2018年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.1-2 充分条件与必要条件课件3 北师大版选修1-1
4ac>0, 则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个
交 点”是一个真命题.
“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由
条件p可以得到结论q，通常记作：p q
解：
(1)由于p q,故p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)由于q p,故q是p的充分条件，p是q的必要条件. (3)由于p q,故p是q的充分条件，q是p的必要条件.
例4 分析下各题中p与q的关系：
（1）p：x>5，q：x>3.
（2）p：a2=4，q：a=2.
(3)p：向量r
r
r
§2 充分条件与必要条件
引入一 事例一: 音乐欣赏《我是一只鱼》 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存， 但只有水，够吗？ 探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断:“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
1.理解充分条件和必要条件的意义.（重点） 2.会判断充分条件和必要条件.（难点）
探究点1 充分条件 分析下列各组给出的p与q之间的关系
(1) p：两条直线同垂直于一个平面，q：这两条直线 平行. (2) p:在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，b2-4ac>0, q:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个交点.
思考1.以上两个若p，则q是真命题吗？
思考.我们学过如下性质定理： （1）平行四边形对角线互相平分. （2）正方形四条边相等 . 性质定理中，条件与结论有什么关系？ 提示：在性质定理中，结论是条件的必要条件.
例3 在以下各题中，判断哪些有 p q ，哪些
有 q p ，并分析各题中p与q的2）p：直线l和平面α内的一条直线垂直，q：直 线l和平面α垂直. （3）p：a,b,c成等比数列，q：b2=ac.
(2) “在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，b24ac>0”是判定“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 像与x轴有两个交点”的充分条件.
思考3.我们学过如下判定定理： 若四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形； 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足：b2-4ac≥0， 则该方程有实根. 判定定理中，条件与结论有什么关系？ 提示：在判定定理中，条件是结论的充分条件.
|a| |b|
A. a b B. a / /b C. a 2b D. a / /b且 | a || b |
2.下列“若p，则q”形式的命题中， （1）若 x=1,则x2-4x+3=0. （2）若f(x)=x,则f(x)为增函数. （3）若x为无理数,则x2为无理数 . p是q的充分条件的命题序号为__(1__)(_2_)_.
0或向量
r 0，q
:
ur
r
0.
解：(1)由于p q,故p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)由于q p,故q是p的充分条件，p是q的必要条件. (3)由于p q,故p是q的充分条件，q是p的必要条件.
1已知设 、 都是非零向量，a下 b 列四个条件中，使 a b 成立的充分条件是（ C ）
3，
所以实数a的取值范围是[-1,5]．
1.定义： (1)若p q，则p是q的充分条件. (2)若q p,则p是q的必要条件. 2.判断步骤： （1）找出p、q. （2）判断p是否能推出q与q是否能推出p. （3）根据定义下结论.
勇士搏击惊涛骇浪而不沉沦，懦夫在风平浪静 中也会溺水.
读作“p推出q”.此时我们称p是q的_充__分__条__件___.
小结：对 p q 的理解
只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的. 也就是说，为了得到结论q，具备条件p就足够了.
中学生 学生
思考2.上述思考问题中的p和q的关系式是什么?
提示：(1) “两条直线同垂直于一个平面”是判定 “两条直线平行”的充分条件.
想一想： 下列命题中，p是q的充分条件吗？ （1）p：α是第一象限角，q：sin α>0. （2）p：y=f(x)是正弦函数，q： y=f(x)是周期函数. （3）p：直线l1和l2是异面直线，q：直线l1和l2不相交. 解析：是，以上各式p是q的充分条件.
例1.判断下列命题的条件是否为结论的充分条件: (1)若|x|＝|y|，则x＝y. (2)与同一平面所成的角相等的两条直线平行. (3)若定义域为R的函数f(x)为奇函数,则f(0)=0. 解：(1)|x|＝|y| / x＝y，故不是充分条件. (2)两条直线与同一平面所成的角相等 这两条直线 平行，故不是充分条件. (3)定义域为R的函数f(x)为奇函数⇒f(0)=0，故是 充分条件.
