概率密度函数估计
概率密度估计
概率密度估计
1 概率密度估计
概率密度估计（Probability Density Estimation，简称PDE）也称为密度函数估计，旨在描述一个随机变量X的概率密度函数，从而
帮助准确定量分析研究变量X的特征。
通常，概率密度估计的过程可以分解为两个步骤。
第一步是从样
本中提取该变量的直方图，然后以某种函数形式拟合该直方图，得到
其对应的概率密度函数。
其中，最常用的函数形式为高斯分布（Gaussian Distribution）的普通分布、泊松分布（Poisson Distribution）、多元正态分布（Multivariate Normal Distribution）、双截止分布（Binomial Distribution）、逻辑正态
分布（Log-normal Distribution）等。
第二步就是根据拟合出概率密度函数形状，运用其特点和参数，
得到该变量的最佳估计，便于对样本进行更有效率的分析。
比如，在
高斯分布模型下，样本拟合出的方差可以帮助我们判断数据的稳定性。
概率密度估计被广泛应用于贝叶斯统计分析、学习理论、社会科
学研究等，是发现重要模式并探寻变量分布的重要工具。
总之，概率密度估计是一项核心重要的数据分析技术，其解释力、拟合能力和模型大小的理论基础为研究者们收集总结数据，比较复杂
的变量特征提供了可靠信息。
概率密度函数的估计.
∵ P(Xk| μ )=N(μ ,σ2),P(u)=N(μ 0,σ02)
P ( | X i ) a
k 1
1 1 Xk exp{ 2 2
1 N Xk 2 0 2 a' exp{ [ ]} 2 k 1 0
1 N 1 2 1 N 0 a' ' exp{ [( 2 2 ) 2( 2 Xk 2 ) ]} 2 0 k 1 0
三. 参数估计的基本概念
1. 统计量：样本中包含着总体的信息，总希望通过样本 集把有关信息抽取出来。也就是说，针对不同要求构 造出样本的某种函数，该函数称为统计量。 2. 参数空间：在参数估计中，总假设总体概率密度函数 的形式已知，而未知的仅是分布中的参数，将未知参 数记为 ，于是将总体分布未知参数 的全部可容许 值组成的集合称为参数空间，记为 。 3. 点估计、估计量和估计值：点估计问题就是构造一个 统计量d x1, , xN 作为参数 θ 的估计ˆ ，在统计学中 i i 是属于类别 的几个 称 ˆ 为 θ 的估计量。若 x1 , , xN i 样本观察值，代入统计量d就得到对于第i类的ˆ 的具体 数值，该数值就称为 θ 的估计值。
Xk
T
结论：①μ 的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵 X k X k 的算术 平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
T
二. 贝叶斯估计
极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量， 而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验 分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察， 通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后 验概率P(θ/Xi) ，进而求使得后验概率分布最大的 参数估计，也称最大后验估计。 估计步骤：
非参数概率密度估计
非参数概率密度估计非参数概率密度估计是一种常用的统计方法，可以用来估计未知的概率密度函数。
在实际应用中，很多情况下我们不知道数据的概率分布，但是我们可以通过样本数据来对概率密度进行估计。
非参数概率密度估计的基本思路是通过样本数据来构造一个概率密度函数，使得这个函数能够较好地拟合数据。
与参数概率密度估计不同的是，非参数概率密度估计不需要对概率密度函数做出任何假设，因此更加灵活。
常见的非参数概率密度估计方法包括直方图法、核密度估计法、最邻近法等。
下面我们分别介绍一下这几种方法。
1. 直方图法直方图法是最简单的一种非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将数据按照一定的区间划分为若干个小区间，然后统计每个小区间中数据出现的频数，最后将频数除以样本总数和小区间的宽度，得到每个小区间的频率密度。
比如对于分布不均匀的数据，直方图法可能会得到不太准确的结果。
2. 核密度估计法核密度估计法是一种比较常用的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将每个样本点周围的一定范围内加权平均起来，得到一个平滑的概率密度函数。
核密度估计法的优点是可以得到比较平滑的概率密度函数，适用于各种不同形状的分布。
但是它也有一些缺点，比如对于样本数量较少的情况，可能会得到不太准确的结果。
3. 最邻近法最邻近法是一种比较简单的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是对于每个样本点，找到离它最近的k个样本点，然后将这k个样本点按照距离远近进行加权平均，得到一个平滑的概率密度函数。
比如对于样本数量较少或者分布不均匀的情况，可能会得到不太准确的结果。
总之，非参数概率密度估计是一种非常有用的统计方法，在很多领域都有广泛应用。
当我们不知道数据的分布情况时，可以使用非参数概率密度估计来对数据进行分析和建模。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体问题选择合适的方法。
第三章 概率密度函数的估计
当 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解： 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
， 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0， 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本， 且 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) =
参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性
3.2最大似然估计
（1）前提假设
参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量 样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N
