高中数学人教版必修4《三角恒等变换》单元测试
高中数学人教A必修4三角恒等变换单元测试题
数学必修4 单元测试题(两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式)A 组一、选择题:共6小题1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75-D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+等于( )A.12-12 D.4、(中)0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( ) A.16 B.8 C.4 D.25、(中)1sin10sin80-的值是( )A.1B.2C.4D.146、(中)sin1212ππ的值是( )2D.-12二、填空题:共3小题7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 三、解答题:共2小题10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦.11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135,求sin(αβ+)的值.B 组一、选择题:共6小题1、(易)sin(27)cos(18)sin(18)cos(27)x x x x +-+-+ =( )A.12 B.12- C.- 2、(中)tan 20tan(50)1tan 20tan 50--=-( )A.-3、(中)2cos10sin 20cos 20-的值是 ( )124、(中)已知11tan(),tan 34αββ+==则tan α的值为( ) A.112 B.113 C.713 D.12135、(难)如果sin()2009sin()2010αβαβ-=+,则=βαtan tan ( )A.14019 B.14019- C.4019 D.4019-6、(难)已知A.B 均为钝角,sin A =,sin B =则A+B 的值为( ) A.74π B.54π C.34π D.4π二、填空题:共3小题 7、(中)︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_______8、(中)函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 .9、(中)若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围. . 三、解答题:共2小题10、(中)化简:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.11、(难)已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根,求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域.C 组解答题:共2小题1、(难)已知非零常数a 、b 满足5πsin 5πcos 5πcos5πsin b a b a -+=tan 15π8,求a b . 2、(较难)已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++=(1)求cos()αβ-的值; (2)若,,[0,3αβγ4π∈],求sin()αβγ++的值.参考答案 A 组1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17-2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-=3.B 原式cos40cos70sin 40sin(18070)=+-cos 40cos70sin 40sin 70=+=cos(4070)cos(30)-=-=4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论 045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式=cos10sin10cos10 =()2sin 301041sin 202-=6.B 原式=12sin21212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α==,于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭=8.23 由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α= ∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦= ()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β 11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54.又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312,∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］=－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］=－［54×(－1312)－53×135］=6563.B 组1.D 原式=sin(2718)sin 45x x ++-==2.B 原式=tan 20tan 50111tan 50tan 20tan(5020)tan 30+===--3.A 2cos10sin 20cos 20- =2cos 3020sin 20cos 20--（）4.B []tan()tan tan tan ()1tan()tan αββααββαββ+-=+-=++⋅=1135.C 可得2010sin cos 2010cos sin 2009sin cos 2009cos sin αβαβαβαβ-=+, ∴sin cos 4019cos sin αβαβ=,得tan 4019tan αβ=,∴tan 4019tan αβ=.6.A,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=(5105102---=又724A B A B ππ<+<π∴+=7.－33把原式分子、分母同除以cos15°,有 ︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =115tan 115tan +︒-︒=145tan 15tan 45tan 15tan +︒︒︒-︒=tan(15°－45°)=tan(－30°)=－33. 8.32π 22222sincos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半9.22t -≤≤ 令cos cos t αβ+=, 则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤10.解:原式=［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22=［2sin50°+sin10°(1+3︒︒10cos 10sin )］·︒10cos 22=［2sin50°+sin10°(︒︒+︒10cos 10sin 310cos )］·︒10cos 22=(2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos )·2cos10°=22(sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =22sin60°=6. 11.解:由已知,有12tan tan m m αβ-+=,23tan tan 2m mαβ-=·, 24tan()3m αβ-∴+=. 又由0∆>,知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭ ，，∞, 2224()534(1)33mf m m m m -∴=++=++·. 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增, 故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，∞.C 组1.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出a b ,用15π8、5π的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解:由于5πsin 5πcos 5πcos 5πsin 5πsin 5πcos 5πcos 5πsina b a b b a b a -+=-+,则15π8tan 5πsin 5πcos 5πcos 5πsin =-+a b a b . 整理,有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin 15π8sin 5πcos 15π8cos 5πsin 15π8cos 5πcos 15π8sin--=+-=a b =tan 3π=3. 2.解:(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-.(2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-,∵,,[0,3αβγ4π∈],由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥, 则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤,又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！∴0γ=,有3β2π=,3α4π=,∴sin()sin 2αβγ++=π=0.。
