B样条曲线曲面1
B样条曲线曲面和NURBS曲线曲1
B 样条曲线曲面和NURBS 曲线曲面(学习笔记和上机练习)非均匀有理B 样条，通常简称为NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)。
NURBS 是非有理B 样条、有理以及非有理B ézier 曲线曲面的推广。
一、要对B 样条曲线曲面和NURBS 曲线曲面有所了解应先了解B 样条基函数 B 样条基函数的定义和性质令{}m u u u U ,...,,10=是一个实数列，即i u ≤1+i u ，i=0,1,…,m-1。
其中，i u 称为节点，U 称为节点矢量，用)(,u N p i 表示第i 个p 次（p +1阶）B 样条基函数，其定义为⎩⎨⎧=,0,1)(0,u N i 若i u ≤u ＜1+i u 值为1，其他值为0 )()()(1,11111,,u N u u u u u N u u u u u N p i i p i p i p i i p i ip i -++++++-+--+--= (2)由(2)式可知：（1）)(0,u N i 是一个阶梯函数，它在半开区间),[1+∈i i u u u 外都为零； （2）当p ＞0时，)(,u N p i 是两个p -1次基函数的线性组合；（3）计算一组基函数时需要事先指定节点矢量U 和次数p ； （4）（2）式中可能出现0/0，我们规定0/0=0；（5）)(,u N p i 是定义在整个实数轴上的分段多项式函数，只在区间][,0m u u 上有意义； （6）半开区间),[1+i i u u 称为第i 个节点区间，长度可以为零，因相邻节点可以相同； B 样条基函数的一些重要性质：1 如果),[1++∉p i i u u u ，则)(,u N p i =0。
2 对于所有的p i ,和u ，有)(,u N p i ≥0.3 对于任意的节点区间),[1+i i u u ，当),[1+∈i i u u u 时，∑-==ipi j pj u N1)(,。
b样条曲线曲面
B样条曲线的性质具体分析
• 1. 局部支柱性 B样条曲线与Bezier曲线的主要差别在于它 们的基函数。Bezier曲线的基函数在整个参 数变化区间内，只有一个点或者两个点处 函数值为零。而B样条的基函数是一个分段 函数，在参数变化范围内，每个基函数在tk 到tk+m的子区间内函数值不为0，在其余区 间为0，这一重要的特征称为局部支柱性。
• B样条的局部支柱性对曲线和曲面的设计有 两个方面的影响：一是第k段曲线段（p（t） 在两个相邻节点值[tk，tk+1）（m－1≤k≤n） 上的曲线段）仅仅由m个控制顶点Pk－m＋ 1，Pk－m＋2，…Pk控制。若要修改该段 曲线，仅修改这m个控制顶点即可。二是修 改控制顶点Pk对B样条曲线的影响是局部的。 对于均匀m次B样条曲线，调整一个顶点Pk 的位置只影响B样条曲线p（t）在区间[tk， tk+m）的部分，即最多只影响与该顶点有 关的m段曲线。局部支柱性是B样条最具魅 力的性质。
由于Bk,m(t)的各项分母可能为0，所以这里规定 0/0=0。m是曲线的阶参数，（m－1）是B样条曲 线的次数，曲线在连接点处具有（m－2）阶连续 性。tk是节点值，T＝（t0，t1，…tn＋m）构成了 m－1次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减 序列，所生成的B样条曲线定义在从节点值tm－1 到节点值tn+1的区间上，而每个基函数定义在t的 取值范围内的tk到tk＋m的子区间上。从公式可以 看出，仅仅给定控制点和参数m不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定节点矢量来获得基函数。
B样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。
若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
B样条曲线曲面
第二章三维形态基本建模方法第一节形体的空间定位及表示方法一、空间、物体和结构我们每天的生活发生在三维环境中，而且充满着三维物体，我们总是看到、感到三维。
当设计实体模型时，我们通常认为许多事情理所当然。
但在用计算机对三维场景模型化时，那么我们不得不熟悉大量的计算机软件工具，这些工具可用于模型化物体和环境。
