关于重积分对称性的结论
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
对称性在积分中的应用
华北水利水电学院数学实践报告华北水利水电学院对称性在积分中的应用学院：环境与市政工程学院专业：建筑环境与设备工程班级：2010108成员：王永辉 201010804朱虹光 201010810余维召 201010811对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称） 1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12D D D =,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Dif x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)2注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f y x f d y x f !),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x（ii ）若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则⎰⎰⎰⎰=DD d y x f d y x f 3),(4),(σσ其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)xy y x 2)(222=+解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数则有⎰⎰Dxydxdy 0=（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于x ,y 的偶函数则有⎰⎰Dxydxdy =2⎰⎰1D xydxdy由极坐标知θθsin ,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 212>θr则20πθ≤≤于是⎰⎰Dxydxdy 61cos 2sin 220sin 03=⎰⎰dr r d θθθπθ定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()()()2Daf x bf y dxdy a b f x f y +=++⎰⎰，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=证明：∵积分区域D 关于x y =对称∴(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰设()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰由函数关于两个变量()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰，以上两式相,得2()DI a b dxdy a b =+=+⎰⎰，从而1()2I a b =+一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12D D D =，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)Df x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)Df x y d σ=⎰⎰2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)22、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数),,(z y x f 在Ω上连续，那么：（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=0（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=2⎰⎰⎰Ω1),,(dv z y x f同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标222x y z a b c++，c z =解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为203zcc abcM ab dz d rdr ππθ==⎰⎰⎰设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而o z =22033..44z cc abc cdz d rdr abc ππθπ=⎰⎰⎰于是，重心为点（0,0,34c ） ※曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ⎰=2(,)if x y ds ⎰1(i =,)2注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则10,(,)(,)(,),(,)LL f x y f x y ds f x y ds f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量x 为奇函数2如果关于变量为偶函数其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)ip x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2例4：求曲线积分[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰，其中c 是单位圆周221x y +=，方向为逆时针方向解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数22()cos(2)xy e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正∴22()cos(2)xy e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故22()cos(2)xy ce xy dx -+⎰0=类似可知22()sin(2)xy ce xy dy -+⎰0=因此[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰0=定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)Lf x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)Lf x y ds ⎰=21(,)L f x y ds ⎰})|),{((1a x L y x L ≤∈=例5：计算3(2)LI y y x ds =+-⎰，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称∴3(2)(2)2LLLI y y ds x ds ds =+--+⎰⎰⎰设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -设 ),(y x g =2-x则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即200I ++=lds ⎰=8π2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于2π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ⎰而言，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)tttp x y z dz p y z x dy p z x y dx ==⎰⎰⎰=13 (,,)(,,)(,,)tp x y z dz p y z x dy p z x y dx ++⎰ 定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)Lx y dy θ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ⎰=2(,)Lx y dy θ⎰定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰=21(,)L p x y dx ⎰例：计算I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到)1,3(B 的一段弧解：I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰=12I I +因为关于2=x 对称θ),4(y x =|2|-x θ),(y x由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -所以2I =0，即12I I I =+0=※曲面积分的对称性定义1：若∀)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈⊂∈⋅⋅⋅⋅⋅有),,(1211111-+⋯⋯i x x x x x x p n)2,1(n i D n ⋯=∈成立，则称n D 关于),,(321n x x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅具有轮换对称性.