上海市十二校高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案
上海市十二校2015届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7.，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 ．10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 ． 12．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a 满)4,3,2,1(1=i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i ，则32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m <D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分． 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量)23sin ,23(cosAA m =，)2sin ,2(cosAA =3+ （1）求角A 的大小； （2）若A CB sin 3sin sin =+，求证ABC ∆是直角三角形。
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分）．已知函数ba x f x x ++-=+133)(（1）当1==b a 时，求满足xx f 3)(≥的x 的 取值范围；（2）若)(x f y =是定义域为R 的奇函数，求)(x f y =的解析式，并判断其在R 上的单调性并加以证明。
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满6分，第3小题满6分 设函数)(x f y =与函数))((x f f y =的定义域交集为D 。
若对任意的D x ∈，都有x x f f =))((，则称函数)(x f 是集合M 的元素。
（1）判断函数1)(+-=x x f 和12)(-=x x g 是否集合M 的元素，并说明理由； （2）设函数)21(log )(2xx f -=，试求函数)(x f 的反函数)(1x f -，并证明M x f∈-)(1;（3）若M bx axx f ∈+=)(（b a ,为常数且0>a ），求使1)(<x f 成立的x 的取值范围。
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ，如果数列{}n b 满足),2(,111*-∈≥+==N n n a a b a b n n n ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“生成数列”。
（1）若数列{}n a 的通项为数列n a n =，写出数列{}n a 的“生成数列”{}n b 的通项公式（2）若数列{}n c 的通项为数列B An c n +=，（A,B 是常数），试问数列{}n c 的“生成数列”{}n l 是否是等差数列，请说明理由（3）若数列{}n d 的通项公式为n d n n +=2，设数列{}n d 的“生成数列”{}n p 的前n 项和为n T ，问是否存在自然数m 满足0)6260)(2014(≤--m m T T ，若存在，请求出m 的值，否则请说明理由。
2014学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是______⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6ππ_________．7. ，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为6． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 []1,2- ．92， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 3 ．10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 (]1,0 ．12．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值6．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 []18,22-- ．14．若平面向量i a 满)4,3,2,1(1=i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i ，则32a a +++可能的值有 3 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0 (2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ D ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ C ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m <D ．若)()(n f m f <，则33n m <18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ D ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
解：（1）ABCD SA 平面⊥BC SA ⊥∴ (1分)又底面ABCD 为正方形AB CB ⊥∴SAB BC 平面⊥∴BSC ∠∴是直线SC 与平面SAB 所成角（3分） SBC Rt ∆中3,5==BC SB53tan =∠∴BSC （5分） 所以，直线SC 与平面SAB 成角为53arctan （6分） （2）作SB AE ⊥于E （7分） SBC Rt ∆中，AB=3 SA=4，SB=5 又SB AE S SAB ⋅⋅=∆21AB SA ⋅⋅=21512=∴AE （9分）SB AE V ⋅⋅=231π5485512312ππ=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅= （12分） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分． 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量)23sin ,23(cosAA =，)2sin ,2(cosAA =3+ （1）求角A 的大小； （2）若A CB sin 3sin sin =+，求证ABC ∆是直角三角形。
上海市十二校高三数学上学期12月联考试题 理(含解析)苏教版
上海市十二校高三数学上学期12月联考试题 理（含解析）苏教版一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.【题文】已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U __．【结束】 2.【题文】函数)12arcsin(-=x y 的定义域为．【结束】3.【题文】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S =.（用数字作答）【答案】63【解析】试题分析：要求数列的前n 项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转化为等差（或等比）数列，例如本题中由12n n a a +=，110a =≠，故数列{}n a是等比数列，公比2q =，因此66126312S -==-．考点：等比数列的定义与前n 项和．【结束】4.【题文】计算：2(1)(13)lim (2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________． 222322213(1)(13)321lim lim lim 12(2)(1)21n n n n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞--++---+==-++-+++-+++0=． 考点：“∞∞”型极限问题． 【结束】5.【题文】集合{}12-<<=x x A ，{}0<-=a x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是． 【结束】6.【题文】设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝． 【答案】83【解析】试题分析： 0128,,,,a a a a 中正负相间，当然我们可以通过令1x =±求出【结束】7.【题文】已知函数)(x f 有反函数)(1x f -，且[),,0,24)(1+∞∈-=+x x f x x 则=-)0(1f ．【结束】8.【题文】已知袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为413．那么袋中的红球有 __个．【结束】9.【题文】已知函数32tan sin )(x x x x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是．【结束】10.【题文】已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这7个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则x y 1-的最小值为．【结束】11.【题文】设ω>0，若函数)(x f = sin 2xω cos 2xω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________．【答案】3(0,]2【结束】12.【题文】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________.【结束】13.【题文】函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为． 【答案】23π+【结束】14.【题文】（理）函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②指数函数)(2)(R x x f x ∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若)(x f 为单函数，则函数)(x f 在定义域上具有单调性．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③④【解析】试题分析：这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新知识，并加以应用.如①中(1)1(1)f f -==，但11-≠，故)()(2R x x x f ∈=不是单函数；②指数【结束】二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.【题文】命题:p 1a =;命题:q 关于x 的方程2220x x a -+=有实数解,则p 是q 的( ).(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【结束】16.【题文】下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ）(A))4cos()4sin(ππ++=x x y (B)xx y 2sin 2cos 1+= (C)x y 2tan 2=(D)x x y cos sin =【答案】A。
上海市十二校高三数学上学期12月联考试题 理(含解析)苏教版
