初中数学竞赛定理大全.docx
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
初中数学竞赛几何主要的定理
初中数学竞赛几何主要的定理竞赛专题讲座－几个重要定理1. 正弦定理△ABC 中，设外接圆半径为R ，则2. 余弦定理△ABC 中，有关系a2=b2+c2-2bccosA； a=ccosB+bcosC； b2=c2+a2-2cacosB；有时也用它的等价形式b=acosC+ccosA； c2=a2+b2-2abcosC； c=acosB+bcosA.3. 梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC 的边BC ，CA ，AB 或其延长线于D 、E 、F. 则4. 塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则5. 塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。
6. 斯特瓦尔特定理在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，则7. 托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆 AB ∙CD +BC ∙AD =AC ∙BD 的充要条件是ABCD 共圆8. 西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上例题：1．设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
AE AF =2求证：。
ED FBAE DC BF ⋅⋅=1（梅氏定理）【分析】CEF 截△ABD →ED CB FA【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一例1 作CF 的平行线2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
例2DEG 截△ABM →（梅氏定理）DGF 截△ACM →（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3．D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。
初中数学竞赛25个定理
初中数学竞赛25个定理
初中数学竞赛25个定理1. 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两腰的平方和。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c²=a²+b²-2abcosC。
3. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
4. 相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
5. 平行四边形法则：平行四边形两对邻边互相平分、互为反向共线向量。
6. 向量加减法则：向量之间可以进行加减运算，并且满足交换律、结合律和分配律。
7. 向量数量积公式：设向量a=(x₁,y₁,z₁)和b=(x₂,y₂,z₂)，则
a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂。
8. 圆周率π的计算方法及其性质
9. 等差数列通项公式an=a1+(n-1)d
10. 等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)
11. 数列求和公式Sn=n(a1+an)/2
12. 柿子（二次根号不含整系数）判别法
13 .一元二次方程求解公式 x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
14 .勾股数存在条件与构造方法
15 .正多面体表面积与体积计算公式
16 .圆锥侧面积与体积计算公式
17 .球表面积与体积计算公式
18 .立体图像展开后各部位长度关系推导方法
19 .概率基本定义及常见问题解决思路
20 .排列组合基础知识点总结
21 .函数定义域、值域以及单调性研究方法
22 .极坐标下曲线参数化表示方式
23 ．复杂图案拼接技巧总结
24 ．代数恒等变换规律总结
25 ．空间几何证明题目思考策略。
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】）（为内切圆半径，为外接圆半径，边上的高，表示，其中c b a p R BC h c p b p a p p pr C B A c b a C B A R R abc C ab ah S a a ++=---==++++=====21r ))()(()cot cot (cot 4sin sin sin 24sin 21212222ABC Δ【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD -AD 2·BC ＝BC·DC·BD ．【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC ，(逆命题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC ≥AC·BD ．【蝴蝶定理】AB 是△O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP=QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)BP 2(AP AC AB 2222+=+中线长：【垂线定理】AB ⊥CD ⇔AC 2-AD 2=BC 2-BD 2 高线长： 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中，AD 平分△BAC ，则 （外角平分线定理） 角平分线长：【正弦定理】 222222a c b m a -+=bSinC cSinB SinA a bc c p b p a p p a h a ===---=))()((2ACAB DC BD =为周长一半）其中p A c b bc a p bcp c b t a (2cos 2)(2+=-+=为三角形外接圆半径）其中，R R C c B b A a (2sin sin sin ===【余弦定理】 【张角定理】【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
初中几何常用定理(竞赛)
1已知：AD为BC边上的中线结论：（2）垂线定理已知：AD为BC边上的高结论：（3）梅涅劳斯定理已知：一条直线与△ABC三边或其延长线交于R、Q、P（4）塞瓦定理已知：三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z（5）角平分线定理已知：AD为∠BAC平分线（6）斯特瓦尔特定理已知：D为BC边上一点结论：7结论：（8）外森皮克不等式已知：三角形的面积为S结论：（9）西姆松定理已知：过△ABC外接圆上一点P作三边或其延长线的垂线结论：三个垂足M、N、Q共线（10）海伦公式已知：△ABC三边分别为a、b、c其中（11）燕尾定理已知：△ABC中，AD、BE、CF相交于OAA12已知：△ABC外接圆半径为R，三顶点A、B、C所对的边为a、b、c结论：（13）余弦定理已知：△ABC三顶点A、B、C所对的边为a、b、c结论：（14）张角定理已知：D是△ABC中BC上一点（15）托勒密定理已知：四边形ABCD为圆内接四边形结论：（任意凸四边形ABCD，必有，当且仅当ABCD四点共圆时取等）（16）九点圆定义：三角形三边的中点MHG，三条高的垂足DEF和各顶点与垂心连线的中点PNQ，九点共圆。