定义2：若函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅≡)2,1(n i X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则称函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅关于函数n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z(或x ,或y )的奇函数}（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=2(,,)sf x y z ds ⎰⎰，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-例2:计算曲面积分x ∑⎰⎰,其中2222:x y z a ∑++=解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤ds ==∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x 为关于),,(z y x 的偶函数由推论1.1x ∑⎰⎰=8x ∑⎰⎰=a881D x dsdy ⎰⎰⎰⎰=189cos 8D d r a θθdr r d a a⎰⎰=209cos 8πθθ=a810117!!7.108!!264a a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3：计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222x y z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ== 2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分(,,)sf x y z ds ⎰⎰为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有（ⅰ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号（ⅱ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰=21(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积分1(,,)s f x y z dydz ⎰⎰，1(,,)s f x y z dzdx ⎰⎰也有类似的结论定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 例3：计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S w Dyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰ 对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S w xdydz =⎰⎰Dy σ=323R π 因此S xdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3S Sxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰ 334343R R ππ=⋅= ※小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.。
积分区域对称的二重积分
积分区域对称的二重积分在数学中，积分是一种重要的工具，用于计算曲线、曲面、体积等几何量。
其中，二重积分是一种常见的积分形式，用于计算平面区域内的某个函数在该区域上的积分值。
而积分区域对称性是二重积分中一个重要的性质，它可以大大简化计算过程。
具体来说，如果一个积分区域在某个对称变换下不变，那么该区域的积分值也具有对称性。
例如，如果一个平面区域关于x轴对称，那么该区域的积分值在x轴上也具有对称性。
这意味着，如果我们将该区域沿着x轴对称，那么积分值不会改变。
对于一个积分区域对称的二重积分，我们可以利用对称性来简化计算。
具体来说，我们可以将该区域分成若干个对称部分，然后只计算其中一个部分的积分值，最后将其乘以对称部分的个数即可得到整个区域的积分值。
例如，考虑一个关于y轴对称的平面区域，其边界由y=x^2和y=4组成。
我们可以将该区域分成两个对称部分，即左侧和右侧。
由于该区域关于y轴对称，因此左侧和右侧的积分值相等。
因此，我们只需要计算左侧部分的积分值，然后将其乘以2即可得到整个区域的积分值。
具体来说，我们可以将左侧部分表示为{(x,y)|-2≤x≤0,0≤y≤x^2}，然后计算其积分值。
根据二重积分的定义，该积分值可以表示为∬Df(x,y)dxdy，其中D表示积分区域，f(x,y)表示被积函数。
在本例中，f(x,y)=y，因此我们可以将积分值表示为∫-2^0∫0^x^2ydydx。
通过计算，我们可以得到该积分值为-32/15。
最后，我们将该积分值乘以2，即可得到整个区域的积分值为-64/15。
由于该区域对称，因此我们可以通过这种方法简化计算，从而更加高效地求解二重积分。
重积分利用对称性和换元法简化计算归纳
{(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ 0}，即������3 为������在上半平面的那一部分区域.
四、 设������关于������ = ������ 对称：
1. 若������(������, ������) = −������(������, ������)，则������ = 0. 2. 若������(������, ������) = ������(������, ������)，则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������，其中������4 = {(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ ������}，即������4 为 ������
1
{(x, y) ∈ D: x ≥ 0}，即D1 为������中位于������轴右边的那一部分区域. 3. 若������ 关于������没有奇偶性，则������ = ∬������ [������(������, ������) + ������(−������, ������)]������������，其中������1 = {(������, ������) ∈
������������ ������������ ������������ | ������������ ������������
（2） 在������′上雅可比行列式������(������, ������) = ������(������,������) = |������������ ������������
1
