二元函数的图形
应用数学第6章 第一节 二元函数-PPT精选文档
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
如果点 ( x , y ) 只取某些特殊方式，如沿一条给定的直线或给定的 曲线无限趋近于 ( x 0 , y 0 ) , 则即使这时函数值无限趋近于某一确 定的常数，也不能判定函数的极限就一定存在.
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
y y0
x x0 yy0
时的极限，记作 ( )
lim f (x, y) A
或
f x, y A
, ,y xy x 0 0
( x , y ) 以任何方式趋近于 注意：在二元函数极限的定义中，
( x0 , y0 )
是指平的面上点 ( x , y ) 以任意路径无限趋近于点 ( x 0 , y 0 ) .
一元函数通常表示平面上的一条曲线． 二元函数z = f (x, y) , (x , y)D, 其定义域 D
y
y
图6-3
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
1. 二元函数的极限
x , y pxy ,0 0 时，对应的 0 二元函数的极限研究的是当点 p 函数值的变化趋势.由于二元函数的自变量有两个，自变量的变 化过程比一元函数的自变量变化过程更为复杂.这里 p p0 表示 点 p 以任何方式趋于点 p 0 ，也就是点 p 与点 p 0 间距离趋于0
图6-1
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
练习2 解 求二元函数 的定义域. 自变量 x, y 所取的值必须满足不等式
2 y 1 x
z arccos 2y x
y
且
x0
二元函数的极值及其求法PPT课件
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；
（3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
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例4、 求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f (x, y)的极值
解 将方程两边分别对x, y 求偏导 2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
将上方程组再分别对x, y 求偏导数,
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zxx
|P
2
1
z
,
zxy |P 0,
zyy
|P
2
1
z
,
故
B2
AC
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例 6 将正数 12 分成三个正数 x, y, z之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
Fx 3 x2 y2z 0
则
Fy 2x3 yz 0 Fz x3 y2 0
x y z 12
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练习题答案
一、1、(3,2),大,36； 2、大, 1 ； 3、7,-1. 4
二、(8 , 16). 55
三、当长,宽,高都是2a 时,可得最大的体积. 3
四、( 1 , 1 , 1 ). 333
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G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
多元函数的基本概念52774
E
定义： 如果点 P(可以属E于,也可不属E)于 的
任 一 邻 域 内 既 有 E的属点于 ,也 有 不 属 于E的 点,则 称P为E的 边 界.E点的 边 界 点 的 全 体 称 E的为边 界 ,记 为E.
P
E
定义：设E是平面上的一个,点 P是集平面上 的一个点 ,如果点P的任何一个邻域 内总有无限多个点点属集于 E,则称 P为E的聚点.
自变量、因变量等概念。
3、多元函数的图形（二元为例）
设函数z f (x, y)的定义域为 D,对于任意给定的 P(x, y)D,对应的函数值z为 f (x, y),这样,以x 为横坐标,以y为纵坐标,以z为竖坐标在空间就 确定一点M(x, y, z),当(x, y)取遍D上一切点时 ,得
到一个空间点x集, y, z) z f (x, y),(x, y)D,这
(2)找 两 种 不 同,趋 使li近 mf(方 x,y式 ) xx0 yy0 存 在 ,但 两 者,则 不 f(x等 ,y)在 点 (x0,y0) 处 极 限 不 . 存 在
四、多元函数的连续性
定义： 设n元函f(数 P)的定义域D 为 ,P0点 D集
是
其
聚 ,如点果 limf(P) PP0
（开集） （闭集） （都不属于）
6、区域与闭区域 定义：设D是开集 .如果对D于内任何两,都 点可 用折线连结起 ,且来该折线上的点都属 于D,则称开D集是连通(的 如下图 ).
y
连通的开集称为区域或开区域.
例 :{如 x ,(y )|1 x 2y2 4 }.
