概率密度函数的估计.
分布函数与概率密度函数的参数估计方法
分布函数与概率密度函数的参数估计方法在概率统计学中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的性质的重要工具。
而参数估计则是根据给定的样本数据，通过某种方法对分布函数和概率密度函数中的未知参数进行估计的过程。
本文将介绍分布函数与概率密度函数的参数估计方法，包括最大似然估计、矩估计以及贝叶斯估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法。
其核心思想是选择使得给定数据样本出现概率最大的参数值作为估计值。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。
最大似然估计的目标是找到使得样本数据出现概率最大的参数值θ^。
具体来说，最大似然估计通过对似然函数L(θ)=∏(i=1)^n f(xi;θ)（其中f(x;θ)为概率密度函数）取对数，并对参数θ进行求导来求解参数值θ^。
矩估计（Method of Moments，MoM）是另一种常用的参数估计方法。
其基本原理是利用样本矩与理论分布矩的对应关系进行参数估计。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为未知参数。
矩估计的目标是使样本矩与理论矩之间的差异最小化，即找到使得原始矩和样本矩最接近的参数值θ^。
除了最大似然估计和矩估计之外，贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
其核心思想是将未知参数视为一个随机变量，并基于先验分布和样本数据来求得后验分布。
贝叶斯估计不仅考虑了样本数据的信息，还考虑了先验信息的影响，因此对于样本数据较少或者不确定性较高的情况下，贝叶斯估计能够提供更稳健的参数估计结果。
总结起来，分布函数与概率密度函数的参数估计方法主要包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
最大似然估计通过最大化样本数据出现的概率来估计参数，矩估计通过比较样本矩和理论矩之间的差异来估计参数，而贝叶斯估计则综合考虑了先验分布和样本数据来求得后验分布。
第三章 概率密度函数的估计
当 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解： 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
， 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0， 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本， 且 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) =
参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性
3.2最大似然估计
（1）前提假设
参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量 样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N
例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解： 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }， 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率密度函数的估计非参数估计
概率密度函数的估计非参数估计概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的估计是统计学中一项重要的任务，用于描述随机变量的概率分布。
这是一种非参数估计方法，即不对概率分布函数做任何假设，而是通过对样本数据进行分析来估计其分布。
这种非参数估计方法的优点之一是其灵活性，可以应用于各种类型的数据分布。
而参数估计方法则需要对分布函数做出假设，如果假设不合理，估计结果可能会产生偏差。
非参数估计方法通常涉及以下步骤：1.数据收集：从样本数据中获取一组观测值。
2.直方图估计：直方图是一种用于表示数据分布的图形，可以将数据集划分为若干个区间，并计算每个区间内的观测值数量。
通过对直方图进行归一化，可以获得概率密度函数的估计。
3.核密度估计：核密度估计是一种将每个观测值都视为一个概率密度函数的方法。
在估计过程中，为每个观测值放置一个核函数，并对所有核函数求和得到概率密度函数的估计。
4.非参数回归：非参数回归是一种使用滑动窗口来减小噪声的方法。
在非参数回归中，通过在每个数据点周围放置一个窗口，并计算窗口内数据点的平均值或加权平均值来估计概率密度函数。
以上方法都可以用来估计概率密度函数，具体选择哪种方法取决于数据的特点和假设。
