3. 概率密度函数估计(3学时)
模式识别课程讲义(李君宝)3. 概率密度函数估计-3学时
这个例子所作的推断就体现了极大拟然法的基本思想。
【2 EM算法的理论依据】
• 极大拟然法的定义 观测变量X，针对n个观测样本为( x1,x2,…,xn）,它们之间 满足独立同分布 ，参数变量为模型的一系列参数
x - xi hn
【 Parzen窗法】
• 上述过程是一个内插过程，样本xi距离x越近， 对概率密度估计的贡献越大，越远贡献越小。
• 只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
u 0
udu 1
【 Parzen窗法】
窗函数
【 Parzen窗法】 • hn称为窗的宽度
【 Parzen窗法】
中，缺失数据(隐含变量) Y未知，完整log似然函数对Y求 期望。 • 定义
其中
ln
p( xk
|)
1 2
ln(22 )
1 22
( xk
1 )2
ln
p( xk
|)
1
2
( xk
1
N
22 k1
1 )
(xk 1)2 2ˆ22
N
k 1
1
ˆ2
( xk
ˆ1 )
0
N k 1
1
ˆ2
N k 1
(xk ˆ1)2 ˆ22
0
ˆ
1 N
N
xk
k 1
ˆ 2
1 N
N
( xk
在GMM中，若 X i来自第k个成分，则 Yi k • 完整数据：包含观测到的随机变量 X 和未观测到的随机变
概率密度估计
概率密度估计
1 概率密度估计
概率密度估计（Probability Density Estimation，简称PDE）也称为密度函数估计，旨在描述一个随机变量X的概率密度函数，从而
帮助准确定量分析研究变量X的特征。
通常，概率密度估计的过程可以分解为两个步骤。
第一步是从样
本中提取该变量的直方图，然后以某种函数形式拟合该直方图，得到
其对应的概率密度函数。
其中，最常用的函数形式为高斯分布（Gaussian Distribution）的普通分布、泊松分布（Poisson Distribution）、多元正态分布（Multivariate Normal Distribution）、双截止分布（Binomial Distribution）、逻辑正态
分布（Log-normal Distribution）等。
第二步就是根据拟合出概率密度函数形状，运用其特点和参数，
得到该变量的最佳估计，便于对样本进行更有效率的分析。
比如，在
高斯分布模型下，样本拟合出的方差可以帮助我们判断数据的稳定性。
概率密度估计被广泛应用于贝叶斯统计分析、学习理论、社会科
学研究等，是发现重要模式并探寻变量分布的重要工具。
总之，概率密度估计是一项核心重要的数据分析技术，其解释力、拟合能力和模型大小的理论基础为研究者们收集总结数据，比较复杂
的变量特征提供了可靠信息。
03概率密度函数的估计
参数估计
• 在一般的监督模式识别中，估计各个类别的先验概率 并不会遇到太大的困难，但估计类条件概率密度确实 是。
– 样本数目太少 – 特征向量维数太高时问题更严重
• 如果我们依照常识可以知道类条件概率密度的参数形 式，并能确定参数的个数，则问题的难度就会大大降 低。
– 例如，我们可以假定p(x| ωi)是均值和方差分别为μi和 i 的正态 分布。这样，估计概率密度函数的问题就变成了估计参数μi和 i 的问题。
最大似然估计 vs 贝叶斯估计
• 另外一个因素是我们对先验知识，比如对p(x|θ) 的参数形式的确信程度
– 最大似然解必须具有我们假定的参数形式，但贝叶 斯方法却不然。一般来说，贝叶斯方法更多地利用 了问题的相关信息，如果这些信息是可靠的，那么 贝叶斯方法会给出更好的结果。 – 最大似然方法可以看成贝叶斯方法的特殊情形，即 先验知识是均匀分布的 – 贝叶斯方法可以更多地显示估计的精度与方差之间 的平衡随训练样本数量的变化（这一点对于机器学 习理论非常重要）
k 1
• 因此，最大似然估计的解的必要条件是
l 0. (*)
最大似然解
• 方程(*)的解可能是一个全局最大值，也 可能是局部极大极小值，还可能是l(θ)的 一个拐点。此外，还要检查最大值是否 会出现在参数空间的边界上。 • 方程(*)的解只是一个估计值，只有在样 本数趋于无限多的时候它才会接近真实 值
– 估计条件概率密度p(x| ωi) – 直接估计后验概率P(ωi | x)
3.2最大似然估计
• 最大似然估计具有很好的性质
– 样本数目增加时总是具有很好的收敛性
• • • • 渐近无偏的 渐近一致性 渐近高效的（可以达到Carm-Rao下界） 极限分布是高斯分布（中心极限定理）
[数学]第3章 概率密度函数估计 - 西安电子科技大学