三角恒等变换》单元测试题
三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。
cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。
又cos(α+β)=−1。
sin(α+β)=−24/5π。
sinβ=sin[(α+β)−α]。
sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。
A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。
又cos(α+β)=−135。
sin(α+β)=−35π。
sinβ=sin[(α+β)−α]。
sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。
cosx−sinx>0。
即sin(−x)=−sinx=cosx<0。
sin(−x)∈(−1,0]。
x∈[2kπ−π2,2kπ]。
x∈[2kπ,2kπ+π2]。
cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
人教版高中数学必修四三角恒等变换单元检测
三角恒等变换单元验收(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 215°－1的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－322．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．23．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－24254.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1 D.125．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.536．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－77．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( ) A.32B ．－32C ．±32D ．±128．已知sin α－cos α＝－52，则tan α－1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－89．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A.－43－310B.43－310C.12D.3210．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形11．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的最大值为( )A.12B.14 C ．1D.2212．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知2cos2x ＋sin 2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．14．已知向量a ＝(4，3)，b ＝(sin α，cos α)，且a ⊥b ，那么tan 2α＝________．15．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________．16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.(1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限，且cos α＝35，求f (α)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．22．(2014·福建卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．参考答案：DADAB BBDBB AC13. 2 1 14. －247 15. 3 16. 72517.解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35.所以sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α＝sin2α＋2sin αcos α3cos2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.18.解：(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠0，得x ＋π2≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π2，k ∈Z .(2)由已知条件得sin α＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145. 19.解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20.解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1，1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.21.解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .22.解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝ －2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f (x )＝2si n x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。
测试题：高中数学必修4三角恒等变换测试题
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （ ）A.1325 B. 1327 C. 26217 D. 2627 2.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ A. 23- B. 21- C. 21 D. 234.=-+0tan50tan703tan50tan70 A.3 B.33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D. 216.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）|A.x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103- 8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π-9. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910. 已知cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为A ．3- B ．3 C ．49D ．1 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos11cosπππππ（ ）A. 521 B. 421 C. 1 D.12.