在描述三维场景的三维模型化软件中使用的许多基本约定是基于各种行业中使用的传统约定。
例如，建筑师为了用一个简明的方法表达他们设计的空间，使用各种涉及测量、构图和定序的约定。
即使简单的矩形房间设计也要测量多次，以便于房间的所有构件放在被设计放置的地方。
此外，为了准确地按照设计师的图纸来建造，泥瓦工需要进行测量。
多年来泥瓦工和建筑师已形成约定，如何测量空间、建造物体、在结构中安装，它们的约定是精确、简洁的。
我们用类似的约定来描述用一个计算机程序模拟的三维空间中物体的尺寸、位置和次序。
让我们从定义空间或场景的边界开始三维空间的定义，最简单的方法是想象我们是在一个大立方体内工作。
可以将这个立方体当作我们的空间或环境。
在这个立方体中的物体是可见的，在其外部的物体是不可见的。
在这个空间中的主参考点称为主空间原点。
这个原点通常位于这个空间的中心。
根据模型需要和方案，该点也可放在或重新放在其他点上。
所有三维空间都有3个基本的维：宽度、高度和深度。
表达三维空间中这些维的普遍方法是使用箭头或轴。
通常用字母X表示标记三维空间宽度的轴；用Y表示标记三维空间高度的轴；用Z表示标记三维空间深度的轴。
这三个轴交叉的空间点就是主坐标原点。
直角坐标系可以用来定义三维空间中特定的位置，精确定位三维空间中物体的点。
René Descartes是一位18世纪法国的哲学家和数学家，他正式使用标记为X、Y、Z的3个轴表示三维空间中维的思想。
他推导出的坐标系称为笛卡尔坐标系，在该系统中每个轴被分成许多测量单位。
原理上，这些单位是抽象的值，它可表示不同的测量单位和维刻度。
第11-12讲 非均匀有理B样条曲线与曲面
上课内容
区间非零
次数p=2
顶点数n+1=4+1 M=n+p+1=4+2+1节点数m+1=8次数p=3
顶点数n+1=6+1
M=n+p+1=6+3+1
节点数m+1=11
9/17
11/17
例题:
三、NURBS 曲线形状的修改
（1）NURBS 曲线形状是由那些因素决定的？实际应用中，若要对NURBS 曲线作局部修改，一般可采取什么办法？
（2）如题图所示，由顶点V 0、V 1、V 2、V 3、V 4、V 5构造NURBS 曲线，改变顶点V 3所对应的权因子ω3得到的三条不同形状的曲线，B ，N ，B i 分别是ωi =0，ωi =1，ωi ≠{0,1}的对应曲线上的点。
1) 请写出ω3与点B ，N ，B i 及V 3四点之间的关系。
2) 定性分析ωi 对曲线形状的影响。
12/17圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS 表示
CSF=ω2/ωω,
优弧、半圆可以利用重节点将两段、三段劣弧拼接组成。
内部重节点的一种给法：采用二重节点（端点仍为三重）
18/17。
第十二章 B样条曲面
第十二章B样条曲面B样条曲面在CAD/CAM中具有非常重要的地位，它可由B样条曲线通过直积推广而得，正如由Bézier曲线经由直积推广而得Bézier曲面一样。
本章主要讨论B样条曲面的性质及其相关的配套技术。
12.1 B样条曲面的定义及性质给定三维空间个点，参数和的节点矢量、，参数曲面：（12.1.1）称为次B样条曲面。
式中称为曲面的控制顶点或de Boor点，逐次用线段连接点列中相邻两点组成的空间网格叫做曲面的控制网格或de Boor网格，分别是由节点矢量定义的规范B样条基函数，次数分别为和。
由式（12.1.1）可以看出，次B样条曲面是由片次参数多项式曲面组合而成的多项式样条曲面。
其性质可由B样条曲线的性质推广而得。
1. 局部性。
次B样条曲面上参数为的点至多与个控制顶点有关，与其他控制顶点无关。
移动控制顶点至多影响到定义在区域上的那一部分曲面形状，对曲面的其余部分不产生影响。
2. 参数连性。
B样条曲面的每一片在其内部连续，而在节点处则是连续，其中分别是节点的重数。
3. 凸包性。
B样条曲面的每一片都位于定义该片曲面的控制顶点，的凸包之中，整个B样条曲面位于定义各片曲面的控制顶点的凸包的并集之中。
这样以来，B样条曲面的凸包区域就比同一组顶点定义的Bézier曲面的凸包区域要小，至多相同。
由凸包性质可以导出以下结果：•若控制顶点重合时，由这个控制顶点定义的次B样条曲面片便退化为这个重合点；•若上述的个控制顶点共面，那么所定义的曲面片便是平面片。
4. 磨光性质等。
同一组控制顶点定义的B样条曲面，随着次数的升高越来越光滑。
5. 仿射不变性。
