概率密度函数的估计
分布函数与概率密度函数的参数估计方法
分布函数与概率密度函数的参数估计方法在概率统计学中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的性质的重要工具。
而参数估计则是根据给定的样本数据，通过某种方法对分布函数和概率密度函数中的未知参数进行估计的过程。
本文将介绍分布函数与概率密度函数的参数估计方法，包括最大似然估计、矩估计以及贝叶斯估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法。
其核心思想是选择使得给定数据样本出现概率最大的参数值作为估计值。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。
最大似然估计的目标是找到使得样本数据出现概率最大的参数值θ^。
具体来说，最大似然估计通过对似然函数L(θ)=∏(i=1)^n f(xi;θ)（其中f(x;θ)为概率密度函数）取对数，并对参数θ进行求导来求解参数值θ^。
矩估计（Method of Moments，MoM）是另一种常用的参数估计方法。
其基本原理是利用样本矩与理论分布矩的对应关系进行参数估计。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为未知参数。
矩估计的目标是使样本矩与理论矩之间的差异最小化，即找到使得原始矩和样本矩最接近的参数值θ^。
除了最大似然估计和矩估计之外，贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
其核心思想是将未知参数视为一个随机变量，并基于先验分布和样本数据来求得后验分布。
贝叶斯估计不仅考虑了样本数据的信息，还考虑了先验信息的影响，因此对于样本数据较少或者不确定性较高的情况下，贝叶斯估计能够提供更稳健的参数估计结果。
总结起来，分布函数与概率密度函数的参数估计方法主要包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
最大似然估计通过最大化样本数据出现的概率来估计参数，矩估计通过比较样本矩和理论矩之间的差异来估计参数，而贝叶斯估计则综合考虑了先验分布和样本数据来求得后验分布。
概率密度估计
概率密度估计
1 概率密度估计
概率密度估计（Probability Density Estimation，简称PDE）也称为密度函数估计，旨在描述一个随机变量X的概率密度函数，从而
帮助准确定量分析研究变量X的特征。
通常，概率密度估计的过程可以分解为两个步骤。
第一步是从样
本中提取该变量的直方图，然后以某种函数形式拟合该直方图，得到
其对应的概率密度函数。
其中，最常用的函数形式为高斯分布（Gaussian Distribution）的普通分布、泊松分布（Poisson Distribution）、多元正态分布（Multivariate Normal Distribution）、双截止分布（Binomial Distribution）、逻辑正态
分布（Log-normal Distribution）等。
第二步就是根据拟合出概率密度函数形状，运用其特点和参数，
得到该变量的最佳估计，便于对样本进行更有效率的分析。
比如，在
高斯分布模型下，样本拟合出的方差可以帮助我们判断数据的稳定性。
概率密度估计被广泛应用于贝叶斯统计分析、学习理论、社会科
学研究等，是发现重要模式并探寻变量分布的重要工具。
总之，概率密度估计是一项核心重要的数据分析技术，其解释力、拟合能力和模型大小的理论基础为研究者们收集总结数据，比较复杂
的变量特征提供了可靠信息。
概率密度函数的估计.
∵ P(Xk| μ )=N(μ ,σ2),P(u)=N(μ 0,σ02)
P ( | X i ) a
k 1
1 1 Xk exp{ 2 2
1 N Xk 2 0 2 a' exp{ [ ]} 2 k 1 0
1 N 1 2 1 N 0 a' ' exp{ [( 2 2 ) 2( 2 Xk 2 ) ]} 2 0 k 1 0
三. 参数估计的基本概念
1. 统计量：样本中包含着总体的信息，总希望通过样本 集把有关信息抽取出来。也就是说，针对不同要求构 造出样本的某种函数，该函数称为统计量。 2. 参数空间：在参数估计中，总假设总体概率密度函数 的形式已知，而未知的仅是分布中的参数，将未知参 数记为 ，于是将总体分布未知参数 的全部可容许 值组成的集合称为参数空间，记为 。 3. 点估计、估计量和估计值：点估计问题就是构造一个 统计量d x1, , xN 作为参数 θ 的估计ˆ ，在统计学中 i i 是属于类别 的几个 称 ˆ 为 θ 的估计量。若 x1 , , xN i 样本观察值，代入统计量d就得到对于第i类的ˆ 的具体 数值，该数值就称为 θ 的估计值。
Xk
T
结论：①μ 的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵 X k X k 的算术 平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
T
二. 贝叶斯估计
极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量， 而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验 分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察， 通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后 验概率P(θ/Xi) ，进而求使得后验概率分布最大的 参数估计，也称最大后验估计。 估计步骤：
概率密度函数及稳定性计算
概率密度函数及稳定性计算稳定性是指在其中一种条件下，随机变量的特征是否保持不变。
稳定性计算常常用于研究时间序列的性质，比如随机变量之间的相关性和队列的稳定性等。
最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过将实际观测值和拟合值之间的平方差最小化来确定概率密度函数的参数。
在计算概率密度函数时，我们首先需要选择一个函数形式，并确定参数的初值。
然后，我们通过最小二乘法来不断调整参数，直到我们得到最优的参数估计。
最大似然估计法是另一种常用的概率密度函数计算方法。
在最大似然估计法中，我们假设观测值是从一些特定的概率密度函数中独立地抽取得到的。
然后，我们通过最大化似然函数来确定概率密度函数的参数。