函数sin22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3x π=- (二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15.若542cos ,532sin -==αα，则角α的终边在 象限．16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ． 三．解答题（共6个小题，共74分）17．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值． ]20. （12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =++，x R ∈. （1）求证)(x f 的小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．<22. (14分) 已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-(cos ,sin ),n A A =且=1(1)求角A; (2)若221sin 23,cos sin BB B+=--求tanC .《数学必修4》三角恒等变换测试题答案二、填空题13、43π 14、 23- 15、第四 16、 3三、解答题（共6个小题，满分74分）6563135********sin cos cos sin )sin(sin ,1312cos ,180B A ,120,1312cos 6023sin ,1312sin 1cos ,135sin 54sin ,53cos ,:.170002=⨯+⨯=+=+=∴=>+>∴-=>∴>±=-±===∴=∆B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故不合题意舍去这时若可得又由中在解 6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin 54)cos(,135)sin(23,40432:.19-=⨯-+⨯-=-++-+=-++=∴-=+=-∴<+<<-<∴<<<βαβαβαβαβαβααβαβαπβαππβαπβαπ解右边左边证明=-+=-+⨯+=-+=++-=+=+=xx x xx x x x x xx x x x x x x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)24cos 122(224cos 12cos 222sin 41)22cos 1()22cos 1(cos sin cos sin sin cos cos sin :.202222224422224321713417134tan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(0240271tan :.20πβαββαββαββαβαβαππαπβπβ-=-∴=⨯+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-= 解21.解：（1）2cos cos 1y x x x =++（cos 212122x x +=++11cos 221222x x =+++3sincos 2cossin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++（2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ ()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ 三角恒等变换测试题一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.下列表达式中,正确的是( )AA.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+…B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=- 设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。
高一必修4三角恒等变换测试题及标准答案
高一数学试题必修4 第三章测试题第I 卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（ ）A 0 B12 C D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665- 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（ ） A.2πB. πC. 2πD. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ）A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7257. 函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ）A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10.函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ____12. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 13．若角α 的终边经过点P (1，－2)，则sin2α 的值为______． 14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为15. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）第II 卷一、选择题：（每小题5分共计60分）二、填空题：（每小题5分，共计20分）13、______________14、_______________15、____________________ 16、_______________三、解答题： 17．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<18. 求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值．（12分）19.（12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且， 求)2tan(βα-的值及角βα-2．20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
高中数学必修4第三章《三角恒等变换》单元检测卷含解析
必修4第三章《三角恒等变换》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.454．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，13π12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π65．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.126．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.327．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B ．－22 C ．2 D.2或－228．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位9．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c10．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A.1tan 2α B ．tan 2α C.1tan αD ．tan α11．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴，终边经过点P (－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝－2，则cos ∠POQ 的值为( )A ．－55 B ．－11525C.11525 D.5512．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动．且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A ．2，π B ．2,4π C.12，4π D.12，π 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．14．