B样条曲线
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B样条曲线
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
角点共线的方法。
Q4
Q1
P1
。
P0
Q2
Q0
P2 Q3
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四
角点共线的方法。 Q5
Q1
Q2 。P1
P0
Q0
P2
P3
。
Q3 Q4
6.5 Bézier曲面和B样条曲面
6.5.1 Bézier曲面
Bézier曲面及控制网格演示动画
曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间角点只 反映曲面的凹凸程度。
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
✓用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
✓参数v在[0,1] 之间取
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
角点共线的方法。
Q4
Q1
P1
。
P0
Q2
Q0
P2 Q3
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四
角点共线的方法。 Q5
Q1
Q2 。P1
P0
Q0
P2
P3
。
Q3 Q4
6.5 Bézier曲面和B样条曲面
6.5.1 Bézier曲面
Bézier曲面及控制网格演示动画
曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间角点只 反映曲面的凹凸程度。
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
✓用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
✓参数v在[0,1] 之间取
b样条曲线曲率简易求解算法
b样条曲线曲率简易求解算法摘要：I.引言- 介绍b 样条曲线- 阐述曲率在曲线设计中的重要性II.b 样条曲线的定义与性质- 定义b 样条曲线- 介绍b 样条曲线的性质III.曲率的计算方法- 详细介绍b 样条曲率的计算方法- 解释各参数的含义及计算过程IV.曲率简易求解算法- 介绍曲率简易求解算法- 阐述算法的原理与步骤V.算法实现与分析- 给出算法实现代码- 分析算法的效率与准确性VI.结论- 总结文章内容- 指出算法的局限性与改进方向正文：I.引言b 样条曲线是一种具有广泛应用的曲线类型，广泛应用于计算机图形学、数值分析、建模等领域。
在曲线设计中，曲率是一个重要的参数，它反映了曲线在某一点处的弯曲程度。
因此，如何高效地计算b 样条曲率成为曲线处理领域的一个研究热点。
本文将介绍一种曲率简易求解算法，并对算法的原理与实现进行详细分析。
II.b 样条曲线的定义与性质b 样条曲线是一种以基函数和控制点加权求和表示的曲线，具有局部性和加权特性。
b 样条曲线可以表示为：C(u) = Σ[Ni(u) * Pi]其中，Ni(u) 是基函数，Pi 是控制点，u 是参数值。
b 样条曲线的性质包括：1) 局部性，即在某一区间内，曲线可以用基函数和控制点的有限和表示；2) 加权特性，即不同控制点对曲线的贡献程度不同，权重由基函数决定。
III.曲率的计算方法b 样条曲率的计算方法主要依赖于de Boor 算法，该算法利用b 样条曲线的性质，通过递归方式计算曲率。
具体计算过程如下：1) 计算第一阶导数C"(u)：C"(u) = Σ[Ni(u) * Ni(u)]2) 计算第二阶导数C""(u)：C""(u) = Σ[Ni(u) * (Ni(u) + Ni(u+1))]其中，Ni(u) 表示第i 个基函数在参数u 处的取值，Ni(u+1) 表示第i 个基函数在参数u+1 处的取值。
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
第三节 B-样条曲线
2012-3-5 6
关于递推定义的系数
t − ti ti + k − t N i ,k +1 (t ) = N i ,k (t ) + N i +1,k (t )，i = 0,1,..., n ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
ti ti
ti+1 ti+1 ti+1
t
t t
N i ,k −1 (t ) N i +1,k −1 (t ) N 'i ,k (t ) = (k − 1) − ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
N i ,k (t )在l重节点处至少为k −1 − l次参数连续。
2012-3-5
28
问题：3阶B样条曲线生成
N i ,k (t )在区间[ti , ti + k ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
2012-3-5 20
3阶B-样条基函数图形
N i ,3 (t )
N i ,3 (t )的图形
2012-3-5
21
3阶B样条曲线示例
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
2012-3-5
t n +1
16
2012-3-5
续前页：
当t ∈ [ti , ti +1 )时： t − ti N i ,3 (t ) = N i , 2 (t ) tii+ 2 − ti +
t − ti t − ti ti + 2 − t = ( N i ,1 (t ) + N i +1,1 (t )) ti + 2 − ti ti +1 − ti ti + 2 − ti +1
关于递推定义的系数
t − ti ti + k − t N i ,k +1 (t ) = N i ,k (t ) + N i +1,k (t )，i = 0,1,..., n ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
ti ti
ti+1 ti+1 ti+1
t
t t
N i ,k −1 (t ) N i +1,k −1 (t ) N 'i ,k (t ) = (k − 1) − ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