非参数估计方法有以下优点：1.适用广泛：非参数估计方法不需要对概率分布函数做出任何假设，因此可以适用于各种类型的数据分布。
2.灵活性：非参数估计方法可以避免对数据分布做出错误的假设，因此对于未知的数据分布可以获得较好的估计。
3.鲁棒性：非参数估计方法对噪声和异常值相对较为鲁棒，不会对这些因素产生过大的影响。
然而，非参数估计方法也存在一些缺点：1.计算复杂度高：非参数估计方法通常需要大量的计算来获得准确的估计结果。
2.模型选择困难：由于非参数估计方法没有对概率分布做出假设，因此对于模型的选择可能比较困难。
在实际应用中，非参数估计方法常常结合参数估计方法使用。
参数估计方法可以提供一些假设的分布函数，而非参数估计方法可以通过对残差分布进行检验来判断假设是否合理。
概率密度函数的估计
概率密度函数的估计参数估计
概率密度函数的估计参数估计概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率统计学中一个非常重要的概念，用于描述连续随机变量的概率分布情况。
参数估计是统计学中一个关键的问题，它指的是通过样本数据来估计总体分布的参数。
本文将对概率密度函数的参数估计方法进行详细介绍。
一、参数估计的目标参数估计的目标是找到一组最合适的参数值，使得概率密度函数能够较好地拟合样本数据分布。
一般来说，参数估计可以分为两种类型：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据直接估计出概率密度函数的参数值，而区间估计则是对参数进行区间估计，给出一个参数取值的范围。
二、点估计的方法1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是寻找一组参数值，使得样本观测值出现的概率最大。
对于给定的样本数据，若假设一个概率分布模型，并通过极大化似然函数来求解参数值，就得到了最大似然估计。
2. 矩估计（Moment Estimation）矩估计是通过样本矩直接估计总体矩的方法。
对于连续型分布而言，可以通过样本矩来估计分布的矩，从而得到参数的估计值。
3. 最大后验概率估计（Maximum A Posteriori Estimation，简称MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，其基本思想是在最大化后验概率与似然函数的乘积，从而得到参数的估计值。
相对于最大似然估计，最大后验概率估计将先验分布考虑在内，可以有效地克服样本容量小引起的估计不准的问题。
三、区间估计的方法1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是通过样本数据计算出一个参数的区间估计范围，其置信水平表征了参数估计值位于置信区间内的可能性大小。
常用的置信区间估计方法有：正态分布置信区间估计、大样本置信区间估计、Bootstrap置信区间估计等。
概率密度函数估计.
为了便于分析，还可以定义对数似然函数 H ( ) ln l ( )。
3.2
最大似然估计(Maximum
Likelihood Estimation)
求解： 若似然函数满足连续、可微的条件，则最大似然估计量就是方程
i
P(Xi/θi)
利用上式求出 的估值 ，即为 ＝
i
上图有5个解,只有一个解最大即.
3.2
最大似然估计(Maximum
Likelihood Estimation)
正态分布下的最大似然估计示例 以单变量正态分布为例
[1， , 2 ]T
p( x | ) 1
1，
2 2
1 x 2 exp 2 2
样本集
X x1 , x2 ,, x N
l ( x ) p ( X | ) p ( xk | )
k 1 N
似然函数
3.2
最大似然估计(Maximum
dl( ) / d 0 或 dH ( ) / d 0
的解（必要条件）。 若未知参数不止一个，即 [1 , 2 ,, s ]T ，记梯度算子
, , , s 1 2
T
则最大似然估计量的必要条件由S个方程组成：
似然函数（likelihood function）
l ( ) p( X | ) p( x1 , x2 ,, x N | ) p( xi | )
i 1 N
—— 在参数 下观测到样本集 X 的概率（联合分布）密度
第三章 概率密度函数的参数估计
均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布，其中：
1 n n = ∑ xi n i =1
2 nσ 0 σ2 n = 2 + 2 0 2 n 2 nσ 0 + σ nσ 0 + σ
σ σ σ = nσ + σ 2
2 n 2 0 2 0 2
均值分布的变化
类条件概率密度的计算
p ( x D) = ∫ p ( x ) p ( D) d
模型在时刻t处于状态wj的概率完全由t-1时刻 的状态wi决定，而且与时刻t无关，即：
P w(t ) W
(
T
) = P ( w ( t ) w ( t 1))
P w ( t ) = ω j w ( t 1) = ωi = aij
