用列举法求概率一一列举法和列表法
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
25.2.1 运用直接列举或列表法求概率
=
7
18
1.小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社
会调查”其中一项那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( A )
1
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
3
D.
4
2.有A，B两个不透明的口袋，每个口袋里装有两个相同的球，A袋中的两个
球上分别写了“细”、“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”、
“心”的字样,从每个口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概
率是( B )
1
A.
3
1
B.
4
2
C.
3
3
D.
4
3.若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概
率为( A )
1
A.
2
3
B.
4
1
C.
3
1
D.
4
4.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这
三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是( C )
(1)两枚硬币全部正面向上；
(2)两枚硬币全部反面向上；
(3)一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【适用范围】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步
进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【点睛】当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现
11
所以P(C)=
36
用列举法求概率一一列举法和列表法
用心领“悟”
1
2
3
解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:
游戏者获胜的概率为1/6.
转盘 摸球
1
1
2
(1,1)
(1,2)
2
(2,1)
(2,2)
3
(1,3)
(2,3)
1、现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、绿四盏灯，各组中的灯均为并联，两组等同时只能各亮一盏，求同时亮红灯的概率。
(3,4)
(3,3)
(3,2)
(3,1)
(2,6)
(2,5)
(2,4)
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(1,6)
(1,5)
(1,4)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A) 的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以 P(A)=
(5,5)
(2,5)
(1,5)
5
(6,4)
(5,4)
(2,4)
(1,4)
4
6
5
2
1
二
一
此题用列树图的方法好吗？
P(点数相同）=
P(点数和是9）=
P(至少有个骰子的点数是2 ）=
如果把例3中的“同时掷两个骰子”改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化 吗?
252第1课时运用直接列举或列表法求概率
252第1课时运用直接列举或列表法求概率直接列举法是一种简单但有效的方法来求解概率问题。
它适用于问题的样本空间较小且易于列举的情况。
在这种方法中，我们将所有可能发生的事件列出，并计算它们发生的概率。
下面是一个关于使用直接列举法求解概率的例子。
假设有一个装有5个红球和3个蓝球的盒子。
现在我们随机从盒子中抽取两个球，不放回。
我们想要计算从中抽取的两个球都为红球的概率。
首先，我们需要确定样本空间，也就是所有可能发生的事件。
从盒子中抽取两个球，不放回，有以下8种可能的结果：(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,B),(R,B),(B,B)其中(R,R)表示从盒子中抽取的两个球都是红球，(R,B)表示从盒子中抽取的一个红球一个蓝球。
在这个问题中，我们可以看到样本空间里有8种可能的结果，每种结果的发生概率都是相等的。
因此，我们只需要统计样本空间中符合条件（两个球都是红球）的结果占样本空间的比例即可。
我们可以看到符合条件（两个球都是红球）的结果有6种，它们是：(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,B)所以，从中抽取的两个球都为红球的概率就是6/8，即3/4通过这个例子，我们可以看到直接列举法的一个重要步骤是确定样本空间，并从中找出符合条件的结果。
然后，我们计算这些结果出现的概率，并求和。
最后，我们得到的和就是我们要求解的概率。
直接列举法在处理小样本空间的问题时是非常实用的。
然而，当样本空间较大且难以列举时，直接列举法就不再适用了。
在这种情况下，我们需要使用其他方法来求解概率，例如排列组合、条件概率、贝叶斯定理等。
总结起来，直接列举法是一种计算概率的简单但有效的方法，适用于问题的样本空间较小且易于列举的情况。
25.2 第1课时 用直接列举法和列表法求概率
25.2用列举法求概率第1课时用直接列举法和列表法求概率一、基本目标【知识与技能】1．掌握用直接列举法和列表法求简单事件的概率的方法．2．运用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的实际问题．【过程与方法】经历试验操作、观察、记录的过程，探究如何画出适当的表格，列举出事件的所有等可能结果，并总结出用列表法求事件概率的方法．【情感态度与价值观】合作探究如何画出适当的表格列举事件的所有等可能的结果，养成合作意识，形成缜密的思维习惯．二、重难点目标【教学重点】利用直接列举法和列表法求随机事件的概率．【教学难点】画出适当的表格列举事件的所有等可能的结果．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P136～P138的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小__相等__，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能出现的结果有__正正__、__正反__、__反正__、__反反__，先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，所有可能出现的结果有__正正__、__正反__、__反正__、__反反__，故这两种试验的所有可能结果__一样__.环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币．(1)求硬币两次都正面向上的概率；(2)求硬币两次向上的面相反的概率．【互动探索】(引发学生思考)上述问题中一次试验涉及几个因素？你是用什么方法不重复不遗漏地列出了所有可能的结果？【解答】列举先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币的全部结果，它们是：正正、正反、反正、反反．所有的结果有4种，并且这4种结果出现的可能性相等．(1)所有可能的结果中，满足硬币两次都正面向上的结果只有1种，即“正正”，所以P (硬币两次都正面向上)＝14.(2)硬币两次向上的面相反的结果共有2种，即“正反”“反正”，所以P (硬币两次向上的面相反)＝24＝12.【互动总结】(学生总结，老师点评)在一次试验中，如果可能出现的结果比较少，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以直接列举出试验结果，从而求出随机事件发生的概率．【例2】有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1,2,3,4,5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取1张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取1张．(1)求两次抽到的数都是偶数的概率；(2)求第一次抽到的数比第二次抽到的数大的概率； (3)求两次抽到的数相等的概率．【互动探索】(引发学生思考)上述问题中一次试验涉及几个因素？你是用什么方法不重复不遗漏地列出了所有可能的结果？【解答】列表如下：(1)两次抽到的数都是偶数的结果有4种，即(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)，所以P (两次抽到的数都是偶数)＝425.