离散数学二元关系和函数 2
离散数学(第14讲)二元关系
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Discrete Mathematics 2）反之，在非空集合A上给定一个划分π，则可将A 分割成若干个划分块。 根据以下条件定义A上的二元关系R，即对任何元 素x,y∈A，如果x和y在同一划分块中，则xRy。显 然，R是A上的等价关系，称为由划分π所诱导的 等价关系，并且该等价关系的商集就等于π 。 结论 的划分是一一对应的。 集合A上的等价关系与集合crete Mathematics 在非空集合A上给定一个划分 在非空集合 上给定一个划分π={A1,A2,…,Am}， 上给定一个划分 ， 找出由π所唯一确定的 所唯一确定的A上的等价关系的方法如 找出由 所唯一确定的 上的等价关系的方法如 下： 把划分π的每一块 都拿出来， 把划分 的每一块Ai都拿出来，并且作其笛卡 的每一块 尔积A 尔积 i× Ai(i=1,2,..,m) ，然后求这些笛卡尔积的 并集，即为所求， 并集，即为所求，即
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Discrete Mathematics 例 设A={1,2,3,4,5,6,7,8}， ， R={<x,y>|x,y∈A∧x =y(mod3)}，其中 =y(mod3) ∈ ∧ ，其中x 的含义是x和 分别除以 后的余数相等， 分别除以3后的余数相等 的含义是 和y分别除以 后的余数相等，即x-y可以 整除。 上的等价关系， 被3整除。不难验证 为A上的等价关系，它的关系 整除 不难验证R为 上的等价关系 图如下图所示： 下图所示 图如下图所示：
Discrete Mathematics
Discrete Mathematics 3、商集 、 为非空集合A上的等价关系， 定义 设R为非空集合 上的等价关系，以R的不相 为非空集合 上的等价关系 的不相 交的等价类为元素的集合叫做A在 下的商集， 下的商集 交的等价类为元素的集合叫做 在R下的商集，记 作A/R，即 ， A/R={[a]R |a∈A} ∈ 显然， 显然，在例1中，A在R下的商集是 中 在 下的商集是 A/R ={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}。 。
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
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离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
二元关系的复合运算和函数的区别
二元关系和函数是离散数学中的基本概念，它们在数学领域中有着重要的地位。
在本篇文章中，我们将深入探讨二元关系的复合运算和函数的区别，希望能够让读者对这两个概念有更清晰的认识。
一、二元关系的复合运算1. 二元关系的定义在介绍二元关系的复合运算之前，我们需要先了解二元关系的基本概念。
二元关系是集合论中的一个概念，它描述了两个元素之间的某种关系。
如果集合A和B之间的关系R满足aRb，其中a∈A，b∈B，那么我们称R是从A到B的二元关系。
2. 二元关系的复合运算当我们考虑两个二元关系R和S的复合运算时，我们是在寻找一种新的关系，这个新的关系描述了R中的元素与S中的元素之间的某种关系。
具体而言，对于R中的元素a和S中的元素b，如果存在一个元素c，使得aRc且cSb成立，那么我们就称这个元素c满足R和S的复合运算，记作R∘S。
3. 复合运算的性质在二元关系的复合运算中，我们可以总结出一些性质，比如结合律、分配律等。
这些性质有助于我们更好地理解复合运算的运算规律，并在实际问题中进行应用。
二、函数的定义和特点1. 函数的定义函数是高中数学中最基本的概念之一，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。
具体而言，如果集合A和集合B之间的关系f满足对于A中的每一个元素a，都存在一个元素b使得f(a)=b成立，那么我们就称f是从A到B的函数。
2. 函数的特点函数具有一些明显的特点，比如每一个自变量都有且只有一个对应的因变量，这是函数与普通关系的本质区别之一。
函数还有定义域、值域、单调性、奇偶性等特点，这些特点在实际问题中有着重要的作用。
三、二元关系的复合运算和函数的区别1. 从定义上来看二元关系和函数在定义上有着明显的不同。
二元关系描述了两个集合之间的某种关系，没有对应的自变量和因变量的概念；而函数则是描述了两个集合之间的特殊关系，其中包含了自变量和因变量的概念。
2. 从表示形式来看二元关系和函数的表示形式也有所不同。
在二元关系中，我们通常用有序对的形式来表示两个元素之间的关系；而在函数中，我们则使用映射的形式来表示自变量和因变量之间的对应关系。
二元关系的性质及二元关系的应用（可编辑）
