第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
tj+1-k
tj
tj+q-1
tj+q
k 阶B样条曲线上参数为 t [0,1] 的一点至多与k 个控制顶点 Pj ( j i k 1, ,i)有关，与其它控制 顶点无关；
移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到i~i+k 段上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发 生影响。
P1
P2
P4
P7 P6
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。 ✓用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
✓参数v在[0,1] 之间取值
vk ，对应于vk曲线C1、
C2、C3和C4上可得到V1k、
• 对于高次多项式，起点和终点是k-1个控制点 的加权平均值点。
7.2 B样条曲线函数的性质
(1)局部支撑性
B样条基函数有
0, Bi,k (t) 0,
ti t tik 其它
即Bi,k (t)只在区间(ti , tik ) 中为正，在其它地方 Bi,k (t) 的 值均为零(k>1)。
tj-k
三次B样条曲线
三次B样条曲线表达式为
Pi
(t)
1 6
(t 3
3t 2
3t
1) Pi
1 6
(3t 3
6t 2
4)Pi1
1 6
(3t 3
3t
2
3t
1) Pi 2
1 6
t
3 Pi 3
,
0t 1
1 3 3 1 Pi
pi (t) t3
t2
t
1
1
3
6 3
6 0
1
4
3 3 1
0
Pi1
B样条凸包
B样条曲线
m=3 Bezier凸包
B样条凸包
Bezier曲线
m=4 Bezier凸包
B样条凸包 m=5
Bezier曲线
Bezier凸包
B样条曲线
(a) B样条曲线和Bezier曲线的凸包比较
(b) B样条曲线和Bezier曲线的比较
B样条曲线与Bezier曲线的凸包性比较
7.3 B样条曲面
1 2
t
2 Pi2
,0
t
1
pi (t)
1 2
t2
t
1 1 2
2 2
1 Pi
0
Pi1
1 1 0Pi2
i [0,1]
二次B样条基函数
B0,3 (t)
1 2
(1
t)2
B1,3 (t)
1 2
(1
2t
2t
2)
B2,3 (t)
1 2
t2
Bk,3(t)
1
B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t)
P0 P3
P′4 P5
P″4
B样条曲线的局部支柱性
(2)凸包性 (3)连续性
0
Bi,k
(t)
1
k1
Bi,k (t) 1
i0
t [0,1]
k次B样条在节点处为k-1次连续，在每一区间处 也为k-1次连续，即整条k次B样条曲线k-1次连续。
(4)几何不变性
(5)保凸性
(6)交互能力
(7)变差缩减性
t [0,1]
0 0
PPii32
三次周期性B样条的边界条件为：
pi
(0)
1 6
(Pi
4Pi1
Pi2 )
1 pi (1) 6 (Pi1 4Pi2 Pi3 )
pi(0)
1 2
( Pi 2
Pi
)
P1
P2
pi(1)
1 2
( Pi 3
Pi 1 )
P0
P3
四个控制点的三次均匀B样条曲线
结论：
• 对于由任意数目的控制点构造的二次B样条曲 线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之 间，终止点位于最后两个控制点之间。
0
1 2 0 1 2 0
1 2 1
1 6 1
2
1 v
1 2 0
1 2 1
v2 v3
6 2 2 6
6
d24
v
d14 d23
d13
C2
Cd122
d32
d12 V1k
V2k P(u,vK)
d33 C3
d34
d44 d43
d42 C4 V3k
V4k
d21
d31
d11
u
d41
作业
实验
双三次均匀B样条曲面P(u,v)的矩阵表1
u3)
2 1
2
1
21
36 01
2 1 1
2 1 1
0
d11
0
d21
0 1
d31 d41
d12 d22 d32 d42
d13 d23 d33 d43
1
d14 d24
6 2
3
d34 d44
1 6
7.1 B样条曲线
1．定义
给定空间n+1个顶点Pi（i=0，1，2，…，n），则k 阶B样条曲线可定义为：
Pi
(t)
k 1
j0 Pi
jB
j,k
(t),
t [0,1](i 0,..., n k)
二次B样条曲线
二次B样条曲线表达式为
Pi
(t)
1 2
(t
1)2
Pi
1 2
(2t
2
2t
1) Pi 1
用二次或三次B样条或Bezier曲线算法生成 曲线。
大作业
给定一组不相交的曲线，由曲线构造曲面
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
b样条曲线算法
B样条曲线算法介绍B样条曲线是一种用于数值分析和计算机图形学中的数学曲线表示方法。
它通过一系列控制点和节点向量来定义曲线的形状。
