A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质371712一、复习】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点1F、2F的距离之差的绝对值等于常数2a（a大于0且122a F F<）的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F、2F叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程22221(0,0)x ya ba b-=>>22221(0,0)y xa ba b-=>>说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±(0,)a ±轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b离心率 (1)ce e a=> 渐近线方程x ab y ±= a y x b =±要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质 例1.求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆2211625x y +=共焦点，且过点(－2的双曲线；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点，2)的双曲线． 【解析】(1)∵椭圆2211625x y +=的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：222219y x a a-=-，又点(－2在双曲线上， ∴2210419a a-=-，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为22154y y -=.(2)∵双曲线221164x y -=的焦点为(±0)， ∴设所求双曲线方程为：2222120x y a a -=-，又点，2)在双曲线上， ∴22184120a a-=-，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为221128x y -=. 【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。

举一反三：【变式1】设双曲线焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率为( )A ．5 B.C.2D.54【答案】C【变式2】（2015 安徽卷）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（ ）(A)2214y x -= (B)2214x y -= (C)2214y x -= (D)2214x y -= 【答案】 C 【解析】由题意：选项中A ，B 焦点在x 轴，排除C 项的渐近线方程为2204y x -=，即y ＝±2x ， 故选C.类型二：直线与双曲线的位置关系例2．已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数. 【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得： (1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点. (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况). (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点. 综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点. 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】(2014天津)已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．120522=-y x B ．152022=-y x C ．1100325322=-y x D ．1253100322=-y x【答案】A【解析】令y ＝0，可得x ＝－5，即焦点坐标为(－5，0)，∴c ＝5，∵双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，∴ab＝2， ∵c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为120522=-y x ． 故选：A ．【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D例3.过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

【思路点拨】显然采用过P 点的直线方程与双曲线方程221725x y -=联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。

【解析】若直线的斜率不存在时，则x =0)，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当7k =-时，21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =107y x =-+。

【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点. 举一反三：【高清课堂：双曲线的性质371712 例2】【变式】双曲线22221-=x y a b的右焦点到直线x-y-1=0的距离为2,且223=a c .(1)求此双曲线的方程；(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C 、D ，若点A 坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k 取值范围。

【答案】（1）2213x y -=（2）(,()-∞⋃⋃+∞类型三：双曲线的弦例4.（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程. 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。