初中数学竞赛定理大全.docx

欧拉（ Euler ）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形

的欧拉线；

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的

一半。

费尔马点：

已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。

海伦（ Heron）公式：

塞瓦（ Ceva）定理：

在△ ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P 的直线，分别

交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。密格尔（ Miquel ）点：

若 AE、 AF、ED、 FB四条直线相交于 A、B、C、 D、E、F 六点，

构成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF，

则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（ Gergonne）点 :

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，

则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（ Simson）线：

已知 P 为△ ABC外接圆周上任意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，

则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：

把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

帕普斯（ Pappus）定理：

已知点 A 、A 、A 在直线 l

1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l

2

上，

123123

且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于

点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。

笛沙格（ Desargues）定理：

已知在△ ABC与△ A'B'C' 中， AA'、BB'、CC'三线相交于点 O，

BC与 B'C' 、CA与 C'A' 、AB与 A'B' 分别相交于点 X、Y、Z，则 X、Y、Z 三点共线；其逆亦真

摩莱（ Morley ）三角形：

在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与 BC、 CA、AB 相邻的每

两线相交于点 D、 E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为

摩莱三角形。

帕斯卡（ Paskal ）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF 延长线交于点 H，边 CD、FA 延长线交于点 K，则 H、G、K 三点共线。

托勒密（ Ptolemy ）定理：

在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD

（任意四边形都可！哇哈哈）

斯图尔特（ Stewart ）定理：

设 P 为△ ABC边 BC上一点，且 BP：PC＝ n： m，则

m· (AB2) ＋ n· (AC2) ＝ m· (BP2 ) ＋ n·(PC2) ＋（ m＋ n） (AP2)

梅内劳斯定理：

在△ ABC中，若在 BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线

截于点 X、 Y、 Z，则 (BX/XC)· (CY/YA)· (AZ/ZB) ＝ 1

阿波罗尼斯（ Apollonius）圆

一动点 P 与两定点 A、B 的距离之比等于定比m:n，则点 P 的轨迹，是以定

比 m:n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼

斯圆，简称“阿氏圆”。

布拉美古塔（ Brahmagupta）定理：

在圆内接四边形ABCD中， AC⊥ BD，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边。

广勾股定理：

在任一三角形中，

(1)角的平方，等于两之平方和，减去某和另一在

此上的影射乘的两倍．

(2)角的平方，等于两的平方和，加上某与另一在此延上的影射乘

的两倍．

加法原理：

做一件事情，完成它有 N 法，在第一法中有 M1种不同的方法，在第二法中有M2种不同的方法，⋯⋯，在第 N 法中有 M(N) 种不同的

方法，那么完成件事情共有M1+M2+⋯⋯ +M(N) 种不同的方法。

比如：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，

1：火k1

2：机k2

3：船k3，那么从北京- 上海的方法N = k1+k2+k3

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n 个步，

做第一步有m1种不同的方法，

做第二步有 m2不同的方法，⋯⋯，做第 n 步有 m· n 不同的方法 . 那么完成件事共有N=m1·m2·m3⋯mn 种不同的方法 .

正弦定理

在一个三角形中，各和它所角的正弦的比相等。

即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （ 2R 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接

的直径）

这一定理对于任意三角形ABC，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（ R 为三角形外接圆半径）余弦定理：

对于任意三角形，任何一边的夹角的余弦的两倍积，若三边为

平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们a, b, c三角为A,B,C，则满足性质：

a2=b2 +c2-2bc ·Cos A

b2=a2 +c2-2ac ·Cos B

c 2=a2 +b2-2ab ·Cos C

Cos C= (a2+b2-c2)/2ab

Cos B= (a2+c2-b2)/2ac

Cos A= (c^2+b^2-a^2)/2bc

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若A (x1, y1), B(x2, y2)，则 AB( x2 x1 ) 2( y2 y1 )2

2、平行线间距离：若l1 : Ax By C10,l 2 : Ax By C 20

C1C2

则： d

B2

A2

注意点： x， y 对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：P(x , y ),l : Ax By C 0

则 P 到 l 的距离为： d

Ax By C

A 2

B 2

y kx b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

F( x, y)