双曲线与直线位置关系
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直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
双曲线与直线的位置关系课件
双曲线与直线的位置关系
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
(原创)直线与双曲线的位置关系
直线和双曲线相交有关弦的中点问题，常用 设而不求的思想方法．
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
双曲线与直线的位置关系PPT教学课件
0 个交点
相离
=0
? 一个交点
相切
相交
天哪 !
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意
味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相
交?
实践是检验真理的唯一标准 !
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
唉 ! 白担心一场 !
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
>0
两个交点
相交
<0
0 个交点
=0
一个交点
相离 相切
好也 !
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
判断下列直线与双曲线的位置关系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1 相离
4
25 16
欧阳修
• 中国北宋政治家，文学家。 唐宋古文八大家之一。字 永叔，号醉翁，晚号六一 居士。吉州永丰（今属江 西）人。欧阳修自称庐陵 人，因为吉州原属庐陵郡。
一代宗师－－欧阳修
北宋诗文革新，是中国文学史上 继唐代古文运动以后的又一次文 风改革，欧阳修就是这场革新运
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
高中数学直线与双曲线位置关系
1
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
直线与双曲线的关系21
直线与双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)
（与渐近线平行的直线）
Y
O
X
例题讲解
例1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
总结二
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
[1] l : x 3 ,c : x2 y2 1 9 16
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
回顾一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)
（与渐近线平行的直线）
Y
O
X
例题讲解
例1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
总结二
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
[1] l : x 3 ,c : x2 y2 1 9 16
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
回顾一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
直线与双曲线的位置关系(上课用)
y1 y2 b 2 x1 x2 b 2 x0 2 2 =k x1 x2 a y1 y2 a y0
4、中点弦的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利
用韦达定理解决； （2）点差法：设弦的两端点坐标，代入 曲线方程相减后分解因式，便可与
弦所在直线的斜率及弦的中点联系
起来。
x2 y2 直 线y kx m与 双 曲 线 2 2 1交 于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) a b
含 焦 点 区 域 内
含 焦 点 区 域 外
含 焦 点 区 域 内
x y 2、 点P ( x0 , y0 )与 双 曲 线 2 2 1的 位 置 关 系 : a b
2
2
x y ; 1 点P( x0 , y0 )在含焦点的区域内 a b
2 2 x0 y0 ; 2 1 点P( x0 , y0 )在双曲线上 2 a b
2 2 x0 y0 点 P ( x , y ) 在含焦点的区域外 ; 1 0 0 a 2 b2
2 0 2
2 0 2
走向高考 若不论K为何值，直线 y k x 2 b 与曲线
x y 1 总有公共点，则b的取值范围是（
2 2
B）
, C 2, 2 , D 2, 2 A. 3, 3 , B. 3, 3
1 k 2 0 ②没有公共点 0
1 k2 0 0 ③与右支有两个公共点 5 k ， 1 x1 x 2 0 2 x1 x 2 0 b b ④与左、右两支各有一个公共点 k a a
k 11 ，
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
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笔迹，因此对玉盈而言，只有这信笺和信封才是最能代表王爷本人。此时，同样的信封出现在她的面前，就像上次
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小 结
结 束
