【精选】新课标高考数学二轮复习专题能力训练6三角函数的图象与性质理
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
高考数学二轮复习 第二部分 专题二 专题强化练六 三角函数的图象与性质 理
专题强化练六三角函数的图象与性质一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C．π D．2π解析：f(x)＝tan x1＋tan2x＝sin xcos x1＋sin2xcos2x＝sin x cos xcos2x＋sin2x＝sin x cos x＝12sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案：C2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：f(x)＝2cos2x－sin2x＋1＝1＋cos 2x－1－cos2x2＋2＝52＋3cos 2x2.所以f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为4.答案：B3.(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则点P所在的圆弧是( )A.AB︵B.CD︵C.EF︵D.GH︵解析：由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在AB︵上，tan α>sin α，不满足；在CD ︵上，tan α>sin α，不满足；在EF ︵上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α满足； 在GH ︵上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足． 故选C. 答案：C4．偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数f (x )与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22 B.62C. 2 D ．2 2 解析：依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0＜φ＜π. 所以φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.答案：C5．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 解析：把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z)．令k ＝1，得34π≤x ≤54π.所以函数g (x )＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4. 答案：A 二、填空题6．(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：因为函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π3对称，所以x ＝π3时，函数取得最大值或最小值，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝k π－π6(k ∈Z)．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π6.答案：－π67．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：依题意，当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则πω4－π6＝2k π(k ∈Z)． 所以ω＝8k ＋23(k ∈Z)，由ω＞0，所以ω的最小值为23.答案：238．(2018·广东省际名校联考(二))将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________．解析：f (x )＝－23cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－ 3.所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12三、解答题9．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2. (2)f (x )的最小正周期为π.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝5π12＋k π(k ∈Z)时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝5π12＋k π，k ∈Z ，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝5π12.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝5π6，则x 1＝5π6－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.11．(2018·郑州市调研)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ，2)(ω＞0)，函数f (x )＝m ·n ＋3，若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，求函数g (x )的值域． 解：(1)f (x )＝m ·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知，最小正周期为T ＝π， 所以ω＝1，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π.故函数f (x )的增区间为[－π8＋k π，3π8＋k π]，k ∈Z. (2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象．故g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，由π4≤x ≤π2，知5π4≤4x ＋π4≤9π4， 所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22，故函数g (x )的值域为[－2，1]．。
高考数学二轮强化突破：专题6《三角变换、三角函数的图象与性质》课件
10°＝( )
A．－
3 2
3 B. 2
C．－12
1 D.2
[立意与点拨] 考查诱导公式；两角和的正弦公式．解答本题
先用诱导公式化为符合两角和与差的正弦或余弦公式形式，再套
用公式求值．
[答案] D
[解析] 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30° ＝ 12，故选 D .
f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝ 43， 所以 f(x)在区间－π3，π4上的最大值为 43，最小值为－12.
易错防范
案例 1 忽视角的范围致误 已知 sinα＝ 55，sinβ＝ 1100，且 α、β 为锐角，则 α＋β＝________. [易错分析] 本题解题中常因没有注意到 sinα＝ 55，sinβ＝ 1100对角的范围的限制，造成错解．
2．以大题形式考查三角函数的图象与性质，常常与解三 角形及平面向量结合，考查三角恒等变换，图象变换及三角函 数的性质，题型以中低档为主，复习的关键是熟练掌握基本概 念，图形的分布变化规律和三角函数的基本性质.
考题引路
考例 1 (文)(2015·新课标Ⅰ理，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin
π6≤x≤51π2时，f(x)单调递增；当π2≤2x－π3≤π，即51π2≤x≤23π时，f(x)
单调递减，综上可知，f(x)在[π6，51π2]上单调递增；在[51π2，23π]上单
递递减．
(理)(2015·天津理，15)已知函数 fx＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． [立意与点拨] 考查两角和与差的正余弦公式；二倍角的正余 弦公式；三角函数的图象与性质．解答本题先用倍角公式降幂， 再用和角公式化为一角一函形式，最后利用单调性求最值．
2024届高考二轮复习数学课件(新高考新教材)：三角函数的图象与性质
f(π-x)=sin(π-x)+cos(π-x)sin(π-x)=sin x-cos xsin x≠f(x),因此 f(x)的图象关于直
∴f
4π
3
13π
+
6
=f
π
3
π
2- 6
.