2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.【题文】已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U __．【结束】2.【题文】函数)12arcsin(-=x y 的定义域为 ．【结束】3.【题文】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）【答案】63【解析】试题分析：要求数列的前n 项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转化为等差（或等比）数列，例如本题中由12n n a a +=，110a =≠，故数列{}n a 是等比数列，公比2q =，因此66126312S -==-．考点：等比数列的定义与前n 项和．【结束】4.【题文】计算：2(1)(13)lim (2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．222322213(1)(13)321lim lim lim 12(2)(1)21n n n n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞--++---+==-++-+++-+++0=． 考点：“∞∞”型极限问题． 【结束】5.【题文】集合{}12-<<=x x A ，{}0<-=a x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．【结束】6.【题文】设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝ ． 【答案】83【解析】试题分析： 0128,,,,a a a a 中正负相间，当然我们可以通过令1x =±求出【结束】7.【题文】已知函数)(x f 有反函数)(1x f -，且[),,0,24)(1+∞∈-=+x x f x x 则=-)0(1f ．【结束】8.【题文】已知袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为413．那么袋中的红球有 __个．【结束】9.【题文】已知函数32tan sin )(x x x x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是 ．【结束】10.【题文】已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这7个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则xy 1-的最小值为 ．【结束】11.【题文】设ω>0，若函数)(x f = sin 2x ω cos 2x ω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________． 【答案】3(0,]2【结束】12.【题文】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________.【结束】13.【题文】函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为 ． 【答案】23π+【结束】14.【题文】（理）函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②指数函数)(2)(R x x f x ∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若)(x f 为单函数，则函数)(x f 在定义域上具有单调性．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③④【解析】试题分析：这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新知识，并加以应用.如①中(1)1(1)f f -==，但11-≠，故)()(2R x x x f ∈=不是单函数；②指数【结束】二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.【题文】命题:p 1a =;命题:q 关于x 的方程20x a -+=有实数解,则p 是q 的( ).(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【结束】16.【题文】下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ） (A) )4cos()4sin(ππ++=x x y (B)xx y 2sin 2cos 1+= (C) x y 2tan 2= (D)x x y cos sin =【答案】A【结束】17.【题文】定义函数D x x f y ∈=),(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1,存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21,则称函数)(x f y =在D 上的“均值”为C ．已知函数[]100,10,lg )(∈=x x x f ，则函数)(x f y =在[]100,10上的均值为（ ） (A)101 (B)43 (C) 10 (D) 23【结束】18.【题文】某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.【结束】三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.【题文】(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, A B=BC=1.(1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小；(2)若该直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为22，求点A 到平面A 1BC 的距离．（2）∵ABC S ∆=12，三棱柱111ABC A B C -的体积1ABC V S AA ∆=⋅=∴11AA AB （2分）∵CB ⊥平面11ABB A 1，∴190ABC ∠=︒，1A BC S ∆=, 设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，（4分） 三棱锥A 1-ABC 的体积V=113ABC S AA ∆⨯⨯=三棱锥A-A 1BC 的体积V=113A BC S h ∆⨯⨯,（6分）∴3h =.（8分） 考点：（1）异面直线所成的角；（2）点到平面的距离．20.【题文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分．已知以角B 为钝角的的三角形ABC 内角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，)sin ,3(),2,(A n b a m -== ，且m 与n 垂直．（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的取值范围∵0sin ≠A ，∴23sin =B ，（6分） 又∵∠B 是钝角，∴∠B 32π= （7分） （2）)3sin(3sin 23cos 21cos )3cos(cos cos cos ππ+=++=-+=+A A A A A A C A （3分）由（1）知A ∈（0，3π），)32,3(3πππ∈+A , （4分） ]1,23()3sin(∈+πA ，（6分） ∴C A cos cos +的取值范围是]3,23( （7分） 考点：（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．21.【题文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．某企业生产某种商品x 吨，此时所需生产费用为（100001002+-x x ）万元，当出售这种商品时，每吨价格为p 万元，这里b ax p +=（b a ,为常数，0>x ）（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求b a ,的值．当且仅当100=x 时等号成立，（6分）【结束】22.【题文】(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分8分. 已知函数R x b a x x x f ∈+-=,)(.（1）当0,1==b a 时，判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当1,1==b a 时，若45)2(=x f ，求x 的值； （3）若0<b ，且对任何[]1,0∈x 不等式0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围．试题分析：（1）0,1==b a 时，()1f x x x =-为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值()f m 与()f m -不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当1,1==b a 时，45)2(=x f 为（2）当1,1==b a 时，11)(+-=x x x f ， 由45)2(=x f 得451122=+-x x （1分） 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-<⎪⎩⎪⎨⎧=--≥0412)2(120412)2(1222x x x x x x 或 （3分） 解得212)(22122212=-=+=x x x ，或舍或 （5分） 所以1)21(log 221log 22-+=+=x 或1-=x （6分） （3）当0=x 时，a 取任意实数，不等式0)(<x f 恒成立，故只需考虑(]1,0∈x ，此时原不等式变为x b a x -<- （1分） 即xb x a x b x -<<+【结束】23.【题文】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时， 12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.【答案】(1) 0或2；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析．【解析】（3）由于1a 是正整数，要证明从某一项开始，数列各项均为0，这提示我们可首先证明n a 为非负（这可用数学归纳法加以证明），然后由于数列的关系，可见数列在出现0之前，是递减的，下面要考虑的是递减的速度而已．当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，1122n n n a a a +-=<，因此对所有正整数n ，都有12n n a a +≤，依此类推有112n n a a -≤，只要1112n a -≤，则有0n a =． 试题解析：（1）∵1a 为偶数，∴可设12()Z a n n =∈，故122a a n ==， 若n 为偶数，则32n a =，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+， 即522n n =，解得0n =，故10a =； （2分）若n 为奇数，则312n a -=，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+， 即51222n n =-，解得1n =，故12a =； ∴1a 的值为0或2． （4分）（2）∵123(3,)N m a m m =+>∈是奇数，∴1121212m a a --==+， 223122m a a --==，33422m a a -==，依此类推， 可知341,,,m a a a +成等比数列，且有12m n n a -+=(31)n m ≤≤+，又0121m a +==，21102m a +-==，30m a +=，… ∴当1n m ≤+时，0n a >；当2n m ≥+时，都有0n a =． （3分）故对于给定的m ，n S 的最大值为121m m a a a a +++++123010(23)(21)222(222)4m m m m m m ----=+++++++=++++112142321m m ++-=+=+-，所以123m n S +≤+． （6分）。
上海市十二校高三数学上学期12月联考试卷 理(含解析)
2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．2．计算： = ．3．方程9x=3x+2的解为．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k 恰有两个零点，则k的取值范围为．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x＜4} ．【考点】并集及其运算．【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．【点评】本题主要考查了集合的并运算，较为简单．2．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．方程9x=3x+2的解为x=log32 ．【考点】指数式与对数式的互化．【专题】计算题．【分析】由9x=3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，由此能求出方程9x=3x+2的解．【解答】解：∵9x=3x+2，∴（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，∴x=l og32．故答案为：x=log32．【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为∅．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次方程与对应二次函数和一元二次不等式的关系，即可得出解集．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，∴二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，且开口向上，与x轴无交点，∴一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为∅．故答案为：∅．【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数和一元二次不等式的应用问题，是基础题目．