例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解： 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }， 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率密度函数的估计非参数估计
概率密度函数的估计非参数估计概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的估计是统计学中一项重要的任务，用于描述随机变量的概率分布。
这是一种非参数估计方法，即不对概率分布函数做任何假设，而是通过对样本数据进行分析来估计其分布。
这种非参数估计方法的优点之一是其灵活性，可以应用于各种类型的数据分布。
而参数估计方法则需要对分布函数做出假设，如果假设不合理，估计结果可能会产生偏差。
非参数估计方法通常涉及以下步骤：1.数据收集：从样本数据中获取一组观测值。
2.直方图估计：直方图是一种用于表示数据分布的图形，可以将数据集划分为若干个区间，并计算每个区间内的观测值数量。
通过对直方图进行归一化，可以获得概率密度函数的估计。
3.核密度估计：核密度估计是一种将每个观测值都视为一个概率密度函数的方法。
在估计过程中，为每个观测值放置一个核函数，并对所有核函数求和得到概率密度函数的估计。
4.非参数回归：非参数回归是一种使用滑动窗口来减小噪声的方法。
在非参数回归中，通过在每个数据点周围放置一个窗口，并计算窗口内数据点的平均值或加权平均值来估计概率密度函数。
以上方法都可以用来估计概率密度函数，具体选择哪种方法取决于数据的特点和假设。
非参数估计方法有以下优点：1.适用广泛：非参数估计方法不需要对概率分布函数做出任何假设，因此可以适用于各种类型的数据分布。
2.灵活性：非参数估计方法可以避免对数据分布做出错误的假设，因此对于未知的数据分布可以获得较好的估计。
3.鲁棒性：非参数估计方法对噪声和异常值相对较为鲁棒，不会对这些因素产生过大的影响。
然而，非参数估计方法也存在一些缺点：1.计算复杂度高：非参数估计方法通常需要大量的计算来获得准确的估计结果。
2.模型选择困难：由于非参数估计方法没有对概率分布做出假设，因此对于模型的选择可能比较困难。
在实际应用中，非参数估计方法常常结合参数估计方法使用。
参数估计方法可以提供一些假设的分布函数，而非参数估计方法可以通过对残差分布进行检验来判断假设是否合理。
概率密度函数估计
期望风险：
R Ed
(ˆ, ) p(x, )ddx
(ˆ, ) p( | x) p(x)ddx
Ed
R(ˆ | x) p(x)dx Ed 其中，x Ed ，
条件风险： R(ˆ | x) (ˆ, ) p( | x)d
xEd
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
1
N
X k 0
k 1
所以
1( N X k N ) 0
k 1
1 N
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
如果必要条件有多解则需从中求似然函数最大者若不满足条件则无一般性方法用其它方法求最大以均匀分布32最大似然估计maximumlikelihoodestimation正态分布下的最大似然估计示例以单变量正态分布为例样本集似然函数32最大似然估计maximumlikelihoodestimation对数似然函数最大似然估计量满足方程32最大似然估计maximumlikelihoodestimation得方程组未知估计服从正态分布所以在正态分布时待估参数为代入上式得所以这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术平均
非参数方法 (nonparametric methods)
不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直 接估计数学模型。
二．监督学习与无监督学习 监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练，
参数估计和非参数估计都属于监督学习。
无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。
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3.3 贝叶斯估计和贝叶斯学习
考虑估计的收敛性：记学习样本个数N ，样本集 X x1, x2 , , xN
N 1 时有 p(X N | ) p( x N | ) p(X N 1 | )
定理3.1
请自学证明过程
如果采用平方误差损失函数，则 的贝叶斯估计量ˆ 是在给定 x 时 的条
件期望，即
ˆ E[ | x] p( | x)d
同理可得到，在给定样本集X 下， 的贝叶斯估计是：
ˆ E[ | X ] p( | X )d
3.3 贝叶斯估计和贝叶斯学习
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
1
N
X k 0
k 1
所以
1( N X k N ) 0
k 1
1 N
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
其中，参数
通常是向量，比如一维正态分布
N
(
i
,
2 1
)，未知参数可能是
i
i
2 i
，此时
p(
x
|
i
)可写成
p( x | i , i )或
p(x |i ) 。
2
3.2 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)
鉴于上述假设，我们可以只考虑一类样本，记已知样本为
3.2 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)
假设条件： ① 参数 是确定的未知量，（不是随机量） ② 各类样本集 X i，i 1, ,c 中的样本都是从密度为p(x | i ) 的总体中独立 抽取出来的，（独立同分布，i.i.d.） ③ p(x | i ) 具有某种确定的函数形式，只其参数 未知 ④ 各类样本只包含本类分布的信息
求贝叶斯估计的方法：（平方误差损失下）
（1）确定 的先验分布 p( )
（2）求样本集的联合分布
N
p(X | ) p(xi | ) i 1
（3）求 的后验概率分布
p( | X ) p(X | ) p( )
p(X | ) p( )d
（4）求 的贝叶斯估计量 ˆ p( | X )d
上图有5个解,只有一个解最大即.