解析:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
4.已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋
3<0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取
值范围．
解析：由题意知，Q＝{x|1<x<3}，Q⇒P，
所以
a－4 a＋4
解1，得－1≤a≤5.
探究点2 必要条件 定义：如果“若p，则q”形式的命题为真命题，
即 p q,
称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的 必要条件. 必要条件即就是必须要有的条件，没有就不行。 如：灯亮 有电 ，中500万 买彩票
探究点1也可以解释为： (1)“两条直线平行” 是“两条直线同垂直于一个平 面”的_必__要__条__件__. (2)“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两 个交点” 是“在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中， b2-4ac>0” 的_必__要__条__件__.
解析:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
3.下列“若p，则q”形式的命题中， （1）若 x=y,则x2=y2. （2）若两个三角形全等,则这两个三角形的面积 相等. （3）若x2>1,则x>1. q是p的必要条件的序号为_(_1_)_(_2_)_.
例2 在下列各题中，q是否是p的必要条件？ （1）p：函数y=x2，q：函数是偶函数. （2）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相 垂直平分.
解：（1）由于“函数y=x2则这个函数是偶函数” 是
一个真命题，它可以写成“函数y=x2” “函数是偶
函数” 即 p ,q所以q是p的必要条件.
（2）由于“若四边形是正方形，则 它的对角线互 相垂直平分”是一个真命题，它可以写成“四边形 是正方形”⇒“四边形的对角线互相垂直平分”， 即p⇒q，所以q是p的必要条件.
2018年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2充分条件与必要条件课件4苏教版
1、命题：能够判断真假的语句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系： 原命题 若 p则 q
互 否 互逆
逆命题 若 q则 p
互 否
互为
逆否
否命题 若 p则 q
互逆Байду номын сангаас
逆否命题 若 q则 p
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
一、复习引入
问题1 :判断下列命题的真假。 真命题 （1）若x=y，则x2=y2 （2）若ab=0,则a=0。 假命题 (3) 若x2>1，则x>1 假命题
一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q .
并且说 p 是 q 的充分条件,说 q 是 p 的必要条件.
这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p q .
有 p 就可推出 q ;
没有 q 就推不出
⑴
p 是 q 的充分条件──
p 的必要条件──
⑵q 是
例5、请用“充分不必要”、“必要不充 分”、“充要”、“既不充分也不必要” 填空： 必要不充分 必要不充分 (1)“ (x-2)(x-3)=0”是“x=2” 的＿＿＿＿条件. x” 2 3 0 x” 是“ 5 (2) “ x>1 x>3 的＿＿＿＿＿＿条件 充分不必要 . (3) “ ”是“ ”的＿＿＿＿ 2 条件 既不充分也不必要 4x 2 0 x. x20 (4)“ ”是“ ”的＿＿ 充要 x 9 x 20 0 ＿条件. （5）“ ”是“x>5或x<4”的＿＿
则说p是q的充要条件。
2、充分条件、必要条件的四种形式: 1） A B且 B A，则A是B的
充分非必要条件
[k12精品]2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件
![[k12精品]2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/361d8d11dd36a32d737581d6.webp)
1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件q(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p ；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[基础自测]1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．( )(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .【导学号：97792015】(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．][合 作 探 究·攻 重 难]件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； qp ，则p 是q 的必要不充分条件；⇔q 互为充要条件；p，且跟踪训练1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )【导学号：97792016】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b ”不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件．A ．①④B ．①②③C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b 2－4ac ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0.所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )【导学号：97792017】A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)<0得0<x <2，因为－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.①证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.1．记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则集合A 、B 的关系是什么？若p 是q 的必要不充分条件呢？提示：若p 是q 的充分不必要条件，则AB ，若p 是q 的必要不充分条件，B A .2．记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的什么条件？若N ⊆M ，M ＝N 呢？提示：若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[思路探究][解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qp .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))>0}1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )A．－2≤x≤2 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<x<2}，故选A.] 4．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________.【导学号：97792018】(－∞，1][由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m x|x＞2或x＜1}，∴m ≤1.]5．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2.[证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实J 根的充分必要条件．。
高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件课件
(2)(2017·银川一中高二期末)已知条件p:|x-1|<2,条件q:x2-5x-6<0,则p 是q的( ) (A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 (3)设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( ) (A)x>1 (B)x<1 (C)x>3 (D)x<3
解析:(2)由a⊂α,b⊂β,因此当直线a,b相交时,平面α,β一定相交,但 平面α,β相交时,直线a,b可以异面.故“直线a和b相交”是“平面α和 β相交”的充分不必要条件.故选A.
