B样条曲线

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与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1
P(1/2)
P'(1/2)
P(0)
M
P(1)
B0
是什么曲线？
与Bezier曲线有
B2
何差别？
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结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
, 2, …, n
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连接全部曲线段所组成的整条曲线称 为 n 次Ｂ样条曲线。依次用线段连接 点 Pi+k (k=0,1,…,n)所组成的多边折 线称为Ｂ样条曲线在第i段的Ｂ特征多 边形。
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2 3!
2!
2!
2
F1,2 (t)

1 2
(2t 2

2t
1)
F2,2 (t)

1 t2 2
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有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条 曲线的分段表达式为： Pi (t) F0,2 (t) Pi F1,2 (t) Pi1 F2,2 (t) Pi2
1 0

B0 B1 B2

然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)
和 P’(t)，可得：
P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的
Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
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n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
B: P1,P2,P3 P3
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c
二次 B-样条曲线
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４.三次Ｂ样条曲线
分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点
定义，其表达式为：
P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2 +F3,3(t)•B3 (0≤t≤1)
第6章 曲 线 曲 面 （B样条曲线）
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二、B样条曲线 １.从 Bezier 曲线到Ｂ样条曲线 (1) Bezier 曲线在应用中的不足：
缺乏灵活性 一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改；
局部修改是随时要进行的）
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为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
P1 i=1 P1,2(t)
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
P4
i=0
P2
P0,2(t)
P0
B: P0,P1,P2
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二次Ｂ样条曲线的性质
先对 P(t)求导得：
P(t) t
111
2 1
控制性差当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；
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不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
可见，由 n 个顶点定义的完整的三次
Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接
而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。
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在以上表达式中：
Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
Fk,n (t)

1
nk
(1) j
n! j0

Cj n 1

(t
nk

j)n
式中：
０≤t
≤
1 k
=
0,
Cnr

n! r!(n r)!
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
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写成一般的矩阵形式为：
2
P(t) Fk,2 (t) Bk t 2
k 0
t
1
1
1 2

2
1
2 2 1
1B0
0

B1

0B2
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2.Ｂ样条曲线的数学表达式 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
控制顶点 B样条基函数
在上式中０≤t≤1 , i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
３.二次Ｂ样条曲线 Fk,n (t)

1
nk
(1) j
n! j0Leabharlann Cj n 1
(t

n

k

j)n
在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2
故其基函数形式为：
F0,2 (t)

1 2!
2
(1) j
j0
C3j
(t
2
j)2
1 [3! (t 2) 2 3! (t 1) 2 3! t 2 ] 1 (t 1) 2