=0,f
7π
-4
=f
π
4
4
13π π
T=3 × 12 - 3
π
=2,∴φ=- +2kπ,k∈Z.
6
=1.
=π, 故 ω=2.
由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得 f(x)<0 或 f(x)>1.
结合题中图象可知,满足 f(x)>1 的 x 离 y 轴最近的正数取值区间为
A.-4
B.4
1
C.3
)
1
D.
3
答案 C
解析 ∵cos
则 tan
π
-
4
π
+
2
=
=2cos(π-α),∴-sin α=-2cos α,即 tan α=2,
1-tan 1
=- .
1+tan 3
规律方法点的坐标与三角函数值的关系
根据三角函数的定义,可以由给定角的终边上一点的坐标,求出该角的各个
三角函数值;反之,当给定
y=sin(ωx-φ).
3.三角函数的周期性
2π
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)和 f(x)=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期为||.
高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题06 三角函数的图像与性质(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题06 三角函数的图像与性质【自主热身，归纳总结】1、已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．【答案】： 3＋2 2【解析】：由tan θ＝6cos θ得sin θ＝6cos 2θ，即sin θ＝6(1－sin 2θ)，解得sin θ＝63(负值已舍去)，cos θ＝33，代入sin θ＋cos θsin θ－cos θ，可得结果为3＋2 2. 2、在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________． 【答案】： 97【解析】：由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－151＋2×15＝97. 3、 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】： π2【解析】：由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.4、若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 【答案】： 4【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】： －1【解析】：由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎪⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思 依图求函数y ＝A sin (ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．6函数f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x2的最小正周期为________．【答案】2π【解析】：因为f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－3cos x 2＝12sin x －3·1＋cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32，所以最小正周期为2π.7、将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________. 【答案】：. 5π128、 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________． 【答案】： 12【解析】：因为f (x )的最小正周期为π，所以2πω＝π，故ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 2π3＋π6＝sin 5π6＝12.9、 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________.【答案】：－4＋6215【解析】： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215.10、 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．【答案】： －13【解析】：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 11．若函数的图象过点(0,3)，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ▲ ．【答案】： ]127,12[ππ（或)127,12(ππ）12、在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ．【答案】．2解法1 令，可得即，又x ∈[0，2π]，所以116x π=或2x π=，故原函数图象与12y =的交点个数为2. 解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为213、 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.【答案】： －3125思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sin θ＝45，cos θ＝35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意． 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解． 本质上，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由A sin θ＋B cos θ＝C 求sin θ，cos θ可能有两组解．14、 已知sin(x ＋π6)＝13，则sin(x －5π6)＋sin 2(π3－x)的值为________．【答案】： 59【解析】：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin(x ＋π6)＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－sin 2(x ＋π6)＝1－19＝89，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59.解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分． 【问题探究，变式训练】例1、 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )【解析】：由题意可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x＝0，所以φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π6(k ∈Z )．又因为||φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos x ，故单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )．【变式1】、.. 若f(x)＝3sin (x ＋θ)－cos (x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.【变式2】、. 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 【答案】π6解法1 函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移m (m >0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3，由于函数y ＝2sin x 的图像至少向左平移π2个单位长度后可得到关于y 轴对称的图像，所以m ＋π3的最小值是π2，故m 的最小值是π6.【关联6】、将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（π6，32)，则φ的最小值为________. 【答案】： π6【解析】：将函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y ＝sin(2x ＋2φ)的图像，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，所以π3＋2φ＝2k π＋π3或π3＋2φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即φ＝k π或φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又因为φ>0，所以φ的最小值为π6.易错警示 错以为函数y ＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y ＝sin(2x ＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．例2、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1) 求函数y ＝f (x )的【解析】式；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．【解析】： (1) 由图像知，A ＝2，(2分)又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.