(3)解不等式x2-3x<0得0<x<3,由题意逐一对比选项,易知A正确.
方法技巧 充分、必要、充要条件的判断方法
若p⇒q,q p,则p是q的充分不必要条件; 若p q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件;
若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件;
若p q,qp,则p是q的既不充分也不必要条件.
即 时 训 练 1 : ( 1 ) ( 2 0 1 7 ·哈 师 大 附 中 高 二 期 末 ) 集 合 M = { x | 0 < x ≤ 3 } , N = {x|0<x≤2},则a∈M是a∈N的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【备用例1】 (2016·葫芦岛高二月考)“m=2”是“直线3x+(m+1)y-(m-
7)=0与直线mx+2y+3m=0平行”的( )
(A)充分不必要条件
2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.1-2.2 充分条件 必要条件优质课件
①若 lg x＝0，则 2x＝2；②若 sin x＝ 23，则 x＝π3；③已知 n∈N＋，若 an＝2n，则{an}是等差数列． 其中，p 是 q 的充分条件的是__①__③____，q 是 p 的必要条件的是 __①__③____，p 不是 q 的充分条件的是___②_____，q 不是 p 的必要 条件的是___②_____．(将符合题意的所有序号都填上) (链接教材 P7 例 1)
[解] (1)由 x2－x－2＞0， 解得 x＞2 或 x＜－1. 令 A＝{x|x＞2 或 x＜－1}， 由 4x＋p＜0，得 B＝{x|x＜－p4}． 由题意得 B⊆A，即－p4≤－1，即 p≥4， 此时 x＜－p4≤－1⇒x2－x－2＞0， 所以当 p≥4 时，“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件．
1．充分条件与必要条件 “若 p，则 q”形式的命题为真命题是指：由条件 p 可以得到 结论 q，通常记作：p⇒q，读作“p 推出 q”，这时，我们称 ____p_______是 ___q______的充分条件，q 是 p 的必要条件．
2．充分条件与判定定理、必要条件与性质定理 (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据， 也就是该判定定理给出了结论成立的充分条件．对判定定理 “若 p，则 q”可叙述为“q 成立的充分条件是 p”． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研 究对象所具有的重要性质，其作用是揭示了这个研究对象的某 个特征．事实上，性质定理给出了结论成立的必要条件．对于 性质定理“若 p，则 q”可叙述为“q 是 p 成立的必要条件”．
[方法归纳] 法一(定义法) ①先确定命题的条件和结论． ②若由条件成立⇒结论成立，则条件是充分条件，否则就不是 充分条件． ③若由结论成立⇒条件成立，则条件是必要条件，否则就不是 必要条件． 法二(命题判断法) ①如果命题“若 p，则 q”为真命题，那么 p 是 q 的充分条件， 同时 q 是 p 的必要条件． ②如果命题“若 p，则 q”为假命题，那么 p 不是 q 的充分条件， 同时 q 也不是 p 的必要条件．
高中数学第一章常用逻辑术语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件讲义新人教A版
1．2.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件．( ) (2)若p 是q 的充分条件，则綈p 是綈q 的充分条件．( ) (3)“x ＝1”是“x 2＝x ”的必要条件．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编P 10T 4(1))“x ＝3”是“x 2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)． (2)若p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的________条件． (3)“a >0，b >0”是“ab >0”的________条件．(4)“若p ，则q ”的逆命题为真，则p 是q 的________条件． 答案 (1)充分 (2)充分 (3)充分 (4)必要探究1 充分条件与必要条件的判断例1 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1；(4)p ：ab ≠0，q ：直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交． [解] (1)∵x 2＝2x ＋1⇒/x ＝2x ＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1， ∴p 是q 的必要条件，且p 不是q 的充分条件． (2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0，a ＋b ＝0⇒/a 2＋b 2＝0，∴p 是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(3)由于a <b ，当b <0时，ab >1；当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b<1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，ab<1时，可以推出a >b .所以p 不是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(4)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，所以p 是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．拓展提升充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断p ⇒q 和q ⇒p 是否成立，然后得结论． (2)等价法：利用命题的等价形式：p ⇒q ⇔綈q ⇒綈p ，q ⇒p ⇔綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈p ⇔綈q 的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/小范围．(4)传递法：由推式的传递性：p 1⇒p 2⇒p 3⇒…⇒p n ，则p 1⇒p n .【跟踪训练1】 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：|a |≥2，a ∈R ，q ：方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根； (2)p ：sin α>sin β，q ：α>β；(3)p ：四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1) 当|a |≥2时，如a ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根，则必有a ≤－2或a ≥6，可推出|a |≥2，故p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件．(2)当α＝π2，β＝3π4时，sin α＝1，sin β＝22，此时sin α>sin β，而α<β，故充分性不成立；而当α＝3π4，β＝π2时，sin α＝22，sin β＝1，此时α>β，而sin α<sin β，故必要性也不成立．故p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件．探究2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例2 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且綈p 是綈q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }，则∁R A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54，∁R B ＝(－∞，－2m )，因为綈p 是綈q 的必要条件，所以∁R B ⊆∁R A ，所以－2m ≤－54，解得m ≥58，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[解法探究] 此题有没有其他解法？ 