第三节 B-样条曲线
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
b样条曲线算法
B样条曲线算法介绍B样条曲线是一种用于数值分析和计算机图形学中的数学曲线表示方法。
它通过一系列控制点和节点向量来定义曲线的形状。
B样条曲线具有良好的平滑性和局部控制性，被广泛应用于汽车造型设计、动画制作、CAD等领域。
B样条基函数B样条基函数是构建B样条曲线的基本组成部分。
一个B样条曲线由一系列的B样条基函数加权叠加而成。
B样条基函数具有局部支撑性质，只对控制点和其附近的部分产生影响，使得曲线能够局部调整。
1. 均匀B样条基函数均匀B样条基函数是一种简单的B样条基函数形式，其形状由节点向量的选择决定。
对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。
均匀B样条基函数的定义如下：N i,0(t)={1, if t∈[t i,t i+1) 0, otherwise2. 非均匀B样条基函数非均匀B样条基函数引入了节点向量的权重，可以进一步调整曲线的形状。
对于一个n次B样条曲线，节点向量为[t0, t1, …, tm]，其中ti为节点的位置，m为节点数。
非均匀B样条基函数的定义如下：N i,p(t)=t−t it i+p−t iN i,p−1(t)+t i+p+1−tt i+p+1−t i+1N i+1,p−1(t)其中p为基函数的次数。
B样条曲线的插值与逼近B样条曲线可以通过插值和逼近两种方式来生成。
插值是通过给定一系列的控制点，确保曲线经过这些点来生成曲线。
逼近是通过给定一系列的数据点，在曲线上找到最逼近这些数据点的曲线。
1. 插值B样条曲线的插值方法将控制点设定为插值点。
我们可以通过求解线性方程组的方式确定控制点的位置，然后利用B样条基函数的加权叠加得到曲线。
插值曲线具有经过控制点的性质，是一种精确的曲线生成方法。
2. 逼近B样条曲线的逼近方法通过给定数据点来求解控制点的位置。
我们可以利用最小二乘法来求解控制点的位置，使得曲线尽可能地逼近这些数据点。
b样条曲线
t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
计算机图形学实验报告B样条曲线
千里之行，始于足下。
计算机图形学实验报告B样条曲线B样条曲线是计算机图形学中常用的一种曲线表示方法。
它通过插值曲线的控制点来定义曲线的形状，并且具有较好的平滑性。
本次实验中，我们使用C++语言实现了B样条曲线的生成和显示，并进行了相应的实验和分析。
实验目的：1.了解B样条曲线的原理和算法；2.掌握B样条曲线的生成和显示方法；3.通过实验观察和分析B样条曲线的性质。
一、B样条曲线的原理B样条曲线是一种基于控制点的插值曲线，它通过一系列连续的基函数（B 样条基函数）来插值控制点，从而生成曲线。
B样条曲线的基本原理如下：1.选择一组控制点P0，P1，…，PN-1；2.定义一组节点向量U={u0，u1，…，um}，其中u0<=u1<=…<=um；3.通过插值曲线的标准等式，通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
二、B样条曲线的算法1.计算节点向量U；2.定义B样条基函数；3.计算曲线上每个点的坐标。
三、实验步骤和结果1.计算节点向量U：在实验中，我们选择均匀节点向量，即ui=i，其中i=0，1，…，m。
这样的节点向量比较简单，而且能够生成比较平滑的曲线。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2.定义B样条基函数：B样条基函数是用来插值曲线的重要部分，它可以通过递归定义来实现。
在实验中，我们使用了三次B样条基函数，其递归定义如下：N(i,1)(u)={1，u∈[ui,ui+1]；0，否则}N(i,k)(u)=[(u-ui)/(ui+k-1-ui)]*N(i,k-1)(u)+(ui+1-u)/(ui+k-ui+1)*N(i+1,k-1)(u)3.计算曲线上每个点的坐标：通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
具体计算方法如下：P(u)=sum(B(i,k)(u)*Pi，i=0 to n-1)，其中B(i,k)(u)=N(i,k)(u)/sum(N(j,k)(u))四、实验结果和分析在实验中，我们通过改变控制点的位置和数量，生成了不同的B样条曲线，并进行了显示和分析。
b样条曲线曲率简易求解算法
b样条曲线曲率简易求解算法摘要：一、背景介绍二、B样条曲线的基本概念1.控制点2.节点3.次数三、B样条曲线的曲率求解方法1.切线方向求解2.曲率求解公式四、简易求解算法步骤1.确定控制点2.计算切线方向3.计算曲率4.应用曲率求解公式五、算法实例演示六、算法优缺点分析1.优点2.缺点七、结论与展望正文：一、背景介绍在计算机图形学、计算机辅助设计等领域，B样条曲线（B-spline curve）是一种广泛应用的曲线表示方法。