二元关系的性质及二元关系的应用引言在日常生活中,关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念,我们都熟知关系一词的含义,例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系,如“4大于2”,“在点,之间”.在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念,广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系,数据库的数据特性关系,其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.最基本的关系就是二元关系,就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如有三个人和四项工作.已知可以从事,可以从事,可以从事,那么人和工作之间的对应关系可以记作: 这是人的集合到工作的集合之间的二元关系.一基础知识定义1 设,为集合,用中元素为第一元素,中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做和的笛卡尔积,记作,符号化表示为.定义2 如果一个集合满足以下条件之一:⑴集合非空,且它的元素都是有序对;⑵集合是空集,则称这个集合是一个二元关系,通常记作大写的英文字母,二元关系也可简称为关系.对于二元关系,如果有序对,可记为,否则记为.例如, ,则为二元关系,不是二元关系,只是一集合,除非将和定义为有序对.二元关系中特别重要的是从到的关系与上的关系.定义3为集合,的任何子集所定义的二元关系叫做从到的二元关系,特别当时则叫做上的二元关系.集合上的二元关系的数目依赖于中的元素数,当含有个元素时即,则,的子集有个,每一个子集代表一个上的关系,所以上有个不同的关系.定义4 对任意的集合都有三种特殊的关系:①空集是任何集合的子集当然也是的子集,也是上的关系,称为空关系.②称为上的全域关系.③为上的恒等关系.给定集合,定义几种常用的关系:定义5 是实数集的任意非空子集,则称上的二元关系为上的小于等于关系.定义6 为非0整数集,则称上的二元关系为上的整除关系.定义7 设是整数集的任意非空子集,是任意正整数,则称上的二元关系为上的模同余关系.定义8 设是由一些集合构成的集合族,则称上的二元关系为上的包含关系.例:设,求上的包含关系.解:由于, 在日常生活、生产活动和科学研究中,人们常用点表示事物,用点与点之间是否有连线表示事物之间是否有某种关系,这样构成的图形就是图论中的图.定义9 一个无向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是无序集的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称为边.定义10 一个有向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是笛卡尔积的有穷多重子集,称为边集, 其元素称为有向边,简称边.通常用图形来表示有向图和无向图:用小圆圈或实心点表示顶点,用顶点之间的连线表示无向图,用带箭头的连线表示有向边.定义11设为一个有向图,,若从到存在通路,则称可达,记作.规定总是可达自身的,即.若且,则称与是相互可达的,记作.规定.与定义9和定义10有关的还有下面一些概念和规定.⑴无向图和有向图统称为图,但有时也常把无向图简称为图.通常用表示无向图,表示有向图,有时也用泛指图有向的或无向的.用,分别表示的顶点集和边集, ,分别是的顶点数和边数.有向图也有类似的符号.⑵设为无向图, ,称为的端点,与关联.若,则称与的关联次数为1;若,则称与的关联次数为2,并称为环.如果顶点不与边关联,则称与的关联次数为0.若两个顶点与之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻.若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.⑶设为有向图, ,称为的端点, 为的始点, 为的终点,并称与关联.若,则称为中的环.若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻.若两个边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻二关系的三种表示方法表示关系的方法有三种:集合表达式,关系矩阵和关系图.2.1 集合表达式由于关系是一种特殊的集合,当然可以用集合表达式表示.例如:设,则用集合表达式表示上的关系.⑴.⑵.解: ⑴⑵2.2 关系矩阵和关系图关系矩阵可以用来表示有穷集到的关系与上的关系,关系图只能表示有穷集上的关系.当关系中的元素较多时,利用关系矩阵和关系图可以形象直观的表示关系.设给定两个有限集合,,对应于从到的二元关系有一个关系矩阵,其中如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素,则其关系矩阵是方阵.而同时对应的关系图就是在平面上用个点分别表示中的元素,另外再在平面上画出个点分别表示中的元素,如果集合和中有相同的元素则用同一点表示.