解 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为綈p 是綈q 的必要条件， 所以p 是q 的充分条件，∴A ⊆B ， ∴－2m ≤－54，∴m ≥58，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[条件探究] 如果把例2中“必要”改为“充分”，其他条件不变，如何解答？解 由已知得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }． 因为綈p 是綈q 的充分条件， 所以p 是q 的必要条件，所以B ⊆A ， 所以－2m ≥－54，解得m ≤58，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，58.拓展提升利用充分、必要条件求参数的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【跟踪训练2】 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5x －24<0，得－3<x <8. ∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N . 于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为[－2,7]．探究3 充分条件与必要条件的实际应用例3 在下面电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件？[解] 如题图(1)，闭合开关A 或闭合开关C ，都可使灯泡B 亮．反之，若要灯泡B 亮，不一定非要闭合开关A .因此，闭合开关A 是灯泡B 亮的充分不必要条件；如题图(2)，闭合开关A 而不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，若要灯泡B 亮，开关A 必须闭合，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件；如题图(3)，闭合开关A 但不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，灯泡B 亮也不必闭合开关A ，只要闭合开关C 即可，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件．拓展提升充分、必要条件实际应用的解题策略将问题转化为数学模型，分清条件与结论为解题关键．(1)p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”． (2)q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立．【跟踪训练3】 《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．解“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．1.充分与必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假.若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分条件，也是q的必要条件(也称充要条件)；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.等价转化法的应用一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且p⇐ /q”等价于“綈p⇐綈q且綈p⇒/綈q”，即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”.3.集合观点的应用若p，q对应的数集分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以总结为“小范围推出大范围”，简记为：“小充分，大必要”.1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．2．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3答案 A解析x>2⇒x>1，但x>1⇒/x>2.3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac <bc ”是“a <b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 若a ＝b ，则ac ＝bc ；若ac ＝bc ，则a 不一定等于b ，故“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．4．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案 必要解析 a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac . 5．下列说法是否正确？请说明理由． (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件；(2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的充分条件； (3)α＝π6是sin α＝12的必要条件；(4)x ＋y >2是x >1，y >1的必要条件． 解 (1)正确，因为x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0.(2)正确，因为△ABC ≌△A ′B ′C ′⇒△ABC ∽△A ′B ′C ′. (3)错误，因为sin α＝12⇒/α＝π6.(4)正确，因为x >1，y >1⇒x ＋y >2.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件学案(含解
§1.2充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充分条件、必要条件与集合的关系思考“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．答案充分必要梳理A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件A⊈Bp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件B⊈Aq是p的不充分条件p是q的不必要条件特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×)2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( √)3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．( √) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( √)类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏q ；③p ⇏q ，故填①. (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③解析 ①q ⇏p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故填②③. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 答案 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇏p ．故填①②.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 (1)a>b的一个充分不必要条件是( )A．a2>b2B．|a|>|b|C.1a<1bD．a－b>1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 D解析a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.(2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案必要不充分解析由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，故p是q的必要不充分条件．