数学建模习题集及标准答案
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学
生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:
(1)按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
(2)2.1节中的Q值方法。
(3)d’Hondt方法:将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如下表:
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
(4)你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元,120g装的3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定,这些成本中有的与重量w成正比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素。
(2)给出单位重量价格c与w的关系,画出它的简图,说明w越大c越小,但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部
只准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):
先用机理分析建立模型,再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角 应
多大(如图)。若知道管道长度,需用多长布条(可考虑两端的影响)。如果管道是其他形状呢。
5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便、有效的排列方法,使加工
出尽可能多的圆盘。
6. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变,在一些合理、简化的假设下
建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7. 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重
组别 最大体重(kg ) 抓举 (kg ) 挺举 (kg ) 总成绩(kg ) 1 54 132.5 155 287.5 2 59 137.5 170 307.5 3 64 147.5 187.5 335 4 70 162.5 195 357.5 5 76 167.5 200 367.5 6 83 180 212.5 392.5 7 91 187.5 213 402.5 8 99 185 235 420 9 108 195 235 430 10
〉108
197.5
260
457.5
第一部分 课后习题答案
宿舍 (1) (2) (3) (1) (2) (3) A 3 2 2 4 4 3 B 3 3 3 5 5 5 C 4 5 5 6 6 7 总计
10
10
10
15
15
15
2. (1)生产成本主要与重量w 成正比,包装成本主要与表面积s 成正比,其它成本
也包含与w 和s 成正比的部分,上述三种成本中都含有与w ,s 均无关的成分。又
因为形状一定时一般有3
/2w
s ∝,故商品的价格可表为γ
βα++=3
/2w
w C
(
γβα,,为大于0的常数)。 (2)单位重量价格13/1--++==
w w w
C
c γβα,其简图如下:
显然c 是w 的减函数,说明大包装比小包装的商品便宜,;曲线是下凸的,说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的,不要追求太大包装的商品。 3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的,密度也大体上相同,所以重量w 与身
长l 的立方成正比,即3
1l k w =,1k 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型,因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的,则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比,于是
l d k w 22=,2k 为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得1k =0.014,2k =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表:
实际重量(g ) 765
482
1162
737
482
1389
652
454
模型
31l k w =
727 469 1226 727 483 1339 675 483
模型
l
d k w 22=
730 465 1100 730 483 1471 607 483
基本上满意。
4. 将管道展开如图:
可得απcos d w =,若d 一定,w 趋于0,α趋于π/2;w 趋于πd ,α趋于0。若管
道长度为
l ,不考虑两端的影响时布条长度显然为πd l /w ,若考虑两端影响,则应加上πdw/sin α。对于其它形状管道,只需将πd 改为相应的周长即可。
5. 设圆盘半径为单位1,矩形板材长a ,宽b ;可以精确加工,即圆盘之间及圆盘与板
材之间均可相切。 方案一:圆盘中心按正方形排列,如下图1,圆盘总数为1N =[a/2][b/2]
方案二:圆盘中心按六角形排列,如下图2,行数m 满足2+(m-1)≤3a ,于是
m=132+??
?
?
??-a
图1 图2
列数(按图2第1行计数)n 满足:若[b]为奇数,则各行圆盘数相同为([b]-1)/2;若[b]为偶数,则奇数行圆盘数为[b]/2,偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为?
?
?+--=)2(2/12/)1]([)
1(2/)1]([2b m b m N
其中(1)为:m 为偶数。(2)为:m 为奇数,[b]为偶数。 两个方案的比较见下表(表中数字为1N /2N ):
3 5 8 10 1
4 20 4 2/2 4/4 8/7 10/9 14/13 20/19 7 3/3 6/6 12/11 15/14 21/20 30/29 10 5/
5 10/10 20/18 25/23 35/33 50/48 15 7/8 14/1
6 28/28 35/36 49/52 70/76 20
10/11
20/22
40/39
50/50
70/72
100/105
当a ,b 较大时,方案二优于方案一。
其它方案,方案一、二混合,若a=b=20,3行正方形加8行六角形,圆盘总数为106。 6. 假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变,且动物体内热量主
要通过它的表面积散失,对于一种动物其表面积S 与某特征尺寸l 之间的关系是
2l S ∝,所以饲养食物量2l w ∝。
7. 假设举重比赛成绩y 与运动员肌肉的截面积s 成正比,而截面积2
l s ∝(l 是某特
a
b
征尺寸),体重3
l w ∝,于是3
/2w
y ∝。
用举重总成绩检验这个模型,结果如下图3;如果用举重总成绩拟合α
w y ∝,可得
α=0.57,结果如下图4。
图3 图4
第二部分 课后习题
1.
Malthus 模型预测的优缺点。 2. 阻滞增长模型预测的优缺点。 3. 简述动态模型和微分方程建模。
4. 按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5. 叙述Leslie 人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6. 试比较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分 课后习题答案
1. 优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为
常数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。
2. 优点: 中期预报比较准确; 缺点: 理论上很好,实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口
增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定,而且会随着社会发展情况变化而变化。
3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对
象特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段;微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预
防传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型。
5. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1), 是一种
差分方程模型。 6. 连续形式: ()y t 表示某种群t 时刻的数量(人口)
d (1)d m
y y ry t N =- 离散形式: n y 表示某种群第n 代的数量(人口)
1(1),1,2,n
n n n m
y y y ry n N +-=-
=L 若n m y N =, 则12,,n n m y y N ++=L , *
m y N =是平衡点; 1(1) n
n n n m
y y y ry N +-=-
的平衡点为*
m y N =. 1(1)1(1)n n n m r y r y y r N +??=+-
??+??