当时,则从点至画一条有向边,其箭头指向,否则就没有边联结.例从到的关系, 通常将和中的元素设定为升序顺序,则对应的关系矩阵为:对应的关系图为:特别地,当为上的二元关系时,如果,则对应于的关系矩阵是阶方阵,方阵中的元素应有: ……………… (★)其关系图表示可以在平面上仅画个点,有向边的规定不变.例如,则的关系矩阵是对应的关系图为实际上,除了二元关系可用图表示之外,图中还蕴含许多丰富的二元关系.从图论中图的定义简单分析,图有点、线和点边关系构成.根据图中“边”就可以获得图中点间的“邻接关系”、“可达关系”及点边之间的“关联关系”.在图中,这些关系都是在(★)式所规定的方法基础上来表示成矩阵. 下面就来看一下这几种关系在离散数学中的定义.邻接矩阵的定义:设有向图,,令为顶点邻接到顶点边的条数,称为的邻接矩阵,记作,或简记为.例如下图2.2.1, 写出其邻接矩阵有向图的邻接矩阵为: ;性质1 简单有向图的邻接矩阵是一个0,1的矩阵:对角线元素为0,但不一定对称.性质2 矩阵的各行和是相应顶点的出度,各个列和是相应顶点的入度。
离散数学 二元关系(2)
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② 合成运算成立结合律
定理 设 R，S，T分别是A到B，B到C，C到D的关 系， 则有(R S) T = R (S T)。 证明：略
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Discrete Mathematics (4)关系的幂 定义 设R是A上的二元关系，n∈N，则关系R的n次 幂Rn定义为： (1). R0 =A是A上的恒等关系，即R0={<x,x>|xA}； (2). R1=R (3). Rn+1=Rn R
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定义的有关说明:
1. R与S能进行合成的必要条件是R的后域B一定是 S的前域B，否则就不能合成。 2. <x,z>有合成关系的定义为：至少有一个做中间 桥梁的元素y属于B，使x,y有关系R，y,z有关系S。 例1 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5}，C={1,2,3}
R是A到B的关系，且R={<x,y>|x+y=6}，
S是B到C的关系，且S={<y,z>y-z=2} 。
求RS
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Discrete Mathematics 只需从两个关系的二重组中搜索： ∵<1,5>∈R,<5,3>∈S,∴<1,3>∈RS
∵<2,4>R,<4,2>S,∴<2,2>RS
S R= {<d,b> ,<c,b>}
二元运算基本概念和性质(离散数学)
a2 a2∘a1 a2∘a2 … a2∘an
.
...
.
...
.
...
an an∘a1 an∘a2 … an∘an
∘ai
a1 ∘a1 a2 ∘a2 .. .. .. an ∘an
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运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算
（{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
证
el = el ∘ er = el ∘ er = er
所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是 S
中的单位元，则有
e’ = e ∘ e’ = e.
惟一性得证.
类似地可以证明关于零元的惟一性定理.
注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的；
当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元. 23
因此当
x+y+2xy = 0 x 1/2时，
y
y
x
1
x 2x
是
x
(x = 1/2) 的逆元.
1 2x
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例题分析（续）
例7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.
abc
a cab b abc c bca
∘ abc
a aaa b bbb c ccc
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例题分析
例6 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, x∘y = x+y+2xy,
(1) ∘运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ∘ 运算的单位元、零元和所有可逆元.
