北京中国人民大学附属中学2018届高三上月考理科数学
北京市中国人民大学附属中学最新高三数学3月月考试题(解析版)
高中数学系列复习资料北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学3月月考试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．若集合A ＝{x ∈R |3x +2＞0}，B ＝{x ∈R |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x ∈R |x ＜﹣1} B ．{x ∈R|−1＜x ＜−23}C ．{x ∈R|−23＜x ＜3}D ．{x ∈R |x ＞3}2．向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa →+b →与c →共线，则实数λ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2−y 24=1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞26．已知函数f （x ）＝cos （2x +φ）（φ为常数）为奇函数，那么cosφ＝（ ） A ．−√22B ．0C ．√22D ．17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A．4 B．2√2C．√7D．28．已知函数f（x）={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，若方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1）D．[0，+∞）9．定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．若函数f(x)=√x(x≥1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值为（）A．4 B．3 C．1 D．1210．在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A．B．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11．代数式（1﹣x ）（1+x ）5的展开式中x 3的系数为 ． 12．在复平面内，复数z ＝1﹣2i 对应的点到原点的距离是 ． 13．已知函数若f(x)={|log 4x|，0＜x ≤4，x 2−10x +25，x ＞4.，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则abcd 的取值范围是 ． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆x 25+y 2=1有相等焦距，则C 的方程为15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n +2﹣S n ＝36，则n ＝ ．16．如果对于函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2），就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．则①f(x)={x ，x ≥10，−1＜x ＜1x ，x ≤−1，②f(x)={1，x =−π2sinx ，−π2＜x ≤π2， ③f(x)={1，x ≥10，−1＜x ＜1−1，x ≤−1，④f(x)={x ，x ≥1x +1，x ＜1，四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的g （x ）有 个． 三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（13分）已知{a n }是各项为正数的等差数列，S n 为其前n 项和，且4S n =(a n +1)2． （Ⅰ）求a 1，a 2的值及{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{S n −72a n }的最小值．18．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，BE ＝BC ，F 为CE 的中点，（1）求证：AE ∥平面BDF ；（2）求证：平面BDF⊥平面ACE；（3）2AE＝EB，在线段AE上找一点P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为√1010，求AP的长．19．（13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为x1，安全平均得分为x2，写出x1和x2的大小关系？（只写出结果）20．已知函数f（x）=1x−x+alnx．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示）（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2＜a−2．21．（13分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+√6=0相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线x ＝4于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值．22．（13分）给定一个n 项的实数列a 1，a 2，⋯，a n (n ∈N ∗)，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．（Ⅰ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1．A ={x ∈R|x ＞−23}，B ＝{x ∈R |x ＜﹣1，或x ＞3}； ∴A ∩B ＝{x ∈R |x ＞3}． 故选：D ．2．根据图形可看出2a →+b →=c →； 满足2a →+b →与c →共线； ∴λ＝2． 故选：D ． 3．C 的方程为x 2−y 24=1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，即充分性成立，双曲线y 24−x 2＝1的渐近线方程也是y ＝±2x ，即必要性不成立，故“C 的方程为x 2−y 24=1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选：A ．4．由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B不成立，C选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C成立，D选项：7＞6，故不为最少人数，故不成立，故选：C．5．∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x=−p2的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值p2．