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.15．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．22．(本小题满分12分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值．必修4第三章《三角恒等变换》单元检测题参考答案【第5题解析】∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， 又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，1<sin θ＋cos θ≤ 2. 故选A .【第6题解析】sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin (90°＋73°)sin (270°－47°)＋sin (180°＋73°)sin (360°－47°)＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)＝－cos (73°＋47°)＝－cos 120°＝12. 故选B .【第7题解析】∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π， 则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， 化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)，∴tan θ＝－22. 故选B . 【第8题解析】y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∴y＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4.故选C .【第9题解析】a ＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°.∵y＝sin x ，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为递增函数，∴c<a<b. 故选A .【第10题解析】原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α sin 2α＋cos 2α2cos 2α cos 2α＋sin 2α ＝tan 2α.故选B . 【第11题解析】tan β＝tan (π－θ1)＝－tan θ1＝－2，∴tan θ1＝2，tan θ2＝43.∴tan ∠POQ＝tan θ1＋tan θ21－tan θ1tan θ2＝－2， ∴π2<∠POQ<π.∴cos ∠POQ＝－55.故选A .【第12题解析】OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2，12)⊗(x ，y )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12y )，则x Q ＝2x ＋π3，y Q ＝12y ，所以x＝12x Q －π6，y ＝2y Q ，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)．所以最大值A ＝12，最小正周期T ＝4π. 故选C.【第16题解析】∵cos(α＋β)＝sin(α－β) ∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β) ∵α、β均为锐角， ∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 故填1. 【第17题答案】5π4【第17题解析】∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.【第19题答案】（1）－43；（2）－25＋1510.【第19题解析】(1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.【第20题答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)；（2）m ∈[0,1]． 【第20题解析】(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)．因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 22x 0＋π6 ＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.【第22题答案】（1）45；（2）β＝3π4.【第22题解析】(1)tan α＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.。
最新人教版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》单元检测(附答案)
数学人教B 版必修4第三章三角恒等变换单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(π，2π)( )A ．sin 2α- B ．cos2-C ．sin2α D ．cos 2α 2．(2012·天津期末)已知tan(α＋β)＝35，π1tan 34β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A ．318 B ．1323 C ．723D ．7173．设向量a ＝(sin 15°，cos 15°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ，b 的夹角为( )A ．90° B．60° C ．45° D．30°4．函数y x cos 2x 是( )A ．周期为2的奇函数 B ．周期为π2的偶函数C ．周期为π4的奇函数D ．周期为π4的偶函数5．若cos α＝45-，α是第三象限的角，则πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于( )A ． BC ． D6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( ) A ．－1 B ．1C D ．7．在△ABC 中，若sin cos sin cos A BB A=，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．使f (x )＝sin(2x ＋φ)x ＋φ)为奇函数，且在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的一个φ值是( )A ．π3 B ．2π3 C ．4π3 D ．5π39．(2011·浙江卷)若0＜α＜π2，π2-＜β＜0，π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A．-CD．10．若直线1x ya b+=通过点M (cos α，sin α)，则( )A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a ＝cos 20°cos 15°＋sin 20°sin 15°，b ＝sin 40°sin 5°－cos 40°cos 5°，则a ，b 的大小关系是__________．12．函数f (x )＝2πsin 24x ⎛⎫-⎪⎝⎭的最小正周期是________． 13．(2011·重庆卷)已知sin α＝12＋cos α，且α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2πsin 4αα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________．14．设f (x )＝2cos 2x＋x ＋a ，当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )有最大值4，则a ＝__________.15．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，下列四个命题中，正确的序号是________．①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④f (x )的图象关于直线3π4x =对称． 三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知π1πtan π422αα⎛⎫⎛⎫+=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1)求tan α的值；(2)求2sin22cosπsin4ααα-⎛⎫-⎪⎝⎭的值．17．