(4分) 所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.(6分)所以f (x )＝2sin x ＋π6.(8分)(2) 当x ∈[－π2，π2]时，x ＋π6∈[－π3，2π3]，(10分)所以sin x ＋π6∈[－32，1]，即f (x )∈[－3，2]．(14分)易错警示 在求f (x )的【解析】式中φ的值时，如果选用图像过点5π6，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求φ的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根． 【变式1】、已知函数（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的【解析】式； （2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．【解析】：（1）由图可知，A 2，T 2π，故1ω=，所以，f (x )2sin()x ϕ+．又，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-．于是，f (x )2sin()6x π-．（2）由3()2f α=，得．所以，=．【变式2】、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2部分图像如图所示． (1) 求函数f (x )的【解析】式；【解析】：(1) 首先把函数化简为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，其中A ＞0，ω＞0. (2) 利用正弦、余弦定理，列出关于边a ，b 的方程组． 规范解答 (1) 因为f (x )＝32sin2x －12(1＋cos2x )－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1所以函数f (x )的最小值是－2，此时2x －π6＝2k π－π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π6，k ∈Z ，即x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2) 由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a .(11分) 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝3由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，a 2＋b 2－ab ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.【关联】、已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1) 当a ∥b 时，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的值； (2) 设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域．【解析】 (1) 因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－34－11－34＝－7.(2) f (x )＝2(a ＋b )·b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋cos x ，－14·(cos x ，－1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos 2x ＋14 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1， 所以12≤f (x )≤32＋2，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32＋2.。
高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：三角函数的图象和性质(含答案解析).pdf
训练 三角函数的图象和性质 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知α，tan α＝－，则sin(α＋π)等于( )． A. B．－ C. D．－ 2．设函数y＝3sin(2x＋φ)(0＜φ＜π，xR)的图象关于直线x＝对称，则φ等于( )． A. B. C. D. 3．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )． 4．已知函数f(x)＝(cos 2xcos x＋sin 2x·sin x)sin x，xR，则f(x)是( )． A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 5．已知函数y＝sin x＋cos x，y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是( )． A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形 B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形 C．两个函数在区间上都是单调递增函数 D．两个函数的最小正周期相同 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________. 7．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位后，其图象的一条对称轴方程可以是________． 8．函数f(x)＝cos (0＜φ＜2π)在区间 (－π，π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________． 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋2cos2x，xR，求f(x)的最小正周期和它的单调增区间． 10．(12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，xR. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 11．(12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( xR，A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式； (2)设g (x)＝2，求函数g(x)在x上的最大值，并确定此时x的值．参考答案 1．B [由题意可知，sinα＝，sin(α＋π)＝－sin α＝－.故选B.] 2．D [由题意知，2×＋φ＝kπ＋(kZ)，所以φ＝kπ－(kZ)，又0＜φ＜π.故当k＝1时，φ＝，选D.] 3．A [变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A正确．] 4．A [f(x)＝sin 2xcos 2x＋sin2x ＝sin 2xcos 2x－sin 2xcos 2x＋sin 2x ＝sin 2x，故f(x)的最小正周期为π，又是奇函数．] 5．C [由于y＝sin x＋cos x＝sin ， y＝2sin xcos x＝sin 2x.对于A、B选项，当x＝－时，y＝sin＝0，y＝sin 2x＝－，因此函数y＝sin x＋cos x的图象关于点成中心对称图形、不关于直线x＝－成轴对称图形，函数y＝2sin xcos x的图象不关于点成中心对称图形、关于直线x＝－成轴对称图形，故A、B选项均不正确；对于C选项，结合图象可知，这两个函数在区间上都是单调递增函数，因此C正确；对于D选项，函数y＝sin的最小正周期是2π，y＝sin 2x的最小正周期是π，D不正确．综上所述，选C.] 6．解析 先计算r＝＝，且sin θ＝－，所以sin θ＝＝＝－，θ为第四象限角，则y＝－8. 答案 －8 7．解析 依题意得，将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝ sin 2＝sin的图象．令2x－＝kπ＋(kZ)，得x＝＋，kZ，即其图象的一条对称轴方程可以是x＝＋，其中kZ. 答案 x＝(符合x＝＋，kZ即可) 8．解析 令－π＋2kπ≤＋φ≤2kπ(kZ)， 得6kπ－3π－3φ≤x≤6kπ－3φ，kZ. ∵f(x)在(－π，π)上单调递增， ∴2kπ－π≤φ≤2kπ－(kZ)．又0＜φ＜2π，令k＝1，得π≤φ≤π，即实数φ的取值范围为. 答案 9．解 由题知，f(x)＝1＋sin 2x＋＝＋sin 2xcos＋cos 2xsin ＝＋sin. 所以f(x)的最小正周期为π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，kZ， 得kπ－≤x≤kπ＋，kZ. 所以f(x)的单调增区间为，kZ. 10．解 (1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝， f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1. 11．解 (1)由图知A＝2， ＝，则＝4×，ω＝. 又f＝2sin＝2sin＝0， sin＝0，0＜φ＜，－＜φ－＜，φ－＝0，即φ＝， f(x)的解析式为f(x)＝2sin. (2)由(1)可得f＝2sin＝2sin，g(x)＝2＝4×＝2－2cos， x∈，－≤3x＋≤， 当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.。