∴p2＞1，即p＞2．故选：D．6．由于函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，则φ＝kπ+π2，k∈z，∴cosφ＝0，故选：B．7．由三视图可知几何体为四棱锥S﹣ABCD，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM=√3，∴AM=√5，SA=√AM2+SM2=2√2．由对称性可知SB＝SA＝2√2．∴几何体最长的棱为2√2．故选：B．8．函数f（x）={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0的图象如图所示，当a＜1时，函数y＝f（x）的图象与函数y＝x+a的图象有两个交点，即方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根．故选：A．9．由已知中中利普希茨条件的定义若函数f（x）=√x（x≥1）满足利普希茨条件，所以存在常数k，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x．而0√x+√x 12，所以k的最小值为12．故选：D．10．（1）当0≤x≤12时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，∵S△OEF=12×1×1=12，P到面OEF的距离为x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝2×13×12x＝2•x6=x3，23（2）当12＜x≤32时，P在AB上，Q在C1D1上，P到12，S△OEF=12×1×1=12，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝2×13×12×12=16=定值．（3）当32＜x ≤2时，S △OEF =12×1×1=12，P 到面OEF 的距离为2﹣x ，V PEFQ ＝2V P ﹣OEF ＝2×13×12×（2﹣x ）=23−13x ，V ={ x3，0≤x ＜1216，12≤x ＜3223−13x ，32≤x ≤2故选：C ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．∵（1﹣x ）（1+x ）5＝（1﹣x ）（C 50+C 51•x +C 52•x 2+C 53•x 3+C 54•x 4+C 55•x 5），∴（1﹣x ）（1+x ）5展开式中x 3的系数为1×C 53−1×C 52=0．故答案为：0．12．复数z ＝1﹣2i 对应的点（1，﹣2）到原点的距离d =√12+(−2)2=√5． 故答案：√5． 13．先画出函数f(x)={|log 4x|，0＜x ≤4，x 2−10x +25，x ＞4.的图象，如图：∵a ，b ，c ，d 互不相同，不妨设a ＜b ＜c ＜d ． 且f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ）， 而﹣log 4a ＝log 4b ，即有log 4a +log 4b ＝0， 可得ab ＝1， 则abcd ＝cd ，由c +d ＝10，可得cd ＜（c+d 2）2＝25，且cd ＝c （10﹣c ）＝﹣（c ﹣5）2+25， 当c ＝4时，d ＝6，cd ＝24，但此时b ，c 相等，故abcd 的范围为（24，25）． 故答案为：（24，25）．14．由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：ba =tan60°=√3，由题意可得a 2+b 2＝4，解得：a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线的方程为：x 2−y 23=1；故答案为：x 2−y 23=1．15．∵等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2， 则S n =n +2n(n−1)2=n 2，S n+2=(n +2)2， 由S n +2﹣S n ＝36，得（n +2）2﹣n 2＝2（2n +2）＝36，解得：n ＝8． 故答案为：8．16．由已知中：函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2）， 就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．①f(x)={x ，x ≥10，−1＜x ＜1x ，x ≤−1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；②f(x)={1，x =−π2sinx ，−π2＜x ≤π2，当x 1=−π2，x 2∈（−π2，π2），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数； ③f(x)={1，x ≥10，−1＜x ＜1−1，x ≤−1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；④f(x)={x ，x ≥1x +1，x ＜1，当x 1=12，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数；故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；∵函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，则满足条件的函数g （x ）有： g （1）＝g （2）＝g （3）＝1， g （1）＝g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝2，g （3）＝3， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝3， g （1）＝2，g （2）＝g （3）＝3， 故这样的函数共有9个， 故答案为：①③；9．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（Ⅰ）∵4S n =(a n +1)2，∴当n ＝1时，4a 1=(a 1+1)2，解得a 1＝1，当n ＝2时，4(1+a 2)=(a 2+1)2，解得a 2＝﹣1或a 2＝3， ∵{a n }是各项为正数的等差数列， ∴a 2＝3，得{a n }的公差d ＝a 2﹣a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1； （Ⅱ）∵4S n =(a n +1)2， ∴S n =(2n−1+1)24=n 2，∴S n −72a n =n 2−72(2n −1)=n 2−7n +72=(n −72)2−354，当n ＝3或n ＝4时，S n −72a n 取得最小值为−172．18．证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵F 是EC 中点．