的平衡点为*111r x r b ==-+, 其中
1,/(1),()(1)n n m b r x ry r N f x bx x =+=+=-, 此时的差分方程变为
1(1)()1,2,n n n n x bx x f x n +=-==L
.
由()(1)x f x bx x ==-可得平衡点*
*
11,0x x b
=-
=. 在平衡点*
0x =处,由于(0)1f b '=>,因此, *
0x =不稳定.
在在平衡点*
11x b
=-
处, 因**
()(12)2f x b x b '=-=-,所以 (i) *
()13f x b '>?> 当3b >时, 平衡点*11x b
=-不稳定;
(ii) *()1f x '<13b ?<< 当13b <<时, 平衡点*
11x b
=-不稳定.
第三部分 课后习题
1. 判断下列数学模型是否为线性规划模型。(a,b,c 为常数,x,y 为变量)
???????≥=+≤++≥-++=0
,12432085862.753max 1212132
13213
21x x x x x x x x x x t s x x x f +)(
?????=≥===∑∏==),,2,1(0),,2,1(.max )2(1
1
n j x m i b x a t s x c f j
n
j i j ij n
j j
j ΛΛ )
,,2,1;,,2,1(..,
min 321
21
2
m j m i c y x t s y b x a f ij
i i n
j j j m
i i i ΛΛ==≤++=∑∑==)(
2. 将下述线性规划问题化为标准形式。
??????
?≤≤≤-=--≥++-≤++-++=取值无约束)(3213213213213
21,62,063244239232min 1x x x x x x x x x x x x x x x Z ??
???≤≥+--=无约束)(y x x y x y x Z ,3
2||||max 2
???
??≥≤≤-+-=++-+-=无约束
)(321
321321321,0,06
4
..22min 3x x x x x x x x x t s x x x f
??????
?≤≥≥+--=+-≤++++++=无约束
)(4231431
3
2143214321,0,0,1228
5327
..32max 4x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f
3. 用单纯形法求解线性规划问题。
??????
?≥≤+≤≤+=0
,18231224
..52max 21212121x x x x x x t s x x f
4. 检验函数2122
12)1()(100)(x x x x f -+-=在T x )1,1(*=处有*
*,0G g =正定,从
而*
x 为极小点。证明G 为奇异当且仅当005.02
12=-x x ,从而证明对所有满足
0025.0)( 5. 求出函数4 131212221222)(x x x x x x x f ++-+=的所有平稳点;问哪些是极小点?是否 为全局极小点? 6. 应用梯度法于函数,10)(2 22 1x x x f +=取.)1,1.0()1(T x =迭代求.) 2(x 第三部分 课后习题答案 1. 答案:(1)是 (2)不是 (3)是 2. 答案:(1) 式: ,可得到如下的标准形及剩余变量引入松弛变量令5642233311,. 2',''','x x x x x x x x x x -=-=-= 4''3'3'2'min 3321+-++-=x x x x z ????? ????≥=+=-++=--++=+-++0 ,,,'',',','4'2''3'3'2'42''2'2''37'''''2.65433216233215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s (2)令 ???<-≥=???<≥=0,0,0,.0,0;0,21x x x x x x x x ?? ?<-≥=???<≥=0 ,0,0, . 0,0;0,21y y y y y y y y 引入松弛变量 .,t s 可得到如下的标准形式: ??? ??≥=+-=--+-+++=0,,,,,3 2.'min 2 1212121212 121t s y y x x t x x s y y x x t s y y x x z (3)解:''','333 11x x x x x -=-=令 : 可得到如下的标准形式引入松弛变量,4x ''2'2'2m in 3321x x x x z -+--= ??? ??≥=++-+=-++0,'',',,'6 ''''4 ''''.4 3321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s (4)解:''','444 22x x x x x -=-=令 :可得到如下的标准形式和剩余变量引入松弛变量,,65x x ?????? ?≥=--+--=++=+-++-+--+-=-='0 ,,",',,',1"2'2285'327"''..'''3'2min 654432164431 32154432144321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f f 3. 答案:在上述问题的约束条件中加入松弛变量543,,x x x ,将原问题化成标准形式如下: ?????? ?≥=++=+=+--=-='0 ,,18231224..52min 52152 14231 21x x x x x x x x x x t s x x f f Λ 其现成可行基),,(543ααα对应的单纯形表如下: 换基迭代,得 换基迭代,得 故最优解为T X )0,0,2,6,2(* =,目标函数的最优值为34* =f . 4. 证明: ???? ??--++-=)(20022400400)(21213121x x x x x x x g , ??? ? ??--++-=20040040021200400)(11212x x x x x G , 经检验,??? ? ??--==200400400802)(,0)(* * x G x g 正定, )(x G 奇异当且仅当,0)(=x G 即005.0212=-x x 。 若???>+->++-0 400800008000002120040022 1212x x x x ,即0005.022 1>+-x x 时,)(x G 正定, 所以若,0025.0)( 212<-x x ,即005.02 12<-x x ,故)(x G 正定。 5. 解:??? ? ??-++-=)224624)(12312121x x x x x x x g ??? ? ? ?--++=22212124)(2 11x x x G ,故平稳点为),1,1(),5.0,5.0(),0,0(----极小点为),1,1(),0,0(--且是全局极小点。 6. 解:T x )11 9,1109() 2(- = 第四部分 课后习题 1. 如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能确定,即图中a 、b 的数值不 确定。讨论本博弈可能有哪些可能的结果?如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的,a 、b 应满足什么条件? (a, b ) (0, 4) 2.静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点?为什么? 3.有了海萨尼转换,不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈基本上是相同的,, 这种论述是否正确? 4.判断下列论述是否正确,并作简单讨论。 (1)古玩市场的交易中买卖双方的后悔都来源于自己对古玩价值判断的失误,若预先对价值的判断是正确的,那么交易者肯定不会后悔。 (2)教育程度在劳动力市场招聘员工时受到重视的理由是,经济学已经证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。 5.若(1)“自然”以均等的概率决定得益是下述得益矩阵1的情况还是得益矩阵2的情况, 并让博弈方1知道而不让博弈方2知道;(2)博弈方1在T和B中选择,同时博弈方2在L和R中进行选择。找出该静态贝叶斯博弈的所有纯策略贝叶斯纳什均衡。 6.请用下面这个两市场博弈验证海萨尼关于混合策略和不完全信息博弈关系的结论。 第四部分课后习题答案 1.参考答案: 括号中的第一个数字代表乙的得益,第二个数字代表甲的得益,所以a表示乙的得益,而b表示甲的得益。 a ,则乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段,甲会选择 在第三阶段,如果0 不分,因为分的得益2小于不分的得益4。再逆推回第一阶段,乙肯定会选择不借,因为借的最终得益0比不借的最终得益1小。 在第三阶段,如果0a >,则乙轮到选择的时候会选择打官司,此时双方得益是(a,b)。逆推回第二阶段,如果2b >,则甲在第二阶段仍然选择不分,这时双方得益为(a,b)。在这种情况下再逆推回第一阶段,那么当1a <时乙会选择不借,双方得益(1,0),当1a >时乙肯定会选择借,最后双方得益为(a,b )。在第二阶段如果2b <,则甲会选择分,此时双方得益为(2,2)。再逆推回第一阶段,乙肯定会选择借,因为借的得益2大于不借的得益1,最后双方的得益(2,2)。 