数学竞赛定理
初中数学竞赛几何中常用的24个必备定理
初中数学竞赛几何中常用的24个必备定理1. 同位角定理：同位角互相相等或互补。
2. 对顶角定理：对顶角相等。
3. 同旁内角定理：同旁内角互补。
4. 外角定理：与一个多边形任意一内角相对的外角相等。
5. 内角和定理：n边形的内角和为180度×(n-2)。
6. 相关角定理：相邻角互补，对顶角互相相等。
7. 垂直直角定理：垂线与直线相交，形成直角。
8. 垂线定理：直线上任意一点向另一直线作垂线，垂线所在直线与原直线垂直。
9. 三角形内角和定理：三角形内角和为180度。
10. 等腰三角形定理：等腰三角形的底角相等。
11. 等边三角形定理：等边三角形的三个内角均为60度。
12. 直角三角形性质：直角三角形斜边平方等于其他两条边平方和。
13. 等角定理：两角相等的两个三角形全等。
14. 外接圆定理：三角形三个顶点到外接圆圆心的距离相等。
15. 中线定理：连接三角形两边的中线相等。
16. 中位线定理：连接三角形两边中点的线段平分第三边。
17. 高线定理：连接三角形顶点与对边垂直的线段相交于三角形内心。
18. 海伦公式：用三角形三条边的长度求其面积：S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。
19. 正多边形内角定理：正n边形的内角和为(180度×(n-2))/n。
20. 球面三角形定理：球面三角形三个顶点到球心的距离相等。
三条边为大圆弧。
21. 圆周角定理：圆周角等于对应的弧所夹的圆心角。
22. 切线定理：切线相切于圆，与该切点相切的直线垂直于切线。
23. 弦长定理：在同一圆上，两条弦所夹的圆心角相等，则它们的弦长相等。
24. 弧长定理：同一圆上，两个相等的圆心角所对应的弧长相等。
竞赛数学常用定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
数学竞赛25个定理
数学竞赛25个定理1. 费马小定理：若p是一个质数，a是任意正整数，则a^p - a能够被p整除。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意的向量a和b，有|a·b| ≤|a|·|b|。
（其中的·是向量的内积）3. 柯西定理：对于任意的可导函数f(z)，有∫γf(z)dz = 0，其中γ是任意封闭曲线。
4. 狄利克雷函数定理：对于任意的正整数a和n，同余方程ax≡ n(mod m)有解当且仅当gcd(a,m)|n。
5. 等比数列求和公式：对于一个公比为r的等比数列1，r，r^2，r^3，…，r^(n-1)，其前n项和为(s_n = (1-r^n)/(1-r))。
6. 泰勒公式：对于一个在区间内的可导函数f(x)，在x = a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)·(x-a) + f''(a)·(x-a)^2/(2!) + …… + f^(n)(a)·(x-a)^n/n!。
7. 正弦和余弦的和差公式：sin(a ± b) = sin(a) cos(b) ± cos(a) sin(b)，cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sin(a) sin(b)。
8. 斯特林公式：n! ≈ (n/e)^n·√(2πn)，其中e≈2.71828是自然对数的底数，π≈3.14159是圆周率。
9. 美林底定理：对于任意的正整数n，有gcd(Φ(n), n) = 1，其中Φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。
10. 欧拉公式：对于任意的正整数n，有e^(iπ) + 1 = 0。
11. 矩阵行列式的定义：对于一个n阶矩阵A，其行列式的定义为：det(A) = Σ(^n)_(i=1) a_1iC_1i，其中C_1i表示以第一行为底，第i列为“孔”的余子式。
12. 柯西-列维定理（变量展开式）：对于一个n元对称多项式f(x1, x2, …, xn)，其可表示为f(x1, x2, …, xn) = Σpπa_π(x1, x2, …, xn)，其中pπ为n元置换，a_π(x1, x2, …, xn)表示将xπ(1)，xπ(2)，…，xπ(n)代入f(x1, x2, …, xn)后留下来的项。
高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理
竞赛专题讲座－几个重要定理《定理1》正弦定理△ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故即；同理可得当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A.当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。
《定理2》余弦定理△ABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA；（*）b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA；（**）c=acosB+bcosA.证明简介余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有=（bcosA-c2）+(bsinθ)2即a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。
《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。
在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则证法简介（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：（Ⅱ）也可以利用面积关系证明同理 ④ ⑤③×④×⑤得《定理5》塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。
证法简介（Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则EACEBD BC =代入已知式：1=⋅⋅FB AF BD BC DC BD 于是 CBDCFB AF =， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF（Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得1='⋅⋅B F AF EA CE DC BD 而已知1=⋅⋅FB AFEA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FBAF AFB F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+' AF F A =' 即F '即F ，可见命题成立《定理6》斯特瓦尔特定理在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，则证明简介：在△ABD 和△ABC 中，由余弦定理，得《定理7》托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆BD AC AD BC CD AB •=•+•的充要条件是共圆ABCD《定理7》、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
初中数学竞赛重要定理公式(统计篇)
初中数学竞赛重要定理公式（统计篇）
1. 事件概率
- 定义：对某一事件发生的可能性大小的描述。
- 公式：$P(A)=\dfrac{m}{n}$，其中 $A$ 为事件，$m$ 为
$A$ 发生的可能性数，$n$ 为随机试验的总次数。
2. 条件概率
- 定义：事件 $B$ 在已知事件 $A$ 发生的条件下发生的可能性。
- 公式：$P(B|A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$，其中 $A \cap
B$ 表示事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生的概率。
3. 全概率公式
- 定义：若 $B_1,B_2,...,B_n$ 互不相容，且 $B_1 \cup B_2
\cup ... \cup B_n$ 为必然事件，$A$ 为任意一事件，则有：
$P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i) \cdot P(A|B_i)$
4. 贝叶斯公式
- 定义：反向求解条件概率的公式。
- 公式：$P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i) \cdot
P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^nP(B_j) \cdot P(A|B_j)}$
5. 排列组合
- 排列：从 $n$ 个不同的元素中，取出 $m$ 个元素，按一定顺序进行排列的个数。
公式：$A_n^m=n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-m+1)$
- 组合：从 $n$ 个不同的元素中，取出 $m$ 个元素，不考虑顺序的组合数。
公式：$C_n^m=\dfrac{A_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$。
初中数学竞赛25个定理
初中数学竞赛25个定理
初中数学竞赛25个定理1. 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两腰的平方和。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c²=a²+b²-2abcosC。
3. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
4. 相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
5. 平行四边形法则：平行四边形两对邻边互相平分、互为反向共线向量。
6. 向量加减法则：向量之间可以进行加减运算，并且满足交换律、结合律和分配律。
