直线与双曲线的关系
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直线与双曲线的位置关系ppt课件
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2直线与双曲线的位置关系课件(1)
注:
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2＞0
异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解 不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法 四、对称与垂直问题 五、综合问题
1 ,
1
两式做差得：３（x1
ｘ2）（x1
＋ｘ）＝（ｙ
2
1
ｙ2）（ｙ1
＋ｙ） 2
x1＋ｘ2 2m,
ｙ 1
＋ｙ 2
2n,
ｙ 1
ｙ2
x1ｘ2
2
即：ｎ＝－３ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在直线ｙ＝１ｘ上，那么
２
２
ｎ＝２１ｍ，显然不符合上式，所以这样的a不存在。
五、综合问题
1、设双曲线C：
x2 a2
y2
1(a
0)与直线
y 1 2(x 1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
解 : 假设存在P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
y 1 k(x 1)
x
2
y
2
1
2
韦达定理
消y得 (2 k 2 )x2 2k(1 k)x k 2 2k 3 0
2k2 0
（8 3 - 2k） 0
练习:
直线m : y = kx +1和双曲线x2 - y2 =1的左支交于A,B
两点, 直线l过点P -2,0和线段AB的中点. 1 求k的取值范围. 2 是否存在k值, 使l在y轴上的截距为1?若存在, 求出k的值;
双曲线方程及性质的应用 课件
则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
双曲线与直线的位置关系课件
双曲线与直线的位置关系
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)直线与双曲线的位置关系
第12页
探究1
解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量， 转化成关于 x 或 y 的一元二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线 的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时， 就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交且只有 一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位 置关系.
∴|MN|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2·
＝6（|3k－2＋k21|）＝4.解得 k＝± 515.
∴直线 l 的方程为 y＝± 515(x－2).
－ 3－4kk222＋4（43－k2＋k23）
第15页
题型二 弦长问题
例 2 (1)求直线 y＝x＋1 被双曲线 x2－y42＝1 截得的弦长. 【解析】 由x2－y42＝1，得 4x2－(x＋1)2－4＝0.
y＝x＋1，
即 3x2－2x－5＝0.①
设方程①的解为 x1，x2， ∴x1＋x2＝32，x1x2＝－53.
∴弦长 d＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2×
第7页
知识点二 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k12·|y1－y2| ＝ 1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
第5页
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
(原创)直线与双曲线的位置关系
直线和双曲线相交有关弦的中点问题，常用 设而不求的思想方法．
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线在平面上的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
1. 相离：直线与双曲线没有交点，它们分别在平面上任意位置，没有交集。
2. 相切：直线与双曲线有且仅有一个公共切点，此时直线的斜率等于双曲线在该点的切线斜率。
3. 相交：直线与双曲线有两个交点，此时直线穿过双曲线。
判定直线与双曲线的位置关系可以通过以下方法进行：
1. 将直线的方程和双曲线的方程联立，求解它们的交点，如果有解，就是相交或相切；如果没有解，就是相离。
2. 比较直线的斜率与双曲线在交点处的切线的斜率，如果相等，则相切。
3. 比较直线的斜率与双曲线的离心率（e）的关系。
如果直线
的斜率大于离心率，则相离；如果直线的斜率小于离心率，则相交；如果直线的斜率等于离心率，则相切。
注意：在进行判定时，需要先化简双曲线的方程，确定其标准形式，然后再进行计算。
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
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学习目标：
1、巩固双曲线的几何性质，掌握直线与 双曲线位置关系的判定，能处理直线与双曲 线交点个数问题。 2、掌握利用方程研究曲线的基本思想， 加深对曲线与方程关系的理解，提高分析问 题，解决问题的能力。 3、理解事物既有联系又有区别的辨证观 点，体会等价转化思想，数形结合思想的渗 透作用。
例1： 求下列直线与双曲线的交点坐标， 并在同一系中画出直线与双曲线的图形
即k=
5 2
时, 方程组有一解
(2)当1－k2=0时, 即k=±1 方程组有一解
∴当k=±1或
5 2
时, 直线与双曲线仅有一个公共点
k=－1
k=1
k
5 2
5 k 2
变式: ⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围. ⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围. ⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有一 个公共点,求k的取值范围.