最大似然估计法通常是求解一个非线性方程组的优化问题，可以使用数值方法进行计算。
稳定性的计算是通过观察随机变量的序列和特性来确定的。
稳定性的度量可以通过相关性、方差和均值等指标来计算。
常见的稳定性计算方法包括平稳性检验、相关系数计算和时间序列模型拟合等。
平稳性检验是判断时间序列是否具有稳定性的常用方法之一、平稳性检验通常基于对时间序列的自相关性、偏自相关性和白噪声的检验。
常见的平稳性检验方法包括Augmented Dickey-Fuller检验、协整检验和单位根检验等。
相关系数计算是另一种常用的稳定性计算方法。
相关系数用来度量两个随机变量之间的线性关系。
常见的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
相关系数范围为-1到1，当相关系数为0时表示两个变量之间不存在线性关系。
时间序列模型拟合是一种常用的稳定性计算方法。
时间序列模型可以用来预测未来的观测值，并判断序列的稳定性。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型(ARMA)、自回归模型(AR)和移动平均模型(MA)等。
总结起来，概率密度函数及其稳定性计算是概率论和统计学中重要的概念和方法之一、概率密度函数的计算可以使用最小二乘法和最大似然估计法来完成，而稳定性的计算则可以通过平稳性检验、相关系数计算和时间序列模型拟合等方法进行。
第三章 概率密度函数的估计
当 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解： 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
， 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0， 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本， 且 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) =
参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性
3.2最大似然估计
（1）前提假设
参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量 样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N
例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解： 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }， 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2
概率密度估计置信区间
概率密度估计置信区间
概率密度估计的置信区间是用来描述对真实概率密度函数进行估计时的不确定性范围。
一般情况下，我们使用统计方法对数据进行分析，并根据样本数据来估计概率密度函数。
常用的概率密度估计方法包括核密度估计和参数估计。
在进行概率密度估计时，我们可以得到一个估计的概率密度函数。
然而，由于样本数据的有限性以及估计方法的不确定性，估计的概率密度函数可能与真实概率密度函数存在一定的偏差。
为了描述估计结果的不确定性，我们可以计算概率密度估计的置信区间。
置信区间是指对于给定置信水平（通常选择95%或99%），在重复抽样下，包含真实概率密度函数的区间的概率。
计算概率密度估计的置信区间需要考虑估计方法的方差以及样本数据的大小。
常见的计算方法包括基于正态分布近似的方法（如渐进法和Bootstrap法）以及基于非参数统计的方法（如Jackknife法和交叉验证法）。
总之，概率密度估计的置信区间提供了对估计结果的不确定性进行量化的方法，可以帮助我们评估概率密度估计的可靠性和稳定性。
1。
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率密度函数的估计非参数估计
概率密度函数的估计非参数估计概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的估计是统计学中一项重要的任务，用于描述随机变量的概率分布。
这是一种非参数估计方法，即不对概率分布函数做任何假设，而是通过对样本数据进行分析来估计其分布。
这种非参数估计方法的优点之一是其灵活性，可以应用于各种类型的数据分布。
而参数估计方法则需要对分布函数做出假设，如果假设不合理，估计结果可能会产生偏差。
非参数估计方法通常涉及以下步骤：1.数据收集：从样本数据中获取一组观测值。
2.直方图估计：直方图是一种用于表示数据分布的图形，可以将数据集划分为若干个区间，并计算每个区间内的观测值数量。
通过对直方图进行归一化，可以获得概率密度函数的估计。
3.核密度估计：核密度估计是一种将每个观测值都视为一个概率密度函数的方法。
在估计过程中，为每个观测值放置一个核函数，并对所有核函数求和得到概率密度函数的估计。
4.非参数回归：非参数回归是一种使用滑动窗口来减小噪声的方法。
在非参数回归中，通过在每个数据点周围放置一个窗口，并计算窗口内数据点的平均值或加权平均值来估计概率密度函数。
以上方法都可以用来估计概率密度函数，具体选择哪种方法取决于数据的特点和假设。
非参数估计方法有以下优点：1.适用广泛：非参数估计方法不需要对概率分布函数做出任何假设，因此可以适用于各种类型的数据分布。
2.灵活性：非参数估计方法可以避免对数据分布做出错误的假设，因此对于未知的数据分布可以获得较好的估计。
3.鲁棒性：非参数估计方法对噪声和异常值相对较为鲁棒，不会对这些因素产生过大的影响。
然而，非参数估计方法也存在一些缺点：1.计算复杂度高：非参数估计方法通常需要大量的计算来获得准确的估计结果。
2.模型选择困难：由于非参数估计方法没有对概率分布做出假设，因此对于模型的选择可能比较困难。
在实际应用中，非参数估计方法常常结合参数估计方法使用。
参数估计方法可以提供一些假设的分布函数，而非参数估计方法可以通过对残差分布进行检验来判断假设是否合理。
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14
计算方法
最大似 然估计
最大似然估计量使似然函数梯度为0 ：
N
θH (θ) |ˆML θ ln p( xk | θ) |ˆML 0 k 1
T
θ
1
...