B样条曲面在仿射变换下不便。
6. 对Bézier曲面的包含性。
若，且参数节点矢量选择如下：则由此确定的B样条曲面就是次Bézier曲面。
7. 等参数线。
固定，那么曲线是一条次B样条曲线，其控制顶点为同理，固定，其参数曲线为一条次B样条曲线，相应的控制顶点为然而，与Bézier曲面一样，变差缩减性对B样条曲面将不再成立。
无序B样条曲线的曲面拟合算法
无序B样条曲线的曲面拟合算法1.引言-简要介绍无序B样条曲线-论述无序B样条曲线的曲面拟合问题-描述研究的主要问题和目标2. 相关研究-介绍曲面拟合算法的发展历程-论述其他曲面拟合算法的优缺点-简单介绍无序B样条曲线拟合算法的前置知识3.算法设计-描述无序B样条曲线的定义和性质-详细阐述无序B样条曲线的曲面拟合算法-主要包括控制点的选择、权重函数的设计和优化策略的实现4.实验与结果-利用自己实现的算法，对高维数据集进行实验-对比不同算法的效果，分析无序B样条曲线曲面拟合算法的优点和局限性-通过实例来展示算法的应用5.结论和展望-对论文进行总结，强调无序B样条曲线曲面拟合算法在实际应用中的重要性-提出进一步研究无序B样条曲线算法的方向和可能的改进方案第一章：引言无序B样条曲线是一种广泛应用于计算机图形学和计算几何领域中的数学工具。
与传统Bezier曲线相比，B样条曲线的控制点可以增删、移动，具有更强的灵活性和变形能力。
因此，B样条曲线被广泛应用于CAD设计、工程制图、物理仿真等领域。
曲面拟合是B样条曲线的一个重要应用，也是本文研究的主题。
曲面拟合的目标是根据给定的数据点集，构建一个能够尽可能地代表原始数据点的曲面模型。
通常，数据点集是从真实物体的点云数据中获得的，因此它们往往是不规则、噪声较大的。
曲面拟合算法的目标是以尽可能少的控制点构建合适的曲面模型，以逼近给定的点云数据。
B样条曲线的曲面拟合算法也分为有序B样条曲线拟合和无序B样条曲线拟合两种。
有序B样条曲线是指曲线上的控制点以固定顺序连接，控制点的顺序和其位置决定了曲线的形状和拟合精度。
而无序B样条曲线对控制点的顺序和位置没有限制，因此拟合出的曲线可以更好地与原始点云数据相匹配。
本文主要研究无序B样条曲线的曲面拟合算法，旨在解决无序B样条曲线拟合算法复杂性高、精度难以控制等问题，提升曲面拟合的效率和精度。
本论文内容包括5个章节。
第一章是引言，对无序B样条曲线的曲面拟合做了简要介绍。
b样条曲面
B样条曲面的算法生成及研究本文由天空乐园大学生旅游网整理分享摘要本文主要介绍B样条曲面的性质、算法、以及应用，让我们对B样条曲面有一个全面的了解。
Ｂ样条曲面不仅在保留了Bézier曲面的优点的同时克服了由于整体表示带来的不具有局部性质的特点，而且成功地解决了样条函数的局部控制问题，轻而易举地在参数连续性上解决了贝奇尔方法的连接问题，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。
B样条曲面中均匀双三次B样条曲面又是各种B 样条曲面中应用最多的一种之一，它避免了B 样条递推定义的繁琐算法，只要给出的空间型值点大致均匀，即可生成空间任何形状的曲面。
而非均匀有理B样条曲面( NU RBS ) 是曲面构造的常用工具, 是目前工业界曲面曲线表示的数学标准。
B-样条曲面是一种特殊NU RBS , 在实际应用中是首选形式。
在本文中我们主要介绍了均匀双三次B样条曲面。
关键词：B样条曲面非均匀B样条曲面双三次均匀B样条曲面 B样条基函数1 引言计算机运用技术的不断发展使得CAD/CAM技术日益提高和完善,为实现工业生产过程自动化展示了光明的前景。
目前,利用程序系统对某一产品实现机辅设计和数控加工的自动化过程已经开始。
然而在实际生产中,数控机床的使用还很不普遍,大部分数控机床仍靠手工编程来实现单一加工。
这除了数控设备价格昂贵之外,控制程序系统的设计难度较大也是重要原因之一。
譬如,对数控铣削加工控制程序系统的设计,尤其是在数控铣床上加工任意形状曲面的程序系统设计,目前还处于探讨摸索之中。
随着汽车、船舶、航空工业的发展，对于工业产品的形状描述也就提出了越来越高的要求。
工业产品的形状大致可以分为两类：一类是仅有初等解析曲面，例如平面、圆柱面、圆锥面、球面以及它们组合而成的规则曲面；另一类是不能由任何解析表达的自由型曲面。
汽车、船舶、飞机的外部零件基本上都是自由曲面。
而自由曲面不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问题。