结论：①九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；②九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；③九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）DFB CCAAB17已知：M是弦AB中点，任意两条弦CD、EF过点M，DE、CF交AB于P、Q（18）欧拉线定义：三角形的外心O、重心G、九点圆圆心V和重心H，依次位于同一直线上，这条直线即欧拉线（19）弦切角定理已知：PA切圆于点A（20）圆幂定理已知：弦AB与弦CD交于点P结论：已知：PQ切圆于Q，割线PB、PD交圆于A、CDAB CPDPB21结论：已知：P是矩形内任意一点结论：（22）维维亚尼定理已知：P是等边△ABC内任意一点，P到三边的距离分别是，h1、h2、h3，等边△ABC的高为H（23）莫利定理已知：△ABC各内角的三等分线交点为D、E、F结论：△DEF为等边三角形（24）笛沙格定理已知：△ABC和△A1B1C1中，AA1、BB1、CC1交于一点P结论：AB与A1B1交点D，BC与B1C1交点E，AC与A1C1交点F，三点共线B DABBCB CB25定义：三角形内到三个顶点距离之和最短的点结论：①若三角形有一个内角≥120°，则此内角的顶点为费马点；②若三角形三各内角均小于120°，以三角形三边向外作等边△ABE、等边△BCF、等边△ACG，AF、BG、CE交于一点P，点P为费马点，此时（26）婆罗摩笈多定理已知：圆内接四边形的对角线互相垂直相交结论：从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点(G为AD中点)E。
初中数学竞赛知识点归纳(定理)
1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R 三点共线。
不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
不用掌握12.西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 第一角元形式的梅涅劳斯定理 且因为AF=BF 所以AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
-初中数学竞赛定理大全
欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
海伦（Heron）公式：塞瓦（Ceva）定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。
密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（Gergonne）点:△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真摩莱（Morley）三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
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欧拉（ Euler ）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点：已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。
海伦（ Heron）公式：塞瓦（ Ceva）定理：在△ ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。
密格尔（ Miquel ）点：若 AE、 AF、ED、 FB四条直线相交于 A、B、C、 D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（ Gergonne）点 :△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（ Simson）线：已知 P 为△ ABC外接圆周上任意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（ Pappus）定理：已知点 A 、A 、A 在直线 l1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l2上，123123且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。
笛沙格（ Desargues）定理：已知在△ ABC与△ A'B'C' 中， AA'、BB'、CC'三线相交于点 O，BC与 B'C' 、CA与 C'A' 、AB与 A'B' 分别相交于点 X、Y、Z，则 X、Y、Z 三点共线；其逆亦真摩莱（ Morley ）三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与 BC、 CA、AB 相邻的每两线相交于点 D、 E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
帕斯卡（ Paskal ）定理：已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF 延长线交于点 H，边 CD、FA 延长线交于点 K，则 H、G、K 三点共线。
托勒密（ Ptolemy ）定理：在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD（任意四边形都可！哇哈哈）斯图尔特（ Stewart ）定理：设 P 为△ ABC边 BC上一点，且 BP：PC＝ n： m，则m· (AB2) ＋ n· (AC2) ＝ m· (BP2 ) ＋ n·(PC2) ＋（ m＋ n） (AP2)梅内劳斯定理：在△ ABC中，若在 BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线截于点 X、 Y、 Z，则 (BX/XC)· (CY/YA)· (AZ/ZB) ＝ 1阿波罗尼斯（ Apollonius）圆一动点 P 与两定点 A、B 的距离之比等于定比m:n，则点 P 的轨迹，是以定比 m:n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。
布拉美古塔（ Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中， AC⊥ BD，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边。
广勾股定理：在任一三角形中，(1)角的平方，等于两之平方和，减去某和另一在此上的影射乘的两倍．(2)角的平方，等于两的平方和，加上某与另一在此延上的影射乘的两倍．加法原理：做一件事情，完成它有 N 法，在第一法中有 M1种不同的方法，在第二法中有M2种不同的方法，⋯⋯，在第 N 法中有 M(N) 种不同的方法，那么完成件事情共有M1+M2+⋯⋯ +M(N) 种不同的方法。
