随机信号复习提纲

第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()2112222111,,exp 222exp ,,exp 22T Tx m XXXXXn n XT T jU XX XXX n X M X M f x ef x x U U u Q u j m Q u u E ej M U σσππσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C另外一些性质： []()20XY XY X YXC R m mD XE X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。

（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。

（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（0()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

（P92 同一时刻、不同时刻）9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。

P92()()()()XY YX XY YX R R C C ττττ=-=-10、复随机过程定义、自相关函数定义、复平稳定义。

P94()()(),Z R t t E Z t Z t ττ*⎡⎤+=+⎣⎦11、随机过程 “均方可微”P104、“均方可积”P106 12、平稳过程导数的分析P106。

期望、自相关函数、互相关函数()()()22()()()X X X XY YX Y dR dR d R R R R d d d τττττττττ==-=-13、高斯随机过程的一系列性质：◆高斯过程的特征函数、协方差矩阵。

◆高斯过程的线性变换、高斯过程的微分、高斯过程的积分，仍是高斯过程。

◆高斯过程的不相关＝独立。

◆平稳高斯过程 宽平稳＝严平稳 （2-180） 14、各态历经过程的定义、及在电子技术中的物理意义。

时间均值、时间自相关定义式直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率第三章 随机信号的频域分析最重要的知识点: 维纳—辛钦定理⑴平稳过程,()()X X G R ωτ↔⑵两个联合平稳的实随机过程，()()()()12j XYXY j XY XY G R e d R G e d ωτωτωτττωωπ∞--∞∞-∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ ◆实随机过程功率谱密度()X G ω是非负、实、偶函数 ◆互谱密度的性质 ()()()XY YX YX G G G ωωω*==-2(),0()2()()0,01()02()1()()2X X X X X XX G F G U F G F G ωωωωωωωωωωωω≥⎧==⎨<⎩⎧≥⎪⎪⇒=⎨⎪⎪⎩-<是非函数偶负的实§3.3 白噪声⑴定义：平稳随机过程、均值为零、功率谱密度在整个频率轴(,)-∞+∞上均匀分布 (三个条件)⑵白噪声的自相关函数是一个面积等于功率谱密度的冲激函数()()()20()0X X P E Xt R G ωδ⎡⎤===⎣⎦⑶白噪声带宽无限⑷白噪声不同时刻的状态互不相关、正交 （如果是高斯。

）第四章 随机信号通过线性系统的分析§4.1 线性系统的基本理论 稳定的物理可实现系统§4.2 随机信号通过线性系统 时域分析()()()()()(0)()()()()()()XY X Y Y XY X YX X Y m h d R R h h P R R R m R h R h ττττττττττττ∞==**-==*=*-⎰频域分析 输入信号()X t 宽平稳，输出信号()Y t 也宽平稳，且()Y t 与()X t 联合平稳()220(0)(0)()()()()()()()()()()()()11()()()22Y X Y X X XY X YX X Y Y X m m H H h d G G H G H H G H G G H G P G d H G d ττωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞∞-∞-∞=⋅===-=⋅⎧⎨=-⋅⎩==⎰⎰⎰§4.3色噪声的产生与白化滤波器掌握设计方法()()()()222()()()(),Y X G G H H j s H s H s H s H s ωωωωω⎧=⇒⎪⎪==-⎨⎪⎪⎩三个步骤：分解选择零极点都在左半平面§4.4 白噪声通过线性系统⑴白噪声通过线性系统后，白噪声通过线性系统后输出的功率谱密度完全由系统的频率特性所决定。

02001()()((22))2j Y N R h u h u du eN H d ωττωτωπ∞∞-∞=+=⎰⎰22000(0)()()22Y Y N N P R h u du H d ωωπ∞∞===⎰⎰⑵等效噪声带:用一个频率响应为矩形的理想系统来代替实际系统m ax()I YK H ω=⎧⎪⎨=⎪⎩P P 输入为同一白噪声时等效原则：22max m x 0a 0()(22)YY I e e H N N H πωπωωω∆∆⋅⇒===P P P频域法22m ax|()|()e H d H ωωωω∞∆=⎰低通22|()|(0)H d H ωω∞=⎰带通2200|()|()H d H ωωω∞=⎰时域法22m ax()()e h u duH ωπω∞∆=⎰低通 带通 22()()()()2Y X N G G H H ωωωωω==-∞<<∞()220()e h t dt h t dt πω∞∞⎡⎥=∆⎤⎢⎣⎦⎰⎰()02020()t e j h u duh t e dt ωωπ∞∞-=⎡⎤⎢⎥⎣∆⎦⎰⎰线性系统的结论：双侧随机信号()X t输入物理可实现系统1、若输入()X t是宽平稳的，则系统输出()Y t也是宽平稳的，且输入与输出联合平稳2、若输入()X t是严平稳的，则输出()Y t也是严平稳的。

3、若输入()X t是宽各态历经的，则输出()Y t也是宽各态历经的4、若线性系统输入为高斯过程，则输出为高斯分布5、若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布（输入白噪声的情况）第六章 窄带随机信号㈠Hilbert 变换及其性质。

()()[][]()()()()11ˆˆˆ()()()()sgn()()ˆ()()()()()2()()ˆˆ()()cos sin cos sgn()sin sin sgn()cos sin cos st s t st S j S tst s t js t st S S U st s t HH H a t t a t t H t tH t tH a t t a t tωωωπωωωωωωω-=*⇔=-=+⇔==-=-⎧=⎡⎤⎧Ω=Ω⋅Ω⎪⎪⎣⎦⎨⎨Ω=-Ω⋅Ω=-⎡⎤⎪⎪⎩⎣⎦⎩㈡随机过程的“解析形式”、及性质及其复指数形式()()ˆˆˆˆˆˆˆ()()()()()()()ˆˆ()()()()()sgn ()()sgn ()ˆ()2()2()()()4()()()()()o X X X X X X XX XX X X XX XX X X X X X X j X X A Xt X t jX t R R G G R R R R G j G G j G R R R jR G G U R R eG G ωτττωωττττωωωωωωττττωωωττω=+=⎧⎪⎨=⎪⎩⎧==-⎪⎨=-=⎪⎩⎧⎡⎤==+⎪⎣⎦⎨=⎪⎩=↔= 0()A ωω-。