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N
N
如果噪声是零均值的, 即对所有的i, E(vi)=0, 可得 sˆ 为s 的一个无偏估计; 反之, sˆ 为有偏估计。
第3章 概率密度函数估计
定义3.2 若对所有的θ lim b(ˆ) 0
N
(3-3)
则称ˆ =g(x1, x2, …, xN)是θ的一个渐进无偏估计。
【例 3.2】 考虑平稳过程的自相关函数R(l)=E［x(t)x(t+l)］ 的两个估计
第3章 概率密度函数估计
2. Cramer-Rao下界(估计的方差性质)
除了偏差以外, 一个估计的基本特性还体现在方差上。
一般地, 要得到精确的方差是比较困难的, 人们希望得到方
差可能达到的下界。 下面的定理3.1表明, 无偏估计的方差
存在一个下界, 常称为Cramer-Rao下界。
定理3.1 令x=(x1, x2, …, xN)为样本向量, p(x|θ)为x的联
第3章 概率密度函数估计
(2) 非参数估计就是在概率密度函数的形式未知的条 件下, 直接利用样本来推断概率密度函数。 常用的非参数 估计方法有Parzen窗法和kN－近邻法。
第3章 概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念与评价准则
3.2.1
1. 设观测样本为x1, x2, …, xN, 统计量g(x1, x2, …, xN)是x1, x2, …, xN的(可测)函数, 与任何未知参数无关。 统计量的概率 分布称为抽样分布。 2. 参数空间 未知参数θ的全部可容许值组成的集合称为参数空间, 记 为Θ。
E
(ˆ
第3章 概率密度函数估计
3. 点估计、 点估计是确定待定参数的单个估计值, 即要构造一个统计
量 ˆg(x1,x2, ,xN) 作为参数θ的估计。 在统计学中, 称
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率密度函数的估计非参数估计
概率密度函数的估计非参数估计概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的估计是统计学中一项重要的任务，用于描述随机变量的概率分布。
这是一种非参数估计方法，即不对概率分布函数做任何假设，而是通过对样本数据进行分析来估计其分布。
这种非参数估计方法的优点之一是其灵活性，可以应用于各种类型的数据分布。
而参数估计方法则需要对分布函数做出假设，如果假设不合理，估计结果可能会产生偏差。
非参数估计方法通常涉及以下步骤：1.数据收集：从样本数据中获取一组观测值。
2.直方图估计：直方图是一种用于表示数据分布的图形，可以将数据集划分为若干个区间，并计算每个区间内的观测值数量。
通过对直方图进行归一化，可以获得概率密度函数的估计。
3.核密度估计：核密度估计是一种将每个观测值都视为一个概率密度函数的方法。
在估计过程中，为每个观测值放置一个核函数，并对所有核函数求和得到概率密度函数的估计。
4.非参数回归：非参数回归是一种使用滑动窗口来减小噪声的方法。
在非参数回归中，通过在每个数据点周围放置一个窗口，并计算窗口内数据点的平均值或加权平均值来估计概率密度函数。
以上方法都可以用来估计概率密度函数，具体选择哪种方法取决于数据的特点和假设。
非参数估计方法有以下优点：1.适用广泛：非参数估计方法不需要对概率分布函数做出任何假设，因此可以适用于各种类型的数据分布。
2.灵活性：非参数估计方法可以避免对数据分布做出错误的假设，因此对于未知的数据分布可以获得较好的估计。
3.鲁棒性：非参数估计方法对噪声和异常值相对较为鲁棒，不会对这些因素产生过大的影响。
然而，非参数估计方法也存在一些缺点：1.计算复杂度高：非参数估计方法通常需要大量的计算来获得准确的估计结果。
2.模型选择困难：由于非参数估计方法没有对概率分布做出假设，因此对于模型的选择可能比较困难。
在实际应用中，非参数估计方法常常结合参数估计方法使用。
参数估计方法可以提供一些假设的分布函数，而非参数估计方法可以通过对残差分布进行检验来判断假设是否合理。
概率密度函数估计
期望风险：
R Ed
(ˆ, ) p(x, )ddx
(ˆ, ) p( | x) p(x)ddx
Ed
R(ˆ | x) p(x)dx Ed 其中，x Ed ，
条件风险： R(ˆ | x) (ˆ, ) p( | x)d
xEd
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
1
N
X k 0
k 1
所以
1( N X k N ) 0
k 1
1 N