2021年高考数学(理)二轮专题学与练 06 三角函数的图像与性质(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( )A ．－35 B.35C ．－45 D.45【解析】因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35，故选A.【答案】A2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0， 则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12 B ．1C.12 D ．－32【解析】由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos2a ＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12. 【答案】A3．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5 D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5【解析】不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.【答案】C4．若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，0 D.⎝⎛⎭⎫－π12，0 【解析】将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，故选A.【答案】A5．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减【解析】A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，2π3，π是增区间，D 项错误．故选D. 【答案】D6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6 C.π3 D.5π6【解析】函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为函数的图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π，m ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以m 的最小值为π6，故选B.【答案】B7．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移2π3个单位长度，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象与直线x ＝－π2，x ＝π3，x 轴围成图形的面积为( )A.52B.32 C ．1＋32 D ．1－32【解析】将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π3 ＝sin(2x －π)＝－sin2x 的图象，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g (x )＝－sin x 的图象．函数y ＝g (x )的图象与直线x ＝－π2，x ＝π3，x 轴围成的图形面积S ＝⎠⎛0－π2(－sin x)d x－∫π30(－sin x)d x ＝cos x ⎪⎪⎪⎪ 0－π2－cos x ⎪⎪⎪⎪π30＝1－⎝⎛⎭⎫－12＝32，故选B . 【答案】B8．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π6 B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π12【解析】将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3， 因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6成立，故选A .【答案】A9．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A ．2 2B .2C ．－22 D ．－24【解析】依题意得f′(x)＝Aωcos (ωx ＋φ)，结合函数y ＝f′(x)的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f′⎝⎛⎭⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D . 【答案】D10．将函数f(x)＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A .32 B .12C ．－12D ．－32【解析】依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32，选D . 【答案】D11．已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ，下列结论正确的是( ) A ．函数f(x)的最小正周期为2π B ．函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫π12，π4上单调递增 C ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称D ．函数f(x)的图象关于⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 【解析】由已知，得f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π，A 错误；当π12<x<π4时，π3<2x ＋π6<2π3，所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫π12，π4上不具有单调性，B 错误；因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＋1＝2sin π2＋1＝3，即当x ＝π6时，函数f(x)取得最大值，所以函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称，C 正确；⎝⎛⎭⎫－π12，1是函数f(x)的图象的一个对称中心，D 错误，故选C . 【答案】C12．已知函数f(x)＝sin ωx －3cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A .⎝⎛⎦⎤136，72B .⎝⎛⎦⎤72，256 C .⎝⎛⎦⎤256，112 D .⎝⎛⎦⎤112，376 【解析】因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，方程2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0<x<π，所以－π3<t<ωπ－π3，所以19π6<ωπ－π3≤23π6，解得72<ω≤256，故选B .【答案】B13．函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为( )A.2 B ．32 C ．62 D ．－2 【答案】A【解析】由图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，∴f (x )是周期为8的周期函数， 而2 017＝8×252＋1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝ 2.14．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0 【答案】B【解析】.由f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x 得x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2，故选B. 15．若函数y ＝f (x )的最小正周期为π，且图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin 2x －1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 【答案】D.【解析】依次判断各选项，A 项周期不符；B 项函数图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；C 错，因为y ＝2sin 2x －1＝－cos 2x ，同样点⎝⎛⎭⎫π3，0不是图象的对称中心，故选D.16．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94 D.⎣⎡⎦⎤32，74 【答案】D【解析】函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4≤2k π(ω＞0)得4k －52≤ω≤2k －14，由⎝⎛⎭⎫4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0且4k －52＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，74，故选D.17．为了得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π3 B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向右平移π6【答案】D【解析】依题意得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，因此为了得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选D.18．