3.2 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)
正态分布下的最大似然估计示例
以单变量正态分布为例
[1，, 2 ]T 1， 2 2
p(x | )
1 2
exp
1 2
因此有递推后验概率公式：
p( | X N ) p( xN | ) p( | X N 1)
p( xN | ) p( | X N 1)d
p( | X ) p(X | ) p( )
贝叶斯估计 思路与贝叶斯决策类似，只是离散的决策状态变成了连续的估计。
基本思想： 把待估计参数 看作具有先验分布 p( )的随机变量，其取值与样本
集 X 有关，根据样本集X x1, x2 , , xN 估计 。
损失函数：把 估计为ˆ 所造成的损失，记为(ˆ, )
3.3 贝叶斯估计和贝叶斯学习
3.3 贝叶斯估计和贝叶斯学习
所有可能的参数取值下的 样本概率密度的加权平均
我们也可直接推断总体分布 p(x | X ) p(x | ) p( | X )d
其中， p( | X ) p(X | ) p( ) 。
p(X | ) p( )d
设 的最大似然估计为 ˆl，则在 ˆl 处 p( | X ) 很可能有 一尖峰，若如此，且先验概率 p()在 ˆl 处非零且在附近变化不 大，则
1
...
p
N k 1
log
P( X
k
|
i)
0
P(Xi/θi)
N k 1
1
logP(
X
k
|
i)
0
.........
.........
N k 1
p
logP(
X
k
|
i)
0
利用上式求出 i的估值 ，即为 i＝
最小化期望风险 最小化条件风险 （对所有可能的x ）
有限样本集下，最小化经验风险：
R(ˆ | X ) (ˆ, ) p( | X )d
3.3 贝叶斯估计和贝叶斯学习
贝叶斯估计量：
（在样本集X 下）使条件风险（经验风险）最小的估计量ˆ 。
损失： 离散情况：损失函数表（决策表）； 连续情况：损失函数 常用的损失函数： (ˆ, ) ( ˆ)2 （平方误差损失函数）
平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
极大似然估计
分布
二项 泊松 指数 正态 正态
待估参数
p λ λ μ σ2
极大似然估计
pˆ 1 mn
m
Xi
i 1
ˆ
1 n
n
Xi
i 1
n
ˆ n Xi
i 1
ˆ
1 n
n
Xi
i 1
ˆ 2
1 n
n
(Xi X)2
i 1
3.3 贝叶斯估计和贝叶斯学习
非参数方法 (nonparametric methods)
不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直 接估计数学模型。
二．监督学习与无监督学习 监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练，
参数估计和非参数估计都属于监督学习。
无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。
pˆ ( x | i ) N p( x | i )
Pˆ(i ) NP(i )
重要前提：
训练样本的分布能代表样本的真实分布，所谓i.i.d条件
有充分的训练样本
本章讨论内容： 如何利用样本集估计概率密度函数？
估计概率密度的两种基本方法：
参数方法 (parametric methods)
x
2
样本集 似然函数
X x1, x2 , , xN
N
l(x) p(X | ) p(xk | ) k 1
3.2 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)
对数似然函数
N
H ( ) ln l(x) ln P(xk | )
3.2 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)
求解： 若似然函数满足连续、可微的条件，则最大似然估计量就是方程
dl( ) / d 0 或 dH ( ) / d 0 的解（必要条件）。
若未知参数不止一个，即 [1, 2 , , s ]T ，记梯度算子
B．多维情况：n个特征（学生可以自行推出下式）
估计值：1
1 N
N k 1
Xk
1 N
2 N k1 X k
T
Xk
结论：①μ的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵 X k
T
X k 的算术
X x1, x2 , , xN
似然函数（likelihood function）
N
l( ) p(X | ) p(x1, x2 , , xN | ) p(xi | ) i 1 —— 在参数 下观测到样本集 X 的概率（联合分布）密度
基本思想： 如果在参数 ˆ下 l( )最大，则 ˆ 应是“最可能”的参数值，它是 样本集的函数，记作 ˆ d(x1, x2, , xN ) d(X )。称作最大似然估计量。 为了便于分析，还可以定义对数似然函数 H( ) ln l( )。
② ∑， μ均未知
A. 一维情况：n=1对于每个学习样本只有一个特征的简单
情况：
1
1,
2
2 1
log
P(
X
k
|
i)
1 2
log
2
2
1
2
2
Xk
2
1
(n=1)由上式得
N
代入
k 1
1
log
P(X k
| i)
N1 (X
k 1 2
k
1)
第三章 概率密度函数的估计
本章主要内容介绍
3.1 引言 3.2 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation) 3.3 贝叶斯估计和贝叶斯学习 3.4 概率密度估计的非参数方法
3.1 引言
贝叶斯决策： 已知 P(i ) 和p(x | i ) ，对未知样本分类（设计分类器） 实际问题： 已知一定数目的样本，对未知样本分类（设计分类器）
1 N
N k 1
(xk ˆ )2