高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测77 坐标系 Word版含解析[ 高考]

课时跟踪检测(七十七) 坐 标 系
1．(2013·西城模拟)将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为________． 2．(2013·东城模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ围成的图形面积为________． 3．(2014·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 4．(2013·安庆模拟)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π
3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为________．
5．(2014·保定模拟)点M ，N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN |的最小值是________．
6．(2013·福建模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π
3)上任意两点间的距离的最大值为
________．
7．(2013·大连模拟)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
6上的动点，则PQ 的最大值是________． 8．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝1＋12
t ，
y ＝3
2t
(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标，圆C 的坐标方程为ρ＝2cos α＋4sin α，则直线l 被圆C 所截得的弦长为
________．
9．(2013·汉中模拟)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．
10．在极坐标系中，圆ρ＝43cos θ的圆心到直线θ＝π
3(ρ∈R )的距离是________．
11．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π
4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．
12．在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线θ＝π
3(ρ∈R )垂直，则直线l 极坐标方程为
________．
13．(2014·汕头模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ过极点，一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则OA ＝________.
14．(2013·江西八校联考)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．
15．(2013·福州质检)经过极点且圆心的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π
4的圆C 的极坐标方程为________．
16．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎫1，π
2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，则点B 的极坐标为________．
17．(2013·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＋6＝0.若点P (x ，y )在该圆上，则x ＋y 的最大值和最小值分别为________，________.
答案
1．解析：ρ＝
(－3)2＋(－1)2＝
3＋1＝2，
tan θ＝－1
－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.∴M (2，7π
6)．
答案：⎝
⎛⎭⎫2，7π
6 2．解析：依题意得，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，它表示的是以点(2,0)为圆心、2为半径的圆，因此其面积是π×22＝4π.
答案：4π
3．解析：该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为⎝
⎛⎭⎫1，－π
2. 答案：⎝
⎛⎭⎫1，－π
2 4．解析：由⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
3＝1，
y ＝ρsin θ＝2sin π
3
＝3可知，点2，π
3
的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.
答案： 3
5．解析：ρsin θ＝2化为普通方程为y ＝2， ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，
圆(x －1)2＋y 2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y ＝2的距离减去半径，即为2－1＝1.
答案：1
6．解析：曲线的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝22，易知此曲线为圆，而圆上任意两点间的距离的最大值为直径4.
答案：4
7．解析：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， 圆心坐标为(33，3)，半径为6. ∴|PQ |max ＝6＋6＋ (33)2＋(6－3)2＝18.
答案：18
8．解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，|AC |＝5，|CM |＝
|3－2－3|
3＋1
＝1，
∴|AM |＝5－1＝2，
∴|AB |＝2|AM |＝4，故截得的弦长为4. 答案：4
9．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |
32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.
故a 的值为－8或2.
答案：－8或2
10．解析：由题意可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－43x ＝0，圆心为(23，0)，直线的直角坐标方程是y ＝3x ，所以圆心到直线的距离为6
2
＝3.
答案：3
11．解析：由题意可得点⎝⎛⎭⎫22，π
4的直角坐标为(2,2)，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，点在圆上，所以切线只有一条，切线的直角坐标方程是x ＝2，极坐标方程为ρcos θ＝2.
答案：ρcos θ＝2
12．解析：由题意可得直线l 的斜率是－
33，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝－3
3
(x －1)，即x ＋3y ＝1，极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝1.
答案：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1或2ρcos θ－π
3＝1， ρcos θ＋3ρsin θ＝1
13．解析：圆C 的直角坐标方程为：
x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA ：y ＝x 的距离为2
2
，则弦长OA ＝ 2. 答案： 2
14．解析：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.
要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，则|3×1＋4×－2＋m |
5>1，故m >10或m <0.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
15．解析：设圆C 上的任意一点的极坐标P (ρ，θ)，过OC 的直径的另一端点为B ，连接PO ，PB ，则在直角三角形OPB 中，∠OPB ＝π2，∠POB ＝θ－π4(写∠POB ＝θ－π
4
也可)．
从而有ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4. 答案：ρ＝4cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π4 16．解析：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.
∴直线的极坐标方程化为θ＝
3π
4
(直线如图)． 过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短． 易得|OB |＝
22
. ∴B 点的极坐标为⎝⎛⎭
⎫
22，3π4.
答案：⎝⎛
⎭
⎫
22，3π4
17．解析：圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝2＋2sin α(α为参数)，
所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4. 那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 答案：6 2。