它具有较好的局部性和灵活性，可以方便地控制曲线的形状。
然而，B样条曲线的曲率求解一直是一个较为复杂的问题。
本文将介绍一种简易的B样条曲线曲率求解算法，以期为相关领域的研究和实践提供参考。
二、B样条曲线的基本概念1.控制点：B样条曲线由一系列控制点确定，这些控制点共同决定了曲线的形状。
2.节点：节点是B样条曲线上的关键点，它们将曲线划分为若干段，每段的曲率由相邻节点决定。
3.次数：B样条曲线的次数表示曲线上最多可以取样的点的数量。
次数越高，曲线越平滑。
三、B样条曲线的曲率求解方法B样条曲线的曲率求解方法主要包括切线方向求解和曲率求解公式。
1.切线方向求解：在B样条曲线上，相邻两个节点之间的切线方向可以通过插值基函数计算得到。
基函数的值决定了切线方向上的权重，从而影响曲线的弯曲程度。
2.曲率求解公式：B样条曲线的曲率可以通过切线方向的改变率求得。
在相邻两个节点间，曲率表示为切线方向的变化量除以节点间距。
四、简易求解算法步骤1.确定控制点：根据需求设定一定数量的的控制点，以确定B样条曲线的初始形状。
2.计算切线方向：利用插值基函数计算相邻节点间的切线方向。
3.计算曲率：根据切线方向的改变率，计算B样条曲线的曲率。
4.应用曲率求解公式：将计算得到的曲率应用于B样条曲线，得到最终的曲线形状。
五、算法实例演示以下是一个简单的B样条曲线曲率求解算法实例。
设定四个控制点分别为（0，0），（1，2），（2，4），（3，6），次数为3。
b样条曲线的一般表达式
B 样条曲线的一般表达式B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，具有很好的局部性和灵活性。
本文将介绍 B 样条曲线的一般表达式，以及其应用场景和优点。
B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，由Schatzman 和 Thomas 于 1967 年提出。
与常见的多项式插值和样条插值不同，B 样条曲线采用基函数和控制点来描述曲线，具有很好的局部性和灵活性。
B 样条曲线的一般表达式为:$$P(x) = sum_{i=0}^n lambda_i B_i(x)$$其中，$P(x)$表示曲线在$x$点的值，$lambda_i$是控制点，$B_i(x)$是基函数。
B 样条曲线的基函数是通过 B-spline 函数生成的。
B-spline 函数是一种用于描述曲线或曲面的数学函数，具有很好的局部性和光滑性。
B-spline 函数的定义如下:$$B_i(u) = begin{cases}u^0 & text{if } u leq i(i-u)^i & text{if } i < u leq i+1u^i & text{if } u > i+1end{cases}$$其中，$u$表示曲线或曲面上的某个点，$i$表示 B-spline 函数的阶数。
B 样条曲线的控制点是指在曲线或曲面上选取的一些点，通过这些点的值可以控制曲线或曲面的形状。
B 样条曲线的控制点可以通过以下公式计算:$$lambda_i = frac{1}{p_i - p_{i-1}}$$其中，$p_i$表示曲线或曲面上的第$i$个控制点，$p_{i-1}$表示曲线或曲面上的第$i-1$个控制点。
B 样条曲线的优点在于，它可以很好地适应曲线的局部性和复杂性，同时具有很好的计算效率和精度。
B样条曲线图片版
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。
连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所rnstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
控制顶点是唯一一组
B样条曲线的性质
2. 凸包性：
k 阶P(t)在区间(ti, ti+1) , k-1<=i<=n 上的部分位于k个点Pi-k+1…,Pi的 凸包内，整条曲线则位于各凸包Ci的并集之内。
每3个控制顶点构成一个凸包
B样条曲线的性质
3. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为
的一点P(t)至多与k个控制顶点
B样条曲线的类型
3. 非均匀B样条曲线
任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点序 列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。 例如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
B样条曲线的性质
1. 表示唯一性：
给定节点向量、给定控制顶点的k阶B样条曲线表示唯一。
区间 的一个分割 :ax0 x1 xn b
节点
定义于分割上的函数 g(x)满足两条件： k次样条函数
Ø 在[xi,xi1]上， g(x)是x的 k次多项式