B样条曲线具有良好的平滑性和局部控制性，被广泛应用于汽车造型设计、动画制作、CAD等领域。
B样条基函数B样条基函数是构建B样条曲线的基本组成部分。
一个B样条曲线由一系列的B样条基函数加权叠加而成。
B样条基函数具有局部支撑性质，只对控制点和其附近的部分产生影响，使得曲线能够局部调整。
1. 均匀B样条基函数均匀B样条基函数是一种简单的B样条基函数形式，其形状由节点向量的选择决定。
对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。
均匀B样条基函数的定义如下：N i,0(t)={1, if t∈[t i,t i+1) 0, otherwise2. 非均匀B样条基函数非均匀B样条基函数引入了节点向量的权重，可以进一步调整曲线的形状。
对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。
非均匀B样条基函数的定义如下：N i,p(t)=t−t it i+p−t iN i,p−1(t)+t i+p+1−tt i+p+1−t i+1N i+1,p−1(t)其中p为基函数的次数。
B样条曲线的插值与逼近B样条曲线可以通过插值和逼近两种方式来生成。
插值是通过给定一系列的控制点，确保曲线经过这些点来生成曲线。
逼近是通过给定一系列的数据点，在曲线上找到最逼近这些数据点的曲线。
1. 插值B样条曲线的插值方法将控制点设定为插值点。
我们可以通过求解线性方程组的方式确定控制点的位置，然后利用B样条基函数的加权叠加得到曲线。
插值曲线具有经过控制点的性质，是一种精确的曲线生成方法。
2. 逼近B样条曲线的逼近方法通过给定数据点来求解控制点的位置。
我们可以利用最小二乘法来求解控制点的位置，使得曲线尽可能地逼近这些数据点。
B样条曲线图片版
1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状，这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。 连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所有内节点重数为k-1，这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
区间 的一个分割 : a x0 x1 xn b 定义于分割上的函数 g(x)满足两条件：
Ø 在[xi , xi1]上， g(x)是x的 k次多项式 Ø 节点 k次样条函数
g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
谢谢！
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
b样条曲线生成原理
b样条曲线生成原理1. 引言b样条曲线是在计算机图形学和计算机辅助设计中常用的一种曲线表示方法。
它具有良好的平滑性和灵活性，可用于绘制复杂的曲线形状。
b样条曲线的生成原理涉及控制点、节点向量和基函数等关键概念，本文将深入探讨b样条曲线的生成原理及相关知识。
2. 控制点和节点向量在b样条曲线中，控制点是影响曲线形状的关键元素。
使用一系列控制点来定义曲线的形状。
节点向量则决定了b样条曲线的拟合效果。
节点向量是一个有序的非递减序列，它决定了曲线上各部分的权重。
3. b样条基函数b样条曲线的生成原理基于b样条基函数。
b样条基函数是关于节点向量的一组多项式函数，用于将控制点与节点向量结合起来计算曲线上的点坐标。
常用的b样条基函数有B样条、N样条、三次b样条等。
3.1 B样条基函数B样条基函数是b样条曲线生成中常用的一种基函数。
它是由节点向量确定的一组分段多项式函数，每个分段函数只对节点向量中一段有效。
B样条基函数具有局部性，只对部分区域有非零值，这使得b样条曲线具有平滑的特性。
3.2 N样条基函数N样条基函数是另一种常用的b样条基函数。
与B样条基函数类似，N样条基函数也是由节点向量确定的分段函数，但它的局部性较弱。
N样条基函数在全局范围内都有非零值，因此可以生成更为复杂的曲线形状。
3.3 三次b样条基函数三次b样条基函数是b样条曲线生成中最常用的基函数之一。
它是一种局部三次多项式函数，在局部区域内具有较好的拟合性能。
三次b样条基函数可以通过递推公式计算得到，其形式简单，计算效率高。
4. b样条曲线的生成算法4.1 插值算法插值算法是一种常用的b样条曲线生成算法。
它通过给定的控制点生成曲线，使得曲线经过这些控制点。
插值算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行插值计算，生成曲线上的点坐标。
4.2 逼近算法逼近算法是另一种常用的b样条曲线生成算法。
它通过给定的控制点生成曲线，使得曲线与控制点之间的误差最小。
逼近算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行逼近计算，调整权重使得曲线与控制点的拟合度达到最优。
B样条曲面拟合
谢谢
这样的 节点矢量定义了一般非均匀B样条基.