类型二充分条件与必要条件的应用例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p 是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，解得－23≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 引申探究本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0，得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ， 即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0，解得a ∈∅.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知p ：x <－2或x >10，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的必要条件，求负实数a 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a的取值范围是(－∞，－9].1．“x>0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，又不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，解得x＝±3，∴x＝3是a∥b的充分条件．3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断答案 (1)必要条件 (2)充分条件5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 既是q 的充分条件又是q 的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B3．“x>0”是“x2＋x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝12<1，即相交，而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )A．x＞4 B．x＜4C．x＞3 D．x＜3考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 C6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案 B解析原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝32，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析因为sin 60°＝32，故p⇒q，但sin A＝32时，A＝60°或120°.8．给出三个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2.其中能成为x>y的充分条件的是( ) A．①②③B．②③C．③D．①考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 D解析 ①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故①对； ②当t >0时，则x >y ，当t <0时，则x <y ，故②错； ③由x 2>y 2，得x >y 或x <y ，故③错．9．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C解析 A ＝{x |(x ＋1)(x －1)<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为a ＝1，所以B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若A ∩B ＝∅，则b ＋1≤－1或b －1≥1， 即b ≤－2或b ≥2， 所以A ∩B ≠∅时，－2<b <2. 二、填空题10．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要解析 由A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，A ∩B ＝A ⇏A ＝B ， 可知“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要条件． 11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x >0”是“x >1”的必要条件；②已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件； ③“a 3>b 3”是“a >b ”的必要条件；④在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案①③解析①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (0,2] [3，＋∞)解析 p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，a ≤3，∴a ≤2，又a >0，∴a 的取值范围是(0,2]．若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2，a ≥3，∴a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．三、解答题13．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，a >0.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b <2，即(－∞，2)．四、探究与拓展14．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 因为“a ≥b ⇒c >d ”为真，所以它的逆否命题“c ≤d ⇒a <b ”也为真命题， 又“a <b ⇒e ≤f ”也是真命题，所以“c ≤d ⇒a <b ⇒e ≤f ”，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．15．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 (1)因为命题p 为真，则－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52， 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集， 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件省公开课一等奖新名师优质课获奖P
典例 5
已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有
两个大于1实数根充要条件.
[思绪分析] 方程有两个实数根，则Δ≥0，两根均大于 1，则对应二次函数图象对称轴在x＝1右侧，且x＝1时对应
19/45
〔跟踪练习 2〕 (1)设 x∈R，则“x>12”是“2x2＋x－1>0”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
( A)
20/45
[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式． 由 2x2＋x－1>0，得(x＋1)(2x－1)>0， 即 x<－1 或 x>12， 设 A＝{x|x>12}，B＝{x|x<－1 或 x>12}， ∵A B，∴选 A．
『规律总结』 充要条件中含参数问题，往往是经过集合包 含关系解答．
25/45
〔跟踪练习3〕
已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－
4<0”成立必要不充分条件，则实数m取值范围为
B
()
A．m>1或m<－7
B．m≥1或m≤－7
C．－7≤m≤1
D．－7<m<1
[解析] 由题意知，命题p：x>m＋3或x<m；q：－4<x<1， 因为命题p是命题q成立必要不充分条件，所以{x|－4<x<1} 是{x|x>m＋3或x<m}真子集，从而有m≥1或m＋3≤－4，即 m≥1或m≤－7，故选B．
26/45
命题方向3 ⇨充要条件证实
典例 4 已知 x，y 都是非零实数，且 x>y，求证：1x<1y的充要条件是 xy>0.
高中数学第一章集合与逻辑1-2常用逻辑用语1-2-2充分条件和必要条件学生用书湘教版必修第一册
1．2.2 充分条件和必要条件教材要点要点一 充分条件与必要条件足够了；q 是p 的必要条件，所谓“必要”，即q 是p 成立的必不可少的条件，缺其不可．要点二 充要条件如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作________．即p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，此时我们称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件．状元随笔 对于充要条件，要熟悉它的同义语“p 是q 的充要条件”可以说成“p 与q 是等价的”“q 成立当且仅当p 成立”“q 成立必须且只需p 成立”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．( )(2)p 是q 的必要条件的含义是：如果p 不成立，则q 一定不成立．( ) (3)p 是q 的充分条件只反映了p ⇒q ，与q 能否推出p 没有任何关系．( ) (4)若p 是q 的充要条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的充要条件．( )2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．“x＞0”是“x＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．题型1 充分条件、必要条件的判断例1 下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：平行四边形，q：正方形；(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根．方法归纳充分条件、必要条件判断方法(1)定义法①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件得出结论．(2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．跟踪训练1 (1)祖暅原理：”幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等．q：A，B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，q是p的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是( )A．x＞3.5B．x＜3C．x＞4D．x＜4题型2 充要条件的判断例2 (1)(多选)下列结论中，正确的有( )A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：①s是q的什么条件？②r是q的什么条件？③p是q的什么条件？方法归纳判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：利用集合的包含关系判断．(3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练2 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分不必要条件B．丙是甲的必要不充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙是甲的既不充分又不必要条件题型3 充分条件、必要条件和充要条件的证明例3 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.方法归纳充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”；①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．跟踪训练3 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c ＝0.题型4 充分条件、必要条件和充要条件的应用例4 设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．变式探究设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．方法归纳根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练4 集合A＝{y|y=x2−32x+1，34≤x≤2，}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．易错辨析混淆条件与结论致误例5 使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是( )A．0＜x＜1B．－13＜x＜1C．－1＜x＜2D．0＜x＜2解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q”⇔B A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A.答案：A易错警示课堂十分钟1．命题：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件＞1”的( )2．已知x∈R，则“x＜2”是“2xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(多选)下列说法中正确的是( )A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件4．函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________.5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围．1．2.2 充分条件和必要条件新知初探·课前预习要点一p ⇒q p ⇒q 充分条件 充分条件 必要条件 必要条件要点二p ⇔q 逆命题[基础自测]1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．解析：x ＝1时，x 2－2x ＋1＝0成立，故是充分的，又当x 2－2x ＋1＝0时，即(x －1)2＝0，x ＝1故是必要的，因此是充要条件．答案：A3．解析：∵x >0 D ⇒/x >1但x >1⇒x >0.∴“x >0”是“x >1”的必要不充分条件．故选B.答案：B4．解析：∵△ABC 是锐角三角形说明△ABC 的三个内角都是锐角．∴△ABC 是锐角三角形⇒∠ABC 为锐角，反之不一定．答案：充分不必要题型探究·课堂解透例1 解析：(1)∵a ＋b ＝0⇒a 2＋b 2＝0；a 2＋b 2＝0⇒a ＋b ＝0，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等⇒四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p 是q 的必要不充分条件．(3)由图可知BA ，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)若方程x 2－x －m ＝0无实根，则Δ＝1＋4m <0，即m <－14.∵m <－1⇒m <－14，m <－14D ⇒/m <－1，∴p 是q 的充分不必要条件．跟踪训练1 解析：(1)设A 为正方体，其棱长为2，体积为8，B 为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然A，B在等高处的截面面积不相等，所以q是p的不必要条件；当A，B在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A，B的体积相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要条件．故选A.(2)∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.答案：(1)A (2)AC例2 解析：(1)A中，x2>4⇔x<－2或x>2D⇒/x3<－8，但x3<－8⇒x2>4.A正确；B中，AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2＋b2≠0⇔a，b不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数⇒x＋y为偶数，反之不一定，D不正确．故选AC.(2)①∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s是q的充要条件．②由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．③∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要条件．答案：(1)AC (2)见解析跟踪训练2 解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D.(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.答案：(1)D (2)A<0，例3 证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝ca∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．<0，必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝ca∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.跟踪训练3 证明：设p ：a ＋b ＋c ＝0；q ：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， (1)充分性(p ⇒q )：因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中， 得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. 所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1. (2)必要性(q ⇒p )：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， 所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. 所以有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.例4 解析：由|4x －1|≤1得－1≤4x －1≤1，故0≤x ≤12，由q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，q ⇒p ，即{x|0≤x ≤12}{x |a ≤x ≤a ＋1}．∴{a ≤0，a +1≥12，且“＝”不能同时成立， 解得－12≤a ≤0，故实数a 的取值范围是{a|−12≤a ≤0}.变式探究 解析：∵q 是p 的充分不必要条件， ∴q ⇒p ，p ⇒q ，∴{x |a ≤x ≤a ＋1}{x|0≤x ≤12}， ∴{a ≥0a +1≤12，且“＝”不能同时成立，∴此不等式组无解． 故实数a 的取值范围是∅.跟踪训练4 解析：A ＝{y|y =x 2 −32x +1，34≤x ≤2} ＝{y|716≤y ≤2}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}＝{x |x ≥1－m 2}，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件， ∴AB ，∴1－m 2≤716.解得m ≥34或m ≤－34.故m 的取值范围为m ≤－34或m ≥34.11 [课堂十分钟]1．解析：由命题p ：(a ＋b )·(a －b )＝0，得：|a |＝|b |，推不出a ＝b ，由a ＝b ，能推出|a |＝|b |，故p 是q 的必要条件．答案：B2．解析：当x ＝－1时，“x <2”成立，但2x <0 ，故“2x <1”，故“x <2”不是“2x >1”的充分条件，“2x >1”等价于x−2x<0⇔0<x <2，即2x >1能推出x <2， ∴“x <2”是“2x >1”的必要条件， 故“x <2”是“2x >1”的必要不充分条件，故选B.答案：B3．解析：A 正确，因为“m 是有理数”⇒“m 是实数”，所以“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件；B 不正确，因为“x ∈A ” “x ∈A ∩B ”，所以“x ∈A ∩B ”不是“x ∈A ”的必要条件；C 正确，由于“x ＝3”⇒“x 2－2x －3＝0”，故“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件；D 正确，由于“x ＞3”⇒“x 2＞4”，所以“x ＞3”是“x 2＞4”的充分条件．故选ACD.答案：ACD4．解析：Δ＝4＋4a ＜0，∴a ＜－1.答案：a ＜－15．解析：由已知条件，如{x |x >m }{x |x >3或x <1}．∴m ≥3.∴m 的取值范围是[3，＋∞)．。
高中数学《第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条...》977PPT课件 一等奖名师
定义： 对于命题“若p则q”
1.若p q, q p,则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
2.若p q, q p,即p q,则p是q充分必要条件， 简称充要条件. 也说p与q互为充要条件.
3.若p q, q p,则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.
4
3、由上述命题的充分条件、必要条件的判断 过程，可确பைடு நூலகம்：命题按条件p和结论q的充分 性、必要性可分为：
(1)充分不必要条件， 即 p q 但 q p
(2)必要不充分条件， (3)充要条件，
即 p q 但 q p
即 p q且 q p
(4)既不充分又不必要条件 ，即 p q且 q p
例1. 指出下列各组命题中，p是q 的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x＞0；q：x2＞0．
（2）p：x＝y；q：x2＝y2．
（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形 全等．
（4）p：两直线平行；q：内错角相等．
（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1
分析：（1）p是q的充分不必要条件， q是p的必要不充分条件
（2）p是q的充分不必要条件，q是p的 必要不充分条件
一般地,如果已知 p q ,即命题“若p则q” 为真命题，
那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 说明:（1）上述定义中，“p═›q” 即如果具备了条件 p，就足以保证q成立，所以称p是q的充分条件. （2）注意条件和结论是相对而言的，由于“p═›q” 的等价命题是“¬q═›¬p”,即若q不成立，则p不成 立，所以称q 是p成立的必要条件. （3）q 成立时， p可能成立，也可能不成立，即q成 立不保证p一定成立.
1. 写出命题“若x＞0，则x2＞0”的逆 命题、否命题和逆否命题，并分别判
高中数学 第1章 常用逻辑用语 2 2.1 充分条件与必要条件 2.2 充分条件与判定定理 2.3
2.1 充分条件与必要条件 2.2 充分条件与判定定理 2.3 必要条件与性质定理学习目标：1.理解充分条件、必要条件的概念．(重点) 2.掌握充分条件、必要条件的判断．(易混点、难点)充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考：(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？[提示]判定定理给出了结论成立的充分条件．(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？[提示]性质定理给出了结论成立的必要条件.1.判断正误(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．( )(2)若p是q的充分条件，则若p则q是真命题．( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．( )[答案](1)√(2)√(3)×2.下列命题中，真命题是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件B[“x2>0”是“x>0”的必要条件；“xy＝0”是“x＝0”的必要条件；“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件；“|x|>1”是“x2不小于1”的充分条件．故选B.]3.若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．充分[∵p⇒q，q⇒r，∴p⇒r.]4.“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．必要[∵a>0，b>0，∴ab>0.反之，不一定成立，故“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件．]充分条件【例1】(1) “a＋b>2c”的一个充分条件是( )A．a>c或b>c B．a>c或b<cC．a>c且b<c D．a>c且b>c(2)下列各题中，p是q的充分条件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．(1)D(2)③[(1)a>c且b>c⇒a＋b>2c，a＋b>2c a>c且b>c，故选D.(2)①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件．②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．③∵m＜－2，∴Δ＝12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．]1．判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．2．除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．1．(1)“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件．(2)设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的________条件．(1)充分(2)充分[(1)由a＞b，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4，∴是充分条件．(2)解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5，∵0＜x＜5⇒－1＜x＜5，∴甲是乙的充分条件．]必要条件的判断p q(1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5；(2)p：y＝x2，q：函数是偶函数；(3)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．[思路探究]要判断p与q的关系，主要看是p⇒q，还是q⇒p.[解](1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(3)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．1．判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．2．可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件．2．“0＜x＜5”的一个必要条件是( )A．x＞5 B．x2－5x＞0C．0＜x＜4 D．x＜5D[∵0＜x＜5⇒x＜5，∴x＜5是0＜x＜5的一个必要条件．故选D.]充分条件与必要条件的应用1．从集合的角度如何判断充分条件、必要条件？[提示]设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.若A⊆B，就是说x具有性质p，则x必具有性质q，即p⇒q，p是q的充分条件．同理，若B⊆A，即q⇒p，p是q的必要条件．2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？[提示]不同. 若p是q的充分条件则p是条件，q是结论；若p的充分条件是q，则p 是结论，q是条件．【例3】已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．[思路探究]q是p的必要条件等价于p⇒q，可借助集合的知识求解．[解]由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.1.(变条件)本例中条件“a <0”改为“a >0”，若q 是p 的充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q 是p 的充分条件，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥3，a ≤－2，⇒a ∈.a >02.(变条件)将“q ：实数x 满足x 2－x －6≤0”改为“q ：实数x 满足x 2＋3x ≤0”，其他条件不变，求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a . 所以p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }． 由x 2＋3x ≤0得－3≤x ≤0，所以q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}． 因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是[－1，0)．充分条件与必要条件的应用技巧1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．2．求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．无法判断A[由(a－1)(a－2)＝0得a＝1或a＝2，所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分条件，故选A.]2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3A[x>2⇒x>1，∴x>1是x>2的必要条件．]3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D．无法判断A[∵乙⇒甲，丙⇒乙，乙丙，∴丙⇒甲，甲丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.]4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．(1)必要条件(2)充分条件[(1) 当ac<0时，Δ＝b2－4ac>0，此时ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，反之不一定成立，故“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要条件．(2)△ABC≌△A′B′C′可推出△ABC∽△A′B′C′，反之不一定成立，故“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件．]5．若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围．[解]由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，由已知条件，知{x|x<m}{x|x>2或x<1}．∴m≤1.。