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
如果必要条件有多解则需从中求似然函数最大者若不满足条件则无一般性方法用其它方法求最大以均匀分布32最大似然估计maximumlikelihoodestimation正态分布下的最大似然估计示例以单变量正态分布为例样本集似然函数32最大似然估计maximumlikelihoodestimation对数似然函数最大似然估计量满足方程32最大似然估计maximumlikelihoodestimation得方程组未知估计服从正态分布所以在正态分布时待估参数为代入上式得所以这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术平均
非参数方法 (nonparametric methods)
不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直 接估计数学模型。
二．监督学习与无监督学习 监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练，
参数估计和非参数估计都属于监督学习。
无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。
数学]第3章 概率密函数估计 西安电子科技大学
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参数估计和非参数估计。
第3章 概率密度函数估计
(1) 参数估计就是在已知概率密度函数的形式, 但其中的某 些参数是未知的情况下, 利用样本集对概率密度函数的某些参 数进行估计。 例如, 若p(x|ωi)是均值为μi, 协方差矩阵为Σi的正 态分布, 那么只需要估计μi和Σi。 参数估计的方法很多, 大致可 以分为确定性参数估计方法与随机参数估计方法。 确定性参数 估计方法把参数看做确定而未知的, 典型方法为最大似然估计。 随机参数估计方法把未知参数当做具有某种分布的随机变量, 典型方法为贝叶斯估计。
)R(l)
第3章 概率密度函数估计
显然, Rˆ1 (l) 是R(l)的无偏估计; Rˆ 2 (l) 是R(l)的有偏估计, 但 Rˆ 2 (l) 是R(l)的渐进无偏估计, 即
lim
N
E
Rˆ2
(l)
R(l)
虽然 Rˆ1 (l) 是R(l)的无偏估计, 而 Rˆ 2 (l) 是R(l)的有偏估 计(但渐进无偏), 但是, 估计 Rˆ1 (l) 中分母与l有关, 因此, 一般 使用 Rˆ 2 (l) , 而不用 Rˆ1 (l) 。
第3章 概率密度函数估计
2. Cramer-Rao下界(估计的方差性质)
除了偏差以外, 一个估计的基本特性还体现在方差上。
一般地, 要得到精确的方差是比较困难的, 人们希望得到方
差可能达到的下界。 下面的定理3.1表明, 无偏估计的方差
存在一个下界, 常称为Cramer-Rao下界。
l)
第3章 概率密度函数估计
Rˆ2 (l)
1 N
N l t 1
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kn n
【 Parzen窗法和K-近邻法】
【 Parzen窗法】 • 定义窗函数
1, u j 1 2 u 其它 0,
x - xi 1, hn 0, x j xij hn 2 其它
Vn h
d n
j 1,
k n p x V
• 相当于用R区域内的平均性质来作为一点x的估 计，是一种数据的平滑。
• 当n固定时，V的大小对估计的效果影响很大，过 大则平滑过多，不够精确；过小则可能导致在此 区域内无样本点，k=0。
• 此方法的有效性取决于样本数量的多少，以及区 域体积选择的合适。
• 构造一系列包含x的区域R1, R2, …，对应n=1,2,… ，则对p(x)有一系列的估计：
参数估计的分类
【引言】
参数估计的基本概念
参数估计
【参数估计】
最大似然估计
贝叶斯估计
贝叶斯学习
【最大似然估计】
基本假设
【最大似然估计】
基本概念
【最大似然估计】
基本原理
【最大似然估计】
估计量
估计值
【最大似然估计】
一元参数
【最大似然估计】
多元参数
【最大似然估计】
例子（梯度法不适合）：
1 p( x | ) 2 1 0 ,1 x 2 其它
1
1
1 ( x ) 2 k 1 ln p( xk | ) 2 N 1 ( xk 1 ) 2 ˆ 2 2 k 1 2 2
1 ˆ N
2
N 1 ˆ)0 ( xk 1 ˆ k 1 2 N N ˆ 2 1 ( xk 1 ) 0 ˆ ˆ2 k 1 k 1 2 2