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称 【答案】B【解析】依题意，得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，故函数g (x )图象的对称轴为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，故A 错误；因为g (－x )＝－sin 2x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－34π，－14π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14π，14π上单调递增，故B 正确，C 错误；因为g ⎝⎛⎭⎫38π＝sin 34π＝22≠0，故D 错误．综上所述，故选B.19．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C. 3 D ．1 【答案】C【解析】因为f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，πω＝π2，ω＝2，则f (x )＝tan 2x ，f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝3，故选C. 20．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为( )A.π6B.π3 C.5π12 D.7π12 【答案】A【解析】函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π3，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π6－k π，k ∈Z ，则当k ＝0时，φ取得最小正值π6，故选A.21．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32 【答案】D【解析】因为当－2＜x ＜10时，0＜π6x ＋π3＜2π，故令f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3＝0，则π6x ＋π3＝π，解得x ＝4，由正弦函数的对称性可知点B ，C 关于点A (4,0)成中心对称，故有(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32，故选D.22．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )A.π6，－π12B.π6，π12C.π3，－π6D.π3，π6 【答案】D【解析】依题意得2×π12＋α＝2k 1π＋π2，即α＝2k 1π＋π3，k 1∈Z ，A ，B 均不正确．由f (x －β)是奇函数得f (－x －β)＝－f (x －β)，即f (－x －β)＋f (x －β)＝0，函数f (x )的图象关于点(－β，0)对称，f (－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项C ，D 取α＝π3得β＝k 2π2＋π6，k 2∈Z ，故选D.23．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 【解析】y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间即为0≤x ＋π3≤π2与x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6 24．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________. 【解析】利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3. 【答案】π325．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．【解析】将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋ω－1π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx －ω＋1π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－1π4＝ωx －ω＋1π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.【答案】226．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)． ①y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π对称； ③f (x )的最大值为32； ④f (x )既是奇函数，又是周期函数．【解析】依题意，对于①，f (4π－x )＝cos(4π－x )·sin[2(4π－x )]＝－cos x ·sin 2x ＝－f (x )，因此函数y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称，①正确；对于②，f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，f ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝－22，因此f ⎝⎛⎭⎫2π－π4≠f ⎝⎛⎭⎫π4，函数y ＝f (x )的图象不关于直线x ＝π对称，②不正确；对于③，f (x )＝2sin x cos 2x ＝2(sin x －sin 3x )；令t ＝sin x ，则y ＝2(t －t 3)，t ∈[－1,1]，y ′＝2(1－3t 2)，当－33＜t ＜33时，y ′＞0；当－1≤t ＜－33或33＜t ≤1时，y ′＜0，因此函数y ＝2(t －t 3)在[－1,1]上的最大值是y ＝2⎣⎡⎦⎤33－⎝⎛⎭⎫333＝439，即函数f (x )的最大值是439，③不正确；对于④，f (－x )＝－f (x )，且f (2π＋x )＝2sin(2π＋x )cos 2(2π＋x )＝2sin x cos 2x ＝f (x )，因此函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，④正确．综上所述，其中正确的结论是①④.【答案】①④27．已知函数f (x )＝2sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)f (x )＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32， 即函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤0，1＋32.1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
高考数学二轮复习 专题06 三角函数的图像与性质讲学案 文-人教版高三全册数学学案
专题06 三角函数的图像与性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)( A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式公式一sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x ＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x ＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．考点一 三角函数图象及其变换例1、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【答案】A且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.优解：代入特殊点检验排除． 当x ＝π3，y ＝2时，排除B ，D.当x ＝－π6，y ＝－2时，排除C ，故选A.(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【答案】23π【解析】通解：化简后平移函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【方法规律】1．已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的方法 (1)求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点； (2)看左右移动方向，左“＋”右“－”；(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.【变式探究】1．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z，故选D.考点二 三角函数性质及应用例2、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 【答案】B【解析】通解：写出解析式求对称轴．函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B.优解：由对称轴平移得对称轴．y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位长度得x ＝π4－π12＋k 2π＝k π2＋π6.(k ∈Z)，故选B.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】B【方法技巧】 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 1．求单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．三角函数的周期的求法 (1)定义法；(2)公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)利用图象．