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ε
d = f ( x0 , x1 , x2 , x) dx
3.3 B样条的递推定义
de Boor-Cox递推定义
⎧1 xi < x < xi +1 Bi , 0 ( x) = ⎨ ⎩0 Otherwise
Bi ,k ( x) = −x x − xi x Bi ,k −1 ( x) + i + k +1 Bi +1,k −1 ( x) xi + k − xi xi + k +1 − xi +1
由(3.11)： ( xi + 2 − x) + − ( xi +1 − x) + ( xi +1 − x) + − ( xi − x) + − xi + 2 − xi +1 xi +1 − xi M i ,1 ( x) = xi + 2 − xi 可得： M i ,1 ( x) = 0， M i ,1 ( x) = xi + 2 − x , ( xi + 2 − xi )( xi + 2 − xi +1 ) x > xi+2 x ∈ [ xi +1 , xi + 2 ]
(3.15)
并约定
0 =0 0
3.3.1 B样条基的推导 1. 0次B样条
⎧1 xi < x < xi +1 Bi , 0 ( x) = ⎨ ⎩0 Otherwise
称之,0 ( x) “移位”可得： B
⎧ x − xi ⎪ x −x ⎪ i +1 i ⎪ xi + 2 − x Bi ,1 ( x) = ⎨ ⎪ xi + 2 − xi +1 ⎪ ⎪ 0 ⎩ xi < x < xi +1 xi +1 < x < xi + 2 Otherwise
Pi (t ) = ∑ f j (t )Vi + j
j =0
m
(3.1)
其中，fj(t)为对应于顶点Vi+j的基函数。
我们设fj(t)是参数t的r次多项式，且具有以下形式：
f i (t ) = ∑ a jk t ,
k k =0
r
t ∈ [0,1]
(3.2)
（3.1）和（3.2）中的m、r、ajk均为待定参数。要确 定这些参数，须对各段曲线施加必要的约束条件
(3.7)
这说明，每提高一阶连续性，相应增加m+2个约束条件。 对于n阶连续性，基函数应满足约束条件的个数为：
(n + 1)(m + 2) + 1
因此有：
(m + 1)(r + 1) = (n + 1)(m + 2) + 1 得： r = n + (n + 2) /( m + 1)
当n=1时，有两组整数解： 1） m=0,r=4 2）m=2，r=2 取第2）组解：
⎧ f 0 (1) = 0 ⎪ f (1) = f (0) 0 ⎪ 1 ⎪ f 2 (1) = f1 (0) ⎪ ⎨ ... ⎪ ⎪ f m (1) = f m −1 (0) ⎪ ⎪ 0 = f m (0) ⎩
(3.5)
共有m+1个基函数，每个基函数又有r+1个未知系数，因 此共有(m+1)(r+1)个未知系数。由(3.3)和 (3.5)可得m+3 个条件。
在讨论用截尾幂函数的差商定义B样条时，会用到以下两个公式
[ xi , xi +1 ,..., xi + k +1 ](t − x) k = 0
k (t − x) + = (t − x) k + (−1) k +1 ( x − t ) k +
(3.9) (3.10)
1. 0次B样条 由（3.8）得到
3.1 Clark关于B样条的定义
Clark定义B样条的出发点是： 1）对给定点进行逼近而非插值； 2）相邻逼近曲线段之间有一定连续性要求；
3.1.1 基函数
设三维空间有一点列（V1，V2，…Vq）被 一曲线段序列Pi(t),i=1,2,…,n;t∈[0,1]所逼近， 要求每段曲线仅由点列中若干顺序排列的点所 控制，且具有以下形式：
3. B样条的定义
Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有以下不足：
所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是 所有给定顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能 力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活