s
第三章 概率密度密度的估计
15
3.2.2 贝叶斯估计-最大后验概率
用一组样本集K={x1, x2 ,…, xN}估计未知参数θ 未知参数θ视为随机变量，先验分布为 p(θ)，而在
定理 3.1: 如果定义损失函数为误差平方函数，则有：
ˆBE E[ | x]
p( | x)d
第三章 概率密度密度的估计
19
贝叶斯估计的步骤
贝叶斯 估计
1. 确定θ的先验分布 p(θ)
2. 由样本集K={x1, x2,…, xN}求出样本联合分 布：p(K|θ)
3. 计算θ的后验分布
p( | K ) p(K | ) p( )
22
22
ln
p( xk
| 1,2 )
1 2
ln(
2
2
)
1
22
( xk
1)2
第三章 概率密度密度的估计
22
一元正态分布均值的估计
最大似 然估计
N
θH (θ) |ˆML θ ln p( xk | θ) |ˆML 0 k 1
1
ln
p( xk
| 1,2 )
1
2
( xk
1)
代入前式,得
ˆ ML
1 N
8
3.2 参数估计
统计量：总体的某种信息是样本集K={x1, x2 ,…, xN}的某种函数f(K)。
参数空间：总体分布的未知参数θ所有可能 取值组成的集合(Θ)
点估计和区间估计 点估计的估计量(variable)和估计值(value)：
的估计量ˆ d (x1, x2,..., xN ) d (K)
第三章 概率密度密度的估计
31
例题
抽查某地区55名12岁男生的身高（单位：cm）的测 量值如下：
128.1 144.4 150.3 146.2 140.6 126.0 125.6 127.7 154.4 142.7 141.2 142.7 137.6 136.9 132.3 131.8 147.7 138.4 136.6 136.2 141.6 141.1 133.1 142.8 136.8 133.1 144.5 142.4 140.8 127.7 150.7 160.3 138.8 154.3 147.9 141.3 143.8 138.1 139.7 142.9 144.7 148.5 138.3 135.3 134.5 140.6 138.4 137.3 149.5 142.5 139.3 156.1 152.2 129.8 133.2
是样本集的函数，它对样本集的一次
实现称为估计值
第三章 概率密度密度的估计
9
估计量的评价标准
估计量的评价标准：无偏性，有效性，一致性
➢无偏性：E( ˆ )=θ ➢有效性：D(ˆ )小，估计更有效 ➢一致性：样本数趋于无穷时，ˆ 依概率趋于θ：
lim P(ˆ ) 0
N
第三章 概率密度密度的估计
独立地按概率密度p(x|θ)抽取样本集 K={x1, x2 ,…, xN}，用K估计未知参数θ
第三章 概率密度密度的估计
11
似然函数
最大似 然估计
似然函数：
l(θ) p(K | θ) p(x1, x2,..., xN | θ)
N
p(xk | θ)
k 1
对数(loglarized)似然函数：
p( K )
N
p( xk
|
) p()
~
N
(
N
,
2 N
)
k 1
N
N
2 0
N
2 0
2
mN
2
N
2 0
2
0
2 N
02 2
N
2 0
2
计算μ的贝
叶斯估计： ˆB p( | K )d N
第三章 概率密度密度的估计
27
一元正态分布例解
贝叶斯 估计
总体分布密度为：
均值μ为随机未知变量，其 先验分布为：
P(i | x)
p(x | i )P(i ) p(x | j )P(j )
j
知识的来源：对问题的一般性认识或一些训练数据
基于样本的两步Bayes分类器设计 ➢ 利用样本集估计P(ωi)和p(x|ωi)
➢ 基于上述估计值设计判别函数及分类器
面临的问题：
➢ 如何利用样本集进行估计 ➢ 估计量的评价 ➢ 利用样本集估计错误率
p()
~
N
(
0
,
2 0
)
计算μ的后验分布：
p( | K ) p(K | ) p( )
p(K | ) p( )d
用贝叶斯估计方法求μ的估计量
ˆBE
p( | K)d
第三章 概率密度密度的估计
26
一元正态分布例解(II)
贝叶斯 估计
计算μ的后验分布：
p( | K) p(K | ) p()
第三章 概率密度密度的估计
5
基于样本的Bayes分类器
训练 样本集
P(i | x)
p(x | i )P(i ) p(x | j )P(j )
j
样本分布的 统计特征：
概率
密度函数
引言
决策规则： 判别函数 决策面方程
最一般情况下适用的“最优”分类器：错误 率最小，对分类器设计在理论上有指导意义。
第三章 概率密度函数的估计
2021/3/11
1
请各位思考的问题
+ 1、我们可以构造一个比贝叶斯规则更好的 分类器吗？
+ 2、利用贝叶斯法则构造分类器的前提条件 是什么？
+ 3、为何要估计密度以及如何估计密度?