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n= 2n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．【解答】解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．【点评】考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别．6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ﹣3 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0可求m，从而可求x≥0时的函数的解析式，再由f（﹣1）=﹣f（1）可求【解答】解：由函数为奇函数可得f（0）=1+m=0∴m=﹣1∵x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）在函数求值中的应用，解题的关键是利用f（0）=0求出m．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ﹣2 ．【考点】反函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，故可得f（1+x）+f（1﹣x）=4，用引恒等式建立相关的方程即可解出f﹣1（4）的值．【解答】解：由函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，可得 f（x+1）+f（1﹣x）=4，对任何x 都成立在上式中，取x=3，得到 f（4）+f（﹣2）=4，又f （4）=0∴f（﹣2）=4∴f﹣1（4）=﹣2故应填﹣2【点评】本题考查函数的对称性与反函数的性质，知识性较强．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），由此求得θ的值．【解答】解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x ﹣θ），即 cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ﹣+．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件求得∠α的终边经过点P（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵两曲线y=和y=的交点为P（﹣1，），故∠α的终边经过点P（﹣1，），故cosα==﹣，sinα==，tanα=﹣，∴cos2α+cot（+α）=2cos2α﹣1﹣tanα=2•﹣1+=﹣+，故答案为：﹣ +．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题设条件可化为∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求出﹣在x∈（﹣∞，1]上的最大值即可．【解答】解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．又∵t=﹣=﹣（）2x﹣（）x=﹣[（）x+]2+，当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题考查了应用函数的性质将不等式恒成立转化为求函数值域的问题，是基础题．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．【考点】极限及其运算；等差数列的通项公式．【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，再根据余弦定理得出Cn的表达式，最后求极限．【解答】解：因为最小的边长为n+1，且三边成公差为1的等差数列，所以，三边分别为n+1，n+2，n+3，不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，由余弦定理，cosC n=，整理得，cosC n=，又==，所以， cosC n=，若b n是最大的边，解法同上，结果一致，故填：．【点评】本题主要考查了运用余弦定理解三角形和等差数列的性质，以及数列极限的求解，涉及分类讨论思想，属于中档题．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（1，2）．【考点】函数零点的判定定理；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；作图题；方案型；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简f（x）=（1+）⊗log2x=，从而作函数f（x）与y=k的图象，利用数形结合求解．【解答】解：由题意得，f（x）=（1+）⊗log2x=，作函数f（x）与y=k的图象如下，，结合图象可知，1＜k＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．【考点】归纳推理．【专题】规律型；等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】设第一行公差为d，第一列的公比为q，根据已知求出d，q利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；【解答】解：设第一行公差为d，第一列的公比为q，∵a11=，a24=1，a32=，∴，解出d=q=，则a ij==，故答案为：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意，对n=1，2，3，4，5，6，…的情况分别进行讨论，得到规律，即可求得常数k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，∴当n=1时，f（1）=﹣2，f（2）=﹣1；∴f（1）+f（2）≤kf（1），即﹣3≤﹣2k，解得：k≤；当n=2时，f（3）=min{3，5﹣3，32﹣2×3﹣1}=2，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即﹣2﹣1+2+1≤k×（﹣1），解得：k≤0；当n=3时，f（5）=0，f（6）=﹣1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=﹣1≤kf（3）=2k，解得：k≥﹣；同理可得，当n=4时，f（7）=﹣2，f（8）=﹣3，依题意，可解得k≥﹣6；当n=5时，f（9）=﹣4，f（10）=﹣5，同理解得k∈R；当n=6时，f（11）=﹣6，f（12）=﹣7，依题意得k≤15；…∵对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，∴常数k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查数列的求和，着重考查对函数概念的理解与综合应用，突出考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；正弦函数的图象．【专题】作图题；压轴题；分类讨论．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A选项对应的图象符合．故选A．【点评】本题考查的是函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．【解答】解：锐角△AB C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得： =b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选A【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】新定义．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合．【分析】（1）分别解不等式，即可求集合A和B；（2）若A⊂B，结合（1）求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由≥1，可得A=[﹣，2）；由＞0，可得B=（﹣∞，a）∪（a2+1，+∞）；（2）∵A⊂B，∴a＞2．【点评】本题考查函数的定义域，考查集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用两种方法解：法1：令f（x）=0得到一个方程，将方程左边提取cos化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，利用余弦函数的图象与性质及正切函数的图象与性质分别求出x的范围，即可得到方程的解集；法2：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，令f（x）=0，整理后利用正弦函数的图象与性质求出x的范围，即为方程的解集．（2）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式b2=ac代入，利用基本不等式变形得到cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质得出此时B的范围，即为x的范围，将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域．【解答】解：（1）法1：由f（x）=0，得sin cos+cos2=cos（sin+cos）=0，由cos=0，得=kπ+，∴x=2kπ+π（k∈Z）；由sin+cos=0，得tan=﹣，∴=kπ﹣，即x=2kπ﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ﹣（k∈Z）}；法2：f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，由f（x）=0，得sin（x+）=﹣，可得x+=kπ﹣（﹣1）k（k∈Z），即x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z）}；（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），∴由余弦定理得cosB==≥，又B为三角形的内角，∴0＜B≤，由题意得x=B，即x∈（0，]，f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵x+∈（，]，则此时函数f（x）的值域为[， +1]．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，余弦、正切函数的图象与性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．【解答】解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，由300=30k解得，k=10；故P=10v，当30≤v≤36时，设P=mv2，由300=302m解得，m=；故P=；（2）当0＜v≤30时，Y=（10v+480）=1000+，当30≤v≤36时，Y=（v2+480）•=v+；故Y=；（3）当0＜v≤30时，Y=1000+是减函数，当30≤v≤36时，Y=v+在[30，36]上是减函数；故Y在（0，36]上是减函数，故当x=36时，Y有最小值为×36+=（元）．【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为偶函数容易得到b=0，从而得到g（x）=，从而可判断出g（x）为奇函数；（2）由方程g（x）=x可以得到a2x2+bx+1=0，而根据该方程有两个不等实根便可得到b2＞4a2，由a ＞0，便可得出b＞2a，或b＜﹣2a，进一步可以求出的范围，从而可判断出f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先得到，可设α为x1，x2中的一个数，从而可以得到，而根据便可得到．这时可讨论a，从而可以化简：a＞0时会得到a﹣a2＞0，可解出0＜a＜1；a＜0时会得到a﹣a2＜0，可以解出a＜0，这样便可求出a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1；∴b=0；∴；g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）=g（x）；∴g（x）为奇函数；（2）由g（x）=x得，；整理得，a2x2+bx+1=0，该方程有两个不等实根；∴△=b2﹣4a2＞0，a＞0；∴b＞2a，或b＜﹣2a；∴；f（x）的对称轴为；∴b＞2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，b＜﹣2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）由得，；设α为x1，x2中的一个数，则：；∵；∴；①若a＞0，则；两式联立可得（a﹣a2）α2＞0；∴a﹣a2＞0；∴0＜a＜1；②若a＜0，则；联立两式得（a﹣a2）α2＜0；∴a﹣a2＜0；∴a＞1，或a＜0；∴a＜0；∴综上得，a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）．