2009理全国2

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题： 1. 10i 2-i=A. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴= .故选B. 3. 已知A B C ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =A.1213B.513C.513-D. 1213-解：已知A B C ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.221112cos 1351tan 1()12A A=-=-=-++-故选D.4.曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.5. 已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，E 为1A A 中点，则异面直线B E 与1C D 所成的角的余弦值为A.1010B.15C.31010D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线B E 与1C D 所成的角即1A B与B E 所成的角。

在1A B E ∆中由余弦定理易得1310cos 10A BE ∠=。

故选C6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A. 5B. 10C.5D. 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++ ||5b ∴=。

故选C7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>解：322log 2log 2log 3b c <<∴>2233l o g 3l o g 2l o g 3l o g a b abc π<=<∴>∴>> .故选A.8. 若将函数()t a n 04y x πωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．16B.14C.13D.12解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-，又m in 102ωω>∴=.故选D9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A. 13B.23C.23D.223解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作A M l ⊥于M ,B N l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结O B ,则1||||2O B A F =,||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)1(2)3k -∴==--, 故选D10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。

则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种解：用间接法即可.22244430C C C ⋅-=种. 故选C11. 已知双曲线()222210,0x yC a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．65B.75C.58D.95解：设双曲线22221x yC a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作A M l ⊥于M ,B N l ⊥于N ,BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为16060,||||2B A D A DA B ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(|||A M B N A D AFFBe -==-11|(||||)22B A F F B ==+ . 又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= 故选A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。

现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“∆”的面的方位是A. 南B. 北C. 西D. 下 解：展、折问题。

易判断选B第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡上。

13. ()4xy y x-的展开式中33x y 的系数为 6 。

解：()4224()x y y xx y x y -=-，只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数：246C =14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 9 .解：{}n a 为等差数列，9553995S a S a ∴==15.设O A 是球O 的半径，M 是O A 的中点，过M 且与O A 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 8π.解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ，2277.444r r ππ==,得由因为22224R O C R =⋅=。

由2222217()484R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π.16. 已知A C B D 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为()1,2M ,则四边形A B C D 的面积的最大值为 。

解：设圆心O 到A C B D 、的距离分别为12d d 、,则222123d d O M==+.四边形A B C D 的面积222212121||||2(4)8()52S A B C D d d d d =⋅=-≤-+=)(4-三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分）设A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B 。

分析：由3c o s ()c o s 2AC B -+=，易想到先将()B A C π=-+代入3c o s ()c o s 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=。

然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2sin sin sin B A C =，进而得3sin 2B =.故233B ππ=或。

大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=时，由1cos cos()2B AC =-+=-，进而得3cos()cos()212A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。

也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23B π=。

不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

18（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1A A 、1B C 的中点，D E ⊥平面1BC C（I ）证明：A B A C =（II ）设二面角A B D C --为60°，求1B C 与平面BC D 所成的角的大小。

（I ）分析一：连结BE ，111ABC A B C - 为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=︒E 为1B C 的中点，B E E C ∴=。

又D E ⊥平面1BC C ，B D DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而D A ⊥平面ABC ， A B A C ∴=（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取B C 的中点F ，证四边形A F E D 为平行四边形，进而证A F ∥D E ，AF BC ⊥，得A B A C =也可。

分析三：利用空间向量的方法。

具体解法略。

（II ）分析一：求1B C 与平面BC D 所成的线面角，只需求点1B 到面B D C 的距离即可。

作A G B D ⊥于G ，连G C ，则G C B D ⊥，A G C ∠为二面角A B D C --的平面角，60A G C ∠=︒.不妨设23AC =，则2,4A G G C ==.在RT ABD ∆中，由A D A B B D A ⋅=⋅，易得6AD =.设点1B 到面B D C 的距离为h ，1B C 与平面B C D 所成的角为α。

利用11133B BC B CD S DE S h ∆∆⋅=⋅，可求得h =23，又可求得143B C = 11s i n 30.2h B Cαα==∴=︒ 即1B C 与平面BC D 所成的角为30.︒分析二：作出1B C 与平面BC D 所成的角再行求解。

如图可证得BC AFED ⊥面，所以面AFED BDC ⊥面。

由分析一易知：四边形A F E D 为正方形，连A E D F 、，并设交点为O ，则EO BDC ⊥面，O C ∴为E C 在面B D C 内的射影。

ECO ∴∠即为所求。

以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面B D C 的法向量n，则1B C 与平面BC D 所成的角即为1B C与法向量n 的夹角的余角。

具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。

命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

19（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。

解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a ab a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=- ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n na a ++∴-=∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列．∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅评析：第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可．第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=⋅，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数)，主要的处理手段是两边除以1n q +．总体来说，09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。