o
x
y
开区域连同它的边 起界 称一 为闭区 . 域
3多元函数的图形二元为例图形个点集称为二元函数的确定一点为竖坐标在空间就这样对应的函数值为对于任意给定的的定义域为设函数sinxy中的线性运算距离及重要子集类1线性运算线性组合的线性运算记为邻域是某一正数面上的一个点记为去心邻域称为中除去点常不写出以上不强调半径时的某一邻域如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集记为的边界点的全体称为的边界的边界点也可不属于可以属于如果点内总有无限多个点属于的任何一个邻域如果点的一个点是平面上是平面上的一个点集1内点一定是聚点
matlab绘制二元函数图形
MATL AB绘制二元函数的图形【实验目的】1.了解二元函数图形的绘制。
2.了解空间曲面等高线的绘制。
3.了解多元函数插值的方法。
4.学习、掌握MATLAB软件有关的命令。
【实验内容】画出函数22yz+=的图形，并画出其等高线。
x【实验准备】1.曲线绘图的MATLAB命令MATLAB中主要用mesh,surf命令绘制二元函数图形。
主要命令mesh（x，y，z）画网格曲面，这里x，y，z是数据矩阵，分别表示数据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点在空间中描出，并连成网格。
surf（x，y，z）画完整曲面，这里x，y，z是数据矩阵，分别表示数据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点所表示曲面画出。
【实验重点】1. 二元函数图形的描点法2. 曲面交线的计算3. 地形图的生成【实验难点】1. 二元函数图形的描点法2. 曲面交线的计算【实验方法与步骤】练习1画出函数22y=的图形，其中]3,3xz+⨯-yx。
∈,[]3,3[(-)用MATLAB作图的程序代码为>>clear;>>x=-3:0.1:3; %x的范围为[-3，3]>>y=-3:0.1:3; %y的范围为[-3，3]>>[X,Y]=meshgrid(x,y); %将向量x,y指定的区域转化为矩阵X,Y >>Z=sqrt(X.^2+Y.^2); %产生函数值Z>>mesh(X,Y,Z)运行结果为图5.3如果画等高线，用contour，contour3命令。
contour画二维等高线。
contour3画三维等高线。
画图5.3所示的三维等高线的MA TLAB 代码为>>clear;>>x=-3:0.1:3;>>y=-3:0.1:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2);>>contour3(X,Y,Z,10); %画10条等高线>>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis'),zlabel('Z-axis'); %三个坐标轴的标记>>title('Contour3 of Surface') %标题>>grid on %画网格线运行结果为图5.4如果画图5.4所示的二维等高线，相应的MATLAB代码为>>clear;x=-3:0.1:3;y=-3:0.1:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=sqrt(X.^2+Y.^2);>>contour (X,Y,Z,10);>>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis');>>title('Contour3 of Surface')>>grid on运行结果为如果要画z=1的等高线，相应的MATLAB代码为>>clear;x=-3:0.1:3;y=-3:0.1:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=sqrt(X.^2+Y.^2);>>contour(X,Y,Z,[1 1])运行结果为练习2 二次曲面的方程如下222222x y z d a b c++= 讨论参数a ,b ,c 对其形状的影响。
第二节多元函数的基本概念
第二节 多元函数的基本概念内容分布图示★ 领域 ★ 平面区域的概念★ 多元函数的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 二元函数的图形★ 二元函数的极限 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 二元函数的连续性 ★ 例 10★ 二元初等函数 ★ 例 11-12★ 闭区域上连续函数的性质★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-2 ★ 返回内容提要：一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、多元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P → 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：多元函数的概念例1（讲义例1）求二元函数222)3arcsin(),(y x y x y x f ---=的定义域.例2（讲义例2）已知函数,),(2222y x y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f . 二元函数的极限例3（讲义例3）求极限 2222001sin )(lim yx y x y x ++→→. 例4 求极限.)sin(lim 22200y x y x y x +→→例5（讲义例4）求极限 22limy x y x y x ++∞→∞→. 例6 求极限 .2lim 42430y x x xy y x ++→→ 例7 求 .)(lim 220xy y x y x +→→例8（讲义例5）证明2200lim yx xy y x +→→不存在. 例9 证明26300lim y x y x y x +→→不存在. 二元函数的连续性例10（讲义例6）讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.例11 求.1)ln(lim 210⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-→→x y x y y x 例12 求.lim 10yx y e x y x ++→→课堂练习1.设,,22y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 求).,(y x f 2. 若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时, 函数),(y x f 都趋向于A , 能否断定?),(lim ),(),(00A y x f y x y x =→3.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f 的连续性.。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元
高等数学第八章课件.ppt
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
3.1二元函数的定义与几何意义
