概率——列表法
计算概率常用的方法
计算概率的常用方法掌握概率的求法是这一章节的重点，那么求概率有哪些方法呢？下面以中考题为例说明求概率的常用方法。
1、列举法（2009年广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别。
现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球。
（1）请用树状图或其他适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能的情况。
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率。
解析：（1）3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况有：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红，共6种。
（3）由（1）可知，红球恰好放入②号盒子的情况有白红蓝、蓝红白，共2种，所以红球恰好放入②号盒子的概率P=2／6=1／3。
评注：在一次实验中，如果可能出现的结果只是有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
2、列表法（2009年成都）有一个均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有3张背面完全相同，正面上分别写有数字-2、-1、1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值。
（1）用树状图或表格表示出的所有可能的情况。
（2）分别求出当S=0和S＜2的概率。
解析：（1）列表法分析如下：（2）由表格可知，所有可能出现的情况共有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种。
P（S=0）=2／12=1／6；P（S＜2）=5／12。
评注：当一次实验涉及两个因素（例如投掷两个骰子），并且出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法分析随机事件发生的概率。
3、树状图法（2009年安徽芜湖）“六一”儿童节，小明与小亮受邀到科技馆担任义务讲解员，他们俩各自独立地从A区（时代辉煌）、B区（科学启迪）、C区（智慧之光）、D区（儿童世界）这四个主题展区中随机选择一个为参观者服务。
列表法求概率
第第二一个个
1
2
4
5
6
= 1
2
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) P(点数相同）
6 1 36 6
3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
P(点数和是9）= 4 1
3、什么样的情况下用列表法求概率？
尝试解答：如图，甲转盘的三个等分区域分别写
有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数 字4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数 字之和为偶数的概率。
用列表法求概率的步 骤是什么？
解：
甲
12 3
乙45 76
乙 甲
4
5
6
7
1 (1，4) (1，5) (1，6) (1，7)
“同时掷两个质地相同的骰子” 两个骰子各出现的点数为1～6点
“把一个骰子掷两次” 两次骰子各出现的点数仍为1～6点
归纳
随机事件“同时”与“先后”的关系：
“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的。
课堂练习
一个口袋中有4个小球，这4个小球分别标记 为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回， 再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标 号的和为3的概率．
P(都为黄色）=
1 6
乙 甲
红
绿
黄
蓝
红
(红，红) (红，绿) (红，黄) (红，蓝)
黄1 (黄 1，红) (黄 1，绿) (黄 1，黄) (黄 1，蓝)
2 黄
(黄 2，红) (黄 2，绿) (黄 2，黄) (黄 2，蓝)
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
用列表法求概率
的周围的正方形中有3
个地雷，我们把这个
区域记为A区，A区外
记为B区，，下一步
小王应该踩在A区还
是B区？
引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面朝上； (2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
“掷两枚硬币”共有几种结果？
正正
正反 反正 反反
为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？
2
1×2=2 2×2=4 3×2=6 4×2=8 5×2=10 6×2=12
3
1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 5×3=15 6×3=18
4
1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16 5×4=20 6×4=24
5
1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25 6×5=30
乙转盘 4 5 6 7
45 67
√
√
√
√
共 12 种可能的结果
45 √
67 √
与求“指列针表所”指法数对字比之，结和果为怎偶么数样的？概率。
例2、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9；
(3)至少有个骰子的点数是2。
解：一 二 1
2
3
4
5
5、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。 连续投10次。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？，谁得分高，谁就获胜并说明理由 (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。
列出所有可能的结果：
1
用列举法求概率一一列举法和列表法
用心领“悟”
1
2
3
解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:
游戏者获胜的概率为1/6.
转盘 摸球
1
1
2
(1,1)
(1,2)
2
(2,1)
(2,2)
3
(1,3)
(2,3)
1、现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、绿四盏灯，各组中的灯均为并联，两组等同时只能各亮一盏，求同时亮红灯的概率。
(3,4)
(3,3)
(3,2)
(3,1)
(2,6)
(2,5)
(2,4)
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(1,6)
(1,5)
(1,4)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A) 的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以 P(A)=
(5,5)
(2,5)
(1,5)
5
(6,4)
(5,4)
(2,4)
(1,4)
4
6
5
2
1
二
一
此题用列树图的方法好吗？
P(点数相同）=
P(点数和是9）=
P(至少有个骰子的点数是2 ）=
如果把例3中的“同时掷两个骰子”改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化 吗?
用列表法求概率说课稿人教版
用列表法求概率说课稿人教版人教版数学七年级上册第四章《概率》一、说教学目标1. 知识与技能：学会使用列表法求解概率问题。
2. 过程与方法：培养学生分析问题、探究规律的思维方法。
3. 情感态度和价值观：培养学生合作学习、积极思考的意识。
二、说教学重点学会使用列表法求解概率问题。
三、说教学难点能够灵活运用列表法解决实际生活中的概率问题。
四、说教学准备1. 教学素材：PPT、教辅资料、小黑板、彩色粉笔。
2. 教学方法：讲授结合实例演示的方法。
3. 教学手段：讲解、示范、讨论和练习。
五、说教学过程Step1 导入新课通过一个简短的问题引入新课：“小明家里有三个口袋，分别装着5颗红球、3颗蓝球和2颗黄球，如果张三随机从小明的口袋中取出一个球，那么他取到蓝球的概率是多少？”Step2 学习列表法求概率1. 板书教学：“列表法是指将所有可能发生的事件列举出来，然后根据已知条件计算概率。
”2. 通过示范演示的方式，以小明的口袋中球的颜色为例，将所有可能的球的颜色列举出来，然后根据已知条件计算蓝球的概率。
3. 让学生自己动手设计一个概率问题，并用列表法进行求解。
Step3 练习巩固1. 分组讨论：学生分成小组，每组设计一个概率问题，然后用列表法求解。
2. 小组展示：每个小组将自己的问题和求解过程展示给全班同学，让同学之间进行互动、交流。
3. 随堂练习：布置一些相关的概率问题，让学生自己在课堂上进行练习。
Step4 拓展延伸1. 引导学生思考：让学生思考如何用列表法求解复杂的概率问题，如从一副扑克牌中取出两张红心牌的概率是多少？2. 拓展讨论：学生讨论其他的计算概率的方法，如相对频数法和几何概率法。
六、说教学反思通过使用列表法求解概率问题的教学，让学生在实际操作中更好地理解了概率的概念和计算方法，并能够灵活运用列表法解决实际生活中的概率问题。
教学过程中，通过设计练习和讨论环节，增强了学生的动手能力和合作意识。
但在教学过程中，也要注意提醒学生列出所有可能的事件，避免遗漏，同时也要注意引导学生分析实际问题，理解概率的计算方法。
人教版九年级数学上册--25.用列表法求概率-课件
由当上一表次可实知验共涉有及4种两等个可因能素性时的(如结掷果两，个骰子∴)P,(且B)可=2能/4出=1现/2的，结果较多
时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,用列表法.