【点评】考查偶函数、奇函数的定义及判断过程，一元二次方程实根的个数和判别式△的关系，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，解一元二次不等式．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）【考点】数列与函数的综合；归纳推理．【分析】（1）a n=p+（n﹣1）d，直角梯形A n A n+1B n+1B n的两底长度AnBn=f（a n），A n+1B n+1=f（a n+1）．高为A n A n+1 =d，利用梯形面积公式表示出s n．利用等比数列定义进行证明即可．（2）a n=﹣1+（n﹣1）=n﹣2，bn=（）n﹣2，以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n考查次不等式解的情况作解答．（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=＞2010，探讨p的存在性．【解答】解：（1）由等差数列通项公式可得a n=p+（n﹣1）d，…，对于任意自然数n， =，所以数列{s n}是等比数列且公比，因为d＞0，所以|q|＜1．…（写成，得公比也可）（2）a n=p+（n﹣1）=n+p﹣1，，对每个正整数n，b n＞b n+1＞b n+2若以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n，即，令n=﹣1，得1+2＞4，这是不可能的．所以对每一个正整数n，以b n，b n+1，b n+2为边长不能构成三角形．…（3）（理科做，文科不做），所以=如果存在p使得，即两边取对数得：p＜﹣log21340，因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=﹣11等．…说明：通过具体的p值，验证也可．【点评】本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力。
2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案
2022年高三12月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0322>-+=x x x A {}1-≥=x x B ，则=B A （）A .()∞+，1B .[)∞+-，1C .(]13，-D .[)11，-2.已知()i i z 7432+-=+⋅，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是（）A .()1,1B .()12，C .()2,1D .()2,23.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1674-=+S a ，48a a -=，则=10a （）A .1B .2C .3D .44.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线1-=kx y 过点F 且与抛物线C 交于B A ,两点，则=AB （）A .8B .6C .2D .45.已知向量()3,1=a ，()4,3-=b ，()2,7=c，则下列结论正确的是（）A .15-=⋅b aB .55=++c b aC .b a +与a的夹角为钝角D .b a +与c 垂直6.将函数()162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 图象的对称中心可以为（）A .⎪⎭⎫⎝⎛03πB .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0125πC .⎪⎭⎫⎝⎛13，πD .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1125π7.中国古代“刍童”作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语.关于计算的描述，《九章算术》中记载：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”.即体积计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，所得结果再与上底面的宽相乘：将下底面的长乘二，与上底面的长相加，所得结果再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，所得结果与高相乘，再取其六分之一.按照此算法，如图，现有体积为328的长方棱台1111D C B A ABCD -，其高为2，上底面矩形的长11B A为a 2，宽11D A 为a ，下底面矩形的长AB 为a 4，则该长方棱台的三视图中侧视图的面积为（）A .7B .3C .17D .1938.将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（）A .24中B .30种C .62种D .41种9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13+=nn S ，则数列{}2na 的前n 项和为（）A .236-⨯nB .22331++n C .2239+n D .23391-+n 10.若实数y x ,满足()yxyx22244+=+，则1122--+y x 的值可以是（）A .21B .1C .23D .2511.已知e 为自然对数的底数，若()()ea b e b e a ba 122214221-->-+--，且0<a ，则下列结论一定正确的是（）A .322+>b aB .12+>b a C .ab <+32D .eb a +<212.已知圆1C ：31633222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x 过双曲线2C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的左、右焦点21F F ，，曲线1C 与曲线2C 在第一象限的交点为M ，若1221=⋅MF MF ，则双曲线2C 的离心率为（）A .2B .3C .2D .3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩ξ作为样本进行分析，成绩ξ近似服从正态分布()273σ，N ，且()78.077=<ξP ，则()=<<7369ξP .14.()51-x 的展开式中所有有理项的系数之和为.15.已知函数()x f 的导函数()()()m x x m x f -+-='2，若()x f 在m x =处取到极小值，则m 的取值范围是.16.如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE ∆沿DE 折起，构成四棱锥BCDE F -，若CD EF ⊥，则四棱锥BCDE F -外接球的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2=BD ，4=CD ，AB AC >.（1）若32=AB ，6π=C ，求AD 的长；（2）若32π=∠BAC ，求ACD ∆的面积S 的取值范围.18.（12分）2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4:2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则时是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜利者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为53，乙在一次合法发球中，得1分的概率为52，设在一局比赛中第n 个合法发球出现得分时，甲的累积得分为n a .（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）（1）求随机变量3a 的分布列及数学期望；（2）求621,,a a a 成等比数列的概率.19.（12分）已知几何体1111D DCC A ABB -为正四棱柱1111D DEE A ABB -沿1DD 和BE 的中点C 截去一个三棱柱后的剩余部分，其中2==BC AB ，如图，平面1CDD 与直线11E B的交点记为1C .（1）过A 点作与平面D BC 1平行的平面α，试确定平面α与11B A 的交点位置，并证明；（2）求二面角B DC A --11的正弦值.20.（12分）已知曲线C 上任意一点()y x P ,满足方程()()4112222=++++-y x y x .（1）求点P 的轨迹方程；（2）如果直线l 交曲线C 于B A ,两点，且0=⋅OB OA ，过原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H .判断OH 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()x x f cos =，其导函数为()x f '.（1）若对任意0≤x ，()ax x f ≤'恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断函数()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x f x g 2ln π的零点个数，并证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()1sin 1=-θρ.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设()1,1M ，曲线1C ，2C 的交点为B A ,，求MB MA ⋅的值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()124123---=x x x f .（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）若不等式()x k x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由0322>-+x x ，得1>x 或3-<x ，∴{}31-<>=x x x A 或，又{}1-≥=x x B ，∴()∞+=，1B A .2.C解析：由()i i z 7432+-=+⋅，得()()()()i i i i i ii z 21323232743274+=-+-+-=++-=，∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1.3.D解析：设等差数列()n a 的公差为d ，由1674-=+S a ，48a a -=，可得：()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⨯+++016217774814a a d a a ，即⎩⎨⎧=+++-=+++0371621731111d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=151d a ，∴()611-=-+=n d n a a n ，则410=a .4.A解析：由题意知抛物线C ：x y 42=的焦点F 的坐标为()0,1，2=p ，又直线1-=kx y 过抛物线C 的焦点()01，F ，∴01=-k ，解得1=k ，∴直线的方程为1-=x y ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，设()()B B A A y x B y x A ,,，，∴6=+B A x x ，∴826=+=++=p x x AB B A .5.D 解析：∵()3,1=a，()4,3-=b ，∴9123=+-=⋅b a ，A 错误；∵()9,5=++c b a ，∴1068125=+=++c b a，B 错误；∵()019>=⋅+a b a ，∴b a +与a的夹角为锐角，C 错误；由题意，知()7,2-=+b a ，又()2,7=c，∴()0=⋅+c b a ，则b a +与c 垂直，D 正确.6.D解析：由题意得()162sin 1662sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x g ，令Z k k x ∈=-,62ππ，得122ππ+=k x ，Z k ∈，当1-=k 时，125122πππ-=+-=x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-1125π为函数()x g 图象的一个对称中心.7.B 解析：由题意，的长方棱台的体积()()[]()32832822086122284461222==⨯+=⨯⋅++⋅+⨯=a a a a a a a a a V ，∴1=a ，∴该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为()322121=⨯+⨯=S .8.A解析：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有313=C （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.