B样条曲线是Schocenberg 于1946年提 出的，1972年deBoor和Cox分别给出B样条 的标准算法。作为CAGD的一种形状描述的 数学方法是Gordon和Riesenfeld于1974年 在研究Bézier曲线的基础上给出的。
k k +
3.2.2 用截尾幂函数的差商定义B样条
我们将：
M i ,k ( x) = [ xi , xi +1 ,..., xi + k +1 ](t − x) k +
定义为k次B样条，并将
Bi ,k = ( xi + k +1 − xi ) M i ,k ( x)
(3.8)
定义为k次规范B样条，并仍称为B样条。
上式共有9个未知系数；可由以下9个约束条件求解：
f 0 (t ) + f1 (t ) + f 2 (t ) = 1
⎧ f 0 ' (1) = 0 ⎪ f ' (1) = f ' (0) ⎪ 1 0 ⎨ ⎪ f 2 ' (1) = f1 ' (0) ⎪ 0 = f 2 ' (0) ⎩
⎧ f 0 (1) = 0 ⎪ f (1) = f (0) ⎪ 1 0 ⎨ ⎪ f 2 (1) = f1 (0) ⎪ 0 = f 2 (0) ⎩
由（3.1）和（3.4）可得：
f 0 (1)Vi + f1 (1)Vi +1 + ... + f m −1 (1)Vi + m −1 + f m (1)Vi + m
(3.4)
= f 0 (0)Vi +1 + ... + f m − 2 (0)Vi + m −1 + f m −1 (0)Vi + m + f m (0)Vi + m +1
约束条件1： 当每段曲线的m+1个控制顶点重合成一点V时，曲 线退化为一个点V。由（3.1）得：
⎛ m ⎞ Pi = ⎜ ∑ f i (t ) ⎟V = V ⎜ ⎟ j =0 ⎝ ⎠
有：
∑ f (t ) ≡ 1
j =0 i
m
(3.3)
约束条件2： 保证所有曲线段之间的位置连续性：
Pi (1) = Pi +1 (0)
(3.12)
由(3.12)： ( x − xi + 2 ) + − ( x − xi +1 ) + ( x − xi +1 ) + − ( x − xi ) + − xi + 2 − xi +1 xi +1 − xi M i ,1 ( x ) = xi + 2 − xi 可得： M i ,1 ( x ) = 0， x − xi M i ,1 ( x ) = , ( xi + 2 − xi )( xi +1 − xi ) 整理为： ⎧ ⎪ 0， ⎪ x − xi ⎪ M i ,1 ( x) = ⎨ , ⎪ ( xi + 2 − xi )( xi +1 − xi ) xi + 2 − xi ⎪ ⎪ ( x − x )( x − x ) , ⎩ i + 2 i i + 2 i +1 x ∉ [ xi , xi + 2 ] x ∈ [ xi , xi +1 ] x ∈ [ xi +1 , xi + 2 ] x < xi x ∈ [ xi , xi +1 ]
可解得二次B样条基函数：
1 ⎧ 2 ⎪ f 0 (t ) = 2 (1 − t ) ⎪ 1 ⎪ 2 ⎨ f1 (t ) = (1 + 2t − 2t ) 2 ⎪ 1 2 ⎪ f 2 (t ) = t ⎪ 2 ⎩
3.2 采用截尾幂函数的差商定义B样条
3.1.2.1 截尾幂函数
引入截尾幂函数：
⎧ (t − x) , t ≥ x (t − x) = ⎨ t<x ⎩0,
⎧1 xi +1 < x < xi + 2 i +1, 0 ( x ) = ⎨ ⎩0 Otherwise
xi +1 < x < xi + 2 xi + 2 < x < xi +3 Otherwise
⎧ x − xi +1 ⎪x −x ⎪ i + 2 i +1 ⎪ xi +3 − x Bi +1,1 ( x) = ⎨ ⎪ xi +3 − xi + 2 ⎪ ⎪ 0 ⎩
( xi +1 − x) 0 − ( xi − x) 0 + + M i , 0 ( x) = [ xi , xi +1 ](t − x) = xi +1 − xi
0 +
由截尾幂函数的定义： ⎧ 0， x ∉ [ xi , xi +1 ] ⎪ M i ,0 ( x) = ⎨ 1 , x ∈ [ xi , xi +1 ] ⎪ xi +1 − xi ⎩ ⎧0， x ∉ [ xi , xi +1 ] Bi , 0 ( x) = ( xi +1 − xi ) M i , 0 ( x) = ⎨ x ∈ [ xi , xi +1 ] ⎩1,