∴在△ACE 中，FG ∥AE ，…（2分） ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD ．…（2）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC ⊥AE ，又∵AE ⊥BE ，BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，即AE ⊥BF ，…（6分） 在△BCE 中，BE ＝CB ，F 为CE 的中点， ∴BF ⊥CE ，AE ∩CE ＝E ， ∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ．… （3）如图建立坐标系，设AE ＝1，则B （2，0，0），D （0，1，2），C （2，0，2），F （1，0，1），设P （0，a ，0），BD →=(−2，1，2)，BF →=(−1，0，1)，PB →=(2，−a ，0) 设n 1→⊥面BDF ，且n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则由n 1→⊥BD →得﹣2x 1+y 1+2z 1＝0， 由n 1→⊥BF →得﹣x 1+z 1＝0，令z 1＝1得x 1＝1，y 1＝0，从而n 1→=(1，0，1)⋯ 设n 2→⊥面BDP ，且n 2→=(x 2，y 2，z 2)，则 由n 2→⊥BD →得﹣2x 2+y 2+2z 2＝0， 由n 2→⊥PB →得2x 2﹣ay 2＝0，令y 2＝2得x 2＝a ，z 2＝a ﹣1，从而n 2→=(a ，2，a −1)， cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√2⋅√a 2+4+(a−1)2=√1010， 解得a ＝0或a ＝1（舍）即P 在E 处．…19．（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个， ∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35．（2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2． P （ξ＝0）=C 43C 63=15，P （ξ＝1）=C 42⋅C 21C 63=35，P （ξ＝2）=C 41⋅C 22C 63=15，∴ξ的分布列为： ξ 012P153515∴E （ξ）＝0×15+1×35+2×15=1．（3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而x 1＞x 2． 20．（Ⅰ）∵f （x ）=1x −x +alnx （x ＞0） ∴f ′（x ）=−x 2+ax−1x 2（x ＞0）∴当x ＝1时，f （1）＝0，f ′（1）＝﹣2+a ，设切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +b ，代入（1，0），得b ＝2﹣a ， ∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝x +2﹣a ． （Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f ′（x ）=−x 2+ax−1x 2−，设g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g （0）＝﹣1，①当a ≤0时，g （x ）＜0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数； ②当a ＞0时，判别式△＝a 2﹣4，1°当0＜a ≤2时，△≤0，即g （x ）≤0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数； 2°当a ＞2时，令f ′（x ）＞0，得：a−√a 2−42＜x ＜a+√a 2−42；令f ′（x ）＜0，得：0＜x ＜a−√a 2−42或x ＞a+√a 2−42；∴当a ＞2时，f （x ）在区间（a−√a 2−42，a+√a 2−42）单调递增，在（0，a−√a 2−42），（a+√a 2−42，+∞）单调递减；综上所述，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数， 当a ＞2时，在（0，a−√a 2−42），（a+√a 2−42，+∞）上是减函数，在区间（a−√a 2−42，a+√a 2−42）上是增函数．（Ⅲ）（2）由（1）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1， 则f （x 1）﹣f （x 2）=1x 1−x 1+alnx 1﹣[1x 2−x 2+alnx 2]＝（x 2﹣x 1）（1+1x 1x 2）+a （lnx 1﹣lnx 2）＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2）， 则f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=−2+a(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2，则问题转为证明lnx 1−lnx 2x 1−x 2＜1即可，即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2， 则lnx 1﹣ln 1x ＞x 1−1x 1，即lnx 1+lnx 1＞x 1−1x 1，即证2lnx 1＞x 1−1x 1在（0，1）上恒成立，设h （x ）＝2lnx ﹣x +1x 1，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0，求导得h ′（x ）=2x−1−1x 2=−x 2−2x+1x 2=−(x−1)2x 2＜0，则h （x ）在（0，1）上单调递减， ∴h （x ）＞h （1），即2lnx ﹣x +1x ＞0，故2lnx ＞x −1x ， 则f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2成立．21．解（Ⅰ）由题意得：e =ca =12，b =√6|2=√3，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程：x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S （2，0），右焦点F （1，0）由题意得，直线l 的斜率不为零，设直线l 为：x ＝my +1，设P （x '，y '），Q （x ''，y ''），联立直线l 与椭圆的方程整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，∴y '+y ''=−6m4+3m 2，y 'y ''=−94+3m 2； ∵k PF =y′x′−2，设直线FP ：y =y′x′−2（x ﹣2），与x ＝4联立，得y =2y′x′−2，即y A =2y′x′−2， 同理可得：y B =2y″x″−2，∴y A y B =4y′y″(x′−2)(x″−2)=4y′y″(my′−1)(my″−1)=4y′y″m 2y′y″−m(y′+y″)+1=−364+3m 2−9m 24+3m 2−m −6m4+3m 2+1=−364=−9，为定值，所以A ，B 两点的纵坐标之积为定值﹣9．