7. 向量数量积公式：设向量a=(x₁,y₁,z₁)和b=(x₂,y₂,z₂)，则
a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂。
8. 圆周率π的计算方法及其性质
9. 等差数列通项公式an=a1+(n-1)d
10. 等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)
11. 数列求和公式Sn=n(a1+an)/2
12. 柿子（二次根号不含整系数）判别法
13 .一元二次方程求解公式 x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
14 .勾股数存在条件与构造方法
15 .正多面体表面积与体积计算公式
16 .圆锥侧面积与体积计算公式
17 .球表面积与体积计算公式
18 .立体图像展开后各部位长度关系推导方法
19 .概率基本定义及常见问题解决思路
20 .排列组合基础知识点总结
21 .函数定义域、值域以及单调性研究方法
22 .极坐标下曲线参数化表示方式
23 ．复杂图案拼接技巧总结
24 ．代数恒等变换规律总结
25 ．空间几何证明题目思考策略。
数学竞赛定理
欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。
欧拉大定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。
海伦公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝))()((c p b p a p p ---塞瓦定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD密格尔定理：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西姆松定理：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。
笛沙格定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O ，BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线摩莱三角形：在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相交于点D 、E 、F ，则三角形DDE 是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
竞赛常用定理--数学
几何篇梅涅劳斯定理：当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AC、A于点D、E、F时，（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1以及逆定理：在三角形ABC三边所在直线上有三点D、E、F，且（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，那么D、E、F三点共线。
角元形式梅捏劳斯定理：（sin∠BAD/sin∠DAC）×(sin∠ACF/sin∠FCB)×(sin∠CBE/sin∠EBA)=1塞瓦定理：指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。
”正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。
则有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：，在△ABC中，余弦定理可表示为：c²=a²+b²-2ab cosCa²=b²+c²-2bc cosAb²=a²+c²-2ac cosB托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。
用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系, ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。
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欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。
欧拉大定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr
九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。
海伦公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝
21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝
))()((c p b p a p p ---
塞瓦定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则
1=⋅⋅FB
AF EA CE DC BD
密格尔定理：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西姆松定理：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。
笛沙格定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O ，BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线
摩莱三角形：在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相
交于点D 、E 、F ，则三角形DDE 是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
帕斯卡定理：已知圆内接六边形ABCDEF 的边AB 、DE 延长线交于点G ，边BC 、EF 延长线交于点H ，边CD 、FA 延长线交于点K ，则H 、G 、K 三点共线
托勒密定理：在圆内接四边形中，此四边形对角线的乘积等于两组对边的乘积之和
布拉美古塔定理：在圆内接四边形ABCD 中，若对角线相互垂直，则自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边
梅捏劳斯定理：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 或其延长线被同一条直线截于点D 、E 、F ，则
1=⋅⋅FB
AF EA CE DC BD
帕普斯定理：若
蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点
四边形蝴蝶定理：若四边形一条对角线平分另一对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点（邻边）的连线，与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等
拿破仑定理：1、以任意三角形的三条边为边, 向外构造三个等边三角形, 则这三个等边三角形的外接圆中心恰为中心等边三角形的顶点2、三角形ABC 中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.3、若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形
凡·奥贝尔定理：在任意一个凸四边形中，以各边为边分别向外部做正方形，将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。
线段的长度相等且垂直
中线定理：在△ABC 中，点K 为边BC 中点, BK+KC ，则AB^2+AC^2=2*(AK^2+BK^2)
斯台沃特定理：任意三角形ABC 中，D 是底边BC 上一点，连结AD ，则有
AB^2*CD+AC^2*BD-AD^2*BC=BD*CD*AD
广勾股定理：1、锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边
在这边上的射影乘积的两倍2、钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍3、平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和4、△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c
则：m a =
2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+
阿基米德折弦定理：AB 和BC 是⊙O 的两条弦（即ABC 是圆的一条折弦），BC ＞AB ，M 是弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足G 是折弦ABC 的中点，即AB ＋BG ＝GC
内角平分线定理：△ABC 中∠A 的平分线交边BC 于D ，∠1=∠2，则有
AC AB DC BD =
外角平分线定理：△ABC 中∠A 外角的平分线交边BC 的延长线于D ，∠1=∠2，则有AC
AB DC BD =
三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P
正弦定理：在△ABC 中有R C
c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，则有：1、a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA 2、b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB
3、c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC
正切定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，∠A=α,∠B=β,则有(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间有关系V+F-E=2。