三次B样条曲线PPT课件
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三次周期B样条曲线的算法
lt;1和四个控制点p0,p1,p2和p3. 设P(u)是一个三次周期B样条,满足条件: P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6, P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6, P′(0) = (p2 – p0)/2, P′(1) = (p3 – p1)/2. P(0) P(1) P′(0) P′(1) 1 0 =1/6 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
B样条曲线专题知识省公共课一等奖全国赛课获奖课件
/10/10
第10页10
B-样条曲线定义
t n 1个控制点 Pi
n i0
及参数节点向量Tn,k
nk
i i0 (ti ti1)
确定如下的k阶（k 1次）B样条曲线：
n
P(t) Pi Ni,k (t)，t [tk1, tn1] 共n-k+2段 i0
B-样条曲线示例
/10/10
第11页11
1阶B-样条基函数
其它
Ni,k (t)在区间ti ,tik 上有定义，称后者为前者的支撑区间。
/10/10
第20页20
3阶B-样条基函数图形
Ni,3 (t)
Ni,3 (t)的图形
/10/10
第21页21
3阶B样条曲线示例
/10/10
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
tn1
第22页22
知其然，知其所以然…
此时：Tn,4 {0,1,..., n 4}
1 t [i ,i 1)
Ni,1(t) 0
其它
根据如下的基函数递推公式计算Ni,4 (t)：
Ni,k
(t)
t k
i 1
N i ,k 1 (t )
i
k
k 1
t
N i 1,k 1 (t )，i
0,1,..., n
/10/10
第33页33
三次均匀B样条曲线（3）
• 顶点数
• 定义区间
• 段数
/10/10
第24页 24
B-样条基函数性质
• 局部性 • 权性 • 连续性
/10/10
第25页25
B-样条基函数局部性
三次参数样条曲线PPT精选文档
p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
pi
)
2pi ti1
pi1]t2 ti1
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
三次B样条曲线ppt课件
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
10
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
11
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
12
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
13
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
P
0,3(0)
P
0,3(1)
P"0,
3
(0)
1 2 ( P2 P0 ),
1 2
( P3
P1 ),
P2 2P1 P0
,
P"0,3 (1) P3 2P2 P1,
数字图像处理
29
三次B样条曲线
三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢
P1
P2
P0
P3
数字图像处理
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
16
2.3 B 样条曲线的性质
1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线时修
28
三次B样条曲线
性质1：端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
数学数值分析三次样条插值PPT课件
第2页/共40页
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次周期B样条曲线的算法
1/6
=
-1
MB
MB = 1/6
-1 3 -3 1 3 -6 3 0 =1/6 -3 0 3 0 1 4 1 0
P(u) = 1/6(u3 u2 u 1)
-1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 0 3 0 1 4 1 0
p0 p1 p2 p3
P(u) = p0(1-u)3/6 + p1(3u3-6u2+4)/6+ p2(-3u3+3u2+3u+1)/6 +p3u3/6 = p0B0,3(u) + p1B1,3(u) + p2B2,3(u) + p3B3,3(u) -1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 0 3 0 p0 p1 p2 p3 p0 p1 p2 p3
三次周期B样条曲线的算法
• 另一种方法: 0 ≤ u<1和四个控制点p0,p1,p2和p3. 设P(u)是一个三次周期B样条,满足条件: P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6, P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6, P′(0) = (p2 – p0)/2, P′(1) = (p3 – p1)/2. P(0) P(1) P′(0) P′(1) 1 0 =1/6 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
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如果满足下列条件:
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分
是三次多项式函数；
(2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
S (k ) ( xi 0) S (k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二
阶连续拼接。
始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。
数字图像处理
1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)， 并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在 〔a,b〕上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它
数字图像处理
2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)， 称n次参数曲线段 ：
n
Pk,n (t) PikGi,n (t), i0
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段
的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
2.3 B 样条曲线的性
质➢ 1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1
个
顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一
个
控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线
所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
多项式函数，这里，
x
i
1
2
xi1 xi 2
(i 1,2,...,n), x1 2
x0 , xn1 2
xn ,称为半节点；
(2)在半节点
x i
1
(i=1，2，…，n)处成立
2
S
(k
)
(
x i
1
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
➢ B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
(3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，…，n.