二元函数的定义与几何意义以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。
例如，一个圆锥体的体积，它有两个独立的变量r 、h 。
某种商品的市场需求量Q 不仅与市场价格p 有关，而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N 有关,同时，还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个可见在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。
本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。
213V r h π=函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。
本章内容为多元函数微分学。
多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。
本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。
1.二元函数若对于变量x ,y 在其可能取值的某一范围D 内的每一组值(x ,y )，依照某一对应法则f ，变量z 都有确定的值与之相对应，则称变量z 为变量x ,y 的二元函数，记为z= f (x ,y )，其中x ,y 称为自变量，D 称为二元函数的定义域．定义8.1.1数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域.类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.约定用算式表达的二元函数z= f (x ,y )的定义域，是使该算式有意义的自变量的全体所确定的平面点集.具体在求二元函数的定义域时与一元函数相仿．例如：求二元函数定义域为{}22(,)1x y x y +≤圆域图形为中心在原点的上半球面.221z x y=--xzy1o一组概念：1.区域：全部xOy 坐标平面或由曲线所围成的部分平面常用字母D 表示2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界3.开区域：不包括边界的区域4.闭区域：连同边界在内的区域二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域边界.注5.有界区域与无界区域：如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内，否则为无解区域6.内点：开区域内的点7.边界点：边界上的点8.区域的表示：与用区间表示不定式一样，区域也可以用不等式或不等式组表示22{(,)14},x y x y <+<例如开区域:其图形为：其图形为：xy o22{(,)14},x y x y ≤+≤又如闭区域:xy o{(,)0}x y x y+≥闭区域：其图形为：其图形为：O xyx y+=x y+>{(,)0}x y x y+>开区域：O x yx y+=0x y +≥例1求函数1ln()z x y x=+的定义域．解：ln()x y +由于分式的分母不能为零，开偶次方根时根号下的表达式不小于零，因此应有x >0，而中真数必须大于零，即x +y >0，因此所给函数的定义域为00x x y >⎧⎨+>⎩0=+y x xyD图1图1所示阴影区域D.解：函数的定义域为⎩⎨⎧>-+≥--01092222y x y x 即⎩⎨⎧>+≤+192222y x y x 综上有22{(,)|19}D x y x y =<+≤表示圆的外侧（不包括圆周）和122=+y x 圆的内侧（包括圆周）内的所有点. 如图2所示阴影区域D.922=+y x 11D x y 33图.21192222-++--=y x y x z 例2求函数的定义域．二元函数的几何意义一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面∑如图，定义域就是曲面在面上的投影区域D xy∑x y z o 2222x y z a a ++=例如，表示的曲面为球心在原点，半径为的球面（见右图）222z a x y =--而表示的为上半球面222z a x y =---表示的是下半球面。
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2.运行结果
函数 z
10sin x 2 y 2 1 x2 y2
， 30 x, y 30 Matlab 程序运行过程及图形
1.Matlab 程序运行过程
clear; x=-30:1:30;y=-30:1:30; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=10*sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./sqrt(1+X.^2+Y.^2); mesh(X,Y,Z)
10sin x 2 y 2 1 x2 y2
在 30 x, y 30 范围内的图形，
据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点在空间中描出，并连 成网格。
surf(x,y,z)
画完整曲面，这里 x,y,z 是数据矩阵，分别表示数
据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点所表示曲面画出。 可以用 help mesh,help surf 查阅有关这些命令的详细信息。
三、实验步骤及结果 函数 z x 2 y 2 ， ( x, y) [3, 3] [3, 3] Matlab 程序运行过程及图形 1.Matlab 程序运行过程
clear; x=-3:0.1:3; %ｘ的范围为[-3,3] y=-3:0.1:3; %y 的范围为[-3,3] [X,Y]=meshgrid(x,y);%将向量 x,y 指定的区域转化为矩阵 X,Y Z=sqrt(X.^2+Y.^2);%产生函数值 Z mesh(X,Y,Z)
①公共课□ ②专业课□ 实验所 2 小时 用时间
二元函数的图形
1. 了解二元函数的绘制。 2. 了解空间曲面等高线的绘制。 3. 了解多元函数插值的方法。 4. 学习、掌握 MATLAB 软件有关的命令。 实验环境 MatlabR2010a
一、实验内容 1.画出函数 z x 2 y 2 的图形，其中 ( x, y) [3, 3] [3, 3] ，并写出总 结报告。 2. 画出空间曲面 z 并写出总结报告。 二、实验准备 1. 曲线绘图的 MATLAB 命令 MATLAB 中主要用 mesh,surf 命令绘制二元函数图形。 mesh(x,y,z) 画网格曲面，这里 x,y,z 是数据矩阵，分别表示数
2.运行结果
实验分析： 如将网格线图转化成完整的曲面图，须将 MATLAB 代码 mesh(X,Y,Z) 改 写成 surf(X,Y,Z) ，选择步长时不宜选择的太大，否则可能会 致使 MATLAB 图像失真。
考核结果
教师签名：
年
月
日
实 验 报 告
课程名称：数学实验 学院名称：数学与统计学院 班 姓 学 级：104 班 名： 巩满强 号：2010212081
2012-2013 学年第 （1）学期
数 学日期 实验名称 实验目的
三教 A510 实验
2012.10.15
课程类别 第 C2 组 编组