B样条曲线曲面基本理论
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
b样条曲线曲面
B样条曲线的性质具体分析
• 1. 局部支柱性 B样条曲线与Bezier曲线的主要差别在于它 们的基函数。Bezier曲线的基函数在整个参 数变化区间内，只有一个点或者两个点处 函数值为零。而B样条的基函数是一个分段 函数，在参数变化范围内，每个基函数在tk 到tk+m的子区间内函数值不为0，在其余区 间为0，这一重要的特征称为局部支柱性。
• B样条的局部支柱性对曲线和曲面的设计有 两个方面的影响：一是第k段曲线段（p（t） 在两个相邻节点值[tk，tk+1）（m－1≤k≤n） 上的曲线段）仅仅由m个控制顶点Pk－m＋ 1，Pk－m＋2，…Pk控制。若要修改该段 曲线，仅修改这m个控制顶点即可。二是修 改控制顶点Pk对B样条曲线的影响是局部的。 对于均匀m次B样条曲线，调整一个顶点Pk 的位置只影响B样条曲线p（t）在区间[tk， tk+m）的部分，即最多只影响与该顶点有 关的m段曲线。局部支柱性是B样条最具魅 力的性质。
由于Bk,m(t)的各项分母可能为0，所以这里规定 0/0=0。m是曲线的阶参数，（m－1）是B样条曲 线的次数，曲线在连接点处具有（m－2）阶连续 性。tk是节点值，T＝（t0，t1，…tn＋m）构成了 m－1次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减 序列，所生成的B样条曲线定义在从节点值tm－1 到节点值tn+1的区间上，而每个基函数定义在t的 取值范围内的tk到tk＋m的子区间上。从公式可以 看出，仅仅给定控制点和参数m不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定节点矢量来获得基函数。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种用于曲面建模的经典技术。
它通过在有限数量的控制点上定义曲面的特征，并利用一组特定的基函数，来实现曲面的几何形状。
B样条曲面的优点在于它能够高效地逼近复杂的几何形状，同时也具有很好的光滑性和可调性。
本文将介绍B样条曲面的构建算法设计与实现。
1. B样条曲线的基础知识B样条曲面是基于B样条曲线而建立的。
B样条曲线是一种多项式插值函数，它可以用于定义复杂的曲线形状。
B样条曲线的定义需要满足两个要求：首先，每个控制点必须与前后控制点之间有一定的关系；其次，每个控制点必须携带一定的权重值，以反映其对曲线形状的影响程度。
在B样条曲线中，每个控制点的权重值可以用来调节曲线的弯曲程度。
另外，在B样条曲线中，基函数与控制点的数量相同。
基函数是一组具有局部支撑区域的函数，它们被用来加权控制点的贡献值。
这些基函数通常称为B样条基函数，它们具有递归性质，使得它们可以在任意阶数上使用。
B样条曲面的构建算法需要满足几个关键要求。
首先，该算法必须能够通过控制点确定曲面的几何形状；其次，该算法必须保证曲面的光滑性和逼近性。
下面我们将介绍一种常见的B样条曲面构建算法。
2.1 控制点网格的定义B样条曲面的控制点通常以网格的形式进行定义。
该网格是由一个m*n的矩形点阵组成，它们被用来确定曲面的几何形状。
在这个点阵中，每个格子的位置就是一个控制点。
控制点的位置可以任意调整，以达到所需的几何形状。
2.2 基函数的定义B样条曲面的基函数是由B样条曲线的基函数扩展而来的。
这些基函数必须满足两个要求：首先，它们必须有足够的支撑区域；其次，它们必须满足一定的递推关系，以方便对曲面进行细分。
B样条曲面的基函数通常使用B样条基函数与升阶的技术相结合而得到。
这些技术使得基函数可以在任意次数上进行升阶，以适应曲面的细节需求。
一旦B样条曲面的基函数得到定义，我们就可以使用它们来计算曲面上的控制点贡献值。
这些贡献值将被用来决定曲面的几何形状。
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
B样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。
若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
b样条曲线生成原理
b样条曲线生成原理
B样条曲线是一种基于局部控制点的曲线或曲面。
它是一种基于多项式插值的插值方法。
B样条曲线在插值时采用局部控制点，这意味着曲线上的每个点都受到它附近控制点的影响，而与其它控制点无关。
B样条曲线生成原理如下：
1.确定控制点：确定需要插值的一组控制点，它们用来定义曲线或曲面的形状和方向。
2.确定节点向量：确定节点向量，该向量定义样条曲线或曲面的参数空间。
3.建立基函数：使用节点向量来建立基函数，这些基函数是局部连续的、分段多项式函数。