当堂训练
用列表法求概率
同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率
知识点二
(1)两枚骰子的点数相同；(2)两枚骰子点数的和是9；
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 为事件C)有11种，
由上表可知共有36种等可能性的结果， ∴P(C)=11/36，
课堂小结
列举法 求概率
用列表法求概率
知识梳理
当一次实验涉及一个因素时(如掷一枚骰子),用直接列举法.
列表法
前提条件：确保实验中每种结果出现的可能性大小相等. 适用对象：两个实验因素或分两步进行的实验.
用列表法求概率
提升能力
2.在6张卡片上分别写有1～6,随机的抽取一张后放不回放回，再随机的抽取一
张,那么,第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?
解:列表如下：
其中第一次取出的数字能够整除第
1 2 3 4 5 6 2次取出的数字(记为事件A)有14种，
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
你们赢,如果落地后朝上的是一正一反,老师赢.请问,你们觉得这个游戏
公平吗?
你能把这问题改编成数学问题吗？
典例精讲
用直接列举法求概率
【例1】“先同后时将掷一两硬枚币硬掷币两”次,试求下列事件的概率： 第1枚 (1)两枚硬币全部正面向上；
(2)一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上；
知识点一
知识卡片-列表法与树状图法
列表法与树状图法能量储备在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性的大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．注意：(1)用列举法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同；(2)全面列举出所有可能的结果，各种情况不能重复，也不能遗漏；(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示．通关宝典★基础方法点方法点1：利用概率公式计算某个事件发生的概率时，可利用列表法或画树状图法找全所有可能出现的情况，并将可能出现的全部的结果数作为分母．例1袋中有大小相同、标号不同的白球2个，黑球2个．(1)从袋中连取2个球后不放回，取出的2个球中有1个白球，1个黑球的概率是多少？(2)从袋中有放回地取出2个球的顺序为黑、白的概率是多少？解：(1)根据题意列表如下：共有12种等可能情况，符合题意的有8种，故有1个白球，1个黑球的概率P ＝812＝23. (2)画树状图如图所示．共有16种等可能情况，符合条件的有4种，故取球顺序为黑、白的概率P ＝416＝14. ★ ★ 易混易误点易混易误点1:研究所有等可能结果时重复或遗漏例2 从装有两个红球、两个黄球(每个球除颜色外其他均相同)的袋中任意取出两个球，取出一个红球和一个黄球的概率是( )A.13B.23C.14D.12解析：我们不妨把四个球分别记为红1，红2，黄1，黄2，从中摸出两个球的所有可能结果为(红1，红2)，(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，其中一红一黄共有4种，故其概率P ＝46＝23.故选B . 答案：B分析：本题易错误地认为任意取出两个球，共可能出现“两红”“两黄”“一红一黄”三种可能的结果，所以任意取出两个球，取得一个红球和一个黄球的概率为13. 易混易误点2:不能准确区分放回抽样与不放回抽样对事件发生概率的影响例2 有完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，－1，2，－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后不放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m ，n ，以m ，n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点(m ，n)不在第二象限的概率．解：用列表法．可以看出，共有12种等可能的情况，其中点(m，n)不在第二象限的有8种情况，所以点(m，n)不在第二象限的概率P＝812＝23.,注意：对于某一关注的结果，放回抽样与不放回抽样是完全不同的，本题易忽视“不放回”这一条件而错误地列出如下表格求错概率．蓄势待发考前攻略考查用列表法或画树状图法求事件的概率是中考的必考内容，命题形式有填空题、选择题、解答题，难度适中．试题常用的背景有摸球、抽取卡片、转转盘、掷骰子等富有生活气息及与社会生活息息相关的内容，是中考的命题趋势，要引起重视.完胜关卡。
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25.2 用列表法求概率
（一）用列表法求概率
1.（2017-云南中考）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机取出1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字。
（1）用列表法写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字相同的概率P.
2.（2016-昆明中考）甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表的方法，表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
3.（2009-云南中考）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用列表法说明理由．
4.（2016-云南中考）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．（1）请用列表的方法，把抽奖一次可能出现的结果表示出来；（2）求能中奖的概率P．
5.（2015-云南中考）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方体骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其它都相同）．先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢．问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．
6.（2015-昆明中考）小云玩抽卡片和转转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2的
不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字－1，
3，4（如图所示）；小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数
字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则
重转一次，直到指针指向某一区域为止）。
（1）请用列表的方法，表示出两次所得数字可能出现的所以结果；（2）求出两个数字之积为负数的概率。