根据上述分析我们可以看出,该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况: (1)0a <,此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方,结束博弈,双方得益 (1,0),不管这时候b 的值是多少;(2)012a b <<>且,此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借,结束博弈,双方得益(1,0);(3)12a b >>且,此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借,甲在第二阶段选择不分,乙在第三阶段选择打,最后结果是双方得益 (a,b );(4)02a b ><且,此时乙在第一阶段会选择借,甲在第二阶段会选择分,双方得益(2,2)。 要本博弈的“威胁”,即“打”是可信的,条件是0a >。要本博弈的“承诺”,即“分”是可信的,条件是0a >且2b <。 注意上面的讨论中没有考虑a=0、a=1、b=2的几种情况,因为这些时候博弈方的选择很难用理论方法确定和预测。不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。 2. 参考答案: 静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略是他们针对自己各种可能的类型如何作相应的完整计划。或者换句话说,静态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的一个函数,可以是线性函数,也可以是非线性函数,当博弈方的类型只有有限几种时是离散函数,当博弈方的类型空间是连续区间或空间时则是连续函数。只有一种类型的博弈方的策略仍然是一种行为选择,但我们同样可以认为是其类型的函数。 静态贝叶斯博弈中博弈方的策略之所以必须是针对自己所有可能类型的函数,原因是博弈方相互会认为其他博弈方可能属于每种类型,因此会考虑其他博弈方所有可能类型下的行为选择,并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能类型下的最优行为,而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。 3. 参考答案: 正确。事实上,不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常是相同的,是一种博弈问题的两种不同理解方法,而把它们联系起来的桥梁就是海萨尼转换。 4. 参考答案: (1)错误。即使自己对古玩价值的判断是完全正确的,仍然有可能后悔。因为古玩交易的价格和利益不仅取决于古玩的实际价值和自己的估价,还取决于对方的估价和愿意接受的成交价格,因此仅仅自己作出正确的估价并不等于实现了最大的潜在利益。 (2)错误。事实上经济学并没有证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。此外,我们之所以认为教育对劳动力市场招聘员工有重要参考价值,是因为教育除了(很可能)对提高劳动力素质有作用以外,还具有重要的信号机制的作用。也就是说,即使 教育并不能提高劳动力素质,往往也可以反映劳动力的素质。 5. 参考答案: 在这个静态的贝叶斯博弈中,博弈方1的策略是私人信息类型的函数:当“自然”选择得益矩阵1时选择T ,当“自然”选择得益矩阵2时选择B 。 博弈方2的策略则根据期望利益最大化决定。博弈方2选择L 策略的期望得益为0.510.500.5?+?=,选择R 策略的期望得益为0.500.521?+?=,因此博弈方2必定选择R 。 所以该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡只有:博弈方1在“自然”选择得益矩阵1时选择T ,当“自然”选择得益矩阵2时选择B ,博弈方2选择R 。 6. 参考答案: 根据对完全信息静态博弈的分析方法,我们很容易发现上述两市场博弈中有两个纯策略纳什均衡(A,B )和(B,A ),以及一个对称的混合策略纳什均衡:每个厂商都以0.5的概率随机选择A 和B 。 现在我们把上述两市场博弈改成不完全信息的版本。设两个厂商的得益如下面的得益矩阵所示: 其中12t t 和分别是两个厂商的私人信息,对方只知道它们都均匀分布在[,]εε-上。这时候,我们不难证明厂商1采用策略“10t >时选择A ,否则选择B ”,厂商2也采用策略“20t >时选择A ,否则选择B ”,构成这个不完全信息静态博弈的一个贝叶斯纳什均衡。根据12t t 和的上述分布,我们知道两个厂商选择A 和B 的概率都是0.5。当ε趋向于0时,这个不完全信息博弈与完全信息博弈越来越接近,其纯策略贝叶斯均衡当然与完全信息博弈的混合策略纳什均衡完全相同。 第五部分 课后习题 1. 简述古典回归模型的基本假定。 2. 试述戈德菲尔德—匡特(Goldfeld--Quandt )检验的原理和目的。 3. 简述虚拟变量的作用和设置原则。 4. 简述多重共线性产生的原因和影响。 5. 异方差的后果 6. D.W 检验的优缺点 第五部分 课后习题答案 1. 1)解释变量x 为非随机变量,即在重复抽样过程中,x 取值是可控的、固定的。 2)零均值假定:E (i ε)=0,即随机误差项的平均值为零。 3)同方差假定:D (AL K e α βε )=σ2(常数),即各随机误差项的离散程度(或波动幅度)是相同的。 4)非自相关假定:Cov (i ε,j ε)=0(i ≠j ),即随机误差项之间是互不相关、互不影响的。 5)解释变量与随机误差项不相关假定,Cov (X i ,i ε)=0(或E (X i i ε)=0),即解释变量与随机误差项互不相关,彼此独立的对y 产生影响。 6)无多重共线性假定,即解释变量之间不存在完全的线性关系。 2. 目的:检验模型的异方差性。 原理:为了检验异方差性,将样本按解释变量后分成两部分,再利用样本1和样本2分别建立回归模型,并求出各自的残差平方和RSS1和RSS2。如果误差项的离散程度相同(即为同方差的),则RSS1与RSS2的值应该大致相同;若两者之间存在显著差异,则表明存在异方差性。检验过程中为了“夸大”残差的差异性,一般先在样本中部去掉C 个数据(通常取C=n/4),再利用F 统计量判断差异的显著性。 评价:G —Q 检验适用于检验样本容量较大、异方差性呈递增或递减的情况,而且检验结果与数据剔除个数C 的选取有关。 3. 作用:反应无法度量的定性因素对经济变量的影响,使模型更加准确地反应实际。 设置原则:对于一个因素多个类型的虚拟变量:对于有m 个不同属性类型的定性因素,应该设置m-1个虚拟变量来反映该因素的影响。 对于多个因素各两种类型的虚拟变量:如果有m 个定性因素,且每个因素各有两个不同的属性类型,则引入m 个虚拟变量。 4. 产生原因: (1)经济变量的内在联系是产生多重共线性的根本原因。 (2)经济变量变化趋势的“共向性”。 (3)解释变量中含有滞后变量。 影响: (1)增大OLS 估计的方差。 (2)难以区分每个解释变量的单独影响。 (3)T 检验的可靠性降低。 (4)回归模型缺乏稳定性。 5. (1)OLS 估计失效 (2)t 估计失效 (3)模型预测误差增大 6. 优点:适用范围广、检验方便 缺点: (1)有两个盲区 (2)模型中不能含有滞后变量 (3)只能检验一阶滞后自相关 第六部分 课后习题 1. 试举出三个模糊集合的例子。 2. 模糊性和随机性有哪些异同? 3. 我们给定一个三角形,测得三个内角的读数为A=80°、B=55°、C=45°。令I 表示“近 似等腰三角形”,R 表示“近似直角三角形”,E 表示“近似正三角形”,它们都是U 上的Fuzzy 集,其隶属函数规定如下: {} 1 (,,)1min ,60 1 (,,)19060 1 (,,)1()60 I R R A B C A B B C A B C A A B C A C μμμ=- --=--=--%%% 问给定的三角形属于哪一类? 4. 设 {} ,,,,0.50.10.30.91 0.40.20.60.60.7U a b c d e A a b c d e B a b c d e ==++++ =++++%% 求,A B A B g e %%%% 5. 影响教师教学质量的因素可以取为四个: 1 μ =清楚易懂, 2 μ =教材熟练, 3 μ =生动有趣, 4 μ =板书清楚。这样便做出因素集 {}1 2 3 4 ,,,U μμμμ= 。四种因素的权数分配为(0.5,0.2,0.2,0.1) 。 评价取集为{}1 2 3 4 ,,,V v v v v = =(很好,较好,一般,不好) 。 对于某个教师β,请若干人(教师,学生等等),单就 1 μ 来说,若有40%的人说好,50% 的人说较好,10%的人说一般,,没有人说不好,则得关于 1 μ 的单因素决策向量: (0.4,0.5,0.1,0) 类似地有 (0.6,0.3,0.1,0) (0.1,0.2,0.6,0.1) (0.1,0.2,0.5,0.2) 问该教师的教学质量如何评价? 6. 设{}1 2 3 4 5 ,,,,X x x x x x = ,对[]0,1α∈有: {}{}{}{}{}12345 1245 124144,,,,00.4,,,0.40.6 ,,0.60.7,0.70.80.8 1.0A x x x x x x x x x x x x x x x α ααααα?≤≤??<≤??=<≤?? <≤?? <≤?? % 试求A %。 第六部分 课后习题答案 3. 答案:计算 5 (80,55,45)0.83 6 8 (80,55,45)0.899 35 (80,55,45)10.81180 I R R μμμ= ≈=≈=-≈%%% 按最大隶属原则,这个三角形应归入“近似直角三角形”。 4. 