概率密度函数的参数估计
分布函数与概率密度函数的参数估计方法
分布函数与概率密度函数的参数估计方法在概率统计学中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的性质的重要工具。
而参数估计则是根据给定的样本数据，通过某种方法对分布函数和概率密度函数中的未知参数进行估计的过程。
本文将介绍分布函数与概率密度函数的参数估计方法，包括最大似然估计、矩估计以及贝叶斯估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法。
其核心思想是选择使得给定数据样本出现概率最大的参数值作为估计值。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数。
最大似然估计的目标是找到使得样本数据出现概率最大的参数值θ^。
具体来说，最大似然估计通过对似然函数L(θ)=∏(i=1)^n f(xi;θ)（其中f(x;θ)为概率密度函数）取对数，并对参数θ进行求导来求解参数值θ^。
矩估计（Method of Moments，MoM）是另一种常用的参数估计方法。
其基本原理是利用样本矩与理论分布矩的对应关系进行参数估计。
对于给定的样本数据x1，x2，…，xn，假设其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为未知参数。
矩估计的目标是使样本矩与理论矩之间的差异最小化，即找到使得原始矩和样本矩最接近的参数值θ^。
除了最大似然估计和矩估计之外，贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
其核心思想是将未知参数视为一个随机变量，并基于先验分布和样本数据来求得后验分布。
贝叶斯估计不仅考虑了样本数据的信息，还考虑了先验信息的影响，因此对于样本数据较少或者不确定性较高的情况下，贝叶斯估计能够提供更稳健的参数估计结果。
总结起来，分布函数与概率密度函数的参数估计方法主要包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
最大似然估计通过最大化样本数据出现的概率来估计参数，矩估计通过比较样本矩和理论矩之间的差异来估计参数，而贝叶斯估计则综合考虑了先验分布和样本数据来求得后验分布。
概率密度函数的估计.
∵ P(Xk| μ )=N(μ ,σ2),P(u)=N(μ 0,σ02)
P ( | X i ) a
k 1
1 1 Xk exp{ 2 2
1 N Xk 2 0 2 a' exp{ [ ]} 2 k 1 0
1 N 1 2 1 N 0 a' ' exp{ [( 2 2 ) 2( 2 Xk 2 ) ]} 2 0 k 1 0
三. 参数估计的基本概念
1. 统计量：样本中包含着总体的信息，总希望通过样本 集把有关信息抽取出来。也就是说，针对不同要求构 造出样本的某种函数，该函数称为统计量。 2. 参数空间：在参数估计中，总假设总体概率密度函数 的形式已知，而未知的仅是分布中的参数，将未知参 数记为 ，于是将总体分布未知参数 的全部可容许 值组成的集合称为参数空间，记为 。 3. 点估计、估计量和估计值：点估计问题就是构造一个 统计量d x1, , xN 作为参数 θ 的估计ˆ ，在统计学中 i i 是属于类别 的几个 称 ˆ 为 θ 的估计量。若 x1 , , xN i 样本观察值，代入统计量d就得到对于第i类的ˆ 的具体 数值，该数值就称为 θ 的估计值。
Xk
T
结论：①μ 的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵 X k X k 的算术 平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
T
二. 贝叶斯估计
极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量， 而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验 分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察， 通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后 验概率P(θ/Xi) ，进而求使得后验概率分布最大的 参数估计，也称最大后验估计。 估计步骤：
r语言 gmm参数估计
r语言 gmm参数估计GMM（高斯混合模型）是一种用于概率密度函数建模的统计模型，它假设数据由多个高斯分布组成。
GMM参数估计是指通过已知数据样本，估计出GMM模型的参数，包括各个高斯分布的均值、方差和混合系数。
在R语言中，可以使用EM算法（期望最大化算法）来进行GMM 参数估计。
EM算法是一种迭代优化算法，它通过交替进行E步和M步来逐步优化模型参数。
我们需要准备好数据集。
假设我们有一个包含N个样本的数据集X，其中每个样本有D个特征。
我们可以将数据集表示为一个N行D 列的矩阵。
接下来，我们需要初始化GMM模型的参数。
我们可以随机选择一些样本作为初始的均值向量，并计算样本的协方差矩阵作为初始的方差参数。
混合系数可以初始化为均匀分布，即每个高斯分布的权重相等。
然后，我们可以使用EM算法来估计GMM模型的参数。
在E步中，我们计算每个样本属于每个高斯分布的后验概率。
具体而言，对于每个样本，我们计算其属于每个高斯分布的概率，并归一化得到后验概率。
这可以使用高斯分布的概率密度函数和混合系数来计算。
在M步中，我们使用E步计算得到的后验概率来更新模型的参数。
具体而言，我们使用后验概率加权平均的方式来更新均值和方差参数，并使用后验概率的和来更新混合系数。
接着，我们重复进行E步和M步，直到模型参数收敛或达到预定的迭代次数。
收敛可以通过判断模型参数的变化是否小于某个阈值来确定。
我们可以使用估计得到的模型参数来进行预测。
对于一个新的样本，我们可以计算其属于每个高斯分布的概率，并选择概率最大的高斯分布作为预测结果。
需要注意的是，GMM参数估计依赖于初始参数的选择，不同的初始参数可能会导致不同的结果。
因此，通常需要多次运行算法，选择最优的结果作为最终的估计值。
在R语言中，可以使用相关的包（如"mclust"包）来实现GMM参数估计。
这些包提供了方便的函数和工具来进行模型拟合和参数估计。
GMM参数估计是一种用于建模概率密度函数的统计方法，可以通过EM算法在R语言中进行实现。
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
概率第7章 参数估计
Gauss
Fisher
基本思想
甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中, 可以认为:甲射击技术优于乙射击技术. 事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了, 可以认为:事件A发生的概率为0.9. 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量 检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在 获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观 察结果出现的可能性最大. 最大似然估计就是通过样本值 x1 , , x n 等数求得总体的 分布参数,使得 X1 ,, X n 取值为 x1 , , x n 的概率最大.