解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x,
离散数学2
在上例中3个结果矩阵是 在上例中 个结果矩阵是: 个结果矩阵是
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求传递闭包--Warshall算法 求传递闭包--Warshall算法 --Warshall
设集合基数为n 构造n+1个矩阵W 设集合基数为n，构造n+1个矩阵W0,W1,W2, n+1个矩阵 …Wn,W0为t( R )的关系矩阵,Wn即为t( R )的关系矩阵 Wn,W )的关系矩阵,Wn即为 的关系矩阵,Wn即为t( )的关系矩阵 (1)令 (1)令W0=MR (2)设Wi- 已求出，现求Wi (2)设Wi-1已求出，现求Wi 考虑Wi- 的第i 考虑Wi-1的第i列，列中为1的元素分别位于P1,P2…行， Wi 列中为1的元素分别位于P 行 同时考虑第i 该行中为1的元素位于q 同时考虑第i行，该行中为1的元素位于q1,q2…列，则： 列 i中第 中第P 列的元素改为1 把W i中第PS行qt列的元素改为1； (3)重复(2)过程，直到求出Wn (3)重复(2)过程，直到求出Wn 重复(2)过程 (4)根据Wn写出t( (4)根据Wn写出t( R ) 根据Wn写出 2.5.3） （见书上例2.5.3） 见书上例2.5.3
7
传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有 边，则ｘ到ｚ必有边。
8
二元关系的性质对应于关系图， 二元关系的性质对应于关系图，有： （1）自反性：每个顶点都有自回路， ）自反性：每个顶点都有自回路， （2）反自反性：每个顶点都没有自回路； ） 自反性：每个顶点都没有自回路； （ 3） 对称性 ： 任二个顶点间或没有边 ， 或有二 ） 对称性： 任二个顶点间或没有边， 条方向相反的有向边； 条方向相反的有向边； （ 4） 反对称性 ： 任二个顶点至多只有一条有向 ） 反对称性： 也即：或没有边，或只有一条有向边） 边；（也即：或没有边，或只有一条有向边） 有边， 有边， （5）传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有边， ）传递性： 则ｘ到ｚ必有边。 必有边。
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当x y时）与相等的充分必要条件是= x=u y=v例1 = ，求x, y.解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3定义一具有序n (n3) 元组是一具有序对，其中第一具元素是一具有序n-1元组，即= , x n>当n=1时, 形式上能够看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A B ={,,,,,,,,}B A ={,,,,,,, ,}A={}, P(A)A={, }性质：别适合交换律A B B A (A B, A, B)别适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)关于并或交运算满脚分配律A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)若A或B中有一具为空集，则A B算是空集.A=B=若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn证明A(B C)=(A B)(A C)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)因此有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为啥解 (1) 任取A C x A y Cx B y D B D(2) 别一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=, 则A C=B D 然而A B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={}, R2=A×B, R3=, R4={}. 这么R1, R2, R3,R4是从A 到B的二元关系, R3和R4并且也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 因此A上有个别同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个别同的二元关系.设A 为任意集合，是A 上的关系，称为空关系E, I A 分不称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={|x∈A∧y∈A}=A×AAI={|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={,,,}AI={,}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义： L={| x,y∈A∧x≤y}, A R，R为实数集合AD={| x,y∈B∧x整除y},BB Z*, Z*为非0整数集R={| x,y∈A∧x y}, A是集合族.类似的还能够定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={,,,,,}AD={,,,,}AA=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={,,,,, ,,,}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B 的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 R.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=, 其中A为结点集，R为边集.假如属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={,,,,},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | y (R) }ran R = { y | x (R) }fld R = dom R ran R例1 R={,,,}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R1 = { | R}R°S = | | y (RS) } 例2 R={, , , } S={, , , , }R1={, , , }R°S ={, , }S°R ={, , , }定义 F 在A上的限制F?A = { | xFy x A}A 在F下的像F[A] = ran(F?A)实例R={, , , }R?{1}={,}R[{1}]={2,4}R?