22．（Ⅰ）方法1：T 1（4）：3，1，1，3；T 2（2）：1，1，1，1；T 3（1）：0，0，0，0．方法2：T 1（2）：1，1，3，5；T 2（2）：1，1，1，3；T 3（2）：1，1，1，1；T 4（1）：0，0，0，0．．… （Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为a 1(k)，a 2(k)，⋯，a n (k)，k ＝1，2，…． 取c 1=12(a 1+a 2)，则a 1(1)=a 2(1)=12|a 1−a 2|，即经T 1（c 1）后，前两项相等；取c 2=12(a 2(1)+a 3(1))，则a 1(2)=a 2(2)=a 3(2)=12|a 3(1)−a 2(1)|，即经T 2（c 2）后，前3项相等； …设进行变换T k （c k ）时，其中c k =12(a k (k−1)+a k+1(k−1))，变换后数列变为a 1(k)，a 2(k)，a 3(k)，⋯，a k+1(k)，a k+2(k)，⋯，a n (k)，则a 1(k)=a 2(k)=a 3(k)=⋯=a k+1(k)；那么，进行第k +1次变换时，取c k+1=12(a k+1(k)+a k+2(k))，则变换后数列变为a 1(k+1)，a 2(k+1)，a 3(k+1)，⋯，a k+1(k+1)，a k+2(k+1)，a k+3(k+1)，⋯，a n(k+1)，显然有a 1(k+1)=a 2(k+1)=a 3(k+1)=⋯=a k+1(k+1)=a k+2(k+1)；…经过n ﹣1次变换后，显然有a 1(n−1)=a 2(n−1)=a 3(n−1)=⋯=a n−1(n−1)=a n(n−1)；最后，取c n =a n(n−1)，经过变换T n （c n ）后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n 次归零变换”． …（9分） （Ⅲ）不存在“n ﹣1次归零变换”．…证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换T j （c j ）时，c j ＜min {a 1，a 2，…，a n }，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行T j （c j ）后，再进行T j +1（c j +1），由||a i ﹣c j |﹣c j +1|＝|a i ﹣（c j +c j +1）|，即等价于一次变换T j （c j +c j +1），同理，进行某一步T j （c j ）时，c j ＞max {a 1，a 2，…，a n }；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的c i 满足min {a 1，a 2，…，a n }≤c i ≤max {a 1，a 2，…，a n }．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n ﹣1次归零变换”． （1）当n ＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立． （由（Ⅱ）可知，存在“两次归零变换”变换：T 1(52)，T 2(32)）（2）假设n ＝k 时成立，即1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”． 当n ＝k +1时，假设1，22，33，…，k k ，（k +1）k +1存在“k 次归零变换”．此时，对1，22，33，…，k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换c i 一定满足1≤c i ≤k k ，i ＝1，2，…，k ．因为|⋯||(k +1)k+1−c 1|−c 2|−⋯−c k |=(k +1)k+1−(c 1+c 2+⋯+c k )≥（k +1）k +1﹣k •k k ＞0 所以，（k +1）k +1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾． 所以，当n ＝k +1时不存在“k 次归零变换”． 由（1）（2）命题得证． …（13分）。
2019届北京市中国人民大学附属中学高三上学期第二次月考数学(理)试卷及解析
2019届中国人民大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B. RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是。
北京市中央民族大学附属中学2018届高三第三次模拟数学理试题Word版含答案
2018年中央民族大学附属中学高三，三模考试数学(理科)本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合1{|0}3x A x x -=≤-，{|2}B x x =>，则A B ⋂= （A ）(2,3) （B ）(2,3] （C ）[1,)+∞ （D ）[1,2)2. “0a >”是“函数3()(0,)f x x ax =++∞在区间上是增函数”的____________（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则Z =（ ）（A ）22i --（B ）22i -+（C ）i 2-2 （D ）i 2+24. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入的a 值均为4，输出s 的值为160，则输入n 的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边落到直线2y x =-上，则cos 2α=（A ）35-（B ）35± （C ）35 （D ）45- 6. 在ABC ∆中，12AN AC =，P 是直线BN 上的一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）（A ）2（B ）1- （C ）14（D ）547. 已知,x y 满足0,0,.x x y x y k ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩（k 为常数），若2z x y =-最大值为8，则k =________.（A ）3（B ）4 （C ）3-（D ）1638. 过直线:2l y x a =+上的点作圆22:=1C x y +的切线，若在直线l 上存在一点M ,使得过点M 的圆C 的切线,MP MQ (,P Q 为切点)满足90PMQ ∠=,则a 的取值范围是（ ） （A ）[10,10]-（B）⎡⎣（C ）(,10][10,)-∞-⋃+∞（D）(,)-∞⋃+∞二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案直接填在Ⅱ卷对应题号后的横线上）9.