比如：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，1：火k12：机k23：船k3，那么从北京- 上海的方法N = k1+k2+k3乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2不同的方法，⋯⋯，做第 n 步有 m· n 不同的方法 . 那么完成件事共有N=m1·m2·m3⋯mn 种不同的方法 .正弦定理在一个三角形中，各和它所角的正弦的比相等。
即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （ 2R 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接的直径）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（ R 为三角形外接圆半径）余弦定理：对于任意三角形，任何一边的夹角的余弦的两倍积，若三边为平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们a, b, c三角为A,B,C，则满足性质：a2=b2 +c2-2bc ·Cos Ab2=a2 +c2-2ac ·Cos Bc 2=a2 +b2-2ab ·Cos CCos C= (a2+b2-c2)/2abCos B= (a2+c2-b2)/2acCos A= (c^2+b^2-a^2)/2bc解析几何中的基本公式1、两点间距离：若A (x1, y1), B(x2, y2)，则 AB( x2 x1 ) 2( y2 y1 )22、平行线间距离：若l1 : Ax By C10,l 2 : Ax By C 20C1C2则： dB2A2注意点： x， y 对应项系数应相等。
3、点到直线的距离：P(x , y ),l : Ax By C 0则 P 到 l 的距离为： dAx By CA 2B 2y kx b4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：F( x, y)消 y：ax2bx c 0 ，务必注意0.若 l 与曲线交于 A( x1, y1), B( x2, y2)则： AB(1k 2 )( x2 x1 )25、若 A(x1,y1),(x2,y2) ，（，）。
P在直线AB上，且P分有向线段AB所成B P x y的比为，x x1x2xx1x2 12则，特别地：=1时，P 为 AB中点且y1y2y1y2 y y12变形后：x x1或y y1 x2x y2y6、若直线 l的斜率为 k，直线 l的斜率为 k ，则 l到 l的角为,(0, ) 112212适用范围： k1，k2都存在且 k1 k2－1，tan k2k1 1k1k 2若 l 1与 l 2的夹角为，则 tan k1k2，(0,]1k1 k22注意：（1）l1到 l 2 的角，指从l 1 按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围(0, )l1到 l 2 的夹角：指l1、l 2相交所成的锐角或直角。
（2）l1l 2时，夹角、到角 =。
2（3）当 l 1与 l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、（ 1）倾斜角，(0, )；（ 2） a, b 夹角，[0， ]；（ 3）直线 l与平面的夹角，[0，]；2（ 4） l 1与 l 2的夹角为，[ 0， ] ，其中l1//l 2 时夹角=0；2（ 5）二面角,(0, ]；（ 6） l 1到 l 2的角，(0， )8、直线的倾斜角与斜率k的关系a)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
b)若直线存在斜率 k，而倾斜角为，则 k=tan 。
9、直线 l 1与直线 l 2的的平行与垂直（1）若 l1，l 2均存在斜率且不重合：① l 1//l2k 1 =k2②l 1l 2k 1 k2=－ 1（2）若l1:A1 x B1 y C10,l 2 :A2 x B2 y C 2 0若 A 、A、B 、B 都不为零1212① l1//l2A1B1C1；A2B2C2② l 1l 2 A 1A2+B1B2=0；③ l1与 l 2 相交A1B1A2B2④ l1 与l 2 重合A1B1C1 ；A2B2 C 2注意：若 A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。
10、直线方程的五种形式名称方程斜截式：y=kx+b注意点应分①斜率不存在②斜率存在点斜式：yyk( x x )（1）斜率不存在： xx（2）斜率存在时为y y k (x x )两点式：y y 1 x x 1y 2 y 1 x 2 x 1截距式：x y 1其中 l 交 x 轴于 (a,0) ，交 yab轴于 (0, b) 当直线 l 在坐标轴上， 截距相等时应分：（1）截距 =0 设 y=kx（ 2 ） 截 距 = a 0 设x ya1a即 x+y= a一般式：Ax By C 0（其中 A 、B 不同时为零）11、直线 Ax ByC0 与圆 ( xa) 2 ( y b) 2r 2 的位置关系有三种Aa Bb C若 dB 2 ， d r 相离A 2d r 相切 0dr相交13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆定义Ⅰ：若 F 1，F 2 是两定点， P 为动点，且 PF 1PF 22aF 1F 2 （ a 为常数）则 P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若 F 1 为定点， l 为定直线，动点 P 到 F 1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e （0<e<1），则 P 点的轨迹是椭圆。
标准方程：x2y 2 1 ( a b 0) a 2b 2定义域： { x a x a} 值域： { x b y b}长轴长 =2a ，短轴长 =2b焦距： 2ca 2 准线方程： xc焦 半 径 ： PF 1 e( xa 2) ， PF 2e( a 2x) ， PF 12a PF 2 ，cca c PF 1 a c 等（注意涉及焦半径①用点 P 坐标表示，②第一定义。
）注意：（1）图中线段的几何特征： A 1 F 1A 2 F 2 a c ， A 1 F 2A 2 F 1a cB 1 F 1B 1 F 2B 2 F 2B 2 F 1a ， A 2 B 2A 1B 2a 2b 2 等等。
顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与 a, b, c 有关。
（2） PF 1 F 2 中经常利用余弦定理 、三角形面积公式 将有关线段 PF 1、．．．． ．．．．．．．PF 2 、PF 1 +PF 2 、PF 1 ? PF 22c ，有关角 F 1PF 2 结合起来，建立等关系x a cos（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：；y b sin（4）注意题目中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，请补充当焦点在 y 轴上时，其相应的性质。