∴，不同的放法有()242221113=++++⨯C （种）.9.C解析：由13+=n n S 得当2≥n 时，1311+=--n n S ，以上两式相减，得132-⨯=n n a ，又当1=n 时，41=a ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,941,1612n n a n n ，其前n 项和为()2239919941699941121+=--⨯+=+++⨯=+=-n n n n T .10.C 解析：()y x y xyx22222442⋅⋅-+=+，()y xy x 22212211+=+--，设()022>=+t t yx，则由题意得t t yx22222=⋅⋅-，即t t yx22222-=⋅⋅.∵222222220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≤⋅⋅<y x yx ，即42022t t t ≤-<，当且仅当yx22=，即1==y x 时等号成立，解得42≤<t ，∴1122--+y x 的取值范围是(]2,1.11.B 解析：由题意，知()()122214212-->-+-+a b e b e a b a，∴()()b eb a e a b a 212124212+->++-+，∴()()beb a e a b a2212122212+-+>++-+∴()[]()()21221222212+++-+>++-+b eb a e a b a，设()()22++-=x e x x f x ，则()()11+-='x e x x f ，李陵()()x f x g '=，则()xxe x g ='，当0<x 时，()0<'x g ，()x f '单调递减，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f ；当0>x 时，()0>'x g ，()x f '单调递增，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f .∴()()00=<f a f .，∴()()()1220+>>>b f a f a f ，∴()()12+>b f a f ，∴12+>b a .12.C 解析：由题意，知圆1C 的圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3320，，半径334=r ，()()02,0221，，F F -，则421=F F ，在O C F Rt 11∆中（其中O 为坐标原点），∵334332111==F C O C ，，∴︒=∠6011O C F ，∴︒=∠=∠︒=∠602112021121211F C F MF F F C F ，，在21MF F ∆中，由余弦定理得：()221221212221221460cos 2a MF MF MF MF MF MF MF MF F F =+-=︒-+=1612=+，∴1=a ，又2=c ，∴双曲线2C 的离心率为2=e .又11296lg 3125lg 6lg 5lg 5log 45456>==，∴545log 6>=c ，∴c b <.∴c b a <<.二、填空题13.28.0解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,73σN ，()78.077=<ξP ，得()()22.06977=≤=≥ξξP P ，∴()28.022.05.07369=-=<<ξP .14.16-解析：由二项式定理，可得()51-x 的展开式通项为()()r rrr x C T 1551-=-+，5,4,3,2,1=r ，当42,05，=-r ，即1,3,5=r 时，1+r T 为有理项，∴所有有理项的系数之和为()()()()16510111115353555-=++-=-+-+-C C C .15.()2,0解析：由题意得0≠m ，当0>m 时，()x f '为图象开口向下的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有20<<m ；当0<m 时，()x f '为图象开口向上的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有2>m ，与0<m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是()2,0.16.π211解析：由EF BE AE ==得BF AF ⊥，同理CF AF ⊥，又F CF BF = ，∴⊥AF 平面BCF ，如图，取BC 的中点G ，连接AG FG EG ,,，则AC EG ∥，又AC EF ⊥，∴EG EF ⊥，∴在EFG Rt ∆中，2=FG ，在AFG Rt ∆中，122=-=FG AG AF ，∴三棱锥ADE F -为正四面体，设AG 与ED 的交点为M ，易知M 为ED 的中点，连接FM ，则23==MG FM ，在FMG ∆中，由余弦定理得312cos 222-=⋅-+=∠MG FM FG MG FM FMG ，设正三角形EFD 的中心为I ，易知等腰梯形BCDE 的外接圆圆心为BC 的中点G ，设四棱锥BCDE F -外接球的球心为O ，连接OG OI ,，则⊥OI 平面EFD ，⊥OG 平面BCDE ，连接GI ，在MGI ∆中，131236322363cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅-+=FMG MG MI MG MI GI ，易知I O G M ,,,四点共圆，设四边形MGOI 外接圆的半径为r ，结合正弦定理，得223sin 2=∠==GMI GI r OM ，8322=-=MG OM OG ，设四棱锥BCDE F -外接球的半径为R ，则811831222=+=+=OG BG R，∴四棱锥BCDE F -外接球的表面积为π211.三、解答题17.解：（1）由题意知6=BC ，在ABC ∆中，由余弦定理得C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=，即236236122⨯⨯⨯-+=AC AC ，即024362=+-AC AC ，解得32=AC 或34=AC ，∵AB AC >，∴34=AC .在ADC ∆中由余弦定理得：C AC DC AC DC AD cos 2222⋅⋅-+=，即1623344248162=⨯⨯⨯-+=AD ，∴4=AD .（2）∵326π=∠=BAC BC ，，∴在ABC ∆中，由正弦定理得34sin sin sin =∠==BACBCB AC C AB ，∴C AB sin 34=，⎪⎭⎫⎝⎛-==C B AC 3sin 34sin 34π，∴C C C AC CD S sin 3sin 34421sin 21⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅=πC C C C C C 2sin 34cos sin 12sin sin 21cos 2338-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=()3262sin 342cos 21322sin 6-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=πC C C .又AB AC >，则60π<<C ，∴2626πππ<+<C ，∴162sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πC ，可得320<<S ，∴ACD ∆的面积S 的取值范围为()32,0.18.解：（1）随机变量3a 的可能取值为0,1,2,3.()12585203033=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()12536525312133=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C a P ；()12554525322233=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()125275333333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P .随机变量3a 的分布列为∴()59125273125542125361125803=⨯+⨯+⨯+⨯=a E .（2）若621a a a ，，成等比数列，则11=a ，当12=a 时，则16=a ，()156259652531,1,15621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯====a a a P ；当22=a 时，则46=a ，()1562519445253534,2,122242621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛====C a a a P ∴事件621a a a ，，成等比数列的概率31254081562519441562596=+=P .19.解：（1）由题意，知1C 为11E B 的中点，如图，取11D A 的中点P ，连接AP P C ，1，则1111112C B P A C B P A ∥，==，∴四边形111B PC A 为平行四边形，∴111B A PC ∥，∴AB PC ∥1，又AB PC =1，∴四边形B APC 1为平行四边形，∴1BC AP ∥，又⊄AP 平面D BC 1，⊂1BC 平面D BC 1，∴AP ∥平面D BC 1，连接11D B ，同理可证11D B BD ∥，设11B A 的中点为Q ，连接AQ PQ ,，则11D B PQ ∥，∴BD PQ ∥，又⊄PQ 平面D BC 1，⊂BD 平面D BC 1，∴PQ ∥平面D BC 1，又P PQ AP = ，∴平面APQ ∥平面D BC 1，从而平面APQ 即为平面α，故平面α与11B A 的交点为11B A 的中点Q .（2）以1A 为坐标原点，11111D A B A A A ，，所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图所示.3a 0123P1258125361255412527则()()()()0,2,222040200011B C D A ，，，，，，，，，，∴()4021，，=D A ，()22011，，=C A ，()420，，-=BD ，()2021，，-=BC .设平面D C A 11的法向量为()1111,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n D A ，∴⎩⎨⎧=+=+022*******z y z x ，令11=y ，∴()1,1,21-=n 即平面D C A 11的一个法向量为()1,1,21-=n.设平面D BC 1的法向量为()2222,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212n BC n BD ，∴⎩⎨⎧=+-=+-022*******z x z y ，令12=x ，∴()1,2,12=n ，∴平面D BC 1的一个法向量为()1,2,12=n.∴21663,cos 212121=⨯=⋅=n n n n n n.设二面角B DC A --11的大小为θ，则23211sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，∴二面角B DC A --11的正弦值为23.20.解：（1）由题意知，点P 的轨迹是椭圆，设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x ，且12==c a ，，∴32=b ，∴点P 的轨迹方程为13422=+y x .（2）当直线l 的斜率不存在时，0=⋅OB OA ，不妨设点A 在第一象限，易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛72127212，A ，∴7212=OH .当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：m kx y +=，且与曲线C 的交点分别为()()2211,,y x B y x A ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，化简得()0124843222=-+++m kmx x k ，∴()0434822>-+=∆mk ，即2243k m+<，且222122143124438k m x x k km x x +-=+-=+，，由此可得2222143123k k m y y +-=，又0=⋅OB OA ，∴0431********22222121=+-++-=+k k m k m y y x x ，即01212722=--k m ，∴()222431712k k m +<+=，则721271212==+=km OH ，综上，OH 为定值7212.21.解：（1）由()x x f cos =可得()x x f sin -='，令()()ax x ax x f x h --=-'=sin ，则()a x x h --='cos .