(
)
Markov模型的初始状态概率 模型的初始状态概率
模型初始于状态wi的概率用 π i 表示。 完整的一阶Markov模型可以用参数 θ = ( π, A ) 表示，其中：
3.0 引言
贝叶斯分类器中最主要的问题是类条件概 率密度函数的估计。 问题可以表示为：已有c个类别的训练样 本集合D1，D2，…，Dc，求取每个类别的 类条件概率密度 p ( x ωi ) 。
概率密度函数的估计方法
参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)； 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
p ( x θ ) = ∑ ai pi ( x θi ),
i =1 M
∑a
i =1
M
i
=1
最常用的是高斯混合模型(GMM，Gauss Mixture Model)：
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∵ P(Xk| μ )=N(μ ,σ2),P(u)=N(μ 0,σ02)
P ( | X i ) a
k 1
1 1 Xk exp{ 2 2
1 N Xk 2 0 2 a' exp{ [ ]} 2 k 1 0
1 N 1 2 1 N 0 a' ' exp{ [( 2 2 ) 2( 2 Xk 2 ) ]} 2 0 k 1 0
三. 参数估计的基本概念
1. 统计量：样本中包含着总体的信息，总希望通过样本 集把有关信息抽取出来。也就是说，针对不同要求构 造出样本的某种函数，该函数称为统计量。 2. 参数空间：在参数估计中，总假设总体概率密度函数 的形式已知，而未知的仅是分布中的参数，将未知参 数记为 ，于是将总体分布未知参数 的全部可容许 值组成的集合称为参数空间，记为 。 3. 点估计、估计量和估计值：点估计问题就是构造一个 统计量d x1, , xN 作为参数 θ 的估计ˆ ，在统计学中 i i 是属于类别 的几个 称 ˆ 为 θ 的估计量。若 x1 , , xN i 样本观察值，代入统计量d就得到对于第i类的ˆ 的具体 数值，该数值就称为 θ 的估计值。
Xk
T
结论：①μ 的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵 X k X k 的算术 平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
T
二. 贝叶斯估计
极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量， 而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验 分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察， 通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后 验概率P(θ/Xi) ，进而求使得后验概率分布最大的 参数估计，也称最大后验估计。 估计步骤：
N
Xk
2
样本方差
讨论： 1.正态总体均值的极大似然估计即为学习样本的算术平均 2.正态总体方差的极大似然估计与样本的方差不同，当N较 大的时候，二者的差别不大。
B．多维情况：n个特征（推导过程，作为练习）
N N 1 1 估计值： 1 Xk 2 Xk N k 1 N k 1
Xi中的样本不包含
Xi = (X1,X2,… XN)T
j
并且是独立从总体中抽取的
1.一般原则： 第i类样本的类条件概率密度： P(Xi/ωi)= P(Xi/ωi﹒θi) = P(Xi/θi) 原属于i类的学习样本为Xi=(X1 , X2 ,…XN,)T i=1,2,…M 求θi的极大似然估计就是把P(Xi/θi)看成θi的函数，求 出使它极大时的θi值。 ∵学习样本独立从总体样本集中抽取的
4. 区间估计：除点估计外，还有另一类估计问题，要求用 区间 d1 , d 2 作为 可能取值范围得一种估计 ，此区间称 为置信区间，该类估计问题称为区间估计。 5. 参数估计方法：参数估计是统计学的经典问题，解决方 法很多，在此只考虑两种常用方法：一种是最大似然估 计方法，另一种是贝叶斯估计方法。 (1) 最大似然估计：把参数看作是确定而未知的，最好 的估计值是在获得实际观察样本的最大的条件下得到的。 (2)贝叶斯估计：把未知的参数当作具有某种分布的随机 变量，样本的观察结果使先验分布转化为后验分布，再 根据后验分布修正原先对参数的估计。 6. 参数估计的评价：评价一个估计的“好坏”，不能按一 次抽样结果得到的估计值与参数真值 的偏差大小来确 定，而必须从平均和方差的角度出发进行分析，即关于 估计量性质的定义。
§4-2参数估计理论
一．极大似然估计
假定： ①待估参数θ是确定的未知量 ②按类别把样本分成M类X1，X2，X3，… XM 其中第i类的样本共N个