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，曲线2C的参数方程为,(x t ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为__________． 10. 已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，124,,a a a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d =__________,等比数列{}n b 的前n 项n S =____________11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有_______个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是_____12. 已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫++ ⎪⎝⎭图象的对称中心可以是___________13. 某单位安排甲乙丙等5人从星期一到星期五值班，每人值班1天，每天值班1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有_________种（用数学作答）.14. 设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-+≥=⎨<⎩，(1) 若0a =，则()f x 的最大值是________________ (2) 若()f x 有最大值，则a 的取值范围是_________________三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，） 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c已知cos()cos()sin cos a B C a B C C A --+=（Ⅰ）求角A(Ⅱ)若ABC ∆的周长为8ABC ∆的面积. 16.（本小题共13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在个卖场的销售量（单位：台），并根据这个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）从乙型号的10个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于30的数据有X 个，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值（只需写出结论）17. （本小题满分14分）在三棱柱'''A B C ABC -中，''5,4,3A A AB A B AC ====，AC BC ⊥，'3cos 5A AC ∠=。
北京中国人民大学附属中学2018年高三数学文月考试卷含解析
北京中国人民大学附属中学2018年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的函数满足，时，，则（）A. 6B. 4C. 2D. 0参考答案：D【分析】根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数，当时，，则，，又由，则，，所以，所以.故选：D．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．2. 若变量满足约束条件的最小值为A. B.0 C.1 D.4参考答案：A3. i为虚数单位，复数=（）复数的分子、分母同乘分母的共轭复数1﹣i ，化简为a+bi（a，b∈R）的形式即可．解：因为===2﹣i故选B．4. 在直角坐标平面上的点集，，那么的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知命题p:；q:；r:∥平面，则直线；s:同时抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为，则下列复合命题中正确的是A、p且qB、r或sC、非rD、 q或s参考答案：B略6. 己知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：?x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：“a＞b”?“2a＞2b”，即可判断出真假．q：令f（x）=e x﹣lnx，x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f′（x）=，因此x＞1时，f（x）单调递增，可得f（x）＞0．即可判断出真假．【解答】解：命题p：“a＞b”?“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）=e x﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．∴不存在x∈R，e x＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D．7. 函数(其中)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度参考答案：C8. 下列命题为真命题的是（）（A）若为真命题，则为真命题（B）“”是“”的充分不必要条件（C）命题“若，则”的否命题为“若，则”（D）若命题：，使，则：，使参考答案：B9. 设集合，则（）A． B．C． D．参考答案：D考点：1、集合的表示；2、集合的并集及补集.10. 在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）参考答案：A【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4），切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）．故选A．【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为．参考答案：112. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝．（用数值表示）参考答案：试题分析：由已知得，从而由三角函数的定义可知，从而＝．故答案为：．考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式．13. （5分）在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，若=+m（0＜m＜1），则?的取值范围是．参考答案：[﹣，﹣1）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义可得，?=4，运用向量的三角形法则，化简?=4m2﹣2m﹣3，再由二次函数在闭区间上的最值求法，即可得到范围．解答：?=||?||?cos60°=4×=4，若=+m（0＜m＜1），则?=?=（+m）?（﹣）=（+m）?