当1-≤a 时，()0cos 1≥-≥'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递增，故()()00=≤h x h ，符合题意；当1≥a 时，()0cos 1≤--≤'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递减，故()()00=≥h x h ，不符合题意；当11<<-a 时，方程()0='x h 在(]0，∞-上有无数个解，记其中最大的负数解为0x ，则当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，故()()00=>h x h ，不符合题意.综上，1-≤a ，即实数a 的取值范围为(]1，∞-.（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛∞+-2π，①当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈2πx 时，1cos ≤x ，1ln 2ln >>⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ，∴()0<x g ，此时函数()x g 无零点.②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()021sin <+--='xx x g π，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，∵()02ln10>-=πg ，0ln 02<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，∴函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有且仅有1个零点.③当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时，令()2ln 22ln πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x p ，则()022221>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+='ππππx xx x p ，∴()x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π上单调递增，故()()00=<p x p ，即2ln 22ln πππ+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x .令()2ln 2cos ππ--=x x x q ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()π2sin --='x x q ，令()π2sin --=x x n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()0cos <-='x x n ，可得()x n 在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上单调递减，又02>⎪⎭⎫ ⎝⎛-πn ，()00<n ，故存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 使()00=x n ，则存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx ，使得()00='x q ，且当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 时，()00>'x q ，()x q 单调递增，当()0,0x x ∈时，()00<'x q ，()x q 单调递减，又()02ln 102>-==⎪⎭⎫⎝⎛-ππq q ，∴当02<<-x π时，()0>x q ，即2ln 2cos ππ+>x x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+>x x 2ln cos π，即当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 时，()0>x g ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上无零点.综上，函数()x g 有1个零点.（二）选考题22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②，①t y t x 21,1，则①-⨯2②，得122-=-y x ，∴曲线1C 的普通方程为：0212=-+-y .由()1sin 1=-θρ得1sin +=θρρ，两边同时平方得1sin 2sin 222++=θρθρρ，将y =θρsin ，222y x +=ρ代入上式，得12222++=+y y y x ，化简得122+=y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为21212-=x y .（2）将曲线1C 的参数方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t y t x 361331，代入21212-=x y 得()0662322=-'-+'t t ，设B A ,两点对应的参数分别为21t t ''，，则621-=''t t .∴621='⋅'=⋅t t MB MA .23.解：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-<=4,43,2473,x x x x x x x f ，（1）①当3<x 时，2>x ，即32<<x ；②当43≤≤x 时，2247>+-x ，解得722<x ，即7223≤≤x ；③当4>x 时，2>-x ，解得2-<x ，则()2>x f 无解.综上所述，不等式()2>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛7222，.（2）①当0=x 时，显然成立；②当0≠x 时，不等式()x k x f ≤可化为xx xx x k 124123124123---=---≥.又1124123124123=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---x x x x ，当且仅当0124123≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且xx 124123->-时等号成立，∴实数k 的取值范围为[)∞+，1.。
高三数学12月联考试题理(含解析)
天一大联考20１7-２０18学年高中毕业班时期性测试(三)数学(理科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、1。
已知集合,,则( )A、Ｂ。
Ｃ。
D、【答案】A【解析】由题意得,因此。
选A。
２、已知是虚数单位,若复数为纯虚数(,),则( )A、 B。
C、Ｄ、【答案】A【解析】由题意得为纯虚数,因此,故。
因此、选A。
3、如图是一边长为８的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍、若在正方形图案上随机取一点,则该点取自白色区域的概率为( )Ａ。
Ｂ、C。
D。
【答案】Ｄ【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为４,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,因此白色区域的面积为,由几何概型概率公式可得所求概率为。
选Ｄ。
４。
已知函数()的最小值为２,则实数( )A。
2 Ｂ、４ C、 8 D、 16【答案】B【解析】由得,故函数的定义域为,易知函数在上单调递增,因此,解得。
选Ｂ。
５、已知数列满足,,,则数列前项的和等于( )A、 162B、 182C、 234D、346【答案】B【解析】由条件得,因此,因此数列为等差数列、又,,因此。
故。
选B。
点睛:在等差数列项与和的综合运算中,要注意数列性质的灵活应用,如在等差数列中项的下标和的性质,即:若,则与前n项和公式经常结合在一起运用,采纳整体代换的思想,以简化解题过程、6。
用,,…,表示某培训班10名学员的成绩,其成绩依次为８５,６8,95,7５,88,9２,９0,80,78,８7、执行如图所示的程序框图,若分别输入的10个值,则输出的的值为( )A、 B、 C、 D、【答案】Ｃ、。
、、、、、。
、。
、、、、、、、。
、。
、7。
如图画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A、１6B、 32 Ｃ。
４8 D。
2025届上海市12校联考高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市12校联考高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)2．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e 3．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定4．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 5．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）6． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．457．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．2238．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直12．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市十二校联考高三(上)12月月考数学试卷(理科)(解析版)
上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．6．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是．7．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．8．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．9．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为．10．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．11．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是．12．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．13．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为．14．（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．数列{a n}中，已知S1=1，S2=2，且S n﹣3S n+2S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），则此+1数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列17．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n318．函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点三、简答题（本大题满分74分）19．（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．21．已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．22．（16分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B={x|﹣1≤x＜2} ．【分析】集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8．【分析】直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为﹣1．【分析】首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．【解答】在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．【分析】由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．6．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，} ．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．7．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．