N i ,k (t )在l重节点处至少为k −1 − l次参数连续。
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28
问题：3阶B样条曲线生成
N i ,k (t )在区间[ti , ti + k ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
2012-3-5 20
3阶B-样条基函数图形
N i ,3 (t )
N i ,3 (t )的图形
2012-3-5
21
3阶B样条曲线示例
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
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t n +1
16
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续前页：
当t ∈ [ti , ti +1 )时： t − ti N i ,3 (t ) = N i , 2 (t ) tii+ 2 − ti +
t − ti t − ti ti + 2 − t = ( N i ,1 (t ) + N i +1,1 (t )) ti + 2 − ti ti +1 − ti ti + 2 − ti +1
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
B样条曲线在图形学中的应用
02
边界表示
截面线表示
• 利用B样条曲线表示三维模型的边界曲面
• B样条曲线用于表示三维模型的截面线
• 可以提高模型重建的精度和效率
• 可以用于模型的参数化设计和编辑
B样条曲线在三维曲线与曲面绘制中的应用
曲面绘制
• B样条曲线用于表示三维曲面的参数化表示
• 可以用于曲面的细分、拼接等操作
曲线绘制
• 利用B样条曲线表示三维曲线
• 可以实现高质量的图像修复
• 可以实现有效的图像去噪效
效果
果
B样条曲线在图像压缩与编码中的
应用
01
图像压缩
• 利用B样条曲线进行图像的降维表示
• 可以实现高效的图像压缩效果
02
图像编码
• B样条曲线用于表示图像中的关键点信
息
• 可以提高图像编码的效率和可靠性
06
B样条曲线在其他领域中的应用
B样条曲线在建筑设计中的应用
图像分割
边缘检测
• 利用B样条曲线逼近图像中的纹理和颜色信息
• B样条曲线用于表示图像中的边缘信息
• 可以实现精确的图像分割效果
• 可以提高边缘检测的准确性和鲁棒性
B样条曲线在图像修复与去噪中的应用
图像修复
图像去噪
• 利用B样条曲线进行图像的局
• B样条曲线用于表示图像中的
部修复和填充
平滑区域
• 可以实现平滑、连贯的曲线效果
B样条曲线在三维动画与游戏设计中的应用
模型动画
角色动画
01
02
• B样条曲线用于表示三维模
• 利用B样条曲线表示角色的
型的运动轨迹和形状变化
骨骼关节运动轨迹
b样条曲线
t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
计算机图形学实验报告B样条曲线
千里之行，始于足下。
计算机图形学实验报告B样条曲线B样条曲线是计算机图形学中常用的一种曲线表示方法。
它通过插值曲线的控制点来定义曲线的形状，并且具有较好的平滑性。
本次实验中，我们使用C++语言实现了B样条曲线的生成和显示，并进行了相应的实验和分析。
实验目的：1.了解B样条曲线的原理和算法；2.掌握B样条曲线的生成和显示方法；3.通过实验观察和分析B样条曲线的性质。
一、B样条曲线的原理B样条曲线是一种基于控制点的插值曲线，它通过一系列连续的基函数（B 样条基函数）来插值控制点，从而生成曲线。
B样条曲线的基本原理如下：1.选择一组控制点P0，P1，…，PN-1；2.定义一组节点向量U={u0，u1，…，um}，其中u0<=u1<=…<=um；3.通过插值曲线的标准等式，通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
二、B样条曲线的算法1.计算节点向量U；2.定义B样条基函数；3.计算曲线上每个点的坐标。
三、实验步骤和结果1.计算节点向量U：在实验中，我们选择均匀节点向量，即ui=i，其中i=0，1，…，m。
这样的节点向量比较简单，而且能够生成比较平滑的曲线。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2.定义B样条基函数：B样条基函数是用来插值曲线的重要部分，它可以通过递归定义来实现。
在实验中，我们使用了三次B样条基函数，其递归定义如下：N(i,1)(u)={1，u∈[ui,ui+1]；0，否则}N(i,k)(u)=[(u-ui)/(ui+k-1-ui)]*N(i,k-1)(u)+(ui+1-u)/(ui+k-ui+1)*N(i+1,k-1)(u)3.计算曲线上每个点的坐标：通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
具体计算方法如下：P(u)=sum(B(i,k)(u)*Pi，i=0 to n-1)，其中B(i,k)(u)=N(i,k)(u)/sum(N(j,k)(u))四、实验结果和分析在实验中，我们通过改变控制点的位置和数量，生成了不同的B样条曲线，并进行了显示和分析。
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• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
一般称 Pij为 P(u, v)的控制顶点，把由 Pi0 , Pi1, , Pim
(i 0,1, , n) 和 P0 j , P1 j , , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 称为 P(u, v)的控制网格，记为{Pij} ,如图9.15所示。
v
3
bi (v) bijBj,3(v)i 0,1,2,3
j0
根据“线动成面”的思想，按设定间
隔取v* [0,1] ，在四条v线上取点，沿u
u
向生成三次Bezier曲线：
v V*
3
b(u) bi (v* )Bi,3 (u)
i0
将u,v向曲线方程合并得：
3
33
u
b(u,v) bi (v)Bi,3(u)
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