Ø g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
b样条曲线原理
b样条曲线原理
b样条曲线是一种用来插值和逼近离散数据的数学方式。
它是
一条平滑的曲线，由一系列连续的曲线段组成。
每个曲线段由一个基函数控制，这个基函数在局部区域内起作用。
b样条曲线的主要原理是通过控制点和基函数的权重来确定曲
线的形状。
在插值问题中，我们首先需要定义一组控制点，这些点是我们想要曲线经过的点。
然后，我们选择一种基函数，如三次b样条。
基函数的选择取决于所需的曲线平滑度和形状。
基函数控制点的权重是通过求解线性方程组得到的。
线性方程组的系数矩阵由控制点和基函数共同决定。
解出的权重即确定了曲线的形状。
b样条曲线的关键特点是它的局部性质。
每个控制点只影响曲
线的一小部分。
这使得曲线在插值和逼近过程中能够自由地调整。
如果我们修改一个控制点的位置，只有与这个控制点相邻的曲线段会受到影响，而其他曲线段则保持不变。
b样条曲线的另一个重要特点是它的光滑性。
通过适当选择基
函数和控制点的位置，我们可以确保曲线在控制点处是连续且可导的。
这使得b样条曲线在计算机图形学和计算机辅助设计等领域得到广泛应用。
综上所述，b样条曲线是一种通过控制点和基函数控制形状的
平滑曲线。
它具有局部性和光滑性的特点，适用于插值和逼近
问题。
通过调整控制点的位置和权重，我们可以灵活地控制曲线的形状。
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关于递推定义的系数
t − ti ti + k − t N i ,k +1 (t ) = N i ,k (t ) + N i +1,k (t )，i = 0,1,..., n ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
ti ti
ti+1 ti+1 ti+1
t
t t
N i ,k −1 (t ) N i +1,k −1 (t ) N 'i ,k (t ) = (k − 1) − ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
N i ,k (t )在l重节点处至少为k −1 − l次参数连续。
2012-3-5
28
问题：3阶B样条曲线生成
N i ,k (t )在区间[ti , ti + k ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
2012-3-5 20
3阶B-样条基函数图形
N i ,3 (t )
N i ,3 (t )的图形
2012-3-5
21
3阶B样条曲线示例
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
2012-3-5
t n +1
16
2012-3-5
续前页：
当t ∈ [ti , ti +1 )时： t − ti N i ,3 (t ) = N i , 2 (t ) tii+ 2 − ti +
t − ti t − ti ti + 2 − t = ( N i ,1 (t ) + N i +1,1 (t )) ti + 2 − ti ti +1 − ti ti + 2 − ti +1
∀t ∈ [t j , t j +1 ]，由N i ,k (t )的局部性得到：
∑N
i =0
n
i ,k
(t ) =
i = j − k +1
∑N
j
i ,k
(t )
上式右端根据递推公式展开并化简得到：
i = j − k +1
2012-3-5
∑N
j
i ,k
(t ) = N j ,1 (t ) ≡ 1
27
B-样条基函数的连续性
2012-3-5 12
K=1时定义的曲线示例
P (t ) = ∑ Pi N i1 (t ) L Pi L
i =0 n
P0
P 1
Pn L ti L t n +1
13
t1
2012-3-5
2阶B-样条基函数
t − ti ti + 2 − t N i , 2 (t ) = N i ,1 (t ) + N i +1,1 (t ) ti +1 − ti ti + 2 − ti +1 t − ti t ∈ [ti , ti +1 ) ti +1 − ti ti + 2 − t = t ∈ [ti +1 , ti + 2 ) ti + 2 − ti +1 0 其它
• 已知6个控制顶点，请定义出节点矢量均 匀的2次B样条曲线，并回答以下问题。
1. 定义区间是什么? ? 2. 曲线分为几段？ 3. 给出第二段曲线的表达式
2012-3-5
29
B-样条曲线的分类
根据节点矢量的不同形式分类
均匀B样条曲线 准均匀B样条曲线 分段Bezier曲线 非均匀B样条曲线
2012-3-5
{ti }
n+k
i =0
，则如下的
N i ,k 称为Tn ,k 上的k阶（k − 1次）B样条基函数