=R[{1,2}]={2,3,4}注意：F?A F, F[A] ran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F1)1=F(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F证 (1) 任取, 由逆的定义有∈(F 1) 1 ∈F 1 ∈F因此有 (F1)1=F(2) 任取x,x∈dom F 1 y(∈F1)y(∈F) x∈ran F因此有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F°G)°H=F°(G°H)(2) (F°G)1= G1°F 1证 (1) 任取,(F°G)°H t(∈F°G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H)t s (∈F∧∈G∧∈H)s (∈F∧t (∈G∧∈H))s (∈F∧∈G°H)∈F°(G°H)因此(F°G)°H = F°(G°H)(2) 任取,∈(F°G)1∈F°Gt (∈F∧(t,x)∈G)t (∈G1∧(t,y)∈F1)∈G1°F1因此(F°G)1 = G1°F1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={ | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n°R注意：关于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA关于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的别同关系惟独个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m°R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m°R0=R m°I=R m=R m+0A假设R m°R n=R m+n, 则有R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,因此对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.(2) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1) 因此对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,,,}2R＝{}3R自反,2R反自反,3R既别是自反也别是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若x y(x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x y(x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4基本上A上的关系,其中R＝{,}，R2＝{,,}1R＝{,}，R4＝{,,}3R对称、反对称.1R对称，别反对称.2R反对称，别对称.3R别对称、也别反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R), 则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系A小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,}2R＝{}3R和R3 是A上的传递关系1R别是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A R(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=(3) R在A上对称当且仅当R=R 1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A(5) R在A上传递当且仅当R R R证明模式证明R在A上自反任取x,第11页/共11页。
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Relation
在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的， 其定义域是连续的。
本章把函数概念予以推广
4.6
⑴定义域为一般的集合，支持离散应用。
函
⑵把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。
数
的
定
义
与
性 质
函数定义
定义
4.6
设 F 为二元关系, 若 x∈domF 都存在唯一的
与
性
质
实例
例8 (1) A的每一个子集A’都对应于一个特征函
4.6 函 数
数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如 A={a, b, c}, 则有
= { <a,0>, <b,0>, <c,0> }，
的
{a,b} = { <a,1>, <b,1>, <c,0>}
定 (2) 给定集合 A， A 上不同的等价关系确定不同
4.6
f(x)=c, 则称 f：A→B是常函数.
函
2. 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所有
数
的 x∈A 都有 IA(x)=x.
的
3. 设 f：R→R，如果对任意的 x1, x2∈R，x1<x2, 就
定
有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的；如果对任意
义
的 x1, x2∈A, x1< x2, 就有 f(x1) < f(x2), 则称 f 为 严
函
单调上升, 是单射. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}.
数
(3) f：R→Z, f(x)= x
的
满射, 但不单射, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
定
(4) f：R→R, f(x)=2x+1
义
满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ranf=R.
与
(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x
定
义 实例
与
f：N→N, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数
性
g：N→N, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数
质
B上A
定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA,
4.6 读作“B上A”，符号化表示为
函 数
BA ={ f | f：A→B }
的 计数：
定
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm.