【分析】过S作SO⊥平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作SO⊥平面ABC，∴OC为底面正三角形的高，且OC=××=，∴棱锥的高SO==，∴三棱锥的体积V=×××××=．故答案是．【点评】本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．8．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1] ．【分析】利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=，由0≤x≤得﹣，∴﹣，∴﹣1≤2sin（2x﹣）≤2，∴﹣2≤2sin（2x﹣）﹣1≤1；函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．9．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3．【分析】根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为∴|+|=2×2×=2∵+与的夹角是，∴+在上的投影为|+|cos=2×=3故答案为：3【点评】本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．10．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．【分析】根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．11．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是（0，1] ．【分析】根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．=（n+1）a1，所以成立，解：当q=1的情况，S n+1当q≠1是的情况，，所以可以看出当q为小于1的分数的时候成立，故答案为（0，1]．【点评】本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．12．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．【分析】g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．13．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18] ．【分析】根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．14．（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有3个．【分析】由=0可得，分类作图可得结论．解：由=0可得，若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，当四向量如图2所示时，||=2，当四向量如图3所示时，||=2，故答案为：3【点评】本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】先分别化简p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考虑p与q的推出关系，即可得结论．解：由题意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分条件故选：B．【点评】本题的考点是四种条件，以不等式解集为依托，合理运用定义时解题的关键．16．数列{a n}中，已知S1=1，S2=2，且S n﹣3S n+2S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），则此+1数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列【分析】根据题意，利用数列{a n}的前n项和为S n，转化为通项公式a n的关系，从而判断{a n}的特征是什么．解：数列{a n}中，∵S1=1，∴a1=1；又∵S2=2，∴a2=1；﹣3S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），又∵S n+1﹣S n﹣2S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），∴S n+1﹣S n）﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=0（n∈N*且n≥2），即（S n+1=2a n（n∈N*且n≥2），∴a n+1∴数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列．故选：D．【点评】本题考查了数列的前n项和与通项公式的应用问题，也考查了等比数列的判断问题，是基础题目．17．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选：C．【点评】本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题18．函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x ≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，（5）x=0时，显然函数无零点；综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选：D．【点评】本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题．三、简答题（本大题满分74分）19．（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．【分析】（1）由已知得SA⊥BC，CB⊥AB，从而BC⊥平面SAB，∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，由此能求出直线SC与平面SAB所成角．（2）作AE⊥SB于E，由已知AE===，由此能求出几何体的体积．【解答】（理）解：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，又底面ABCD为正方形，∴CB⊥AB，又SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan，∴直线SC与平面SAB所成角为arctan．（2）作AE⊥SB于E，Rt△SBC中，AB=3，SA=4，SB=5，==，又S△SAB∴AE===，∴几何体的体积V===．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．【分析】（1）利用，得到，然后求角A的大小；（2）利用B+C=120°化简，通过两角和的正弦函数求出B的大小，然后证明△ABC是直角三角形．解：（1）=∴，则A=60°（2）证明：B+C=120°，所以，，则，所以B+30°=60°或B+30°=120°B=30°，则C=90°，或B=90°．所以△ABC是直角三角形【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，考查计算能力，推理证明能力．21．已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．【分析】（1）由题意可得≥3x从中解得﹣1≤3x≤，解此指数不等式即可求得x的取值范围；（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（﹣1）=0可求得b，从而可得y=f（x）的解析式；利用单调性的定义，对任意x1，x2∈R，x1＜x2，再作差f（x1）﹣f（x2），最后判断符号即可．解：（1）由题意，≥3x，化简得3•（3x）2+2×3x﹣1≤0…解得﹣1≤3x≤…所以x≤﹣1…（，如果是其它答案得5分）（2）已知定义域为R，所以f（0）==0⇒a=1，…又f（1）+f（﹣1）=0⇒b=3，…所以f（x）=；…f（x）==（）=（﹣1+）对任意x1，x2∈R，x1＜x2，可知f（x1）﹣f（x2）=（﹣）=﹣（）…因为x1＜x2，所以﹣＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．…【点评】本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．22．（16分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【分析】（1）欲判断函数f（x）=﹣x=1，lg（x）=2x﹣1是否是M的元素，只须验证对任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；（2）先求出函数f（x）的反函数f﹣1（x），然后直接根据题中的定义判断f﹣1（x）是否是M的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…所以f﹣1（x）∈M…（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…由f（x）＜1，得＜1即…若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）【点评】本题主要考查了函数恒成立问题和反函数，函数值的求法等，是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．【分析】（1）根据“生成数列”的定义，数列{b n}满足，结合数列{a n}的通项为a n=n，递推可得结论；（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），求出数列{c n}的“生成数列”{l n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{d n}的通项为，求出数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，解不等式可得m的值．解：（1）∵数列{b n}满足，数列{a n}的通项为a n=n，∴3分综合得：b n=2n﹣14分（2）6分当b=0时，l n=4n﹣2，由于l n+1﹣l n=4（常数）所以此时数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列8分当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分此时c1+c3≠2c2，∴此时数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．10分（3）11分当n=1时，T n=p1=312分当n≥2时=3+（3•2+3•22+…+3•2n﹣1）+（3+5+…+2n﹣1）=3•2n+n2﹣4，14分所以，15分若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，则2012≤T n≤626016分由于{T n}对于一切自然数是增函数，T9=1613＜2012，T10=3168＞2013T11=6261＞6260所以存在唯一的自然数m=10满足若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0成立18分．【点评】本题考查的知识识是数列与不等式，等差关系的确定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．。
上海市十二校高三数学12月联考试题