4.拼接基函数：将相邻的基函数相加，得到样条曲线或曲面的表达式。
5.调整节点向量及其对应的控制点权值，得到最终的 B 样条曲线或曲面，用于插值和逼近目标函数。
总的来说， B 样条曲线是一种基于局部控制点和节点向量的插值方法，可以用于逼近任意复杂的函数，具有局部调整控制点的灵活性和良好的数学性质。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种用于曲面重建和曲面拟合的方法。
它具有较好的数学性质和计算性能，被广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和计算机辅助制造等领域。
本文将介绍B样条曲面的构建算法的设计与实现。
B样条曲面由B样条曲线构成，因此我们需要先了解B样条曲线的基本概念和算法。
B样条曲线是一种由多个控制点决定的曲线。
它的基本思想是通过插值或逼近的方式，将曲线上的点与控制点相对应，然后利用控制点之间的关系，生成曲线上的其他点。
B样条曲线的控制点决定了曲线的形状，在构建B样条曲线时，我们需要确定控制点的位置和权值。
B样条曲线的构建算法可以分为两个主要步骤：节点向量的确定和权值的确定。
节点向量是一组单调递增的参数值，用于描述曲线上的点的位置。
权值用于确定曲线上每个点的形状。
节点向量的确定是一个关键的步骤，它决定了曲线上的点的位置。
常用的方法有均匀节点向量和非均匀节点向量。
均匀节点向量指的是参数值的差值相等，例如[0, 1, 2, 3]。
在构建均匀节点向量时，我们需要确定控制点的个数和阶数。
控制点的个数决定了曲线上点的数量，阶数决定了曲线的平滑程度。
非均匀节点向量指的是参数值的差值不等。
它可以根据曲线的需要进行调整，用于处理曲线的局部形状。
权值的确定是另一个关键的步骤，它决定了曲线上每个点的形状。
在构建B样条曲线时，我们可以使用多种方法确定权值，例如Bezier曲线、B-spline曲线和NURBS曲线等。
在实际应用中，我们通常使用B-spline曲线来构建B样条曲线。
B-spline曲线是一种通过控制点和节点向量确定形状的曲线，它具有较好的数学性质和计算性能。
B-spline曲线的构建算法可以分为两个主要步骤：节点向量的确定和权值的确定。
节点向量的确定和B样条曲线的节点向量的确定方法类似，可以使用均匀节点向量和非均匀节点向量。
权值的确定方法也类似，可以使用Bezier曲线、B-spline曲线和NURBS曲线等。
b样条函数拟合
b样条函数拟合
B样条函数拟合是一种通过选用适合的方法对复杂自由曲面进行造型，满足曲面数控加工需要的方法。
B样条曲线曲面的基础理论是其重要的理论支撑，基本几何计算是其主要的研究方向。
在曲线逼近过程中，通过引入光顺权与偏离权因子，能够使得到的B样条曲线更加贴近已知的型值点。
对于工程上按截面测量数据组织曲面的情况，该方法可以通过对截面线上数据点个数较少的截面曲线进行升阶，增加控制顶点数，保证曲面最后的逼近精度。
理论的可靠和数值算例结果表明，B样条函数拟合方法在对复杂自由曲面的造型上是一种新的思路，能够为后续的数控加工创造有利条件。
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第七章 B样条曲线曲面基本理论
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
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重要
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方法二
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第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论 2次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 3次B样条基函数
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பைடு நூலகம்
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第七章 B样条曲线曲面基本理论
Bezier实现高速列车外形
作业2：
第一部分 自由曲面设计理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面I
第七章 B样条曲线曲面I
第七章 B样条曲线曲面I
第七章 B样条曲线曲面I
0次B样条曲线 1次B样条曲线 2次B样条曲线 3次B样条曲线
推导过程
第七章 B样条曲线曲面基本理论 0次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 1次B样条基函数