答案: (0.50.4)(0.10.2)(0.30.6)(0.90.6)(10.7)0.40.10.30.60.70.7(0.50.4)(0.10.2)(0.30.6)(0.90.6)(10.7)0.50.20.60.910.2 A B A B =∧∨∧∨∧∨∧∨∧=∨∨∨∨==∨∧∨∧∨∧∨∧∨=∧∧∧∧=g %% e %% 5. 答案:作出单因素评判矩阵 0.40.50.1 00.60.30.100.10.20.60.10.1 0.20.50.2R ?? ??? ?=?? ?? ?? 权数分配为 A=(0.5,0.2,0.2,0.1) 容易算出综合评判向量 (0.4,0.5,0.2,0.1)B A R ==o 其中 11 2131411 1 234()()()()0.4b a a a a r r r r =∧∨∧∨∧∨∧= 其他也是类似算出的,最大值为0.5,故该教师的讲课质量定为较好了。 6. 答案:有[]{}1 1 ( )0.80,1|A A x x αα=∨∈=∈%% 同理2 3 3 5 ( )0.7,()0.4,() 1.0,()0.6A A A A x x x x ====%%%% 故有 1 2 3 4 5 0.80.70.4 1.00.6A x x x x x =++++ % 第七部分 课后习题 1. 判断下列各图是不是欧拉图或半欧拉图?如果是,请找出其中的欧拉通路或欧拉回路。 (a)(b)(c)2.请找出此无向带权图中顶点A到其余各顶点的最短路径。 3.请找出此有向带权图中顶点A到其余各顶点的最短路径。 4.求下列图中的最优投递路线。 (a)(b) 5.找出下面二部图的最大匹配 图10 6.根据图12所示比赛结果,给出队伍的排名。 图12 第七部分课后习题答案 1.答:(a)半欧拉图;(b)欧拉图;(c)都不是。 2.答: A到B的最短路为ACB,其权为3; A到C的最短路为AC,其权为1; A到D的最短路为ACD,其权为3; A到E的最短路为ACFE,其权为8; A到F的最短路为ACF,其权为6; A到G的最短路为ACDG,其权为6; A到H的最短路为ACFH,其权为8; 3.答: A到B的最短路为AB,其权为1; A到C不可达,无最短路; A到D的最短路为AD,其权为3; 1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处,雨速是常数,方向不变。 你是否走得越快,淋雨量越少呢? 2.假设在一所大学中,一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10,若在充分长的时间内,一位普通教授大约借出多少年本书? 3.一人早上6:00从山脚A上山,晚18:00到山顶B;第二天,早 6:00从B下山,晚18:00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点? 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分? 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家,家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时,妹妹的速度为2公里/小时,狗的速度为5公里/小时。分析半小时后,狗在何处? 6.甲乙两人约定中午12:00至13:00在市中心某地见面,并事先 约定先到者在那等待10分钟,若另一个人十分钟内没有到达,先到者将离去。用图解法计算,甲乙两人见面的可能性有多大? 7.设有n个人参加某一宴会,已知没有人认识所有的人,证明:至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口,所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜 坡,计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来,刹车距离又是多少? 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料,如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 1.解:把人体简化为长方柱,表面积之比为前:侧:顶=1:a:b ,选坐标系将人的速度表示为(v,0,0),即人沿x 周方向走,v>0,而设语雨速为(x,y,z ),行走距离为L ,则淋雨量Q 的表达式为: Q=[ Q=|x-a|+a|y|+b|z|]*L/v 记q=a|x|+b|z|,则 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L(v x -q +1),v>x 收回书的1/10,设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数, 其授借出数的册数为0。 华南农业大学期末考试试卷(A 卷) 2012-2013学年第 二 学期 考试科目:数学建模 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面,由于船的限制,一次只能带 一样东西过河,绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起;羊和白菜放在一起,怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1,2,3,4,当i 在此岸时记x i = 1,否则为0;此岸的状态下用s =(x 1,x 2,x 3,x 4)表示。该问题中决策为乘船方案,记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4),当i 在船上时记u i = 1,否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合;(3分) (2) 写出该问题的所有允许决策集合;(3分) (3) 写出该问题的状态转移率。(3分) (4) 利用图解法给出渡河方案. (3分) 解:(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状(3分) (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} (6分) (3) s k+1 = s k + (-1) k d k (9分) (4)方法:人先带羊,然后回来,带狼过河,然后把羊带回来,放下羊,带白菜过去,然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河,然后自己回来,带白菜过去,放下白菜,带着羊回来,然后放下羊,把狼带过去,最后再回转来,带羊过去。 (12分) 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中,运动员在高度和体重方面差别很大,请就下面两种假设,建立一个举重能力和体重之间关系的模型: (1) 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 (2) 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关,请给出一个改进模型。6分 解:设体重w (千克)与举重成绩y (千克) (1) 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例,所以 y ?I ?S 设h 为个人身高,又横截面积正比于身高的平方,则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方,则w ? h 3 (6分) ( 12分) 14分) 某学校规定,运筹学专业的学生毕业时必须至少学 09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。(15分) 解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设: (1)地面为连续曲面 (2)长方形桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在,我们来证明:如果上述假设 条件成立,那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示,方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处,A、、D的初始位置在与x轴平行,再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B,C、D平行。当方桌绕中心0旋转时,对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性,令() fθ为A、B离地距离之和, ()g θ为C 、D 离地距离之和,它们的值由θ唯一确定。由假设(1), ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设(3) ,三条腿总能同时着地, 故()f θ()g θ=0必成立(?θ)。不妨设(0)0f =(0)0g >(若(0)g 也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为: 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数,(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=,求证存在某一0θ,使00()()0f g θθ=。 