控制顶点 B样条基函数
在上式中０≤t≤1 , i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点，可运用三重角
点的方法。
Q2 Q3 Q4
P1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
注：矩阵表示见课本
曲面片1
P3,3(Q0,3) Q3,3
P3,2(Q0,2)
P0,3
P3,1(Q0,1) Q3,0
P(u,v)
Q(u,v) P3,0(Q0,0) 边界线
P0,0
Beziet曲面片的拼接
曲面片2
6.5.2 B样条曲面的定义和性质
uv v v u u u 设节点向量 U
ui
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
P14
P04
P03 P02 P01
P11 P21
P31
P(0,v)
P10 P20
P41 P30
P00
P(u,0)
P40
图9.15 Bézier曲面的控制网格
Bézier曲面的矩阵表示是：
P(u, v) [J0,n (u) J1,n (u)
P00 P01
J
n,n
(u)]
P10
P11
,V
i
{v
j
} j
(
≤i
i1 ,
j ≤ v j1)分别是
对参数 平面的 轴和 轴的分割，如图1所示。称下列张量积形
式的参数曲面为 k h( k≤n,h≤m)阶的B样条曲面
n
P(u, v)
m
Pij Bi,k (u)B j,h (v)
,uk-1≤u≤un＋1,vh-1≤v≤vm＋1
Bi,3(u)Bj,3(v)b(i, j) v
i0
i0 j0
Bézier曲面的定义
在空间中给定(n+1)×(m+1)个点，称以 下张量积形式的参数多项式曲面为n×m次的 Bézier曲面:
• 贝塞尔曲面表达式如下：
nm
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v) 0≤u,v≤1
i=0 j=0
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
• 角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。 B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后
i0 j0
其中Pij是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点，通常称为 P(u, v)的 控制顶点。Bi,k (u) ，B j,h (v)分别是关于节点向量U,V的k阶和h阶的B样条
基函数。
vm
vj
v2
vv01 u0
u1
u2
ui
un
图1 uv平面的分割
由两组多边形 Pi0Pi1Pi2
Pim ( i 0,1, 2,
Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
B: P1,P2,P3 P3
P1 i=1 P1,2(t)
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
P4
i=0
P2
P0,2(t)
P0
B: P0,P1,P2
)和 , n
P0 j P1 j P2 j
Pnj
( j 0,1, 2, , m )组成的网格（如图2）称为P(u,v) 的
控制网格，简记为 {Pij}。
P04 P01
P10
P20
P00
P40
图2 B样条曲面及其控制网格
均匀B样条曲面
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。
Pn
0
Pn1
P0m J0,m (v)
P1m
J1,m
(v)
Pnm
J
m,m
(v)
Bézier曲面具有以下性质：
(1) 端点位置
控制网格的四个角点 P00, P0m, Pn0, Pnm 是曲面P(u, v) 的四个端点。决定了曲线的形状，位置。
P(0, 0) P00, P(0,1) P0m
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
写成一般的矩阵形式为：
2
P(t) Fk,2 (t) Bk t 2
k 0
t
1
1
1 2
2
1
2 2 1
1B0
0
B1
0B2
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1
P(1/2)
P'(1/2)
P(0)
M
P(1)
B0
是什么曲线？
与Bezier曲线有
B2
何差别？
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
Bezier曲面
Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲 线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制 点确定，三次Bezier曲面片则由４× ４ 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：
Q00 Q 10 Q20 Q30
B=
Q01 Q 11 Q02 Q12
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。 *** F281.c 三次 B-样条曲线
Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线 的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这 些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整 个Ｂ样条曲线在某些部位满足一些特殊的技 术要求。如：可以在曲线中构造一段直线；
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。
一般称 Pij为 P(u, v)的控制顶点，把由 Pi0 , Pi1, , Pim
(i 0,1, , n) 和 P0 j , P1 j , , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 称为 P(u, v)的控制网格，记为{Pij} ,如图9.15所示。
v
3
bi (v) bijBj,3(v)i 0,1,2,3