(2)第一次抽到的数比第二次抽到的数大的结果有10种，即(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，所以P (第一次抽到的数比第二次抽到的数大)＝1025＝25. (3)两次抽到的数相等的结果有5种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，所以P (两次抽到的数相等)＝525＝15.【互动总结】(学生总结，老师点评)在一次试验中，如果可能出现的结果比较多，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以列表列举出试验结果，从而求出随机事件发生的概率．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是( B ) A.12 B ．13C.14D ．152．在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是( C )A.18 B ．16C ．14D ．123．李玲有红色、黄色、白色的三件运动短袖上衣和白色、黄色两条运动短裤．若任意组合穿着，则李玲穿着“衣裤同色”的概率是__13__.4．同时掷两枚质地均匀的六面体骰子，计算下列事件的概率： (1)两枚骰子点数的和是6； (2)两枚骰子点数都大于4； (3)其中一枚骰子的点数是3. 解：列表如下：们出现的可能性相等．(1)两枚骰子点数的和是6的结果有5种，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P (两枚骰子点数的和是6)＝536.(2)两枚骰子点数都大于4的结果有4种，即(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，所以P (两枚骰子点数都大于4)＝436＝19.(3)其中一枚骰子的点数是3的结果有11种，即(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，所以P (其中一枚骰子的点数是3)＝1136.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例3】如图所示，小明和小亮用转盘做“配紫色”游戏(红色和蓝色在一起能配成紫色)．小明转动的A 盘被等分成4个扇形，小亮转动的B 盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．两人转动转盘得到的两种颜色若能配成紫色则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？【互动探索】(引发学生思考)结合概率的相关知识，要使游戏对双方公平，则两人获胜的概率之间有什么关系？【解答】列表如下：性相同．其中能配成紫色的结果有3种，所以P (小明获胜)＝312＝14，P (小亮获胜)＝1－14＝34.因为14≠34，所以这个游戏对双方不公平．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个游戏对双方是否公平，就看双方获胜的概率是否相等．若相等，则公平．否则，不公平．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 请完成本课时对应练习！。
25.2用列举法求概率--上课用
地扔进抽屉里，当他随意地从抽屉里拿出两只袜子时，恰
好成双的概率是多少？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
思考：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两
次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结
果一样吗？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变 化吗？为什么?
思考：如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
2.在一个不透明的布袋中有4个完全相同的乒乓球， 把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个乒乓球，
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
练习3.有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着
1,2,3,4,5,6.随机抽取1张后,放回并混在一起,再随机抽
取1张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字
的概率是多少?
三.课堂小结：
1.用列表法求概率时要注意些什么? 2.什么时候用列表法?
反思：用列表法求概率 1.步骤： ①列表：分清一次试验所涉及的两个因素，一个为横行， 一个为竖行，制作表格；
②计数：通过表格中的数据，分别求出某事件发生的数量
m与该试验的结果总数m的值；
③计算：利用概率公式
2.适用条件：
P ( A)
m n
计算出事件的概率．
如果事件中各种结果出现的可能性均等，含有两次操作 (如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件．
练习3.在一个不透明的口袋中装有红球2个，黑球2
用列举法、列表法求概率
25.2.1 用列举法求概率例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面向上；（2）两枚硬币全部反面向上；（3）一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.练习：1.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，求能让灯泡发光的概率.2.如图，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关.（1）请你列举出所有等可能的结果.（2）请你求出使电路形成通路的概率.3.一口袋中有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题:(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率；(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；(3)求这三根细木成等腰三角形的概率.25.2.2 用列表法求概率例2.同时掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子点数的和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.例题（放回问题）（2017年省卷19题）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，-2,7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字.(1) 用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所有可能出现的结果；(2) 求两次取出的小球上的数字相同的概率P.例题（不放回问题）（2018年省卷19题）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x；再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y.(1) 用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所有可能出现的结果；(2) 求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P.练习：1.（2020年省卷19题）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游。
用列举法求概率
A
B
正
反
正 正正 反正
反 正反 反反
第五页，编辑于星期三：点 二十三分。
解：掷两枚硬币，不妨设其中一枚为A，另一枚为B， 用列表法列举所有可能出现的结果:
A
B
正
反
正 正正 反正
(1)两枚硬币全部正
面朝上；
反 正反 反反
1
（1） P（正正）=
41
（2） P（反反）=
（3）
4
P（一正一反）=
2
1
==
42
正正
正反 反正
反反
为了不重不漏地列出所有这些结果,
你有什么好办法么？
第四页，编辑于星期三
(1)两枚硬币全部正面朝上；
(2)两枚硬币全部反面朝上；
(3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
解：掷两枚硬币，不妨设其中一枚为A，另一枚为B， 用列表法列举所有可能出现的结果:
小结 1.“列表法”的意义 2.随机事件“同时”与“先后”的关系; 3.“放回”与“不放回”的关系.