分段贝齐尔曲线 其节点矢量中二端节点重复度与类型2相同, 为k+1。所不同的是,点数减1必 须等于次数的正整数倍,
二、曲面拟合的条件
待拟合曲面的控制点数 样条基次数 两个方向的节点向量
B样条曲面拟合
一、B样条曲线的种类及主要性质
均匀B样条曲线 均匀B样条曲线节点矢量中节点为沿参数轴 均匀或等距分布,所有节点区间长=Δi=ti+ti常数 >0(i=0,1,…,n+k)。这样的节点矢量定义了均匀 B样条基。 准均匀B样条曲线 其节点矢量中二端节点具有重复度k+1,即t0 =t1=…=tk,tn+1=tn+2=…=tn+k+1,所有内 节点均匀分布,重复度为1。
3、节点向量
节点向量是由数据点的参数化确定的，给定 曲面的数据点赋两个参数值，使位于拟和曲 面上的这些点与平面参数域内的点建立一一 对应的关系。 参数化的手段有：均与参数化、累加弦长参 数化、基面参数化。
得到数据点集的参数值后，就可以利用最小 二乘拟合反算曲面控制点
三、曲面拟合的实例
例1： 图1是一条三次B样条曲线与控制多 边形，符号“○”表示曲线初始控制点， “*”号表示曲线经一次4尺度加细后得到的 控制点，由图易见，加细后的控制点与曲线 更加接近。因此，可通过控制点的多尺度迭 代来生成B样条曲线增加了生成样条曲线的 速度。
例2 图2是利用第2节算法进行4尺度三层加细得 到的双三次B样条拟合曲面，0D为 (1+3)×(1+3)网格，经过三次4尺度加细 后3D为(64+3)×(64+3)网格，重建的B 样条曲面即有很好的光滑形状，又有很高的 逼近精度，同时，在上机实现时算法速度比 以前基于Binary细分多层加细算法的速度稍 快，主要由于减少了耗时的Step 2的次数。
b样条曲线生成原理
b样条曲线生成原理
B样条曲线是一种平滑的曲线，其生成原理基于多项式插值和控制点的概念。
其具体实现过程如下：
1. 定义控制点：在平面或空间中确定若干个控制点，这些点用来控制生成的曲线的形状。
2. 确定节点向量：节点向量是一组非降序实数序列，用于定义每个控制点的影响范围。
节点向量的个数等于控制点数加上曲线阶数减一，曲线阶数决定了曲线的平滑程度。
一般情况下，B样条曲线的阶数为2或3。
3. 构造基函数：基函数是一组与节点向量相关的函数，用来确定每个控制点在曲线上的影响程度。
B样条曲线的基函数具有局部性质，即只有与当前控制点相关的基函数才有非零值。
4. 计算曲线：将控制点和基函数带入公式中，计算出B样条曲线上每个点的坐标。
在计算时，每个控制点只对相邻的几个点产生影响，因此计算效率较高。
通过上述步骤，我们可以生成一条平滑的B样条曲线，其形状受控制点的位置和数量、节点向量的选择以及曲线阶数的设定等因素的影响。
B样条曲线在计算机图形学、CAD等领域有广泛应用。
- 1 -。
b样条曲线
t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
b样条曲线的一般表达式
B 样条曲线的一般表达式B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，具有很好的局部性和灵活性。
本文将介绍 B 样条曲线的一般表达式，以及其应用场景和优点。
B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，由Schatzman 和 Thomas 于 1967 年提出。
与常见的多项式插值和样条插值不同，B 样条曲线采用基函数和控制点来描述曲线，具有很好的局部性和灵活性。
B 样条曲线的一般表达式为:$$P(x) = sum_{i=0}^n lambda_i B_i(x)$$其中，$P(x)$表示曲线在$x$点的值，$lambda_i$是控制点，$B_i(x)$是基函数。
B 样条曲线的基函数是通过 B-spline 函数生成的。
