平面解析几何初步——直线与圆

平面解析几何初步——直线与圆一．考试内容及要求本章知识结构考试内容要求层次A B C平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率√过两点的直线斜率的计算公式√两条直线平行或垂直的判定√直线方程的点斜式、两点式及一般式√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式、点到直线的距离公式√两条平行线间的距离√圆与方程圆的标准方程与一般方程√直线与圆的位置关系√两圆的位置关系√三．基础知识梳理（一）直线的倾斜角与斜率及直线方程 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角090α≠，则斜率tan k α=；090α=时，直线斜率不存在； (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率2121y y k x x -=-.3．直线方程的五种形式4.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为a x =;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为b y = ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y kx =（二）、两条直线的位置关系1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.②已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若1l ,与2l 相交,则21k k ≠ ; 若21l l ⊥,则121-=⋅k k ;若1l //2l ,则21k k =且21b b ≠; 若1l 与2l 重合,则,21k k =且21b b =2.几个公式①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P 221221)()(y y x x -+-②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d 2200||BA C By Ax +++③设直线,0:1=++C By Ax l ),(0:2C C C By Ax l '≠='++ 则1l 与2l 间的距离=d 22||BA C C +'-3.直线系（拓展）① 与直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为0='++C By Ax ; ②与直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为0='+-C Ay Bx ;③过两直线0:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 的交点的直线系方程为为参数）λλ(,0)(222111=+++++c y b x a c y b x a（三）、圆的方程1. 圆的标准方程与一般方程①圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为),(b a ,半径为r ；②圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标(,)22D E--，半径为2422F E D -+。

方程表示圆的充要条件是2240D E F +->2.以),(),(2211y x B y x A 、为直径端点的圆方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x3. 若圆222)()(r b y a x =-+-与x 轴相切，则r b =||;若圆222)()(r b y a x =-+-与y 轴相切，则r a =||4. 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x 轴对称，则0=E ； 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于y 轴对称，则0=D ；若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x y =轴对称，则E D =； 5、点),(00y x M 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：M 在圆内⇔0002020<++++F Ey Dx y xM 在圆上⇔0002020=++++F Ey Dx y x M 在圆外⇔0002020>++++F Ey Dx y x（四）、直线与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d < ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交 2.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d 若两圆相外离，则r R d +> ，公切线条数为4 若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3 若两圆相交r R d r R +<<-，则，公切线条数为2 若两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1 若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3. 相切问题的解法：①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。

特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为200r y y x x =+, 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--4.圆系方程（拓展）①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为)0()()(22020>=-+-r r y y x x②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++220)(=+++c by ax λ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为11122F y E x D y x ++++0)(22222=+++++F y E x D y x λ（不表示圆2C ）四．基本方法和数学思想1、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法。

2、在研究直线与圆的方程的过程中，体会函数与方程的思想；数形结合的思想3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。

五．典例分析 一．直线与圆1.“a =1l ：210x ay --=与2l ：3+0a x y =垂直”的（ B ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2.“12a =”是“直线40ax y --=与直线20x y m --=平行”的 （ C ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭4.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，则a =____0____．5.若直线40kx y k --=与曲线y =有公共的点，则实数k 的取值范围是（ D ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则AB 的方程是 ．7.若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a >0）的公共弦的长为=a 18. 已知点P 是直线30kx y ++=4()3k >-上一动点，PA PB ,是圆22:20C x x y -+=的两条切线，A B ,为切点.若四边形PACB 的最小面积为2，则此时线段PC 的长为 ；实数k 的值是 .9.（全国Ⅰ卷理11文11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB•的最小值为(A) 4-+(B)3-(C) 4-+ (D)3-+【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB •=-+.此时x =10.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD aS ∆∃≥<则所有正确结论的序号是 CA.①②B.②③C.①③D.①②③xy A lO二．曲线与方程1.已知点A (2,0)-，点P 为圆O ：224x y +=上任意一点，当点P 在圆上运动时，线段AP 的中点M 的轨迹是什么？2．如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB CD =，E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点， 把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得面BEFC ⊥面ADFE ，若动点P ∈平面ADFE ， 设PB ，PC 与平面ADFE 所成的角分别为1θ，2θ（1θ，2θ均不为0)．若12θθ=， 则动点P 的轨迹为（ ） （A ）直线 （B ）椭圆 （C ）圆 （D ）抛物线3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由08852≥+-a a 得R x ∈ 由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 4. 【2014高考北京文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 三．立体几何与平面解析几何的交汇1. 如图,在边长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为 （ D ） A.45B. 2C.22D. 32. 已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上. 若5=PM ，则PQ 长度的最小值为 ( C )(A)21- （B ）2（C ）3515- （D ）353.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为42，M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上.若1PM =，则PQ 长度的最小值为 ．33五.真题回顾（7）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是C（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为C（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）412．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．36．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎣D ．2232⎡⎣ （12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．2220x y x +-=（11）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是_________．【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2. （12）已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(−2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．【答案】6【解析】||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6.六.课本中例习题归纳必修21. (第90页习题3.1B 组第6题）经过点()0,1P -做直线l ，若直线l 与连接()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围，并说明理由2.（110页第4题）已知点()()3,4,6,3A B --到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值3.（115页第10题）已知正方形的中心为点()1,0M -,一条边所在的直线的方程是350x y +-=，求正方形其他三边所在的直线方程。