【变式探究】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增考点三 三角函数的图象与性质的综合应用例3、已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，32. (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．解：(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＋32【方法技巧】三角函数解析式化简的基本思路1．将“sin x cos x ”化为12sin 2x ，将sin 2x 或cos 2x 降幂．2．函数解析式成为“a sin x ＋b cos x ”后，利用辅助角公式化为a 2＋b 2sin(x ＋φ)，⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2.3．利用整体思想，对于a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的三角函数． 视“ωx ＋φ”为整体，利用sin x 的性质来求解．【变式探究】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋1112π＝5912π.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】选A.解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.1.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010（C ）1010 （D ）31010【答案】C2.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川文数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π5.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 8.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 9.【2016高考浙江文数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=3sin x +cos x ）3x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B13.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 14.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 15.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A 310 （B 10（C ）1010 （D ）31010【答案】C16.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【2015高考新课标1，文2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）3-（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【2015高考福建，文19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(kZ).2xk；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到当1m<5时，+=2(),2();2当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m (【2015高考山东，文16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 23+ 【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【2015高考重庆，文9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C . 【2015高考山东，文3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【2015高考新课标1，文8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 3. 【2014辽宁高考文第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B【考点定位】函数sin()yA x ωϕ=+的性质.4. 【2014四川高考文第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考文第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】CPOAMD POAM D【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．6. 【2014高考北卷文第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .【答案】π【解析】由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ，所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 【考点定位】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性， 7. 【2014高考安徽卷文第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考文第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】Ｄ【解析】sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考文第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】B【解析】由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考文第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】(],2-∞．【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【考点定位】三角函数的单调性11. 【2014高考江西文第16题】已知函数()sin()cos(2)f xx a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.【答案】（1最小值为-1. （2）1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【考点定位】三角函数性质12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.[]由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得k π－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．。
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专题能力训练6 三角函数的图象与性质
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=sin的最小正周期为()
D.
C.π
A.4π
B.2π
2.(2017浙江湖州期末)已知sin=-,α∈,则tan α=()
D.
C.-
A.
B.-
3.若当x=时,函数f(x)=A sin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f是()
A.奇函数且图象关于点对称
B.偶函数且图象关于点(π,0)对称
C.奇函数且图象关于直线x=对称
D.偶函数且图象关于点对称
4.已知函数f(x)=sin(ω>0),若f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的值为()
B.
A.
D.
C.
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对任意x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)
的单调递增区间是()
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
6.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则把函数f(x)的图象向左平移个单位长度后
得到的函数图象的解析式是()
A.y=2sin 2x
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
7.为了得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin 2x的图象()
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
8.(2017浙江温州九校联考期末)若将函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度,得到的图
象对应的函数为奇函数,则|φ|的最小值为()
D.
C.
B.
A.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.已知2cos2x+sin 2x=A sin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.
10.已知cos ,则sin=.