B-spline 函数是一种用于描述曲线或曲面的数学函数，具有很好的局部性和光滑性。
B-spline 函数的定义如下:$$B_i(u) = begin{cases}u^0 & text{if } u leq i(i-u)^i & text{if } i < u leq i+1u^i & text{if } u > i+1end{cases}$$其中，$u$表示曲线或曲面上的某个点，$i$表示 B-spline 函数的阶数。
B 样条曲线的控制点是指在曲线或曲面上选取的一些点，通过这些点的值可以控制曲线或曲面的形状。
B 样条曲线的控制点可以通过以下公式计算:$$lambda_i = frac{1}{p_i - p_{i-1}}$$其中，$p_i$表示曲线或曲面上的第$i$个控制点，$p_{i-1}$表示曲线或曲面上的第$i-1$个控制点。
B 样条曲线的优点在于，它可以很好地适应曲线的局部性和复杂性，同时具有很好的计算效率和精度。
b样条曲线原理
b样条曲线原理
b样条曲线是一种用来插值和逼近离散数据的数学方式。
它是
一条平滑的曲线，由一系列连续的曲线段组成。
每个曲线段由一个基函数控制，这个基函数在局部区域内起作用。
b样条曲线的主要原理是通过控制点和基函数的权重来确定曲
线的形状。
在插值问题中，我们首先需要定义一组控制点，这些点是我们想要曲线经过的点。
然后，我们选择一种基函数，如三次b样条。
基函数的选择取决于所需的曲线平滑度和形状。
基函数控制点的权重是通过求解线性方程组得到的。
线性方程组的系数矩阵由控制点和基函数共同决定。
解出的权重即确定了曲线的形状。
b样条曲线的关键特点是它的局部性质。
每个控制点只影响曲
线的一小部分。
这使得曲线在插值和逼近过程中能够自由地调整。
如果我们修改一个控制点的位置，只有与这个控制点相邻的曲线段会受到影响，而其他曲线段则保持不变。
b样条曲线的另一个重要特点是它的光滑性。
通过适当选择基
函数和控制点的位置，我们可以确保曲线在控制点处是连续且可导的。
这使得b样条曲线在计算机图形学和计算机辅助设计等领域得到广泛应用。
综上所述，b样条曲线是一种通过控制点和基函数控制形状的
平滑曲线。
它具有局部性和光滑性的特点，适用于插值和逼近
问题。
通过调整控制点的位置和权重，我们可以灵活地控制曲线的形状。
第7章样条函数(Spline)
7.1 二次样条函数
7.1.3 二次样条计算过程和算例
1 5 例1 作二次样条函数逼近 x , 节点取x0 , x1 , x2 1, 4 8 并计算S 0.875的值.
7.1.4 插值余项
i
M b a h 2 R( x) 8
其中, h max hi , M max f x
7.2 三次样条函数
2 1 1 2
1
2
2
2
n 1
M 0 g 0 M 1 g1 M g 2 2 M g 2 n 1 n 1 n 1 1 2 M n g n
7.1 二次样条函数
令hi xi 1 xi 2、系数的计算：
i 0,1,, n 1
(1) ci的计算 ci yi i 0,1,, n 1
(2) bi的计算 bi yi 1 yi i 0,1,, n 1
hi
h0 通常让一个边界点 的导数值已知 , 设为 a hi 1 a bi bi 1 i 1, , n 1 i i 1 h hi i f x0 y0
7.2 三次样条函数
是分段的三次插值多项式
7.2.1 三次样条函数的定义 设有n 1个节点xi , yi , i 0,1,2,, n, 则满足下列条件的
函数称为三次样条函数 :
项式;
xi , xi 1 上都是不高于三次的多 (1) S ( x)在每个子区间
(2) S ( x)及其一阶导数连续 , S ( x)在整个区间上连续 ; (3) 在节点处,函数值等于节点值 ,即S ( xi ) yi