF 的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1：（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5 分）若a 为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B 从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误．【解答】解：A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多，从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5 分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7= =3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5 分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）= ，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）= =2 ×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5 分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y 轴于M，N 两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b 分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b 的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b 变为18﹣14=4，由a＞b，则a 变为14﹣4=10，由a＞b，则a 变为10﹣4=6，由a＞b，则a 变为6﹣4=2，由a＜b，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC=V C ﹣AOB===36，故R=6，则球O 的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大是关键．10．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P 在CD 边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2 ，当P 在AD 边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5 分）已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M 在双曲线﹣=1 的左支上，由题意可得M 的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M 在双曲线﹣=1 的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M 的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，-=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M 的坐标是解题的关键．12．（5 分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0 时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0 成立的x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0 时总有xf（′x）﹣f（x）＜0 成立，可判断函数g（x）= 为减函数，由已知f（x）是定义在R 上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0 等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0 时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0 时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0 时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1 或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）= ，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5 分）若x，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y 的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5 分）（a+x）（1+x）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2 得到答案．【解答】解：设 f （x ）=（a +x ）（1+x ）4=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，令 x=1，则 a 0+a 1+a 2+…+a 5=f （1）=16（a +1），① 令 x=﹣1，则 a 0﹣a 1+a 2﹣…﹣a 5=f （﹣1）=0．② ①﹣②得，2（a 1+a 3+a 5）=16（a +1），所以 2×32=16（a +1）， 所以 a=3． 故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5 分）设数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且a1=﹣1，a【考点】8H ：数列递推式． 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】通过 S n +1﹣S n =a n +1 可知 S n +1﹣S n =S n +1S n ，两边同时除以 S n +1S n 可知﹣ =1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1 的等差数列，计算即得结论． 【解答】解：∵a n +1=S n +1S n ， ∴S n +1﹣S n =S n +1S n ， ∴﹣=1， 又∵a 1=﹣1，即=﹣1， ∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1 的等差数列， ∴=﹣n ， ∴S n =﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5 小题，满分60 分）17．（12 分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2 倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD 和AC 的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A 作AE⊥BC 于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC 及正弦定理可得sin ∠B= ，sin ∠ C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D 作DM⊥AB 于M，作DN⊥AC 于N，由AD 平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长．【解答】解：（1）如图，过A 作AE⊥BC 于E，∵= =2∴BD=2DC，∵AD 平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD 中，=，∴sin∠B=在△ADC 中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D 作DM⊥AB 于M，作DN⊥AC 于N，∵AD 平分∠BAC，∴DM=DN，∴= =2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD 的长为，AC 的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70 分70 分到89 分不低于90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意评分的平均值高于B 地区用户满意评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1 表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1 表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2 表示事件“B 地区用户满意度等级为满意”，则C A1 与C B1 独立，C A2 与C B2 独立，C B1 与C B2 互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1 为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F 几点的坐标．设平面EFGH 的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF 与平面EFGH 所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH 如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1 所在直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH 的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF 与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12 分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点（，m），延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b 代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2= ，则x M== ，y M=kx M+b=，于是直线OM 的斜率k OM== ，即k OM•k=﹣9，∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM 的方程为y= x，设P 的横坐标为x P，由得，即x P= ，将点（，m）的坐标代入l 的方程得b=，即l 的方程为y=kx+，将y= x，代入y=kx+，得kx+= x解得x M=，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB 能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12 分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0 说明函数为增函数，利用f′（x）≤0 说明函数为减函数．注意参数m 的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0 处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1 的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0 时，g′（t）＜0；当t＞0 时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1 时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1 时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m 的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF 的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD 是∠CAB 的角平分线，又∵圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD 是EF 的垂直平分线，又∵EF 为圆O 的弦，∴O 在AD 上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG 等于圆O 的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN= ，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF 的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1：（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3 交点的直角坐标．（2）由曲线C1 的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠ 0），利用|AB|= 即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2 与C3 交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t 为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B 都在C1 上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|= =4 ，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年全国高考数学试卷理科新课标2卷(完美版含完美答案)
CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”
CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CA1CB1∪CA2CB2
P(C)=P(CA1CB1∪CA2CB2)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2)
2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a=
（A）-1（B）0（C）1（D）2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
（A） （B） （C） （D）
7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圆交于y轴于M、N两点，则 =
（A）2 （B）8 （C）4 （D）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科
（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝
上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.
2015年高考新课标卷2理科数学(含解析)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ． 考点：正、负相关．4．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质． 5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【答案】D 【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 17．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =，故选C ．考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．14 【答案】B 【解析】 试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图．9．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B 【解析】考点：函数的图象和性质． 11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2 CD【答案】D 【解析】DPCx试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2015年高考全国2卷理科数学试题及答案(精校word解析版)
【解析】程序在执行过程中， ， 的值依次为 ， ； ； ； ； ； ，此时 程序结束，输出 的值为2，故选B．
9．C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，此时 ，故 ，则球 的表面积为 ，故选C．
10．B
【解析】由已知得，当点 在 边上运动时，即 时， ；当点 在 边上运动时，即 时， ，当 时， ；当点 在 边上运动时，即 时， ，从点 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 对称，且 ，且轨迹非线型，故选B．
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列 满足a1=3， =21，则
A．21 B．42 C．63D．84
5．设函数 ,
A．3 B．6 C．9 D．12
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
6．D
【解析】由三视图得，在正方体 中，截去四面体 ，如图所示，，设正方体棱长为 ，则 ，故剩余几何体体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ，故选D．
7．C
【解析】由已知得 ， ，所以 ，所以 ，即 为直角三角形，其外接圆圆心为 ，半径为 ，所以外接圆方程为 ，令 ，得 ，所以 ，故选C．
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word 精校版）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0AB =-，故选A（2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答案】B（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 【答案】B（5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=．（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51．CBADD 1C 1B 1A 1（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（A ）26 （B ）8（C ）46 （D ）10 【答案】C（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。