《任意角的三角函数》教学设计

《任意角的三角函数》教学设计 2 《任意角的三角函数》教学设计 高一级 王拴礼 一、 学情分析

在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 二、教学目标分析 （一）知识与技能 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。 （二）过程与方法 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三 3

角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。 （三）情感、态度与价值观 1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神． 三、教学重点、难点分析 （一）教学重点 三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。 4

（二）教学难点 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的主体作用。具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫。 认识一个函数，关键是认识函数的三要素。在任意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题，应该注意明确任意角的三角函数的三要素，比如正弦函数y=sinα中自变量是角，并且∈R，对应法则是一个角与其正弦值对应，至于这个值怎么计算，在此处是规定为角终边与单位圆交点的纵坐标，通过例2 5

可以看出，也可以利用比值定义。对于一次函数、二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值，这一点本质上是统一的，要引导学生类比理解。 综合上述分析，本课时的教学难点是： 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号. 四、学法与教学用具分析 利用“班班通”的几何画板改变角的位置，认识角的终边位于不同象限时如何定义角的三角函数值，充实学生的直观感知材料，帮助学生形成比较全面的认知。 五、教学过程设计 （一）创设情境，导入新课 1、复习引入 （情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？ （设计意图：温故而知新。要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始。） 学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

对 边

邻边 α sinα=斜边对边，conα=斜边邻边，

（图 6

2. 引伸铺垫、创设情景 （情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

（设计意图：现有认知水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生知识冲突，进行必要启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的再创造征途。） 留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

（二）主题探究，合作交流 问题1 本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系。现在请你 结合初中时我们学习的锐角三角函数的定义，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？ （设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥学 7

生的主体作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系起来。） 预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。 解答过程：（1）再现锐角三角函数的定义：如图，在直角△POM中，∠M是直角，于是

。

（2）坐标化：如图，建立平面直角坐标系，设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在的终边上任取一点P，设点P的坐标为（x，y），它与原点的距离．过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为X，线段MP的长度为y．则：

；

M O

y α P ( x , y )

x 8

问题2 对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？（设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。） 预计的困难：由于学生第一次接触单位圆，对它所能起的作用不了解，所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。 根据相似三角形的知识，对于确定的角 ，三个比值不以点P在 的终边上的位置的改变而改变大小． 我们可以将点P取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： 9

单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． 上述P点就是的终边与单位圆的交点， 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示． 问题3：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，结合上述锐角的三角函数值的求法，请你写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。 （设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意 10

角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。这样将问题具体化，学生容易着手解决。写出定义的过程也是巩固推广的过程，而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算cosπ的现象。） 活动形式：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认识。学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导——用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。 结论：如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)Pxy，那么： （1）y叫做的正弦(sine)，记做sin，即 siny； （2）x叫做的余弦(cosine)，记做cos，即

cosx； （3）yx叫做的正切(tangent)，记做tan，即

 A ( 1 , 0 ) _ O

P ( x , y ) y x 11

tan(0)yxx． 问题4：在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？ （设计意图：通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。） 预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。 教师的引导：引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。 预计的答案：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）。

说明：（1）当ππ()2kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx