解析几何：直线与圆、圆与圆的位置关系
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直线与圆、圆与圆的位置关系―知识讲解提高
直线与圆相交于一点 直线与圆相切于一点 直线与圆相离于一点 直线与圆相交于两点
判断直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来实现。
圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；等于半径，则直线与圆相切；大于半径，则 直线与圆相离。
判断圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆的圆心距与两圆半径之和或半径之差的大小来实 现。
圆心到直线的距离：利用圆心到直 线的距离判断圆与直线的关系
弦长：通过比较弦长来判断圆与圆 的位置关系
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圆的半径：比较两圆的半径大小， 判断圆与圆的位置关系
切线：利用切线性质判断圆与直线 的关系
距离公式：利用两点间的距离公式求解直线与圆之间的距离 角度公式：利用三角函数或余弦定理求解直线与圆之间的夹角 代数运算：利用代数方法简化计算过程，提高解题效率
交通路线规划：利用直线与圆的位置关系，确定最佳路线。 股市分析：通过分析股票价格与均线的位置关系，判断股票走势。 地球科学：利用圆与圆的位置关系，研究地球与其他天体的相对位置。 建筑学：在建筑设计时，利用直线与圆、圆与圆的位置关系，实现美观与实用的统一。
直线与圆的位置关系在解析几何中的应用 圆与圆的位置关系在几何证明题中的应用 利用直线与圆、圆与圆的位置关系解决数学竞赛中的难题 在数学竞赛中，直线与圆、圆与圆的位置关系常作为考点和难点
特殊情况处理：针对直线与圆相切、相交等特殊情况，采用相应的方法进行求解
理解数形结合的概念，将数学问题转化为图形问题 掌握常见的数形结合方法，如坐标法、向量法等 学会利用图形直观地分析问题，找到解题思路 练习数形结合的题目，提高解题能力
掌握直线与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 掌握圆与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 熟悉不同题型的特点和解题方法，能够根据题目的具体要求选择合适的解题方法。 掌握解题技巧，如利用几何性质、数形结合等方法，提高解题效率。
解析几何中的直线与圆的位置关系
解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。
在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。
本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。
一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。
直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。
二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。
在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。
直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。
1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。
此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。
直线从切点开始离开圆，没有任何交点。
外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。
2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。
如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。
直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。
三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。
直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。
1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。
2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。
总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。
直线与圆圆与圆的位置关系
首先，需要知道圆的半径和直线与圆的交点，然后通过交点 构造半径，最后根据公式计算面积。
圆与直线周长的计算
首先，需要知道圆的半径和直线与圆的交点，然后通过交点 构造半径，最后根据公式计算周长。
05
应用举例
实际应用
制造加工
在制造工业中，可以利用直线 与圆的方程来设计机器设备， 例如数控机床的轨迹控制、圆
《直线与圆圆与圆的位置关 系》
xx年xx月xx日
目录
• 直线与圆的位置关系 • 圆与圆的位置关系 • 判定方法和性质 • 面积和周长的计算 • 应用举例
01
直线与圆的位置关系
相交
垂直相交
直线与圆心到直线的垂线段相等，即圆心到直线的距离小于 圆的半径。
斜交
直线与圆心到直线的垂线段不相等，即圆心到直线的距离大 于圆的半径。
解析几何中的运用
研究轨迹
直线与圆的方程可以用于研究一些点的轨迹，例如动点在平面直角坐标系中的运 动轨迹、动点在空间直角坐标系中的运动轨迹等。
解决最值问题
利用直线与圆的位置关系可以求解一些最值问题，例如距离、角度等最值。
THANKS
感谢观看
弧形零件的加工等。
航海航天
在航海和航天领域，直线与圆的 方程可以用于计算航行器的轨道 、飞行路径等。
防洪抗灾
在防洪抗灾方面，可以利用直线与 圆的位置关系来计算洪水淹没范围 、预测洪水发展趋势等。
几何题中的运用
证明定理
利用直线与圆的位置关系可以证明一些几何定理，例如勾股定理、蝴蝶定理 等。
求解面积
直线与圆的位置关系可以用于求解一些几何图形的面积，例如扇形、弓形、 三角形等。
圆与圆的判定方法
d-r 法则
对于两个圆，可以计算它们之间的距离 d 和两个圆的半径 r1 和 r2，如果 d<min(r1,r2)，则两个圆相交，如果 d=min(r1,r2)，则两个圆相切，如果 d>min(r1,r2)，则两个圆相离。
圆与直线周长的计算
首先，需要知道圆的半径和直线与圆的交点，然后通过交点 构造半径，最后根据公式计算周长。
05
应用举例
实际应用
制造加工
在制造工业中，可以利用直线 与圆的方程来设计机器设备， 例如数控机床的轨迹控制、圆
《直线与圆圆与圆的位置关 系》
xx年xx月xx日
目录
• 直线与圆的位置关系 • 圆与圆的位置关系 • 判定方法和性质 • 面积和周长的计算 • 应用举例
01
直线与圆的位置关系
相交
垂直相交
直线与圆心到直线的垂线段相等，即圆心到直线的距离小于 圆的半径。
斜交
直线与圆心到直线的垂线段不相等，即圆心到直线的距离大 于圆的半径。
解析几何中的运用
研究轨迹
直线与圆的方程可以用于研究一些点的轨迹，例如动点在平面直角坐标系中的运 动轨迹、动点在空间直角坐标系中的运动轨迹等。
解决最值问题
利用直线与圆的位置关系可以求解一些最值问题，例如距离、角度等最值。
THANKS
感谢观看
弧形零件的加工等。
航海航天
在航海和航天领域，直线与圆的 方程可以用于计算航行器的轨道 、飞行路径等。
防洪抗灾
在防洪抗灾方面，可以利用直线与 圆的位置关系来计算洪水淹没范围 、预测洪水发展趋势等。
几何题中的运用
证明定理
利用直线与圆的位置关系可以证明一些几何定理，例如勾股定理、蝴蝶定理 等。
求解面积
直线与圆的位置关系可以用于求解一些几何图形的面积，例如扇形、弓形、 三角形等。
圆与圆的判定方法
d-r 法则
对于两个圆，可以计算它们之间的距离 d 和两个圆的半径 r1 和 r2，如果 d<min(r1,r2)，则两个圆相交，如果 d=min(r1,r2)，则两个圆相切，如果 d>min(r1,r2)，则两个圆相离。
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第九章
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件
(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系
图示
公共点 个数
几何 特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
解析几何中的直线与圆
解析几何中的直线与圆解析几何是几何学的分支之一，它将代数工具引入几何问题的研究中，通过坐标系的建立以及运用代数的方法，使几何问题能够用代数的语言来描述和解决。
在解析几何中，直线和圆是两个基本的几何元素，它们之间的关系和性质是解析几何的重要内容之一。
本文将针对直线和圆的关系进行解析几何分析。
一、直线与圆的位置关系在解析几何中，直线与圆的位置关系有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线与圆不相交。
1. 直线与圆相切当一条直线与圆相切时，直线与圆的切点是直线上距离圆心最近的点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，其中(a,b,c,p,q,r为已知常数)，则直线与圆相切的条件是：|ap+bq+c|/√(a^2+b^2) = r。
2. 直线穿过圆当一条直线穿过圆，即直线与圆有两个交点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，则直线穿过圆的条件是：(ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2)。
3. 直线与圆不相交当直线与圆不相交时，有两种情况：直线在圆的外部，直线在圆的内部。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 =r^2，则当(ap+bq+c)^2 < (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的外部；当 (ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的内部。
二、直线与圆的运算在解析几何中，直线和圆的运算包括直线与直线的位置关系、直线与直线的交点、直线与圆的交点等。
1. 直线与直线的位置关系两条直线的位置关系可以通过它们的方程来判断。
设直线1的方程为a1x + b1y + c1 = 0，直线2的方程为a2x + b2y + c2 = 0，则直线1与直线2的位置关系有以下几种情况：相交（斜交或垂直交）、平行、重合。
平面解析几何：圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.(最重要) d<r ⇔ 相交； d＝r ⇔ 相切； d>r ⇔ 相离.
>0⇔相交 (2)代数法：―Δ―― ＝判―b―别2―－―式―4―a→c ＝0⇔相切
<0⇔相离
弦长 l 2 2.弦长问题 几何法 r 2 d 2
d
r
P150例2:弦长问题
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交 点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－ 1)
LOGO
谢谢观看
THANKS YOU FOR WATCHING
代 数 法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的 一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长
3.切线问题
P150例3:切线问题
M(x0,y0)
M(x0,y0)
(x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
y y0 k(x x0 ) kx y kx0 y0 0
汇报人：木哈哈哈
位置关系
的关系
组的解的情况
外离 外切
_d_>_r_1_＋__r_2 _ _d_＝__r_1_＋__r_2 _
无解 一组实数解
相交 内切 内含
|r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) __0_≤__d_<_|r_1_－__r2_|(_r_1_≠__r2_)_
两组不同的实数解 一组实数解 无解
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
>0⇔相交 (2)代数法：―Δ―― ＝判―b―别2―－―式―4―a→c ＝0⇔相切
<0⇔相离
弦长 l 2 2.弦长问题 几何法 r 2 d 2
d
r
P150例2:弦长问题
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交 点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－ 1)
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代 数 法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的 一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长
3.切线问题
P150例3:切线问题
M(x0,y0)
M(x0,y0)
(x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
y y0 k(x x0 ) kx y kx0 y0 0
汇报人：木哈哈哈
位置关系
的关系
组的解的情况
外离 外切
_d_>_r_1_＋__r_2 _ _d_＝__r_1_＋__r_2 _
无解 一组实数解
相交 内切 内含
|r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) __0_≤__d_<_|r_1_－__r2_|(_r_1_≠__r2_)_
两组不同的实数解 一组实数解 无解
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
《解析几何》第6讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
代数法：两圆方程 联立组成方程组的 解的情况 无解 ________ 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 ____________
无解 __________
栏目 导引
第八章
平面解析几何
例题1. 已知圆x2＋y2＝1. (1) 它与直线y＝x＋2的位置关系 是 . (2) 若它和直线y＝kx＋2没有公共 点，则实数k的取值范围是___．
第八章
平面解析几何
第6讲
直线与圆、圆与圆
的位置关系
第八章
平面解析几何
1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线 l的距离，联立直线和圆的方程，消元 后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法 位置关系 相交 相切 相离
x y 1
x y 4 0
2 2
栏目 导引
几何法 d____ < r d____ ＝ r d____ > r
代数法 Δ____0 > Δ____0 ＝ Δ____0 <
栏目 导引
第八章
平面解析几何
2．圆与圆的位置关系 设圆 O1： (x－ a1 )2＋ (y－ b1 )2＝ r2 1( r1 >0)， 圆 O2： (x－ a2)2＋ (y－ b2)2＝ r2 2( r2 >0).
(3) 若点M(a,b)在圆上，则圆和直线 ax＋by＝1的位置关系是 ．
栏目 导引
第八章
平面解析几何
例题2. 圆(x＋2)2＋y2＝4与 圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 (1) 两圆的位置关系为 . (2) 公共弦所在的直线方程是 .
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[答案] 10
|3－2－6| 10 [解析] 圆心 C(1， 2)到直线 l 的距离 d＝ 2 2 ＝ ， 2 3 ＋1 所以|AB|＝ ＝ 10.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
► 易错问题 5．圆的切线：易忽视切线斜率 k 不存在的情形． 过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为 ________________．
[答案] x＝2 或 4x－3y＋1＝0
[解析] 当切线斜率存在时，设切线方程为 y＝k(x－2)＋ 4 3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝3，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0.又直线 x＝2 也是圆的切线，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
►
通性通法
7．求圆的弦长的方法：几何法，代数法．常用几何法研究 圆的弦的有关问题． (1)若圆 x2＋y2－2x＋4y－20＝0 截直线 5x－12y＋c＝0 所得 的弦长为 8，则 c 的值为________． (2)直线 x＋2y－5＋ 5＝0 被圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦 长为________．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
2．[教材改编] 圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0 与圆 C2：x2＋ y2－14x－2y＋14＝0 的位置关系是________．
[答案] 内切
[解析] 圆 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆 C2：(x－7)2＋(y －1)2＝36，|C1C2|＝5＝6－1，故两圆内切．
第46讲
[答案] (1)10 或－68
(2)4第46讲ຫໍສະໝຸດ 直线与圆、圆与圆的位置关系
[解析] (1)∵弦长为 8， 圆的半径为 5， ∴弦心距为 52－42 ＝3. |5×1－12× （－2）＋c| ∵圆心坐标为(1，－2)，∴ ＝3，∴ 13 c＝10 或 c＝－68. (2)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为(1，2)， |1＋4－5＋ 5| 圆心到直线的距离 d＝ ＝1， 2 2 1 ＋2 故直线被圆截得的弦长为 2 5－12＝4.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM· xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM· xN. 4.两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为 d. 位置关系 公共点个数 几何特征(|O1O2|＝d) 外离 外切 相交 内切 内含 0 1 2 1 0
[答案] 相交
|m| [ 解析 ] 方法一：圆心 (0 ， 1) 到直线的距离 d ＝ m2＋1 <1< 5，所以直线与圆相交． 方法二：直线 mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1， 1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆 C 相交．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
6．两圆相切：分内切与外切两种情形． 已知圆 O1：x2＋y2＝9 与圆 O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2 相切， 则实数 m 的取值组成的集合为________．
[答案] {－8，－2，2，8}
[解析] 当两圆内切时，|3－|m||＝ （3－0）2＋（－4－0）2 ⇒m＝±8；当两圆外切时，3＋|m|＝5⇒m＝±2.所以实数 m 的取值组成的集合为{－8，－2，2，8}．
1 ________
2
d＝r
两组相同实数解 ________ 两组不同实数解 ________
d<r ________
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
2．圆的切线方程 求圆的切线方程，常用两种方法： (1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知 数(x 或 y)，令一元二次方程的判别式等于 0，求出相关参 数． (2)几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直 线的距离等于半径，求出相关参数． 3．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角 三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. (2)代数法： 设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去 y，
d>R＋r ________________ d=R＋r ________________ R－r<d<R＋r ________________ d＝R－r ________________
________________ d<R－r
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
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链接教材
1．[教材改编] 直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y －1)2＝5 的位置关系是________．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
8．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法． 过点 P(－1，0)作圆(x－1)2＋y2＝1 的切线，则切线方程 是____________. 3 [答案] y＝± 3 (x＋1)
[解析] 作出图形(图略)，可知过点 P(－1，0)的圆的 3 切线的倾斜角为 30° 或 150° ，所以切线方程为 y＝± (x 3 ＋1)．
直线与圆、圆与圆的位置关系
3．[教材改编]圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆 的方程是________．
16 [答案] x ＋y ＝ 5
2 2
4 4 [解析] 由题可知半径 R＝ ，所以圆的方程为 2＝ 5 1＋2 16 2 2 x ＋y ＝ 5 .
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
4．[教材改编] 直线 l：3x－y－6＝0 被圆 C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝5 截得的弦 AB 的长等于________．
直线与圆、圆与圆的位置关系
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系 设圆 C 的半径为 r(r>0)，圆心到直线 l 的距离为 d， 则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 公共点个 几何特征 数 ________ ________ 0 d>r 代数特征 (解的个数) 无实数解
|3－2－6| 10 [解析] 圆心 C(1， 2)到直线 l 的距离 d＝ 2 2 ＝ ， 2 3 ＋1 所以|AB|＝ ＝ 10.
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直线与圆、圆与圆的位置关系
► 易错问题 5．圆的切线：易忽视切线斜率 k 不存在的情形． 过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为 ________________．
[答案] x＝2 或 4x－3y＋1＝0
[解析] 当切线斜率存在时，设切线方程为 y＝k(x－2)＋ 4 3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝3，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0.又直线 x＝2 也是圆的切线，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
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通性通法
7．求圆的弦长的方法：几何法，代数法．常用几何法研究 圆的弦的有关问题． (1)若圆 x2＋y2－2x＋4y－20＝0 截直线 5x－12y＋c＝0 所得 的弦长为 8，则 c 的值为________． (2)直线 x＋2y－5＋ 5＝0 被圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦 长为________．
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2．[教材改编] 圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0 与圆 C2：x2＋ y2－14x－2y＋14＝0 的位置关系是________．
[答案] 内切
[解析] 圆 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆 C2：(x－7)2＋(y －1)2＝36，|C1C2|＝5＝6－1，故两圆内切．
第46讲
[答案] (1)10 或－68
(2)4第46讲ຫໍສະໝຸດ 直线与圆、圆与圆的位置关系
[解析] (1)∵弦长为 8， 圆的半径为 5， ∴弦心距为 52－42 ＝3. |5×1－12× （－2）＋c| ∵圆心坐标为(1，－2)，∴ ＝3，∴ 13 c＝10 或 c＝－68. (2)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为(1，2)， |1＋4－5＋ 5| 圆心到直线的距离 d＝ ＝1， 2 2 1 ＋2 故直线被圆截得的弦长为 2 5－12＝4.
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直线与圆、圆与圆的位置关系
得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM· xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM· xN. 4.两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为 d. 位置关系 公共点个数 几何特征(|O1O2|＝d) 外离 外切 相交 内切 内含 0 1 2 1 0
[答案] 相交
|m| [ 解析 ] 方法一：圆心 (0 ， 1) 到直线的距离 d ＝ m2＋1 <1< 5，所以直线与圆相交． 方法二：直线 mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1， 1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆 C 相交．
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直线与圆、圆与圆的位置关系
6．两圆相切：分内切与外切两种情形． 已知圆 O1：x2＋y2＝9 与圆 O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2 相切， 则实数 m 的取值组成的集合为________．
[答案] {－8，－2，2，8}
[解析] 当两圆内切时，|3－|m||＝ （3－0）2＋（－4－0）2 ⇒m＝±8；当两圆外切时，3＋|m|＝5⇒m＝±2.所以实数 m 的取值组成的集合为{－8，－2，2，8}．
1 ________
2
d＝r
两组相同实数解 ________ 两组不同实数解 ________
d<r ________
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2．圆的切线方程 求圆的切线方程，常用两种方法： (1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知 数(x 或 y)，令一元二次方程的判别式等于 0，求出相关参 数． (2)几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直 线的距离等于半径，求出相关参数． 3．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角 三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. (2)代数法： 设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去 y，
d>R＋r ________________ d=R＋r ________________ R－r<d<R＋r ________________ d＝R－r ________________
________________ d<R－r
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1．[教材改编] 直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y －1)2＝5 的位置关系是________．
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8．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法． 过点 P(－1，0)作圆(x－1)2＋y2＝1 的切线，则切线方程 是____________. 3 [答案] y＝± 3 (x＋1)
[解析] 作出图形(图略)，可知过点 P(－1，0)的圆的 3 切线的倾斜角为 30° 或 150° ，所以切线方程为 y＝± (x 3 ＋1)．
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3．[教材改编]圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆 的方程是________．
16 [答案] x ＋y ＝ 5
2 2
4 4 [解析] 由题可知半径 R＝ ，所以圆的方程为 2＝ 5 1＋2 16 2 2 x ＋y ＝ 5 .
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4．[教材改编] 直线 l：3x－y－6＝0 被圆 C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝5 截得的弦 AB 的长等于________．
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1．直线与圆的位置关系 设圆 C 的半径为 r(r>0)，圆心到直线 l 的距离为 d， 则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 公共点个 几何特征 数 ________ ________ 0 d>r 代数特征 (解的个数) 无实数解