《数列》单元测试题(含答案)

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《数列》单元练习试题
一、选择题
１．已知数列}{na的通项公式432nnan（nN*)，则4a等于( ）

(A)1 (B）2 （C）3 （D）0
２．一个等差数列的第5项等于1０，前3项的和等于3,那么( )
（A）它的首项是2，公差是3 （B)它的首项是2,公差是3
(C）它的首项是3,公差是2 (D）它的首项是3,公差是2

3．设等比数列}{na的公比2q,前n项和为nS,则24aS( ）

(A）2 （B)4 (Ｃ）215 (D）217
４．设数列na是等差数列,且62a，68a，nS是数列na的前n项和，则( ）
（A)54SS (B）54SS (C)56SS (D）56SS

5.已知数列}{na满足01a，1331nnnaaa(nＮ*），则20a（ ）

（A)0 （B)3 (C）3 （Ｄ）23
6.等差数列na的前m项和为3０,前m2项和为1０0，则它的前m3项和为（ ）
(A)130 (Ｂ）17０ （Ｃ）210 (Ｄ）260
7.已知1a,2a,…，8a为各项都大于零的等比数列，公比1q,则( )

(Ａ)5481aaaa （B）5481aaaa
(C)5481aaaa (D）81aa和54aa的大小关系不能由已知条件确定
８．若一个等差数列前3项的和为３4,最后3项的和为146，且所有项的和为39０,则这个数
列有（ ）
（A）13项 （B)12项 (C)1１项 （D)1０项

9.设}{na是由正数组成的等比数列,公比2q，且30303212aaaa，那么

30963
aaaa
等于( ）

（Ａ）210 (Ｂ)2２0 （C)2１６ (D)２15
10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
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他们研究过图1中的1，3,6，１0，…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；
类似地,称图2中的1,4,9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形
数的是( ）
（A）289 （B)10２4 （C）１22５ (D）137８

二、填空题
11.已知等差数列}{na的公差0d,且1a，3a，9a成等比数列,则1042931aaaaaa的值是 .

12.等比数列}{na的公比0q．已知12a，nnnaaa612，则}{na的前4项和4S .
13.在通常情况下，从地面到１０km高空，高度每增加1km，气温就下降某一固定值．如果
１kｍ高度的气温是８.5℃，5kｍ高度的气温是-１7.5℃,那么3km高度的气温是 ℃．

14．设21a，121nnaa，21nnnaba，nN＊，则数列}{nb的通项公式nb .

1５.设等差数列}{na的前n项和为nS，则4S，48SS,812SS,1216SS成等差数列.类比以上
结论有:设等比数列}{nb的前n项积为nT，则4T， ， ,1216TT成等比数列.
三、解答题
1６．已知}{na是一个等差数列,且12a，55a．

（Ⅰ)求}{na的通项na;
（Ⅱ）求}{na的前n项和nS的最大值．
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1７．等比数列}{na的前n项和为nS，已知1S,3S,2S成等差数列．

(Ⅰ）求}{na的公比q；
(Ⅱ)若331aa,求nS.

１8.甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1
分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(Ⅰ)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
（Ⅱ)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续
每分钟走５ｍ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

１9.设数列}{na满足333313221naaaann,nN＊．
(Ⅰ)求数列}{na的通项;

(Ⅱ）设nnanb,求数列}{nb的前n项和nS.
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20.设数列}{na的前n项和为nS,已知11a，241nnaS.

(Ⅰ）设nnnaab21，证明数列}{nb是等比数列；
(Ⅱ)求数列}{na的通项公式.

21．已知数列na中，12a,23a,其前n项和nS满足1121nnnSSS(2n，*nN）．
（Ⅰ)求数列na的通项公式；
（Ⅱ)设nannnb2)1(41（为非零整数,*nN)，试确定的值,使得对任意
*
nN
,都有nnbb1成立.
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《数列》单元测试题 参考答案

一、选择题
1.Ｄ ２.A 3.C 4.B 5．Ｂ
6．Ｃ 7.A ８.A ９.Ｂ 10．Ｃ
二、填空题

１1.1613 12.215 13．－４.5 １4．12n 15．48TT,812TT
三、解答题
1６.（Ⅰ)设}{na的公差为d，则.54,111dada解得.2,31da

∴52)2()1(3nnan.
(Ⅱ)4)2(4)2(2)1(322nnnnnnSn.
∴当2n时，nS取得最大值4．
１7.(Ⅰ)依题意，有3212SSS,
∴)(2)(2111111qaqaaqaaa,
由于01a，故022qq,
又0q，从而21q．
（Ⅱ）由已知，得3)21(211aa,故41a，

从而])21(1[38)21(1])21(1[4nnnS．
18.(Ⅰ)设n分钟后第1次相遇,依题意，有
7052)1(2nnnn
,

整理，得0140132nn,
解得7n,20n(舍去）.
第１次相遇是在开始运动后7分钟.
（Ⅱ)设n分钟后第2次相遇,依题意,有

70352)1(2nnnn
,

整理,得0420132nn，
解得15n，28n(舍去）.
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第2次相遇是在开始运动后1５分钟．

１９.（Ⅰ)∵
3
33313221naaaann



， ①

∴当2n时,
3

1333123221n
aaaa
n
n


. ②

由①－②，得3131nna,nna31.
在①中,令1n，得311a.
∴nna31，nN*．

（Ⅱ)∵nnanb,∴nnnb3，
∴nnnS33332332， ③
∴14323333233nnnS. ④
由④-③，得
)3333(32321nnnnS



,

即31)31(3321nnnnS，
∴4343)12(1nnnS.
２0.(Ⅰ）由11a,241nnaS，有
24121aaa，∴52312aa，∴32121aab
.

∵241nnaS， ①
∴241nnaS(2n)， ②
由①－②，得1144nnnaaa,
∴)2(2211nnnnaaaa，
∵nnnaab21，∴12nnbb,
∴数列}{nb是首项为3，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由(Ⅰ),得11232nnnnaab，
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∴432211nnnnaa，

∴数列}2{nna是首项为21，公差为43的等差数列，
∴414343)1(212nnann,
∴22)13(nnna.
2１．（Ⅰ）由已知，得111nnnnSSSS(2n，*nN),
即11nnaa（2n,*nN)，且211aa,
∴数列na是以12a为首项,1为公差的等差数列,
∴1nan．
（Ⅱ）∵1nan，∴114(1)2nnnnb,要使nnbb1恒成立，
∴112114412120nnnnnnnnbb恒成立,
∴11343120nnn恒成立，
∴1112nn恒成立．
（ⅰ)当n为奇数时,即12n恒成立,
当且仅当1n时,12n有最小值为1,∴1．
（ⅱ)当n为偶数时，即12n恒成立,
当且仅当2n时，12n有最大值2,∴2．
∴21,又为非零整数，则1．
综上所述，存在1,使得对任意*nN,都有1nnbb.