证明:当θ=π时,与互换位置,故()0f π>,()0g π=。作()()()h f g θθθ=-,显然,()h θ也是θ的连续函数,(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->,由连续函数的取零值定理,存在0θ,00θπ<<,使得0()0h θ=,即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=,故必有00()()0f g θθ==,证毕。 2.学校共1000名学生,235人住在A 宿舍,333人住在B 宿舍,432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会,试用合理的方法分配各宿舍的委员数。(15分) 解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设:A 宿舍的委员数为x 人,B 宿舍的委员数为y 人,C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1,其余取整数部分。 则 10; 10=235/1000; 数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中,如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何? 解: 模型假设 (1) 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形 (2) 地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况), 即从数学角度来看,地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 (3) 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点,要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的),此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来。首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转,这可以表示椅子位置的改变。于是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴,对称中心O 为原点,建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角)0(πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数,而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0。因此,只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形,绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后,长方形位置不变,但A,C 和B,D 对换了。因此,记A ,B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ,C,D 两脚之和为 )(θg ,其中[]πθ,0∈,使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ,那么结论成立。 数学建模模拟试题及答案 一、填空题(每题5分,共20分) 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有1m 个顾客,每人都买了1n 件商品,队2有2m 个顾客,每人都买了2n 件商品,假设每个人付款需p 秒,而扫描每件商品需t 秒,则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时,我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题(每小题15分,满分30分) 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑?试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后,警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时,含量降为),m l /m g (100/40试判断,当事故发生时,司 机是否违反了酒精含量的规定(不超过80/100)m l /m g (. (提示:不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度,则依平衡原理,在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数,负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.) 三、计算题(每题25分,满分50分) 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料,生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位,产值为580元;生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位,产值为680元,三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大,并由此回答: (1) 最优生产方案是否具有可选择余地?若有请至少给出两个,否则说明理由. (2) 原材料的利用情况. 《数学建模课程》练习题一 一、填空题 1. 设开始时的人口数为0x ,时刻t 的人口数为)(t x ,若人口增长率是常数r ,那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。 2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是 3600)1(35)(--=t p t G ,其中)(t p 为该商品的价格函数,那麽该商品的均衡价格 是 。 3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件,进货一次的手续费为200元,存储费用为每件0.01元/天,店主不希望出现缺货现象,则最优进货周期与最优进货量分别为 。 4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 . 5.设开始时的人口数为0x ,时刻t 的人口数为)(t x ,若允许的最大人口数为m x ,人口增长率由sx r x r -=)(表示,则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 . 6. 在夏季博览会上,商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关: (1)参加展览会的人数n ; (2)气温T 超过C 10; (3)冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 . 7、若银行的年利率是x %,则需要 时间,存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的 8. 如图是一个邮路,邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ,纵向均为2km ,则他至少要走 km.. A 9. 设某种新产品的社会需求量为无限,开始时的生产量为100件,且设产品生产的增长率控制在0.1,t 时刻产品量为)(t x ,则)(t x = . 10. 商店以10元/件的进价购进衬衫,若衬衫的需求量模型是802,Q p p =-是销售单价(元/件),为获得最大利润,商店的出售价是 . 二、分析判断题 1.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题,需要哪些数据资料(至少列举3个),要做些甚麽建模的具体的前期工作(至少列举3个) ,建立何种数学模型:一座高层办公楼有四部电梯,早晨上班时间非常拥挤,该如何解决。 第一部分课后习题 1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数: (1)按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 (2)2.1节中的Q值方法。 (3)d’Hondt方法:将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如下表: 将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 (4)你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元,120g装的3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 (1)分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定,这些成本中有的与重量w成正比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素。 (2)给出单位重量价格c与w的关系,画出它的简图,说明w越大c越小,但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部 只准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长): 先用机理分析建立模型,再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角 应 多大(如图)。若知道管道长度,需用多长布条(可考虑两端的影响)。如果管道是其他形状呢。 试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页)本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试,参加考试的同学可以携带任何资料,可以 使用计算器,但上述物品严禁相互借用。16分,每小题8分)一、简答题<本题满分得分)式,写出与§2.2录像机计数器的用途中,仔细推算一下<11、在阅卷人<2)式的差别,并解释这个差别;中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用,在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它;8分)二、简答题<本题满分16分,每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型,叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中,若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数,)0?0,b?c?a?bE,(a即,请问如何达到最大经济效益?本题满分16分,每小题8分)三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中,请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力?2 分)四、<本题满分20得分219人,二年级有某中学有三个年级共1000名学生,一年级有人。现要选20名校级优秀学生,请用下列办316人,三年级有465 阅卷人Q ;<2))按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额:<1值法。另外如果校级优秀学个,重新进行分配,并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分)16五、<本题满分阅 卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型,影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面,有三个层次结构图如图,已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41,比较矩阵分别为成,方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。,JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分)六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险,投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费,如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估,从而制退保)。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下,平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况,以及出现每种情况的概率各是多少?5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分)分,每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?)得4分1、答:由<1,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。,6分将 vv0.6 ???2r?r2??r,则得<2因为)。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc,每天的平均费用是,则平均每天的生产费用为2、答:假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小,发现使,所以111dTdT12c1??TT,与生产费用无关,所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分,每小题8分) 1di??s?),(1s??i,1、答:由<14若)0?dtdi1s)(t??s,?0i时,4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时,达到最大值当; 华南农业大学期末考试试卷(A卷) 2012-2013学年第二学期考试科目:数学建模 考试类型:(闭卷)考试考试时间:120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起;羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0;此岸的状态下用s = (x1.x2.x3.x4)表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合;(3分) (2) 写出该问题的所有允许决策集合;(3分) (3) 写出该问题的状态转移率。(3分) (4) 利用图解法给出渡河方案. (3分) 解:(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状(3分) (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} (6分) (3) s k+1 = s k + (-1) k d k (9分) (4)方法:人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。(12分) . . 《数学建模》课程教学大纲 课程编号: 总学时数:32 总学分数:2 课程性质:专业必修课 适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程的任务和基本要求: 课程的性质和任务: 数学建模是数学与应用数学专业、信息与计算数学专业的一门必修课程,是大学数学课程的重要组成部分,它是在数学分析、高等代数、概率论与数理统计等课程基础上开设的重要教学环节,它将数学知识、实际问题与计算机应用有机地结合起来,旨在培养学生运用所学知识解决实际问题的意识和创新思维,激发学生学习数学的兴趣,了解数学广泛的应用领域,提高学生的综合素质和分析问题、解决问题的能力。 课程的基本要求: 1、在大学数学基础课的教学内容基础上进一步突出培养学生解决实际问题的能力; 2、学会运用数学知识建立实际问题的数学模型并求解,对较复杂的问题能够使用数学软件或编程求解; 二、基本内容和要求: (一)建立数学模型 内容: (1)初等建模示例:椅子能在不平地面上放稳吗,预报人口增长等; (2)有关数学建模的基本知识。 目的和要求: 理解数学模型的意义、内容和方法,掌握建立数学模型的一般步骤。 (二)初等模型 内容: (1)建模示例:公平席位分配,双层玻璃窗的功效等; (2)讨论与交流:录音机计数器,商品的包装。 目的和要求: 由建模实例进一步了解和熟悉建模的方法和步骤,了解对实际问题的分析、抽象过程,基本掌握用初等方法建立数学模型。 (三)简单的优化模型 内容: (1)建模示例:存储模型,森林救火,最优价格等; (2)讨论与交流:冰山运输 目的和要求: 基本掌握建立静态优化模型的一般方法,会利用微分法解决优化问题。 (四)数学规划模型 内容: (1)建模示例:奶制品的生产与销售,汽车生产与原油采购,钢管和易拉罐下料等; (2)讨论与交流:自来水的输送,接力队员的选拔 目的和要求: 理解规划优化模型的思想与意义,掌握建立规划模型的一般方法,能够利用优化软件求解规划模型的解。 2010年上学期2008级数学与应用数学,信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业: 2008以来,世界性的金融危机席卷全球,给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员,造成大量的人员失业。据有关资料估计,从2008年底,相继有2000万人被裁员,其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力,但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是,我国有庞大的外汇储备,民间资本实力雄厚,居民储蓄充足。中国还是发展中国家,许多方面的建设还处于落后水平,建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展,特别是解决就业问题带来希望,实行政府投资理所当然。