(15分)(2012·广东珠海质检)已知函数f(x)＝sin2x＋a sin x cos x＋b cos2x(x∈R)，且f(0)＝3，π6f⎛⎫=⎪⎝⎭.(1)求该函数的最小正周期及单调递减区间；(2)函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？参考答案1．==∵α∈(π，2π)，∴2α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭.∴cos 02α<.cos 2α-. 答案：B2．答案：C3．解析：∵a ·b ＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 30°＝12，|a|＝|b|1，∴cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a b a b ＝112112=⨯.∴〈a ，b 〉＝60°. 答案：B 4．答案：A5．解析：由α是第三象限的角和cos α＝45-，得sin α＝35-，所以πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2 (sin α＋cos α)＝43255⎫--⎪⎝⎭＝10-. 答案：A6．解析：∵tan 45°＝tan(17°＋28°)＝tan17tan281tan17tan28︒+︒-︒︒＝1，∴tan 17°＋tan 28°＝1－tan 17°tan 28°. ∴tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1. 答案：B7．解析：由题意，得sin A cos A －sin B cos B ＝0， 即sin 2A ＝sin 2B ．因为0＜A ＜π，0＜B ＜π， 所以0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， 所以2A ＋2B ＝π或2A ＝2B ，即A ＋B ＝π2或A ＝B ． 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 答案：D 8．答案：B9．解析：根据已知条件，可得α＋π4∈π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭，π42β-∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以ππcos cos 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝ππππcos cos sin sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝133+=答案：C10．解析：由已知，得cos sin 1a bαα+=，即cos sin b a ab ab αααϕ+(+)=＝1sin ϕϕ⎛⎫= ⎝， ∴(a 2＋b 2)sin (α＋φ)＝a 2b .又sin 2(α＋φ)≤1，∴a 2＋b 2≥a 2b 2，∴22221a b a b+≥，即22111a b +≥.答案：D11．解析：根据两角和与差的余弦公式知a ＝cos(20°－15°) ＝cos 5°，b ＝－cos(40°＋5°)＝－cos 45°，所以，a ＞b . 答案：a ＞b12．解析：f (x )＝π1cos 422x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝12(1－sin 4x )＝12－12sin 4x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π4＝π2.答案：π213．解析：∵sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝14，即2sin αcos α＝34.∴(sin α＋cos α)2＝1＋34＝74.∵α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin α＋cos α＞0，∴sin α＋cos α.∴22cos2πsin 4αα==⎛⎫- ⎪⎝⎭2=.答案：2-14．解析：f (x )＝1＋cos 2xx ＋a ＝2πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋1＋a . ∵x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴π6≤2x ＋π6≤7π6.∴12-≤πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1. ∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4.解得a ＝1. 答案：115．解析：f (x )＝cos x sin x ＝12sin 2x (x ∈R )．故函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．①若f (x 1)＝－f (x 2)，则f (x 1)＝f (－x 2)，即12sin 2x 1＝12sin(－2x 2)，所以2x 1＝－2x 2或2x 1－2x 2＝π，即x 1＝－x 2或x 1－x 2＝π，故①不正确；②f (x )的最小正周期为π，故②不正确；③当x ∈ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，2x ∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以f (x )在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故③正确；④当3π4x =时，f (x )＝12-，为最小值，所以f (x )的图象关于直线3π4x =对称，故④正确．答案：③④16．解：(1)由π1tan 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得1tan 11tan 2αα+=--，解得tan α＝－3.(2)22sin22cos πsin 42αααα-==⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∵π2＜α＜π，且tan α＝－3， ∴cos α＝10-.∴原式＝⎛= ⎝⎭. 17．解：(1)由()03,π6f f =⎧⎪⎨⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩得3,1354442b a b =⎧⎪⎨++=⎪⎩解得3,2.b a =⎧⎨=⎩∴f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋2cos 2x ＋1＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2，∴T ＝2π2＝π，即函数的最小正周期为π.由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递减区间为π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．(2)函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过下列变换得到：①将y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； ②将πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)，得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(横坐标不变)，得到π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④将π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向上平移2个单位得到π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＋2的图象，即得到了函数f (x )的图象．。
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高中数学人教版必修4《三角恒等变换》单元测试一. 选择题（共12题，每题5分，共60分。