(i≠j)的信息，所以可以对每一 类样本独立进行处理。 T i ④ 第i类的待估参数 ( 1, 2,... p) 根据以上四条假定，我们下边就可以只利用第i类学习样 本来估计第i类的概率密度，其它类的概率密度由其它类 的学习样本来估计。 ③
2
2 2 2 N 0 N 1 0 N Xk 2 2 2 0 N k 1
解以上两式得
2 2 N 0 X k 0 2 2 2 2 N 0 k 1 N 0
N
2 2 2 0 N 2 N 0 2
所以在正态分布时
1 1 1 n T log P( X k | ) log[ 2 | |] X k X k 2 2 代入上式得
X
1 k 1
N
k
0
X
1 k 1
N
k
0
( X
1 k 1
其中a’,a’’包含了所有与μ 无关的因子
2
1 0 exp[ ]} 2 0 2 0 1
2
∴P(μ | Xi)是u的二次函数的指数函数 ∴P(μ | Xi)仍然是一个正态函数, P(μ |Xi)=N(μ N,σN2) 另外后验概率可以直接写成正态形式：
i
1 N P( | X ) exp[ ] 2 N 2 N 比较以上两个式子,对应的系数应该相等 ∴ 1 N 1 1
第四章 概率密度函数的估计
概率密度估计的基础知识 参数估计理论
– 极大似然估计（MLE） – 贝叶斯估计（或称最大后验估计） – 贝叶斯学习
非参数估计理论
– 密度估计 – Parzen窗估计 – K近邻估计（KNE）
§4-1 概率密度估计的基础知识
贝叶斯分类器中只要知道先验概率、条件概率 或后验概概率 P(ωi),P(x/ωi), P(ωi /x)就可以设计 分类器了。现在来研究如何用已知训练样本的 信息去估计P(ωi),P(x/ωi), P(ωi /x) 一．参数估计与非参数估计 参数估计：先假定研究的问题具有某种数学模型， 如正态分布，二项分布，再用已知类别的学习 样本估计里面的参数。
P( | X i ) P( X i | ).P( )
i P ( X | ) P( )d
因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成
P( | X ) a P( X k | ).P( )
i
N
其中
a 1
k 1
i
P( X | )P( )d
N
为比例因子,只与x有关,与μ 无关
N 1 ( X k 1) i log P( X k | ) [ ]0 2 2 2 2 2 k 1 2 k 1 N 2
1 N 1 1 X k N k 1
即学习样本的算术平均
1 2 2 1 N
k 1
2．类概率密度的估计
在求出u的后验概率P(μ |xi)后，可以直接利用式
i
P(Xi/θi)
利用上式求出 的估值 ，即为 ＝ 有时上式是多解的, 上图有5个解,只有一个解最大即.
i
2. 多维正态分布情况 ① ∑已知, μ 未知,估计μ P( X i | i) 服从正态分布
待估参数为 1
i
k 1
N
logP( X k | ) 0
P( X | X i ) P( X | )P( | X i )d P( X | )P( | X i )d
当观察一个样本时，N=1就会有一个μ 的估计值的修正值； 当观察N=4时，对μ 进行修正，向真正的μ 靠近； 当观察N=9时，对μ 进行修正，向真正的μ 靠的更近； 当观察 N 个样本后 , μ N 就反映了观察到 N 个样本后对 μ 的最好 推测，而σN2反映了这种推测的不确定性。N↑, σN2↓,σN2 随 观察样本增加而单调减小，且当N→∞, σN2 →0 ； 当N↑，P(μ |xi)越来越尖峰突起，于是 N→∞, P(μ |xi)→ 函数，即收敛于一个以真实参数为中心的 函数，这个过程成为贝叶斯学习。
2 将μ N, N 代入P(μ |Xi)可以得到后验概率，再 用公式
P( | X i)d , 求的估计。
∵
P ( | X i ) d N
N 0 X 2 2 2 2 N 0 k 1 N 0 2 2
非参数估计：不假定数学模型，直接用已知类别 的学习样本的先验知识直接估计数学模型。
二．监督参数估计与非监督参数估计 监督参数估计：样本所属的类别及类条件总体概率 概率密度函数的形式已知，而表征概率密度函数 的某些参数是未知的。目的在于：由已知类别的 样本集对总体分布的某些参数进行统计推断，此 种情况下的估计问题称为监督参数估计。 非监督参数估计：已知总体概率密度函数形式但未 知样本所属类别，要求推断出概率密度函数的某 些参数，称这种推断方法为非监督情况下的参数 估计。 注：监督与非监督是针对样本所属类别是已知还是 未知而言的。
N N k
∴对μ 的估计为
0
若令P(μ )=N(μ 0, σ02 )=N(0,1)，即为标准正态分 布 ，且总体分布的方差 2 也为1，则
1 N Xk 与极大似然估计相似，只 此时估计 N 是分母不同。N 1 k 1
三．贝叶斯学习
1.贝叶斯学习的概念：通过已有的概率分布和观测数据推理求 出μ 的后验概率之后，直接去推导总体分布(形式已知)，即
N
k
N ) 0
1 所以，有 N
X
k 1
N
k
这说明未知均值的极大似然估计正好是训练样本的算术平均。
② ∑， μ 均未知 A. 一维情况：n=1对于每个学习样本只有一个特征的简单 情况：