在2009年两代会上,我国正式通过了4万亿的投资计划,目的就是保GDP增长,保就业,促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们,请你运用数学建模知识加以解决。问题如下: 1、GDP增长8%,到底能够安排多少人就业?如果要实现充分就业,2009年的GDP到底要增长多少? 2、要实现GDP增长8%,4万亿的投资够不够?如果不够,还需要投资多少? 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同,因此投资的流向会有所不同。请你决策,要实现劳动力就业最大化,4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里? 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算:假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器,你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度,假定你捡到一块质量是1KG的石头,并准确的测定出听到回声的时间T=5S,就下面给定情况,分析这一问题,给出相应的数学模型,并估计洞深。 1、不计空气阻力; 2、受空气阻力,并假定空气阻力与石块下落速度成正比,比例系数k1=0.05; 3、受空气阻力,并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比,比例系数k2=0.0025; 4、在上述三种情况下,如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选:在某数学建模比赛的评审过程中,组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成,包括一名小组组长(出题人),4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委),5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作,参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下: step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文,筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文,每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段,在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由,大家进行讨论,每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后,大家对这些推荐的论文进行投票,每个评委可以投出4票,获得至少6 票的论文可以直接入选,如果入选的论文不足,对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够,则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票,则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题: 数学建模新手“必读教程” 第一部分基本知识: 一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义,因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义:“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说,数学模型就是为了某种目的,用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明: 数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型,从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如,欧几里德几何就是一个古老的数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天,数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透,过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起,计算机的普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天。不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 . . 华南农业大学期末考试试卷(A 卷) 2012-2013学年第 二 学期 考试科目:数学建模 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起;羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分 别记为i = 1.2.3.4.当i 在此岸时记x i = 1.否则为0;此岸的状态下用s =(x 1.x 2.x 3.x 4)表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u 1, u 2 , u 3, u 4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合;(3分) (2) 写出该问题的所有允许决策集合;(3分) (3) 写出该问题的状态转移率。(3分) (4) 利用图解法给出渡河方案. (3分) 解:(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状(3分) (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} (6分) (3) s k+1 = s k + (-1) k d k (9分) (4)方法:人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。 (12分) 第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0<0a <π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f 8 第二章 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。 第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 数学建模课程简介 ?基本内容: ?一、什么是数学建模课程 ?二、相关的数学基础知识 ?三、如何在课程中学习合作 ?四、如何从建模例题中学习解题方法 一、什么是数学建模课程 ?数学建模课程:它名曰数学,当然要用到数学知识,但却与以往所说 的那种数学课不同。它涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、 管理等各学科、各领域的知识,它要用到计算机,甚至离不开计算机。但也不是深入到这些学科、领域里。它涉及各学科、各领域,但又不 受任何一个具体的学科、领域的局限。其主要介绍分析、认识问题的 思维方法,学习系统、综合解决问题的能力。培养科学研究的基本素质。 二、相关的数学基础知识 1、线性规划6、最优化理论 2、非线性规划7、管理运筹学 3、离散数学8、差分方程 4、概率统计9、层次分析 5、常微分方程10、数学软件应用 三、如何在课程中学习合作 ?数学建模是一种科研工作,需要研究、讨论的团队思维模式。要 分析、争论、相互启发、集思广义。因此在本门课程中,三人组成一组,最佳组合是这三人中至少一人数学基础较好,至少一人应用数学 软件(如Matlab,lindo,maple等)和编程(如c,Matlab,vc++等)的能力较强,至少一人科技论文写作的水平较好。科技论文的写作要求整篇 论文的结构严谨,语言要有逻辑性,用词要准确。 ?三人之间要能够配合得起来,每个同学都要积极参与,积极思维。若三人之间配合不好,会降低效率,导致整个建模学习的失败。 ?四、如何从建模例题中学习解题方法 ?在看例题的时候,要看例题是如何作的,即是如何切入,如何 选择合理假设,如何分析建立的模型等。数学建模方法常见有: ?一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。 1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2. 代数方法--求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域 的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。 4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 ?二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1. 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。 