第十七页，编辑于星期三：点 二十三分。
练习
1、一个袋子中装有2个红球和2个绿球，任意摸出一个球 ，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两次 都摸到红球的概率。
若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？
第十二页，编辑于星期三：点 二十三分。
例2、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9； (3)至少有一个骰子的点数是2。
解第：2枚第1枚 1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
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mianyangshiyanzhongxue heyi
2012.112.25
复习引入
• 必然事件； 在一定条件下必然发生的事件，
• 不可能事件； 在一定条件下不可能发生的事件
• 随机事件； 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，
2.概率的定义 •事件A发生的频率m/n接近于 某个常数，这时就把这个常数叫 做事件A的概率，记作P（A）.
这个游戏对小亮和小明公 平吗？
你能求出小亮得分的概率吗?
用表格表示
红桃 1
2
3456 Nhomakorabea黑桃
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
等可能性事件
等可能性事件
等可能性事件的两个特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等；
等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解 的方法．
例2：掷两枚硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面朝上。 （2）两枚硬币全部反面朝上。 （3)一枚硬币正面朝上，一枚反面朝下。
0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
• 问题1.掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？
。正面、反面向上2种，可能性相等
• 问题2.抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几 种可能？ 6种等可能的结果
• 问题3.从分别标有1.2.3.4.5.的5根纸签中随机抽 取一根，抽出的签上的标号有几种可能？ 5种等可能的结果。
5 1，5 2，5 3，5 4，5 5，5 6，5 4 1，4 2，4 3，4 4，4 5，4 6，4 3 1，3 2，3 3，3 4，3 5，3 6，3 2 1，2 2，2 3，2 4，2 5，2 6，2 1 1，1 2，1 3，1 4，1 5，1 6，1
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可
能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等
你估计两次都摸到红球的概率是______1__。 2、某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白4、蓝三条
长裤，该人任意拿一件衬衫和一条长裤，求正好
是一套白色的概率_______1__。
3、在6张卡片上分别写有19—6的整数,随机的抽取
一张后放回,再随机的抽取一张，那么,第一次取出 的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?
解：将两次抽取卡片记为第1个和第2个，用表格列出所有可 能出现的情况，如图所示，共有36种情况。
3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
图 的
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 方
法
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 好
6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,5) (6,6)
（3）至少有一个骰子的点数为2。
分析：当一次试验要涉及两个因素（例如3:掷两 个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不
重不漏地列出所有可能结果，通常采用 列表法 。
把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
第2个
6 1，6 2，6 3，6 4，6 5，6 6，6
12
3
4
5
6 第1个
解：由表可看出，同时投掷两个骰子，可能 出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6个
P( A) 6 1 36 6
（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个
P(B) 4 1 36 9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个。
掷两枚硬币，不妨设其中一枚为A，另一枚为B， 用列表法列举所有可能出现的结果:
B
A
正
反
正 正正 正反
反 反正 反反
问题：利用分类列举法可以事件发生的各 种情况，对于列举复杂事件的发生情况还 有什么更好的方法呢？
例3.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列 事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同; （2）两个骰子点数的和是9；
满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A)
的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)
这9种情况,所以
P(A)=
总结经验:
9 36
1 4
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出
现的结果数目较多时,为了不重不漏的列
出所有可能的结果,通常采用列表的办法
随堂练习 （基础练习） 1、一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一 球,记录颜色放回,再任意摸出一球,记录颜色放回,请
P(C ) 11 36
例3、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9；
(3)至少有个骰子的点数是2。
解：一 二 1
2
3
4
5
6
此 题
1
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
用 列
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 树
吗 ？
P(点数相同）= 6 1
36 6
11
P(点数和是9）=
4 1 36 9
P(至少有个骰子的点数是2 ）= 36
如果把例3中的“同时掷两个骰子”改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化 吗?
没有变化
思考:
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分 别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃 中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字 之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得 到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这 个游戏的规则吗?