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1.3 二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如
果满足下列条件：
(1)在每个小区间
x i
1 2
,
x i
1 2
i 0,1,...,n 内，S(x)是二次
这也就是S(xy)i 在 整S(个xi )区i间 0[,a1,..b.n]上具有K阶连续。
若S(x)满足
，则称S(x)为插值样条函
数。
数字图像处理
1.2 三次样条函 数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数，
3）对称性：G当i,n (t)
1 n
(i
时1 ，t )Gi ,n1 (t )
1 n
(n
i
t )Gi 1,n 1 (t )
4）递推性：t [0,1],i 0,1,...,n; n 1
数字图像处理
B 样条曲线的基函 数
一次B 样条曲线的基函数
二次B 样条数曲字线图像的处基理函数
B 样条曲线的基函数
➢ 如左图所示，六个
时修改某一局部的形状带来了很大的方控便制顶。点控制的三
次B样条曲线由三
满足下面两个条件：
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
(2)在xSi((ki)=(x1i，20，) …S，(k) n(x-i1)处0),成立 k 0,1,..., K ,
即S(x)在拼接点处xi(i＝1，2，…，n-1)也具有K阶连续，
曲线和曲面
1. 样条函数的概念
➢ 1.1: 一般样条函数的定义 ➢ 1.3: 二次样条函数 ➢ 1.2: 三次样条函数
2. B 样条曲线
➢ 2.1: B样条曲线的定义 ➢ 2.5: 三次B样条曲线
➢ 2.2: B样条曲线基函数性 ➢ 2.6: 二、三次B样条曲线的
质
应用
➢ 2.3: B样条曲线的性质 ➢ 2.7: 非均匀B样条曲线
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
具有如下性质：
1）有界正性：当t [0,1] 0 Gi,n (t) 1, (i 0,1,..., n)
时，
n
Gi,n (t) 1, t [0,1]
i0
2）权性： t即[0,1] Gi,n (t) Gni,n (1 t), (i 0,1,..., n)
➢ 2.4: 二次B样条曲线
数字图像处理
1. 样条函数概念
➢ 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开数构造的Bezier曲 线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一 是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多 边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线 的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面 的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、 Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留 Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方 法的弱点。
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分
是三次多项式函数；
(2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
S (k ) ( xi 0) S (k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二
阶连续拼接。
始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。
数字图像处理
1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)， 并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在 〔a,b〕上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它
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2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)， 称n次参数曲线段 ：
n
Pk,n (t) PikGi,n (t), i0
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段
的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
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2.3 B 样条曲线的性
质➢ 1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1
个
顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一
个
控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线
所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
多项式函数，这里，
x
i
1
2
xi1 xi 2
(i 1,2,...,n), x1 2
x0 , xn1 2
xn ,称为半节点；
(2)在半节点
x i
1
(i=1，2，…，n)处成立
2
S
(k
)
(
x i
1
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
三次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
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2.2 B 样条曲线基函数的性质
➢ B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
(3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，…，n.
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1.3 二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如
果满足下列条件：
(1)在每个小区间
x i
1 2
,
x i
1 2
i 0,1,...,n 内，S(x)是二次
这也就是S(xy)i 在 整S(个xi )区i间 0[,a1,..b.n]上具有K阶连续。
若S(x)满足
，则称S(x)为插值样条函
数。
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1.2 三次样条函 数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数，
3）对称性：G当i,n (t)
1 n
(i
时1 ，t )Gi ,n1 (t )
1 n
(n
i
t )Gi 1,n 1 (t )
4）递推性：t [0,1],i 0,1,...,n; n 1
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B 样条曲线的基函 数
一次B 样条曲线的基函数
二次B 样条数曲字线图像的处基理函数
B 样条曲线的基函数
➢ 如左图所示，六个
时修改某一局部的形状带来了很大的方控便制顶。点控制的三
次B样条曲线由三
满足下面两个条件：
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
(2)在xSi((ki)=(x1i，20，) …S，(k) n(x-i1)处0),成立 k 0,1,..., K ,
即S(x)在拼接点处xi(i＝1，2，…，n-1)也具有K阶连续，
曲线和曲面
1. 样条函数的概念
➢ 1.1: 一般样条函数的定义 ➢ 1.3: 二次样条函数 ➢ 1.2: 三次样条函数
2. B 样条曲线
➢ 2.1: B样条曲线的定义 ➢ 2.5: 三次B样条曲线
➢ 2.2: B样条曲线基函数性 ➢ 2.6: 二、三次B样条曲线的
质
应用
➢ 2.3: B样条曲线的性质 ➢ 2.7: 非均匀B样条曲线
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
具有如下性质：
1）有界正性：当t [0,1] 0 Gi,n (t) 1, (i 0,1,..., n)
时，
n
Gi,n (t) 1, t [0,1]
i0
2）权性： t即[0,1] Gi,n (t) Gni,n (1 t), (i 0,1,..., n)
➢ 2.4: 二次B样条曲线
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1. 样条函数概念
➢ 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开数构造的Bezier曲 线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一 是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多 边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线 的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面 的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、 Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留 Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方 法的弱点。