,d
【 Parzen窗法】 • 超立方体中的样本数：
x - xi kn i 1 hn
n
• 概率密度估计：
1 n 1 x - xi pn x n i1 Vn hn
【 Parzen窗法】
• 上述过程是一个内插过程，样本xi距离x越近， 对概率密度估计的贡献越大，越远贡献越小。 • 只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
R
E
d
ˆ, ) p( | x) p( x)d dx (
ˆ, ) p( | x)d dx d p( x) (
E E
ˆ | x) p( x)dx d R(
ˆ | x) ( ˆ, ) p( | x)d R(
【举例】
假设
ˆ, ) ( ˆ)2 (
不成功！
1 x ' x x '' 2
2 x '',1 x '
1 x ',2 x ''
【贝叶斯估计】
采用最小风险贝叶斯决策
R(i | x) E (i , j ) ( i , j ) P( j | x), i 1, 2,..., a
ˆ | x) [ E ( | x)]2 p( | x)d [ E( | x) ˆ]2 p( | x)d R(
ˆ E | x p( | x)d 结论：
【贝叶斯估计】
【贝叶斯学习】
【三种方法总结】
【三种方法总结】
i 1 ni 1 x - x j pn x i ni j 1 Vn h
4. 采用Bayes判别准则进行分类。
本章结束
2
ˆ] p( | x) d 2 [ E ( | x)][ E ( | x)
ˆ] p( | x)d [ E ( | x) ˆ] [ E ( | x )][ E ( | x )
[ E ( | x)]p( | x)d [ E ( | x) ˆ][ E( | x) E( | x)] 0
ˆ | x ( ˆ, ) p( | x)d ( ˆ)2 p( | x)d R
ˆ) 2 p( | x)d R ˆ | x E ( | x) E ( | x) ˆ p( | x)d ( ˆ]2 p( | x) d [ E ( | x)]2 p( | x) d [ E ( | x)
x
k 1
N
k
多元正态分布：
1 ˆ N
x
k 1
N
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 N ˆ ( xk ˆ )2 N k 1
1 N ˆ ˆ )( xk ˆ )T ( xk N k 1
【贝叶斯估计】
【贝叶斯估计】
非参数估计
【基本思想】
【基本思想】
• 令R是包含样本点x的一个区域，其体积为V， 设有n个训练样本，其中有k个落在区域R中，则 可对概率密度作出一个估计：
j 1 c
【贝叶斯估计】
R
E
d
ˆ, ) p( x, )d dx (
p( x | ) p( ) p ( x)
p( | x)
p( x | ) p( )
p( x | ) p( )d
p( , x) p( | x) p( x) p( x | ) p( )
kn n pn x Vn
• 当满足下列条件时，pn(x)收敛于p (x)：
limVn 0
n
lim kn n kn lim 0 n n
【 Parzen窗法和K-近邻法】
• Parzen窗法：区域体积V是样本数n的函数，如：
1 Vn n
• K-近邻法：落在区域内的样本数k是总样本数n的 函数，如：
正态分布的参数估计
【最大似然估计】
单元正态分布： p( x | )
1 (2 )
N
1 2
1 x 2 exp[ ( ) ] 2
[1 ,2 ] [ , 2 ]
最大似然估计方程： H ( ) ln p( xk | ) 0
k 1
2 其中 ln p( xk | ) 2 ln(22 ) 2 ( xk 1 ) 2
u 0
u d u 1
【 Parzen窗法】
窗函数
【 Parzen窗法】 • hn称为窗的宽度
【 Parzen窗法】
【 Parzen窗法】
1. 保存每个类别所有的训练样本； 2. 选择窗函数的形式，根据训练样本数n选择窗函 数的h宽度； 3. 识别时，利用每个类别的训练样本计算待识别 样本x的类条件概率密度：
1 N p( x1 , x2 ,..., xN | 1 , 2 ) l ( ) 2 1 0
H( ) Nln 2 1
H( ) 1 N 1 2 1
, 1 x 2 其它
H( ) 1 N 2 2 1
第3章 概率密度函数估计
主讲人：李君宝
哈尔滨工业大学
引言
参数估计 正态分布的参数估计 非参数估计
本章小结
引言
【引言】
贝叶斯决策公式
P i x P x i P i P x
【引言】
算法基本步骤
【引言】
存在的问题：
【引言】
问题的解决
【引言】