1 t ∈ [ti , ti +1 ) N i ,1 (t ) = 其它 0 N i ,k (t ) = t − ti N i ,k −1 (t ) + ti + k − t N i +1,k −1 (t )，i = 0,1,..., n ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
i =0
n
L Pi L
P0
P 1
Pn L ti L t n +1 t n + 2
15
t0 t1
2012-3-5
t2
3阶B-样条基函数
• K=3时的基函数
t − ti ti + 3 − t N i ,3 (t ) = N i , 2 (t ) + N i +1, 2 (t ) t ∈ [ti , ti +3 ) ti + 2 − ti ti +3 − ti +1 t −t i N i , 2 (t ) t ∈ [ti , ti +1 ) ti + 2 − ti t − ti ti + 3 − t = N i , 2 (t ) + N i +1, 2 (t ) t ∈ [ti +1 , ti + 2 ) ti +3 − ti +1 ti + 2 − ti ti + 3 − t t ∈ [ti + 2 , ti +3 ) t − t N i +1, 2 (t ) i +3 i +1 其它 0
t − ti t − ti ti + 2 − t ( N i +1,1 (t )) = N i ,1 (t ) + ti + 2 − ti ti +1 − ti ti + 2 − ti +1 ti +3 − t t − ti +1 ti + 3 − t + ( N i +1,1 (t ) + N i + 2,1 (t )) ti +3 − ti +1 ti + 2 − ti +1 ti + 3 − ti + 2
t − ti ti + 2 − t ti +3 − t t − ti +1 = ⋅ + ⋅ ti + 2 − ti ti + 2 − ti +1 ti +3 − ti +1 ti + 2 − ti +1
2012-3-5 18
续前页：
当t ∈ [ti + 2 , ti +3 )时： ti + 3 − t N i ,3 (t ) = N i +1, 2 (t ) ti +3 − ti +1 ti +3 − t t − ti +1 ti + 3 − t = ( N i +1,1 (t ) + N i + 2,1 (t )) ti +3 − ti +1 ti + 2 − ti +1 ti + 3 − ti + 2
局限性：全局控制
2012-3-5 2
B-样条曲线概念
控制顶点
Pi
P (t ) = ∑ Pi N ik (t )
i =0
B-样条基函数 B-样条曲线
n
控制多边形
2012-3-5
3
控制顶点作用的局部化
• ０次(1阶)曲线
t ti
1 0次基函数： i ,1 (t ) = N 0
2012-3-5
2012-3-5
• K=2时的基函数
t ∈ [ti , ti + 2 )
N i , 2 (t )
N i , 2的图形
N i ,k (t )在区间[ti , ti + k ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
14
Ni,2 (t )
K=２时定义的曲线示例
Ni,2的图形
P(t ) = ∑ Pi N i , 2 (t )
∑
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B-样条基函数的性质
• 局部性 • 权性 • 连续性
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B-样条基函数的局部性
N i ,k (t )只在区间[ti , ti + k )上取正值，在其它区间上为零。
在每一个区间上至多只有k个基函数非零，它们是： k
N
i − k +1,k
( t ), N
i − k + 2 ,k
i =0 n
共n-k+2段
B-样条曲线示例
2012-3-5 11
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 N i ,1 (t ) = 0
t ∈ [ti , ti +1 ) 其它
N i ,1 (t )
N i ,1 (t )的图形
N i ,1 (t )在区间[ti , ti +1 ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
第三节 B-样条曲线
本节内容： B-样条曲线定义 B-样条曲线性质 B-样条曲线的离散生成 有理B-样条曲线
2012-3-5
1
分段参数多项式曲线分析
• Hermit曲线
– 分段插值曲线 – 全局控制曲线 – 多项式次数与顶点数相关
• Bezier曲线
– 全局控制曲线 – 多项式次数与顶点数相关 – 拼接要求不易满足
( t ),..., N
i ,k
(t )
N i ,k (t )在每个区间[ti , ti + k )上都是次数不高于k − 1的多项式 从而在整个参数轴上是分段多项式