从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R有
4.6 如下区别：
函 数 的
A的每一元素都必须是f的序偶的第一 坐标，即dom(f)=A；但dom(R)R
定
若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一
义
的 ， 即 ( f(x)=y)(f(x)=z)(y=z)，
与
；但(xRy)(xRz)得不到y=z
的 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
定
Z：0 1 1 2 2 3 3 …
义
↓↓↓↓↓ ↓↓
与
N：0 1 2 3 4 5 6 …
性 则这种对应所表示的函数是
质
f
：Z
N
,
f
(x)
2x 2x
1
0 x0
常函数、恒等函数、单调函数
1. 设f：A→B, 若存在 c∈B 使得 x∈A 都有
义 的自然映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双
与 射, 其他的自然映射一般来说是满射. 例如
性 质
A={1, 2, 3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IA
g(1) = g(2) = {1,2}, g(3) = {3}
函数复合的定理
4.7 定理 设F, G是函数, 则F G也是函数, 且满足
性
Hale Waihona Puke 质例1 设A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，分别
确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。
(1)f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)}
4.6 (2)f={(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)}
函 (3)f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)
函 (1) dom( FG)={ x | x∈domG G(x)∈domF}
数 (2) x∈dom(F G) 有FG(x) = F (G(x))
复
合 推论1 设F, G, H为函数, 则 (F∘G)∘H 和 F∘(G∘H)
和
都是函数, 且 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)
反 推论2 设 f： B→C, g： A→B, 则 f∘g：A→C, 且
数
}
的 解 （1）能构成函数，因为符合函数的定义条件
定
。
义
（2）不能构成函数，因为A中的元素5没有像
与
，不满足像的存在性。
性
（3）不能构成函数，因为A中的元素1有两个
质
像7和9，不满足像的惟一性。
函数相等
定义 设F, G为函数, 则
4.6
F = G FG∧GF
函 一般使用下面两个条件：
数 (1) domF = domG
任给单射函数 f：A→B, 则 f 1是函数, 且是从 ranf 到 A的双射函数, 但不一定是从 B 到 A 的双射函 数. 实例：f : N →N, f(x) = 2x,
f 1 : ranf →N, f 1 (x) = x/2
的
f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，
定 义 与
f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，
性 f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
质
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>},
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
函数的像
性
质
令 f：A→B,
f()=f0, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,
f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7
构造从A到B的双射函数（续）
实数区间之间构造双射
4.6 构造方法：直线方程
函 例6 A=[0,1]
与
③由双射的定义可知，设X和Y是有限
性
集 合 ， 若 存 在 双 射 函 数 f:X→Y， 则
质
|X|=|Y|。
实例
例4
4.6 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?
函 (1) f：R→R, f(x) = x2+2x1
数 的
(2) f：Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集
定理 设 f: AB，则 f = f∘IB = IA∘f
函数复合运算的性质
定理 设f:X→Y，g:Y→Z，那么 （1）若gf是单射，则f是单射。 （2）若gf是满射，则g是满射。 （3）若gf是双射，则f是单射，g是满射。
反函数存在的条件
任给函数 F, 它的逆F 1不一定是函数, 是二元关系. 实例：F={<a,b>,<c,b>}， F 1={<b,a>,<b,c>}
定义 设函数 f：A→B, A1A.
4.6
A1 在 f 下的像： f(A1) = { f(x) | x∈A1 }
函
函数的像 f(A) = ranf
数 注意：
的 定
函数值 f(x)∈B, 而像 f(A1)B.
义 与 性
例3
设 f：N→N, 且 f 令A={0,1}, B={2},
那(x)么 有xx
定 (3) f：R→Z, f(x) = x
义 (4) f：R→R, f(x) = 2x+1
与 性
(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.
质
实例（续）
解 (1) f：R→R, f(x)=x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射.
4.6 (2) f：Z+→R, f(x)=lnx
与
子集：T = { A, C, F, G, H }
性 质
T 的特征函数T ：
x ABCDEFGH
T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
自然映射
5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令
4.6
g：A→A/R
函
g(a) = [a], a∈A
数 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
的
定
义
函
x∈A 都有 f∘g(x) = f (g(x)).
数
函数复合运算的性质
定理 设g ：A→B, f ：B→C. (1) 如果f,g都是满射, 则 fg：A→C也是满射.
(2) 如果 g, f 都是单射, 则f g:A→C也是单射.
(3) 如果 g, f 都是双射, 则 f∘g：A→C也是双射. 证 (1) c∈C, 由 f：B→C 的满射性, b∈B 使得
性
有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射.
质
构造从A到B的双射函数
有穷集之间的构造
例5 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}