������: ������ ≥ 0}，即D1 为������中位于y轴右边的那一部分区域.(这是因为任意一个函数������(������)都 可以表示成“奇函数+偶函数”的形式，即������(������) =
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
三重积分的对称性总结
三重积分的对称性总结三重积分是多元函数积分的一种，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们经常会遇到对称性的问题。
对称性在数学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
因此，对于三重积分的对称性，我们需要进行总结和归纳，以便在实际问题中更好地应用。
首先，我们来看三重积分的轮换对称性。
对于三元函数f(x, y, z)，如果它在变量x、y、z之间是对称的，即f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y)，那么在计算三重积分时，我们可以利用轮换对称性来简化计算。
例如，当我们计算∫∫∫f(x, y,z)dxdydz时，可以先对x进行积分，然后对y和z进行轮换积分的顺序，这样可以减少计算的复杂度。
其次，三重积分的球面对称性也是非常重要的。
当我们在三维空间中进行积分时，如果函数f(x, y, z)在球面上是对称的，即f(x, y, z) = f(-x, -y, -z)，那么我们可以利用球面对称性来简化计算。
在球面坐标系下，球面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
另外，三重积分的柱面对称性也是我们需要考虑的问题。
当函数f(x, y, z)在柱面上是对称的，即f(x, y, z) = f(x, -y, -z)，我们可以利用柱面对称性来简化计算。
在柱面坐标系下，柱面对称性可以帮助我们将积分区域进行简化，从而减少计算的复杂度。
总的来说，三重积分的对称性是我们在实际计算中需要重点考虑的问题。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况来判断何种对称性可以应用，从而更好地解决问题。
综上所述，三重积分的对称性是一个非常重要的问题，它在实际计算中起着至关重要的作用。
通过对对称性的总结和归纳，我们可以更好地应用对称性来简化计算，提高计算效率。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢！。
关于重积分对称性的结论
关于重积分对称性的结论重积分是数学中的重要分支之一，主要用于描述空间中的各种物理量和现象。
对于重积分来说，对称性是一个非常重要的概念，可以帮助我们更好地理解重积分的性质和应用。
下面我们将从不同角度探讨重积分对称性的结论。
一、平面对称性对于平面上的图形，如果它对某一条直线对称，那么它的任何一条平行线上的函数值相等，即函数在这一条平行线上的积分相等。
具体地说，如果图形关于直线x=a对称，那么就有如下性质：$$\int_{y=a}f(x,y)\text{d}y=\int_{y=a}f(x,-y)\text{d}y$$这个式子表明，对于平面上的函数f(x,y)，如果它关于直线x=a对称，那么它在直线y=a处的积分值相等。
同样地，如果f(x,y)关于直线y=b对称，那么它在直线x=b处的积分值也相等。
显然，这个结论对于重积分的计算具有一定的帮助，可以减少计算量，提高计算效率。
二、空间对称性这个结论表明，对于空间区域f(x,y,z)，如果它关于平面z=a对称，那么它在平面z=-a处对应的积分值相等。
这个结论对于许多物理问题具有重要的意义，例如电场、磁场、重力场等。
三、轮换对称性除了平面对称性和空间对称性之外，还存在轮换对称性。
轮换对称性是指对于n维空间中的一个图形或者物体，如果它可以通过n维空间中的某些旋转操作而得到自身，那么就具有轮换对称性。
常见的轮换对称性包括正方形的旋转对称性、圆球的球面对称性等等。
对于具有轮换对称性的图形，它们在不同位置的积分值具有相同的性质，因此可以大大简化积分的计算。
四、柯西定理柯西定理是重积分对称性的一个重要推论，它是高等数学中非常著名的一个公式，可以用于计算复变函数的积分。
基本思想是利用重积分的对称性，将一个区域沿一条或者多条封闭曲线分成若干部分，通过对各个部分的积分求和得到整个区域的积分值。
总之，重积分对称性是重要的数学概念，能够帮助我们更好地理解重积分的性质和应用。
在求解具体问题时，我们可以根据题目中给出的对称性来选择合适的求解方法，提高计算的效率和准确性。
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f ( x, y)d 存在。
D
1.若 D 关于 y 轴对称，而对任意的 ( x, y) D ，那么 （1）当 f ( x, y ) 在 D 上为 x 的奇函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，有 I 0 ； （2）当 f ( x, y ) 在 D 上为 x 的偶函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，则有 I 2
f ( x, y )d ，其中
D2
D2 {( x, y ) | ( x, y ) D, y 0} 或者 D2 D {( x, y ) | y 0} 。
3. 若 D 关于原点对称，而对任意的 ( x, y) D ，那么 （1）当 f ( x, y ) 在 D 上为关于 x 和 y 的奇函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，有 I 0 ； （2）当 f ( x, y ) 在 D 上为关于 x 和 y 的偶函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，则我们就有
D D
考虑如何利用对称性简化三重积分的计算，直接给出相应的主要结论如下： 设函数 f ( x, y, z) 在空间闭区域 上连续，则 I
f ( x, y, z)dv 存在。
1.（1）若 f ( x, y, z) 在 上是关于变量 x 的奇函数，且 关于 yoz 面对称，则有 I 0 ； （2）若 f ( x, y, z) 在 上是关于变量 x 的偶函数，且 关于 yoz 面对称，则有：
I 2 f ( x, y )d 2 f ( x, y )d ，其中 D1 、 D2 同上述 1 与 2 中所述。
D1 D2
4. 若 D 关于直线 y x 对称，那么我们有 关于积分变量具有对称性。
f ( x, y)d f ( y,x)d ，称此特性为积分区域 D
f ( x, y )d ，其中
D1
D1 {( x, y ) | ( x, y ) D, x 0} 或者 D1 D {( x, y ) | x 0} 。
2. 若 D 关于 x 轴对称，而对任意的 ( x, y) D ，那么 （1）当 f ( x, y ) 在 D 上为 y 的奇函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，有 I 0 ； （2）当 f ( x, y ) 在 D 上为 y 的偶函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，则有 I 2
I 2 yoz 面前方或后方的部分。
1
注意：在上述结论中，将 x 换成 y 或 z ，相应的坐标面换成 zox 或 xoy ，结论均成立。 2. 若 关于 z 轴对称，则有：
, 在上f 为关于x和y 的奇函数，即f (- x,- y , z )= f ( x, y , z ) ； 0 f ( x, y , z )dv 2 f ( x, y , z )dv，在上f 为关于x和y 的偶函数，即f (- x,- y , z )=f ( x, y , z ) ， 2 其中 2 为 在平面 x y 或 x y 一侧部分的区域。
注意：上述结论中 z 轴换为 x 轴或 y 轴亦有相似的结论。 3. 若 关于原点对称，则有：
, 在上f 为关于x, y, z 的奇函数，即f (- x,- y,- z )= f ( x, y, z ) ； 0 f ( x, y , z )dv 2 f ( x, y , z )dv，在上f 为关于x, y, z 的偶函数，即f (- x,- y,- z )=f ( x, y, z ) 3 其中 3 是 中关于原点对称的两部分区域中的任意一部分。