上海市十二校2017届高三数学12月联考试题一. 填空题1. 已知集合{1,2,4}A =，{,4}B a =，若{1,2,3,4}A B =，则A B =2. 已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k =3. 复数12aiz i =+(0)a <，其中i 为虚数单位，||z =，则实数a =4. 已知向量(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则实数x =5. 已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为6. 已知(1,1)A 、(1,3)B 、(3,5)C ，则AB 在AC 方向上的投影是7. 已知函数212,0(),0x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩的反函数为1()f x -，则1(18)f -=8. 已知点(1,0)A 、(1,1)B ，若直线1y kx =+与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围 是9. 函数y =R ，值域为[0,)+∞，则实数a 的取值集合为10. 已知函数23()log log 2f x a x b x =-+，若1()42016f =，则(2016)f =11. 命题:|1|3A x -<，命题:(2)()0B x x a ++<，若A 是B 的充分而不必要条件，则实 数a 的取值范围是12. 如图，直线OA 、AB 与x 轴正方向的夹角分别为θ和30︒，||||2OA AB ==， (0,)2πθ∈，则AB 的坐标是13. 如果函数()sin()4f x x πωπ=-(0)ω>，在区间(1,0)-上有且只有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的取值范围是14. 如图，在此表格中，每格填上一个数，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， 并且所有公比相等，则a b c ++=二. 选择题15. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）A. ±B. -C. ±D. -16. “260x x --≠”是“3x ≠”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要17. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是它的前n 项和，且lim n n S →∞存在，这样的等差数列 （ ）A. 不存在B. 有且仅有一个C. 存在且不唯一D. 有无穷多个18. 若点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图像上，1()y f x -=为函数()y f x =的反 函数，设100(,)P y x 、200(,)P y x -、300(,)P y x -、400(,)P y x --，则有（ ）A. 点1P 、2P 、3P 、4P 有可能都在函数1()y f x -=的图像上B. 只有点2P 不可能在函数1()y f x -=的图像上C. 只有点3P 不可能在函数1()y f x -=的图像上D. 点2P 、3P 都不可能在函数1()y f x -=的图像上三. 解答题19. 设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤；（1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1111z z ω-=+，求证：ω为纯虚数；20. 已知向量1(,2a =-，(2cos ,2sin )b θθ=，0θπ<<； （1）若a ∥b ，求角θ的大小；（2）若||||a b b +=，求sin θ的值；21. 如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园，已知角A 为120︒， AB 、AC 的长度均大于200米，现在边界AP 、AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆；（1）若围墙AP 、AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元，若造围墙用 了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？22. 已知椭圆2219x y +=； （1）若该椭圆的焦点为1F 、2F ，点P 是该椭圆上一点，且12F PF ∠为直角，求点P 坐标； （2）若椭圆方程2219x y +=同时满足条件0xy <，则由此能否确定y 关于x 的函数关系 式？若能，请写出()y f x =的解析式，并写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，只需写出结论；若不能，请写出理由；23. 已知{}n a 、{}n b 、{}n c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S ++⋅⋅⋅+=， *n N ∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为d (0)d ≠的等差数列；（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），n n k b c +=（2n ≥，*n N ∈），求证：对任 意的2n ≥，*n N ∈，数列{}nnb a 单调递减；参考答案一. 填空题1. {4}2. 63. 5-4. 45. 27. 4 8. [1,0]- 9. {1} 10. 0 11. 4a <-12. 13. 1544ω<≤ 14. 272二. 选择题15. C 16. A 17. B 18. D三. 解答题19.（1）1||1z =，1122a -≤≤；（2）略；20.（1）23πθ=；（2；21.（1）100AP AQ ==，S =2）2007AP =，8007AQ =；22.（1），(，，(；（2）30303x y x -<<⎪=⎨⎪<<⎪⎩，定义域(3,0)(0,3)-，值域(1,0)(0,1)-，为奇函数，在(3,0)-和(0,3)上单调递增；23.（1）43n b n =-；（2）公差为32d ；（3）略；。
2017届上海市十二校高三上学期12月联考理科数学试题及答案
上海市十二校2017届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2017年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分） 1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = _______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式35041113a --中，元素a 的代数余子式值为 ． 4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f 5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________． 7.若正三棱锥的底面边长为1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()xx x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92，a 与b 的夹角为3π，则b a +在a 上的投影为 ．10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆的周长为 ． 11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 ． 12．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)nn b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a )4,3,2,1(1=i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i ，则32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分） 15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p qx+≤+<则是 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n，n ∈N*)，则此数列为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列 17.关于函数31)212()(x x f x x ⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ） A ．若n m <<-3，则)()(n f m f < B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m < D ．若)()(n f m f <，则33n m <18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是 （ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分.如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4（1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
上海市十二校高三数学上学期12月联考试题 理 沪教版
2012-2013学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2012•黄浦区二模）函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）．∴x＞﹣的定义域为（﹣，+∞），+∞）2．（4分）已知角θ的终边过点P（﹣3，4），则sinθ+cosθ的值为．=，=+（﹣故答案为：．3．（4分）（2010•徐汇区二模）设集合，则A∪B={x|﹣1≤x＜2}4．（4分）（2012•黄浦区二模）若π≤x≤，则方程2sinx+1=0的解x= ．sin=≤x≤+故答案为：5．（4分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b= 2 ．6．（4分）已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点（，9），则的值是 2 ．，）），∴，即=，=27．（4分）若等差数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．则a1的值为﹣．﹣8．（4分）（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 20 吨．则需要购买次，运费为万元，=160当且仅当9．（4分）函数（x∈[0，π]）的值域是．）∈﹣，解：∵函数sinx﹣），∴x﹣∈﹣，﹣，）∈10．（4分）（2009•浦东新区一模）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，若S2=12，S 3=a1﹣6，则= 16 ．即可求出q=；所以=11．（4分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=k（x﹣1）（k＞1）的图象与x轴交于点A，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于点B，并且这两个函数的图象交于点P．若四边形OAPB的面积是3，则k= ．，所以）得：故答案为13．（4分）（2011•浦东新区三模）已知数列{a n}是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列{S n}中的唯一最小项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是（﹣30，﹣27）．=n=n==＜1014．（4分）（2012•松江区三模）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设则f的n阶周期点的个数是2n．]∈（]∈（，x=∈（，∈（x=二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．16．（5分）函数的图象如图所示，则y 的表达式为（）．．C．．=﹣，再由ω=＜=﹣，=×2+，﹣＜）17．（5分）若，则该数列的前2012项=，则﹣﹣=18．（5分）（2009•海淀区一模）对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．）由分式不等式的解法，解＞）根据题意，＞，）∪（，+∞））可得20．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求tanC的值；（2）若△ABC最长的边为1，求b．）由，得到）∵cosB=sinB=∴tanB=﹣，∴C=135°，∴sinC=21．（14分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．（2）若函数（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．）上是增函数，但在（）因为（在（﹣]=且22．（16分）已知（a∈R）的图象关于坐标原点对称（1）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；（2）若函数在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围（3）设，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．）函数）在上恒成立，利用基本不等式可求出=时函数在，显然，即23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}的通项为c n=An+B，（A．、B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n }的通项为，设{d n }的“生成数列”为{p n }．若数列{L n }满足求数列{L n }的前n 项和T n ．）），综合：。