i
L( ) L( x1 , , x n ; ) f ( x i ; ),
i 1
n
的最大值，这里 ( )称为样本的似然函数 L .
ˆ 若 L( x 1 , , x n ; ) max L( x 1 , , x n ; )
ˆ 则称 ( x1 , , xn )为 的极大似然估计值 .
i
xi
在得到观测值 x1 ， x 2 ， ， x n 的前提下，自然 应当选取使得 n
f ( x ; )dx
i i 1
i
达到最大的 值作为未知参数 的估计值．
因为当未知参数 等于这个值时，出现给 定的那个 样本观测值的可能性最 大．
但 dxi 不随 而变，故只需考虑：
3.期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计: (1)无偏性 1 n 选择估计量 X X i n i 1 (2)样本容量越大,估计值 越有效 方差的点估计:
概率密度函数公式连续型随机变量的概率密度函数计算
概率密度函数公式连续型随机变量的概率密度函数计算概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是用来描述连续型随机变量的概率分布规律的数学函数。
它可以帮助我们计算出在某个区间内随机变量出现的概率。
在本文中，我们将介绍如何计算连续型随机变量的概率密度函数。
为了方便理解，我们先从一个具体的例子开始。
假设有一个连续型随机变量X，其取值范围为[a, b]，我们希望计算X落在区间[c, d]内的概率。
首先，我们需要知道X的概率密度函数f(x)。
在计算概率密度函数之前，我们需要了解一下连续型随机变量的概率密度函数必须满足的两个条件：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值必须大于等于0。
2. ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数在整个取值范围内的积分等于1。
现在，我们来计算连续型随机变量的概率密度函数。
1. 首先，我们需要确定概率密度函数的形式。
对于某些连续型随机变量，我们可以直接通过观察其分布规律来确定概率密度函数的形式，并计算出具体的参数值。
例如，正态分布、指数分布等。
2. 如果我们无法直接确定概率密度函数的形式，我们可以通过观察数据来估计概率密度函数。
常用的方法有直方图法、核密度估计法等。
3. 通过确定了概率密度函数的形式或通过估计得到概率密度函数后，我们就可以计算出连续型随机变量在某个区间内出现的概率。
计算概率密度函数的过程可以通过积分来实现。
具体来说，我们需要计算概率密度函数在给定区间内的积分值。
假设我们已经得到了连续型随机变量X的概率密度函数f(x)，我们希望计算X落在区间[c, d]内的概率。
计算概率的过程可以通过计算概率密度函数在该区间内的积分值来实现：P(c ≤ X ≤ d) = ∫[c, d]f(x)dx其中，∫[c, d]表示对概率密度函数f(x)在区间[c, d]上的积分。
需要注意的是，计算概率时必须将概率密度函数带入积分计算，而不是将区间内的端点值代入。
第三章 概率密度函数的估计
当 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解： 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
， 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0， 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本， 且 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) =
参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性
3.2最大似然估计
（1）前提假设
参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量 样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N
例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解： 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }， 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
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P y i 4. 迭代计算2，3步，直到t收敛为止。
,μM ,ΣM
EM算法的性质
• 收敛性：EM算法具有收敛性；
• 最优性：EM算法只能保证收敛于似然函数的局部最大值点（极值点），而不能保证收 敛于全局最优点。
基本EM算法
• 样本集：令X是观察到的样本数据集合，Y为 丢失的数据集合，完整的样本集合D=XY。
p x i ,θi
似然函数
• 样本集D出现的概率：
n
p D θ p x1,x2, ,xn θ pxi θ i1
• 对数似然函数：