（m﹣）=m2﹣﹣m=4m2﹣2m﹣3=4（m﹣）2﹣，由于0＜m＜1，则m=，取得最小值﹣，又m=0，4m2﹣2m﹣3=﹣3；m=1，4m2﹣2m﹣3=﹣1．则有?的取值范围为[﹣，﹣1）．故答案为：[﹣，﹣1）．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．14. 有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为参考答案：15. 若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值与最小值的差为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得目标函数的最值，作差得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（1，3），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=分别过点A、B时，直线y=在y轴上的截距取最小、最大值．分别为：3、7．∴z=x+2y的最大值与最小值的差为7﹣3=4．故答案为：4．16. 将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为________参考答案：17. 在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的边长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是．参考答案：[2,5]以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B，C（，），D．令，则∴∵，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018届北京市中国人民大学附属中学高三5月考前热身练习(三模)数学(理)试题(解析版)
2018届北京市中国人民大学附属中学高三5月考前热身练习（三模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，由，可得，由此列不等式求得实数的取值范围.详解：集合，，，故选B.点睛：本题主要考查集合中参数的取值范围问题，两个集合的交集的定义，判断是解题的关键，属于简单题.2．若，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，数量积为零，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围.详解：，，，，，，两个向量的夹角是，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）. 3．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为8，则图中判断框内①处可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到输出的的值为,即可得到输出条件.详解：执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，此时输出，退出循环，故退出条件为，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．如图，一个空间几何体的三视图均是直角边为1的等腰直角三角形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，为正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可.详解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，为正方体的一个角，几何体的表面积为个等腰三角形与一个等边三角形的面积的和，即，故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．“”的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据充分条件与必要条件逐一验证选项中的命题是否符合题意即可.详解：是的充要条件，错；是的必要不充分条件，错；，不能推出，（如），是充分不必要条件，对；是的充要条件，错，故选C.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）A. 6秒钟B. 7秒钟C. 8秒钟D. 9秒钟【答案】C【解析】分析：由题意可得，解不等式可得结果.详解：根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要秒可将细菌将病毒全部杀死，则，，，结合解得，即至少需秒细菌将病毒全部杀死，故选C.点睛：本题主要考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和的项数一定要准确.7．若双曲线：与：的离心率分别为和，则下列说法正确的是（）A. B.C. 与的渐近线相同D. 与有8个公共点【答案】A【解析】分析：求出两双曲线的离心率与渐近线，逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：的离心率为；的离心率为，，所以对错；因为的渐近线方程为，的渐近线方程为，错；与有8个公共点有四个公共点，错，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查双曲线的标准方程、离心率。
北京市清华大学附属中学2018届高三上学期12月月考数学理试题
高三12月月考数学（理）（清华附中高13级） 2018.12一、选择题（每小题5分，共40分）1.复数2(12)z i =-的实部为A. 3B. 5C. -3D. -52.在定义域内单调递增，且为奇函数的为A. 2y x =B. 3y x =C. 1y x=- D. 1y x =-- 3.在公比大于1的等比数列{}n a 中，37288,9a a a a =+=，则12a =A. 32B. 24C. 16D. 124."1"x ≥是21"1"x x-≥的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 及不必要又不充分条件5.设变量,x y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，目标函数2z y x =-的最小值为A. -7B. -4C. -1D. 16.某四棱锥的三视图如图所示，则在四个侧面中，直角三角形的个数为A. 1个B.2个C.3个D.4个7.点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其中右焦点为(,0)F c ，若点M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 A. (1,8] B. 4(1,]3 C. 45(,)33 D. (2,3] 8.函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图像如图。
