江苏省歌风中学高三国庆假期数学试题4

歌风中学（如皋办学）国庆节假期作业
数 学 （四）
2012.10
一、填空题：
1.（江苏2004年5分）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为
2.（江苏2007年5分）若1
3cos(),cos()55
αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= ▲ .
3.（江苏2007年5分）某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ▲ ，其中[0,60]t ∈。

4.（江苏2011年5分）已知,2)4
tan(=+π
x 则
x
x
2tan tan 的值为 ▲
5.（江苏2010年5分）定义在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛20π,
上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与sin y x =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 ▲ 。

6.（江苏2011年5分）函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则0f ()= ▲
7．（2012年江苏省5分）设α为锐角，若4cos 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则
)12
2sin(π
+
a 的值为 ▲ ．
8.（江苏2010年5分）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
6cos b a
C a b +=，则tan tan tan tan C C A B
+= ▲ _。

二、解答题： 9
．
（
2012
湖北
理
）
已
知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a
,
(cos sin ,)
x x x ωωω=--b ,设函
数
()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且
1
(,1)2
ω∈. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π
[0,]5上的取值范围.
10.（江苏2010年14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h =4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
作业（四）答案
1、π
2、12
3、10sin 60t
d π= 4、49 5 23 6、26 7
、 8、4
简析：2.∵1
cos()cos cos sin sin 5
αβαβαβ+=-=，3cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=。

∴二式联立，得2
cos cos 5
αβ=，1sin sin 5αβ=。

∴sin sin 1
tan tan cos cos 2
αβαβαβ=
=。

4.
【
分
析
】
∵
1tan tan()2
41tan x
x x
π++==-，∴
1tan 3
x =。

∴22tan tan 1tan 42tan tan 2291tan x x x x x x
=（－）＝＝－。

5.由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段P 1P 2的长即为sin x 的值，
且其中的x 满足6cos x =5tan x ，解得sin x =
23。

∴线段P 1P 2的长为23。

6.【分析】
由函数图象得7 4124T A ππ
==-，∴π=T ,
2,2==ωπω
π, 再结合三角函数图象和性质知2 3
3
,π
π
ϕπϕ⨯+==
，
∴23
f (x )x )π
=+。

∴03
f ()π
==
7．【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
6
6
2
6
3
<<
π
π
π
π
π
α+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 2427217=
=2252550
-
8.
【
分
析
】
∵()222222222236cos 6cos 32
b a
c C ab C a b a b c a b a b a b +=⇒=+⇒+-=+⇒+=，
∴2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B
+++=⋅=⋅=⋅ 22
2
2
222222224322
ab c c c c c a b c ab c =⋅===+--。

9．解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+
cos 22x x ωωλ=-+π
2sin(2)6x ωλ=-+.
由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得π
sin(2π)16ω-=±,
所以ππ2ππ()62k k ω-
=+∈Z ,即1
()23
k k ω=+∈Z . 又1
(,1)2
ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=. 所以()f x 的最小正周期是6π5.
(Ⅱ)由()y f x =的图象过点
π
(,0)4
,得
π()04
f =,
即
5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=,即λ=. 故5π()2sin()36
f x x =-,
由
3π05
x ≤≤
,有π5π5π6366
x -
≤-≤, 所以
15π
sin()1236
x -≤-≤,
得5π
12sin()236x -≤-≤故()f x 在3π[0,]5
上范围为[12-.
(3)10.【答案】解：（1）由H tan AD
β=得H AD tan β=
，同理：H
AB tan α=，BD tan h
β
=。

∵ AD －AB=DB ，故得
H H tan tan tan h
βαβ
-=
，解得：tan 4 1.24
H 124tan tan 1.24 1.20
h αβα⨯=
==--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知AB d =，得H H H tan ,tan AD DB h h
d d
αβ-=
===
， 2H H tan tan tan()H H H(H )
1tan tan H(H )1h
hd h d d h h d h d d d d
αβαβαβ--
--====
--+⋅+-+⋅+
∵()H H h d d
-+≥
（当且仅当d =取等号），∴
当d =tan()αβ-最大。

∵02
π
βα<<<
，则02
π
αβ<-<
，
∴
当d =时，α－β最大。

故所求的d
是。