作业
1、复习本节内容，识记基本知识点； 2、《教与测》P77例1，例2
2、过双曲线 x
2
线的两支都相交，则直线l的倾斜角的取值范围是
y2 1 的右焦点F，作直线l与双曲 3
3、预习8.5抛物线及其标准方程
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
例3:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围. 解: 分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解. y=kx－1 消去y整理得 由 x2-y2=4 (1－k2) x2+2kx －5=0
(1)当1－k2≠0且△=(2 k)2 －4 (1－k2) (－5)=0时
小结
⑴直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系 在分类上是一致的,但在相交时情形不尽相同,椭圆中 相交必有两个公共点,双曲线中可能有一个也可能有两 个公共点. ⑵直线与双曲线有且仅有一个公共点是直线与双曲 线相切的必要不充分条件. (3)注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的 内在联系，直线与双曲线的位置关系的相关问题通 常可转化为二次方程和二次函数问题，运用判别式 和根与系数的关系来解决。
2
2
直线与双曲线有两个交 相交 点
O
x
x y 24 x 3 y 16 0与 1 25 10
只 有 一 个 公 共 点
2
2
25 ,3 ) 交点 ( 4
4x－3y－16=0
相 切
3x y 1 0与x
只 有 一 (－3，－1)
x－y－1=0
x y 12 x y 10 0与 1 20 5 2 2 x y 24 x 3 y 16 0与 1 25 10
2
2
3x y 1 0与x
2
y 3
2
x y 12 x y 10 0与 1 y 20 5
3 2 交点(6,2),( , ) 14 3
相 交
知识点滴
直线与双曲线的交点个数 方程组解的个数 （1）小题直线与双曲线相交
⑵小题直线与双曲线相切
⑶小题中直线与双曲线相交，与双曲线的渐近 线平行。
从解方程的角度看： ⑴中△>0 ⑶中为一元一次方程, 没有△ ⑵中△ =0
知识点滴 直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
1、巩固双曲线的几何性质，掌握直线与 双曲线位置关系的判定，能处理直线与双曲 线交点个数问题。 2、掌握利用方程研究曲线的基本思想， 加深对曲线与方程关系的理解，提高分析问 题，解决问题的能力。 3、理解事物既有联系又有区别的辨证观 点，体会等价转化思想，数形结合思想的渗 透作用。
例1： 求下列直线与双曲线的交点坐标， 并在同一系中画出直线与双曲线的图形
即k=
5 2
时, 方程组有一解
(2)当1－k2=0时, 即k=±1 方程组有一解
∴当k=±1或
5 2
时, 直线与双曲线仅有一个公共点
k=－1
k=1
k
5 2
5 k 2
变式: ⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围. ⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围. ⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有一 个公共点,求k的取值范围.
作业
1、复习本节内容，识记基本知识点； 2、《教与测》P77例1，例2
2、过双曲线 x
2
线的两支都相交，则直线l的倾斜角的取值范围是
y2 1 的右焦点F，作直线l与双曲 3
3、预习8.5抛物线及其标准方程
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
例3:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围. 解: 分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解. y=kx－1 消去y整理得 由 x2-y2=4 (1－k2) x2+2kx －5=0
(1)当1－k2≠0且△=(2 k)2 －4 (1－k2) (－5)=0时
小结
⑴直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系 在分类上是一致的,但在相交时情形不尽相同,椭圆中 相交必有两个公共点,双曲线中可能有一个也可能有两 个公共点. ⑵直线与双曲线有且仅有一个公共点是直线与双曲 线相切的必要不充分条件. (3)注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的 内在联系，直线与双曲线的位置关系的相关问题通 常可转化为二次方程和二次函数问题，运用判别式 和根与系数的关系来解决。
2
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直线与双曲线有两个交 相交 点
O
x
x y 24 x 3 y 16 0与 1 25 10
只 有 一 个 公 共 点
2
2
25 ,3 ) 交点 ( 4
4x－3y－16=0
相 切
3x y 1 0与x
只 有 一 (－3，－1)
x－y－1=0
x y 12 x y 10 0与 1 20 5 2 2 x y 24 x 3 y 16 0与 1 25 10
2
2
3x y 1 0与x
2
y 3
2
x y 12 x y 10 0与 1 y 20 5
3 2 交点(6,2),( , ) 14 3
相 交
知识点滴
直线与双曲线的交点个数 方程组解的个数 （1）小题直线与双曲线相交
⑵小题直线与双曲线相切
⑶小题中直线与双曲线相交，与双曲线的渐近 线平行。
从解方程的角度看： ⑴中△>0 ⑶中为一元一次方程, 没有△ ⑵中△ =0
知识点滴 直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,