其中(,0),(,2),(,0)M m N n P π，且0mn <，则()f x 在下列哪个区间是单调的 A.(0,)4π B. 2(,)43ππ C. 3(,)24ππ D. 2(,)3ππ 二、填空题（每小题5分，共30分）9.已知{|1||3},{|2}A x x B x x =<<=>，则__________.A B =10.如右图，AB 是O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作O 的切线，切点为C ，23PC =，若30CAP ∠=，则O 的直径_____.AB =11.在ABC 中，60B =，且8,4c b a =-=，则____.b =12.点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）上，则y x 的取值范围是_____. 13.已知点P 为抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影为M ，点A 的坐标为7(,4)2，则||||PA PM +的最小值为________.14.已知函数()f x 的定义域[1,5]-，部分对应值如表，()f x 的导函数'()y f x =的图像如图所示，（1）方程[()]0f f x =的不等实根的个数为______;（2）方程[()]0,[1,2]f f x a a -=∈-的不等实根的个数构成的集合为_________.三、解答题（本题分为6个小题，共80分）15.已知2()2sin 3sin 2()2f x x x π=+-. （1）求()6f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及图像的对称中心.16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，1,2,,AB BC AB BC BB M N ⊥===分别是1,AB AC 的中点 （1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）求证：MN ⊥平面11A B C ；（3）求以111,,,M A B C 为顶点的三棱锥的体积.17.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F .经过点F 作斜率为1的直线，与抛物线交于,A B 两点.（1）求线段AB 的长度.（2）点P 在x 轴上，且3PA PB ⋅=-，求P 的横坐标.18.已知函数2()(1)ln 1f x a x x =-++，（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[2,4]上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）当[1,)x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在10x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围.19.已知椭圆2222::1(0)x y E a b a b +=>>经过点2(2,)2，且离心率为32. （1）求椭圆E 的方程.（2）设O 为坐标原点，若点A 是椭圆上运动，且点A 不在y 轴上，点B 在直线y x =上，且OA OB ⊥.是否存在有序实数对(,)t r ，使得直线AB 与圆222:O x y r +=总相切，若存在，求出所有满足题意的有序实数对(,)t r ；若不存在，请说名理由.20.在数列{}n a 中，2115,,,,2n n n n n a a a a a Z a a a +⎧-⎪=∈=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）若1a =，求234,,a a a .（2）若*,n N ∀∈均有3n n a a +=成立，请直接写出整数a 的所有可能值.（3）若*,m N ∀∈，均存在*,n N ∈使得n a m >，求满足题意的整数a 构成的集合.。
北京市人大附中2018届高三数学2月特供卷(一)理
北京市人大附中2018届高三数学2月特供卷（一）理注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
A . A .一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，2 则此几何体的体积为B. D.2.已知复数z1 =3 2i ,Z2 = 2 - i , Z1 -Z2 的虚部为(A . -1 B. C. 1 D.x W 0设点P（x, y）是平面区域X • y • 1W 0内的任意一点，则2x y 2>0B. 1执行如图所示的程序框图，输出S，则log2S 1 =(B. 10C. 11函数f x = ln i x—sinx的图象大致是（sin x丿Ax^ 寸- 4x的最小值为（D. 5D. 12b a, b=(a =LkO0------ "ZBi11x n对称；命题12nx ）的图象为C，命题p:图象C关于直线= 3sin2x的图象向右平移n个单位长度可以得到图象C ;则下列命题为真命题的是（33.函数f (x) =3sin(2B. p (—q)C.（一卩）qD. 一(P q) 已知a b 1，若log a b log b10 一3 '在-、.3, -.3内随机地取一个数k，则事件“直线y =kx - k与圆x-1 2y2 =1有公共点”发生的概率为（A . 135 .已知集合A—X- )B. 14N 2x-7c。
人大附中2018-2019高三理科数学月考答案
…………7 分 …………9 分
…………12 分
所以曲线 y f x 在直线 y 2x 2 的下方（含部分点在直线上）. …………13 分
19. (本题满分 14 分)
解：(Ⅰ)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4, 而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， 故 b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (Ⅱ) 由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)． 所以，H(x)=kg(x)－f(x)=2kex(x＋1)－x2－4x－2， 则 H′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1), 当 k≤0 时，kex－1<0, 由 H′(x)>0 得：x<-2，由 H′(x)<0 得：x>-2,
<
−ln������, 或������
>
−2,
由 H′(x)<0 得：−ln������ < ������ < −2, 当������ = ������2时，H′(x)≥0 恒成立,
…………7 分 …………8 分
当0
<
������
<
������2时，由
H′(x)>0
得：{������������������＋������－21>>00,或
②若 a C 且 a X ，则 Card(C(X {a}) Card(CX ) 1.