2021/3/11
2
Table of Contents
第三章 概率密度密度的估计
3
3.1 引言
N
xk
k 1
第三章 概率密度密度的估计
23
一元正态分布方差的估计
最大似 然估计
2
ln
p( xk
| 1,2 )
1
22
( xk 1)2 222
代入前式,得
ˆ
2 ML
1 N
N
( xk
k 1
ˆ )2
第三章 概率密度密度的估计
24
多元正态分布参数最大似然估计
最大似 然估计
μˆ ML
1 N
N
xk
k 1
贝叶斯 估计
贝叶斯决策问题: 样本x 决策ai 真实状态wj 状态空间A是离散空间 先验概率P(wj)
贝叶斯参数估计问题： 样本集K={xi} 估计量^s 真实参数s 参数空间S是连续空间 参数的先验分布p(s)
贝叶斯风险最小估计问题：用一组 样本集K={x1, x2 ,…, xN}估计未知参数
➢神经网络方法：PNN
第三章 概率密度密度的估计
29
参数PK非参数：
• 非参数估计的优点： • (1) 在利用样本数据对总体进行估计时，不依赖于总体所属的分
布总体的分布形式，尤其是当对总体的分布不是很清楚时，因而 非参数模型的适用性比较广，与参数方法相比，具有较好的稳健 性。 • (2) 由于不必假定总体分布的具体形式，所以也无需多总体分布 所具有的参数进行估计和检验。如果方法选择得当，非参数估计 方法与参数估计的效果相差不多，尤其当参数估计的假设不满足 时，非参数估计会比参数估计方法更为有效。 • 非参数估计也有其缺点： • (1) 如果对总体的了解足以确定它的分布类型，非参数估计就不 如参数估计那样有更强的针对性。 • (2) 它没有充分利用样本所携带的关于总体的信息，因而有时它 的效率会低一些，或者在相同的精度下，非参数估计比参数估计 需要更大的样本。
获取统计分布及其参数很困难，实际问题中 并不一定具备获取准确统计分布的条件。
第三章 概率密度密度的估计
6
直接确定判别函数
引言
基于样本的直接确定判别函数方法：
➢针对各种不同的情况，使用不同的准则函数， 设计出满足这些不同准则要求的分类器。
➢这些准则的“最优”并不一定与错误率最小相 一致：次优分类器。
E (x μ)(x μ)T
(
2 ij
)
n*n
,
2 ij
E
( xi
i )( x j
j )
第三章 概率密度密度的估计
25
3.3.2 一元正态分布贝叶斯估计例解
贝叶斯 估计
总体分布密度为： p( x | ) ~ N (, 2 )
样本集： K={x1, x2,…, xN}
均值μ为随机未知变量，μ的先验分布为：
分类器
x1
g1
功能结构
x2
g2
ARGMAX
.
a(x)
.
.
.
.
.
xn
gc
基于样本的Bayes分类器：通过估计类条件概 率密度函数，设计相应的判别函数
基于样本的直接确定判别函数方法
第三章 概率密度密度的估计
4
基于样本的Bayes分类器设计
引言
Bayes决策需要已知两种知识：
➢ 各类的先验概率P(ωi) ➢ 各类的条件概率密度函数p(x|ωi)
第三章 概率密度密度的估计
30
画频率分布直方图的步骤
1、计算最大值与最小值的差（知道这组数据的变动范围）: 2、决定组距与组数（将数据分组） 组数：将数据分组，当数据在100个以内时，