2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。 3. 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统 计方法。 4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。 ?三、仿真和其他方法 1. 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。 2. 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析 修改,求得所需的模型结构。 3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和 数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人(编号为1-5),从萎缩性胃炎患者中抽取5人(编号为6-10),以及非胃病者 中抽取5人(编号为11-15),每人化验4项生化指标:血清铜蓝蛋白( X)、 1 蓝色反应( X)、尿吲哚乙酸(3X)、中性硫化物(4X)、测得数据如表1 2 所示: 表1. 从人体中化验出的生化指标 根据数据,试给出鉴别胃病的方法。 论文题目:胃病的诊断 摘要 在临床医学中,诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此,对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上,既提高了临床诊断的正确性,又对疾病的治疗效果起了重要效果,同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下,根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则,建立一个或多个判别函数,用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数,并计算判别指标。 首先,由判别分析定义可知,只有当多个总体的特征具有显著的差异时,进行判别分析才有意义,且总体间差异越大,才会使误判率越小。因此在进行判别分析时,有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次,利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后,利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率,以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数,最后进行了回判并测得了误判率,从而获得了在临床诊断中模型,给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词:判别分析;判别函数;Fisher判别;Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中,胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者,为了提高医学上诊断的准确性,也为了减少因误诊而造成的病人死亡率,必须要找出一种最准确最有效的诊断方法。为诊断疾病,必须从人体中提取4项生化指标进行化验,即血 第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解:假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ,由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为: )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比,比例系数0>λ,得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ(1) 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物,则0)0(=y ,)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比,比例系数0>μ,所以得到方程: 0)0(,=-=y y x dt dy μλ(2) 方程(1)可转换为:t Me t x λ-=)( 带入方程(2)可得:)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程,得: t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解,得: 严重中毒时间及服用最小剂量:h t 876.7=,mg M 87.494=; 致命中毒时间及服用最小剂量:h t 876.7=,mg M 8.4694= 针对成人求解: 严重中毒时间及服用最小剂量:h t 876.7=,mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量:h t 876.7=,mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型,如果采用的是体外血液透析的办法,求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。 解:已知血液透析法是自身排除率的6倍,所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(,x 为胃肠道中的药量,1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得:()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出,采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时,血液中药物浓度最高,为236.5;当z=200时,t=2.8731,血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念,讨论以下的雇员和雇主之间的关系: 1)以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别曲线族的示意图,解释曲线为什么是那种形状; 2)如果雇主付计时费,对不同的工资率画出计时工资线族,根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议; 3)雇员和雇主已经达成了协议,如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2,他有两种 “数学建模”课程简介及教学大纲 课程代码:112010131 课程名称:数学建模 课程类别:专业基础课 总学时/学分:72/4 开课学期:第五学期 适用对象:数学与应用数学专业、信息与计算科学专业 先修课程:数学分析、高等代数、概率统计 内容简介:本课程主要通过各个领域中的实例介绍各种数学方法建模,主要包括:初等数学方法与实验;Matlab、Lingo的使用;微分法建模与实验;微分方程建模与实验;差分法建模与实验;优化方法建模与实验;离散方法建模与实验;随机方法建模与实验。 一、课程性质、目的和任务 1.性质:数学与应用数学、信息与计算科学专业必修课。数学建模是将实际问题依其自身的特点和规律,经过去粗取精、去伪存真、抓住主要矛盾,进行抽象简化和合理假设,用数学的语言和方法转化为数学问题,然后选择适当的数学方法和工具,给予数学的分析与解答,再将所给出的结果返回到所论的实际问题中去进行检验,符合实际则数学建模成功,否则再从头开始,如此反复多次,直至通过实践检验为止。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁,?数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本课程通过大量实例介绍数学建模的全过程。 2.目的:通过向学生展示各种不同实际领域中的数学问题和数学建模方法,通过对一系列来自不同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与训练,激励学生学习数学的积极性,提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力,开拓知识面,培养创新精神,提高学生分析问题、解决问题和计算机应用的能力。 3. 任务:本课程旨在通过建模训练培养:(1)学生用数学工具分析解决实际问题的意识并逐步提高其洞察能力。(2)学生用数学思想和方法综合分析实际问题的能力。(3)学生的联想能力。(4)学生熟练地使用计算机和数学软件包的能力。即培养学生的建模能力和解决实际问题的能力。 二、课程教学内容及要求 第一章绪论: 1、数学建模的意义; 2、数学建模的方法和步骤;数学模型的分类。 要求:1.理解数学模型和数学建模的意义; 2.掌握数学建模的方法和步骤; 3.了解数学模型的特点和建模能力的培养; 4.了解数学模型的分类。 第二章实验软件介绍: 1、Matlab入门; 2、Matlab作图; 3、工具箱使用; 4、Lingo使用。 要求:1.了解Matlab、Lingo的特点;数学建模入门试题极其答案
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