n
l θ ln p D θ ln pxi θ i1
最大似然估计
• 最大似然估计：寻找到一个最优矢量 ，使得似然函数 最大。
θˆ
l θ
θˆ arg max l θ θ
正态分布的似然估计
• Gauss分布的参数：由均值矢量μ和协方差矩阵Σ构成，最大似然估计结果为：
μˆ
1 n
n i1
xi
Σ
1 n
n i1
xi
μˆ xi
μˆ t
3.2 期望最大化算法(EM算法)
• EM算法的应用可以分为两个方面： 1. 训练样本中某些特征丢失情况下，分布参数的最大似然估计； 2. 对某些复杂分布模型假设，最大似然估计很难得到解析解时的迭代算法。
• 参数估计：已知样本x1,…,xn，估计参数θ。 • 存在的问题：每个样本是由哪一个子集产生
的未知。
训练样本： x1 来自子类： y1
x2 y2
xn yn
已知y的条件下，参数的估计：
ai
1 n
n t 1
I
yt
i
n
n
μi I yt i xt I yt i
t 1
t 1
n
Σi I yt i xt μi xt μi t t 1
混合密度模型
• 混合密度模型：一个复杂的概率密度分布函 数可以由多个简单的密度函数混合构成：
M
px θ ai pi x θi , i1
M
ai 1
i1
• 高斯混合模型：GMM，Gauss Mixture Model
M
p x ai N x;μi , Σi i 1
两个高斯函数的混合 px 0.7N 10,2 0.3N(5,3)
• 非参数估计方法。
3.1 最大似然估计
• 独立同分布假设：样本集D中包含n个样本：x1，x
2， …, xn，样本都是独立同分布的随机变量(i.i.d， independent identically distributed)。
• 对类条件概率密度函数的函数形式作出假设，参 数可以表示为参数矢量θ：
t 1
t 1
n
Σi P yt ixt μi xt μi t t 1
n
P yt i
t 1
M
P yt i ai N xt ;μi , Σi ai N xt ;μi , Σi i 1
EM算 法
GMM的参数估计算法(EM)
1. 随机初始化参数：
2. θ 计算： a1, a2 , , aM ,μ1, Σ1,
一阶Markov模型的状态转移
• Markov性：模型在时刻t处于状态wj的概率完全由 t-1时刻的状态wi决定，而且与时刻t无关，即：
Pwt W T P wt wt 1
P wt j wt 1 i aij
Markov模型的初始状态概率
第三章 概率密度函数的参 数估计
3.0 引言
• 贝叶斯分类器的学习：类条件概率密度函数的 估计。
• 问题的表示：已有c个类别的训练样本集合D1， D2，…，Dc，求取每个类别的类条件概率密
度 px i。
概率密度函数的估计方法
• 参数估计方法：预先假设每一个类别的概率密度函数的形式已知，而具体的参数未知； • 最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)； • 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
M步： θi arg max Q θ θi θi1 T
6. return θˆ θi1
隐含Markov模型 (Hidden Markov Model, HMM)
• 应用领域：识别对象存在着先后次序信息，如语音识别，手势识别，唇读系统等；
样本的产生过程
• 高斯模型样本的产生：每一个样本都是按照正态分布产生的； • GMM样本的产生：先按照先验概率ai选择一个子类，然后按照这个子类满足的正态分
布产生样本。
GMM模型产生的2维样本数据
GMM模型的参数估计
• GMM的参数：
θ a1, a2, , aM ,μ1, Σ1, ,μM , ΣM
p D θ p X,Y θ
• 似然函数：由于Y未知，在给定参数θ时，似 然函数可以看作Y的函数：
l θ l θ D l θ X,Y ln p X,Y θ
基本EM算法
• 由于Y未知，因此我们需要寻找到一个在Y的 所有可能情况下，平均意义下的似然函数最 大值，即似然函数对Y的期望的最大值：
E步：
• 模式描述：特征矢量序列。
输入语音波形
观察序列
• 观察序列：信号的特征需要用一个特征矢量的序列来表示：
V T v1 , v2 , , vT
• 其中的vi为一个特征矢量，称为一个观察值。
一阶Markov模型
• 状态序列的产生：一阶Markov模型由M个状 态构成，在每个时刻t，模型处于某个状态w (t)，经过T个时刻，产生出一个长度为T的状 态序列WT=w(1),…,w(T)。
Q θ θi1 EY l θ X, Y X,θi1
EY ln p X, Y θ X,θi1
M步：
θi arg max Q θ θi1 θ
基本EM算法
1. begin initialize θ，0 T，i0；
2. do ii+1
3.
E步：计算 Q θ θi1 ;
4.
n
I yt i
t 1
已知参数条件下，y的估计：
yt arg max ai N xt ;μi , Σi
i
K-mean算 法
• 存在的问题：样本xt可能来自于任何一个子类，但 在参数估计时只出现在一个子类中。
• 修改计算过程：
ai
1 n
n t 1
P
yt
i
n
n
μi P yt i xt P yt i