j0
根据“线动成面”的思想，按设定间
隔取v* [0,1] ，在四条v线上取点，沿u
u
向生成三次Bezier曲线：
v V*
3
b(u) bi (v* )Bi,3 (u)
i0
将u,v向曲线方程合并得：
3
33
u
b(u,v) bi (v)Bi,3(u)
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
控制顶点 B样条基函数
在上式中０≤t≤1 , i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点，可运用三重角
点的方法。
Q2 Q3 Q4
P1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
注：矩阵表示见课本
曲面片1
P3,3(Q0,3) Q3,3
P3,2(Q0,2)
P0,3
P3,1(Q0,1) Q3,0
P(u,v)
Q(u,v) P3,0(Q0,0) 边界线
P0,0
Beziet曲面片的拼接
曲面片2
6.5.2 B样条曲面的定义和性质
uv v v u u u 设节点向量 U
ui
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
P14
P04
P03 P02 P01
P11 P21
P31
P(0,v)
P10 P20
P41 P30
P00
P(u,0)
P40
图9.15 Bézier曲面的控制网格
Bézier曲面的矩阵表示是：
P(u, v) [J0,n (u) J1,n (u)
P00 P01
J
n,n
(u)]
P10
P11
,V
i
{v
j
} j
(
≤i
i1 ,
j ≤ v j1)分别是
对参数 平面的 轴和 轴的分割，如图1所示。称下列张量积形
式的参数曲面为 k h( k≤n,h≤m)阶的B样条曲面
n
P(u, v)
m
Pij Bi,k (u)B j,h (v)
,uk-1≤u≤un＋1,vh-1≤v≤vm＋1
Bi,3(u)Bj,3(v)b(i, j) v
i0
i0 j0
Bézier曲面的定义
在空间中给定(n+1)×(m+1)个点，称以 下张量积形式的参数多项式曲面为n×m次的 Bézier曲面:
• 贝塞尔曲面表达式如下：
nm
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v) 0≤u,v≤1
i=0 j=0
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
• 角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。 B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后
i0 j0
其中Pij是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点，通常称为 P(u, v)的 控制顶点。Bi,k (u) ，B j,h (v)分别是关于节点向量U,V的k阶和h阶的B样条
基函数。
vm
vj
v2
vv01 u0
u1
u2
ui
un
图1 uv平面的分割
由两组多边形 Pi0Pi1Pi2
Pim ( i 0,1, 2,
Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
B: P1,P2,P3 P3
P1 i=1 P1,2(t)
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
P4
i=0
P2
P0,2(t)
P0
B: P0,P1,P2
)和 , n
P0 j P1 j P2 j
Pnj
( j 0,1, 2, , m )组成的网格（如图2）称为P(u,v) 的
控制网格，简记为 {Pij}。
P04 P01
P10
P20
P00
P40
图2 B样条曲面及其控制网格
均匀B样条曲面
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。
Pn
0
Pn1
P0m J0,m (v)
P1m
J1,m
(v)
Pnm
J
m,m
(v)
Bézier曲面具有以下性质：
(1) 端点位置
控制网格的四个角点 P00, P0m, Pn0, Pnm 是曲面P(u, v) 的四个端点。决定了曲线的形状，位置。
P(0, 0) P00, P(0,1) P0m
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
写成一般的矩阵形式为：
2
P(t) Fk,2 (t) Bk t 2
k 0
t
1
1
1 2
2
1
2 2 1
1B0
0
B1
0B2
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1
P(1/2)
P'(1/2)
P(0)
M
P(1)
B0
是什么曲线？
与Bezier曲线有
B2
何差别？
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
Bezier曲面
Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲 线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制 点确定，三次Bezier曲面片则由４× ４ 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：
Q00 Q 10 Q20 Q30
B=
Q01 Q 11 Q02 Q12
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。 *** F281.c 三次 B-样条曲线
Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线 的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这 些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整 个Ｂ样条曲线在某些部位满足一些特殊的技 术要求。如：可以在曲线中构造一段直线；
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。