11.已知函数f(x)=sin,对任意的x1,x2,x3,且0≤x1<x2<x3≤π,都有
|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|≤m成立,则实数m的最小值为.
12.若函数f(x)=cos 2x+a sin x在区间是减函数,则a的取值范围是.
13.如图,函数f(x)=A sin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|≤与坐标轴的三个交点P,Q,R满足
P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,|PM|=2,则A的值为.
14.若函数y=sin ωx能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1,且在区间上为增函
数,则正整数的值为.
三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的图象如图,P是图象的最高点,Q是图象
的最低点,且|PQ|=.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[0,2]时,求函
数h(x)=f(x)·g(x)的最大值.
16.(本小题满分15分)函数f(x)=2cos2x+2sin x cos x-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)在上的值域.
参考答案
专题能力训练6三角函数的图象与性质
1.C解析由题意可知最小正周期T==π.故选C.
2.C解析∵sin=-,sin=cos α,
∴cos α=-.
又α∈,
∴sin α=.
∴tan α==-.
故选C.
3.C解析由已知可知+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,
∵y=f=A sin=-A sin x,
∴y=f是奇函数且图象关于x=对称.
故选C.
4.C解析∵f=f,∴直线x=为函数图象的对称轴.
又函数f(x)在区间上有最小值,无最大值,
∴f=-1.
∴ω+=2kπ-,k∈Z.
∴ω=8k-,k∈Z.
故选C.
5.C解析由f(x)≤知,f=±1,
∴sin=±1.
又由f>f(π)得sin φ<0,∴可取φ=-,
∴f(x)=sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得单调增区间为(k∈Z).
故选C.
6.A解析由题图可知,T=,T=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),f=2sin=2,φ=-,所以f(x)=2sin,其图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=2sin 2x的图象.故选A.
7.D解析∵函数y=cos
=sin=sin 2,
∴将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=cos=sin的图象.
故选D.
8.B解析函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为y=cos 2=cos,
若此函数为奇函数,则-+φ=+kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,∴当k=-1时,|φ|取得最小值.
故选B.
9. 1解析∵2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x=sin+1,∴A=,b=1.
10. 解析因为,
所以sin=sin
=cos.
11.3+ 解析∵函数f(x)=sin,其中x∈[0,π],
∴2x+.
∴-1≤f(x)≤1.
又对任意的x1,x2,x3,且0≤x1<x2<x3≤π,
都有|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|≤m成立,
不妨令f(x2)=-1,则:
当f(x1)=1,f(x3)=时,
|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|取得最大值2+1+=3+,
∴实数m的最小值为3+.
12.(-∞,2]解析f(x)=cos 2x+a sin x=1-2sin2x+a sin x.
令t=sin x,∵x∈,
∴t∈.
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1.
由题意知-,∴a≤2.
∴a的取值范围为(-∞,2].
13. 解析由P(2,0),得Q,
又R(0,A sin φ),则M.
又∠PQR=,故|OQ|=|OR|,
则2+=-A sin φ,则M.
由|PM|=2,得=20,
得ω=,从而A sin φ=-8.
又A sin(2ω+φ)=0,即sin=0,由|φ|≤,得φ=-,从而有A=.
14.7解析依题意,T==1,ωmin=2π,即ω≥2π,由于函数在区间上是增函数,即·2=,T=,ω≤7.5,故2π≤ω≤7.5,ω=7.
15.解 (1)过点P作x轴的垂线,过点Q作y轴的垂线两线交于点M,则由已知得|PM|=2,|PQ|=,由勾股定理得|QM|=3,∴T=6.
又T=,∴ω=,
∴函数y=f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,
∴g(x)=sin x.
函数h(x)=f(x)·g(x)=sin·sin x=sin2x+sin x cos x
=sin x
=sin.
当x∈[0,2]时,x-,
∴当x-,即x=1时,h(x)max=.
16.解 (1)由题意知,f(x)=1+cos 2x+sin 2x-1=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由(1)可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减,f(0)=f=1,f,故f(x)在上的值域为[1,].。