2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ，则=⋃B A ( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3) 2．若a 为实数，且i iai+=++312，则=a ( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ． 43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量()1,1-=a ，()2,1-=b ，则()=⋅+a b a 2 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．5B ．7C ．9D ．116.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157．已知三点()01，A ()30，B ，()32，C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.438.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a ( ) 第8题图A ．0B ．2C ．4D ．14 9．已知等比数列{}n a 满足411=a ，()14453-=a a a ，则=2a ( )A ．2B ．1 C.12 D.1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π11.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln xx x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ________.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则y x z +=2的最大值为________．15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为________．16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ________.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2= (1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠ 18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．图①B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数2814106(1)在图②中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19.(本小题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，10=BC ,81=AA ，点E ,F 分别在11B A ,11C D 上，411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22，点()22，在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．(1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值 24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．1、选A2、故选D3、选D4、选C5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解：如图所示，选D.7、选B. 8、故选B.9、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以， .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442=R ππ，故选C.11、解：如图，当点P 在BC 上时，,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B.12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x xx x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得 故选A.第二卷一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y 取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为.8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。

时曲线为或解得由联立得与将二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）17、解：（Ⅰ）由正弦定理得,sin sin AB ACC B =∠∠再由三角形内角平分线定理得∴==，21BD DC AB AC .21sin sin =∠∠C B（Ⅱ）︒=∠+∠∴︒=∠120,60C B BAC.30,33tan ,sin 2)120sin(,sin 2sin .21sin sin 1︒=∠∴=∠=∠-︒∴∠=∠∴=∠∠B B B B B C C B 展开得）得由（18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示B 地区用户满意度评分的频率分布直方图频率组距比较A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分B 地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分xP O DCBAA 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。

（2）A 地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6， B 地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，所以A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。

19、解：（I ）在AB 上取点M,在DC 上取点N ，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF ，即平面α。

（II ）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121=++==EMBB AMEA S S V V20、解、（I ）如图所示，由题设得,22=a c 又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422=+ba ，联立解得：.148,4,82222=+==yx C b a 的方程为：所以切线（II ）设A,B 两点的坐标为.,,,,,2211mnk n m M y x y x om =）的坐标为（点）），（（ ,82,8222222121=+=+y x y x 则上面两个式子相减得：.2222121.0)()(22121121221222122nmn m y y x x x x y y x x y y -==⨯-=++-=--=-+-变形得.21)2(1212-=⨯-=⨯--=⋅∴m n n m m n x x y y k k oml （定值）21、解：已知()()ln 1f x x a x =+-..),1()1,0)(00)(0.1)(')1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当+∞>∞+≤-=aa x f a x f a a xx f （II ）由（1）知，当.ln 1)1(1)(0a a a f a x x f a --==>时取得最大值在时，函数 .01ln ,22ln 1<-+->--a a a a a 整理得由.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(',00,11',1ln )(）即上述不等式即函数。