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思考1：双曲线与直线有什么样的位置关系？
1.直线与双曲线相交： （1）有两个交点 （2）有一个交点（直线与渐近线平行）
2.直线与双曲线相切： 只有一个交点
注意：只有一个交点直线与双曲线相切的必要条件 但不是充分条件。
3.直线与双曲线相离： 没有交点。
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思考2：怎样判断双曲线与直线有什么样的位置关系？
复习与提高
关于双曲线渐近线的进一步探讨:共渐近线的双曲线系
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问题一：课本引入双曲线的渐近线概念有何用意 呢？渐近线本身有何特点？
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第3页/共20页
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问题二：如何由双曲线方程写出其渐近线方程呢？
第5页/共20页
第6页/共20页
问题三：如何由已知渐近线方程写出对应的双曲线 方程呢？
首
儿又写了壹封信来，心中猛地壹惊！壹口气写了两封，难道是发生了什么意外的事情？被吓坏了的年总督赶快催促玉盈：“快看看，快看看，凝 儿写了什么来！是不是发生什么事情了？”待玉盈从翠珠手中接过信，她立即就明白了：这是王爷的信！因为上壹次她接到王爷骗她去宝光寺的
页 那封信，用的就是这种信封！那封信，她壹直珍藏着，看了无数遍，流了无数泪。她闭着眼睛都描绘出那信封的样子。由于王爷模仿的是凝儿的
有壹个月的时间，估计着娘亲和玉盈姐姐应该已经到了湖广，于是，她赶快提笔给玉盈姐姐写了壹封家信。这壹次依然用的是颜体，依然只是报
平安，问候爹爹和娘亲，询问含烟的婚事，就没有多说别的什么话。因为她担心自己的家信会被王府里的什么人查看，或许是苏总管，或许是王
爷？第壹卷 第133章 惊鸿 年夫人和玉盈母女壹行才回湖广没两天，就收到了凝儿的家信，把玉盈高兴坏了，片刻未停，立即兴冲冲地跑到了
水般地涌上心头，他抵抗不住这番痛苦的折磨，于是打开抽屉，翻出冰凝的颜体家信，依葫芦画瓢，再次炮制了壹封年氏家书。在那家书中，写
满了他的思念，写满了他的深情，写满了他的真心。好不容易吟雪和月影的腿伤完全康复，终于能够恢复当差了。当她们再次出现在冰凝的房里，
三个人终于能够相依相伴，冰凝的心情壹下子就好了起来。前些日子忙着腿伤的事情，壹直没有顾上给家人写信。现在离娘亲她们离开京城也快
33
第13页/共20页
思考2：是否所有的双曲线与直线只有一个交点且 相交的情况下都是直线的方程与双曲线的得到的 一元二次方程二次项系数都为0？
如何进行验证？
第14页/共20页
例3.试判断直线 x a
y b
（
0），与双曲线
x a
2 2
－
y2 b2
1，
的位置关系。
第15页/共20页
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顾大局，为报答年家的养育之恩舍弃了自己的感情，这怎么不让他心生敬佩？真才是人间的奇女子，这才是爷的心中最爱。越想，他越是对她产
生了无限的怜惜，越想，他越是对她思念不已。他们唯壹的壹次结伴出行，给他留下了永远也无法忘却的怀念，她的冷漠，她的坚持，她的彷徨，
她的挣扎，她的决绝，每壹个不壹样的她，都深深地印刻在他的脑海中，成为抚慰他心灵创伤的良药。那壹晚，当那止不住的绵绵思念再次如潮
由上题可知双曲线与直线只有一个交点且相交时 由直线的方程与双曲线的得到的一元二次方程二 次项系数都为0.
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小结：直线与双曲线的位置关系的判断
由直线的方程与双曲线的方程得到一个x（或y）的 一元二次方程。
如果二元一次方程的二次项系数是0， 则双曲线与直线相交；
当 0时，双曲线与直线相交； 当 0时，双曲线与直线相离； 当＝0时，双曲线与直线相切 （其中为二元一次方程的判别式）。
爹爹和娘亲的房里。年老夫妇壹听是凝儿的来信，激动得立即起身，冲到了玉盈的面前。玉盈知道爹娘思女心切，三下两下就拆了信封，马上给
爹爹和娘亲念了起来。年老夫妇得知凝儿壹切都好，心中又是踏实又是欣慰！玉盈念完家信，也没有急着回自己房里，正好借机会跟爹娘再聊壹
会儿，还没说两句，就见翠珠进门来：“丫鬟，二丫鬟的家信！”玉盈当场愣住了！这不是刚刚念完了家信吗？怎么又有信来了？年总督壹听凝
由直线的方程与双曲线的方程组成的方程组得到一个 x（或y）的一元二次方程，然后通过一元二次方程的 判别式进行判断。
当 0时，双曲线与直线相交； 当 0时，双曲线与直线相离； 当＝0时，双曲线与直线是相交，还是相切，如何判断？
要结合直线与渐近线的斜率的关系进行判断。
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例2.已知直线的方程是x y 1 0,双曲线的方程 是 x2 y2 1，试判断该直线与双曲线的位置关系。
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由我们解过的题可知： 1、渐近线方程确定且过一个定点的双曲线方程只 有一解，而渐近线方程确定且已知a（实半轴长）、 b（虚半轴长）、c（半焦距）三者之一的双曲线方 程则有两解； 2、使用共渐近线的双曲线系思想来解已知渐近线 求双曲线方程的题型，可使思路清晰，讨论目的明 确。
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作业：课本复习参考题八
P132 9、10、12、13
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虽然痛痛快快地发泄出来，可是心中的爱恋却是随着玉盈姑娘的不告而日益滋长，越滋长、越伤痛，越伤痛、越思念。玉盈姑娘那么地识大体、