…………5 分
所以 要使 Card(X A) Card(X B) 的值最小，2，4，8 一定属于集合 X ；…………6 分
1，6，10，16 是否属于 X 不影响 Card(X A) Card(X B) 的值；集合 X 不能含有 A B
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中国人民大学附属中学2018届高三12月月考
数学试题（理科）
2017.12.08
说明：本试卷共三道大题、20道小题，共4页，满分150分.考试时间120分钟.考生务必按要求将答案答在答题纸上.在试题上作答无效.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）
1.设全集为R ，集合{}012>-=x x A ，{}
R x y y B x ∈==,3,则=B A （ ） A. ()1,-∞- B. (]1,-∞- C. ()+∞,1 D.[)+∞,1
2.若直线012=-+y ax 与0163=--y x 垂直，则a 的值为（ ）
A.4
B.-4
C.1
D.-1
3.将函数)4sin(π+
=x y 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21倍，再向右平移
4π个单位，所得到的图像解析式是（ ）
A.x y 2sin =
B.x y 21sin
= C.)42sin(π+=x y D.)42sin(π
-=x y 4.已知非零向量a 、b ，“b a b a -=+”是“b a ⊥”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知方程18
172
2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，下列结论正确的是（ ） A.k 的取值范围为178<<k B.k 的取值范围为8<k
C.双曲线的焦距为10
D.双曲线的实轴长为10
6.设函数)(x f y =是R 上的偶函数，在[)∞+，
0是减函数，则)(e f -，)(πf ，)3(-f 的大小关系为（ ）
A.)()3()(e f f f ->->π
B.)()()3(πf e f f >->-
C.)()3()(πf f e f >->-
D.)3()()(->->f e f f π
7.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且y x z +=2的最小值为-4，则k =（ ） A.34- B.34 C.43- D.4
3 8.定义全集U 的子集A 的特征函数⎩
⎨⎧∉∈=A x A x x f A ,0,1)(对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（ ）
A.若B A ⊆，则)()(x f x f B A ≤，对于任意的U x ∈成立；
B.)()(x f x f f B A B A += ，对于任意的U x ∈成立；
C.)()(x f x f f B A B A = ，对于任意的U x ∈成立；
D.若B C A U =，则1)()(=+x f x f B A ，对于任意的U x ∈成立.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
9.抛物线22x y =的焦点坐标为 .
10.在等差数列{}n a 中，11=a ，4108=+a a ，则公差=d ，前17项的和=17S .
11.若曲线x y =与直线)0(>=a a x ，0=y 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a .
12.已知a 与b 的夹角为4
π，且12==a b ，则()a a b -2的值为 . 13.若双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02=±x y ，则椭圆122
22=+b
y a x 的离心率为 . 14.设{}0),(),(==y x F y x M 为平面直角坐标系xOy 内的点集，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121<+y y x x ，则称点集M 满足性质P .给出下列三个点集：
①{}x y y x R cos ),(==； ②{}x y y x S ln ),(==； ③{}
1),(22=-=y x y x T . 其中所有满足性质P 的点集的序号是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
15.（本小题满分13分） 已知函数x x x f 2cos 22)62sin(2)(+-=π
. （I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）求函数)(x f 的最值.
16. （本小题满分13分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2
72cos 2sin
42=-+A C B . （I ）求角A 的大小；
（II ）若3,3=+=c b a ，求b 和c 的值.
17.（本小题满分13分）
已知圆M 过点（0，3），（1，0），（-3，0）.
（I ）求圆M 的方程；
（II ）过点（0，2）的直线l 交圆M 于A 、B ，圆M 上有一点P 使得△PAB 是等边三角形，求直线l 的方程.
18.（本小题满分13分）
已知函数()()0ln 2>+-=a x x ax x f （I ）当1=a 时，求)(x f 在点（1，)1(f ）处的切线；
（II ）若)(x f 有两个极值点1
x ，2x ，求证：)()(21x f x f +<3-2ln 2.
19.（本小题满分14分） 已知圆()16222=++y x B ：，定点()
02，A ，P 是圆周上任一点，线段AP 的垂直平分线与BP 交于点Q .
（I ）求点Q 的轨迹C 的方程；
（II ）直线l 过点A 且与x 轴不重合，直线l 交曲线C 于M 、N 两点，过A 且与l 垂直的直线与圆B 交于D 、E 两点，求四边形MDNE 面积的取值范围.
20.（本小题满分14分）
若数列)3(,,,21≥n a a a A n ：满足：①n a a a <<< 21；②),2,1(n i N a i =∈*； ③任意1-n 项的算术平均值是整数，则称数列A 为“Z-数列”.
（I ）若数列1，x ，y ，13为“Z-数列”，写出所有可能的y x ,；
（II ）是否存在正整数654321,,,,,b b b b b b ，使得654321b b b b b b 2,2,2,2,2,2为“Z-数列”？若存在，请写出一组654321,,,,,b b b b b b 并验证，若不存在，请说明理由；
（III ）若“Z-数列”n a a a A ,,,21 ：中，2017,11==n a a ，求n 的最大值.。