）1. 已知αβ，都为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则α=（ ）A.2π B.3π C.4π D.6π2. 在△ABC 中sin 2sin cos B A C =则△ABC 一定为（ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形3.使函数()sin(2))f x x x φφ=+++为奇函数且在区间[0,]4π上为减函数的φ的一个值可以为（ ） A.3π B.53π C.23π D.43π 4.已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y -+=平行，则cos2θ=（ ）A.45-B.35C.35-D.455.已知11cos(),sin()2324βααβ-=--=， 其中32,22ππαπβπ<<<<， 则cos2αβ+=（ ）A.1512- B. 1512+- C.1512+ D.1512-+ 6. 已知函数()cos 2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,其中x R ∈,给出下列四个结论: ①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数; ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=; ③.函数()f x 图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭; ④.函数()f x 的递增区间为2k ,k ,63k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 则正确结论的序号为（ ）A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①7. 函数2cos 2()11tan xf x x=-+的值域为( )A. [B. (C. [1)(1,1)-⋃-⋃D. [1)(-⋃-8.计算：cos 20(tan403)-=（ ） A.tan 40 B.tan 40- C. 0.5 D. -0.59.已知△ABC 中，A,B,C 为三个内角，设2()4sin cos ()cos 242Bf B B B π=-+，若()2f B m -<恒成立，则m 的取值范围为（ ）A.(,1)-∞-B.(3,)-+∞C.(,3)-∞D.(1,)+∞10.已知sin cos αβ=12，则cos sin αβ取值范围为（ ） A.1[1,]2- B.(,1]-∞- C.11[,]22- D.1[,1]2-11.设0απ≤≤，不等式288sin cos 20x x αα-+≥对任意x ∈恒成立，则α取值为（ ）A.5[0,][,]66πππ B.5(0,][,]66πππ C.5[,]66ππ D.5(,)66ππ12.函数2()4cos cos()2sin ln(1)22x f x x x x π=---+零点个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5二. 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13. 已知5sin()413x π+=-，则sin 2x =_______.14. 计算:4cos 122sin12=︒-︒__________15. 已知3sin cos ,(0,),sin(),cos(2)5445ππαααβαβ+=∈-=+=则_______.16. 已知函数2()2sin cos 1f x x x x =++，若不等式()f x m ≥在[0,]2π上有解，则实数m 最大值为_______.三. 解答题（要求写出过程，共6大题，共70分）17. （10分）已知函数22()sin sin (),6f x x x x π=--∈.（I ）求()f x 最小正周期；（II ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.18. （12分）已知函数sin 2cos 21()2sin x x f x x-+=.（I ）求()f x 的定义域；（II ）求()f x 的值域；（III ）设α为锐角，且1tan 2α=，求()f α.19. （12分）已知函数2()54sin cos f x x x x =--.（I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 单调递增区间；（III ）求()f x 在[0,]2π上的最值及对应x 的值.20.（12分）已知△ABC 中，A,B,C,为三个内角，且22sin ()2A C B +=，274sin cos 222B C A +-=. （I ）判断△ABC 的形状并说明理由；（II ）已知函数()sin f x x x =-，求()4f A π+.21.（12分）①ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知acosCsinB =bsinB +ccosC . (I)求sin(A+B )+sin A cos A+cos(A-B )的最大值; (II)若b=√2,当①ABC 的面积最大时,求①ABC 的周长.22.（12分）函数f (x )=sin(ωx+φ)φ>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,将y=f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y=g (x )的图象. (I)求函数y=g (x )的解析式;(II)在①ABC 中,角A ,B ,C 满足2sin 2A+B2=g (C +π3)+1,且其外接圆的半径R=2,求①ABC 的面积的最大值.参考答案（含部分详解）一. 选择题（共12题，每题5分，共60分。
）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B C B B D A B D C A A7.A解析：22222(cos sin )2(cos sin )()11sin cos sin 1cos cos x x x x f x x x x x x--=-=-++12cos (cos sin )x x x =--212cos 2sin cos sin 2cos 2x x x x x=-+=-π2sin(2)4x =-,故选A.12. A 将原函数化简得()sin 2ln(1)f x x x =-+.令()f x =0，即sin 2ln(1)x x =+绘制函数图像可知，有两个零点.故选择A.二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13.119169-14. -4解析：原式()2sin 126041sin 482︒-︒===-︒15.16. 4三.解答题（要求写出过程，共6大题，共70分） 17.（I ）T=π（II ）min=12-18.（I ）{x │x ≠k π，k ∈Z }（II）[1)(1,1)(1,2]--（III ）7519.（I ）T=π（II ）25[,,],36k k k ππππ++∈（III ）max ()5,0f x x == 20.（I ）等边三角形（II21.(I)由图知2πω=4(π12+π6),解得ω=2,∵f (π12)=sin (2×π12+φ)=1,∴π+φ=2k π+π(k ①Z ), 即φ=2k π+π3(k ①Z ),∵|φ|<π2, ∵φ=π3,f (x )=sin (2x +π3),∵f (x-π4)=sin 2x-π4+π3=sin (2x-π6),即函数y=g (x )的解析式为g (x )=sin (2x-π6). (II)∵2sin 2A+B2=g (C +π3)+1,∵1-cos(A+B )=1+sin 2C+π2,∵cos(A+B )=-cos C ,sin 2C+π2=cos 2C ,∵cos C=cos 2C , 即cos C=2cos 2C-1, ∵cos C=-12或1(舍),C=23π.由正弦定理得csinC ==2R=4,解得c=2√3 ,由余弦定理得cos C=-12=a 2+b 2-c 22ab,∵a 2+b 2=12-ab ≥2ab ,ab ≤4(当且仅当a=b 等号成立).∵S ①ABC =12ab sin C=√34ab ≤√3.∵①ABC 面积的最大值为√3. 22.(I)由a cosCsinB=b sinB +c cosC 得:acosCsinB=bcosC+csinBsinBcosC,a=b cos C+c sin B ,即sin A=sin B cos C+sinC sin B ,cos B=sin B ,B=π4.由sin(A+B )+sin A cos A+cos(A-B )=√2(sin A+cos A )+sin A cos A , 令t=sin A+cos A ,原式=12t 2+√2t-12,当且仅当A=π4时,上式的最大值为52. (II)S=12ac sin B=√24ac ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即2=a 2+c 2-√2ac ≥(2-√2)ac ,ac ≤2+√2,当且仅当a=c=√2+√2等号成立,此时①ABC 的面积最大,周长L=a+b+c=2√2+√2+√2.感谢您的阅读，祝您生活愉快。