2018-2019学年湖北省武汉市青山区九年级(上)期中数学试卷
为
．
13．（3 分）已知 4 是方程 x2﹣c＝0 的一个根，则方程的另一个根是
．
14．（3 分）某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和
小分支的总数是 91．设每个支干长出 x 个小分支，则可得方程为
．
15．（3 分）如图，在⊙O 中，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 E 在 上，CF⊥AE 于
2018-2019 学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷
一、你一定能选对（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选 答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号
涂黑.
1．（3 分）一元二次方程 4x2+5x﹣1＝0 的常数项为（ ）
点 A 顺时针旋转 90°至△ABE，点 F 的对应点 E 落在 CB 的延长线上，连接 EF．
（1）如图 1，求证：∠DAF+∠FEC＝∠AEF；
（2）将△ADF 沿 AF 翻折至△AGF，连接 EG．
①如图 2，若 DF＝2，求 EG 的长；
②如图 3，连接 BD 交 EF 于点 Q，连接 GQ，则 S△QEG 的最大值为
； 22．
；
23． ； 24．
；
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说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8 分）解方程：
（1）x2﹣2 x＝0；
（2）x2+2x﹣5＝0
18．（8 分）如图，△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，得到△DEC
（其中点 D、E 分别是 A、B 两点旋转后的对应点）．
（1）请画出旋转后的△DEC；
（2）试判断 DE 与 AB 的位置关系，并证明你的结论．
点 F，若点 F 四等分弦 AE，且 AE＝8，则⊙O 的面积为
．
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16．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量），当 x≥2 时，y 随 x 的增大
而增大，且﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为
．
三、解下列各题（本大题共 8 小题，共 72 分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字
A． +
B． +
C．2 +
D． +2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请
将结论直接写在答题卷指定的位置.
11．（3 分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是
．
12．（3 分）抛物线 y＝x2﹣2x+m 与 x 轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式
（1）求证： ＝ ； （2）若 AD＝4 ，AE＝CE，求 OC 的长．
22．（10 分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规
定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%．试销售期间发现，当销售单价定为 44 元
时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价
19．（8 分）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正 方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴 影部分）是 32cm2，求剪去的小正方形的边长．
20．（8 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 …
A．4
B．5
C．1
2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
D．﹣1
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）抛物线 y＝﹣5（x+2）2﹣6 的顶点坐标是（ ）
A．（2，6）
B．（﹣2，6）
C．（2，﹣6）
D．（﹣2，﹣6）
4．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝4
B．（x﹣3）2＝14
C．（x﹣9）2＝4
D．（x﹣9）2＝14
5．（3 分）把抛物线 y＝x2+1 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
6．（3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B 的度数为（ ）
11．（3，﹣4）； 12．y＝x2﹣2x； 13．﹣4； 14．x2+x+1＝91； 15．20π； 16．1；
三、解下列各题（本大题共 8 小题，共 72 分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字
说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．
； 18．
； 19．
； 20．x＜﹣2 或 x＞0； 21．
销售．设每天销售量为 y 本，销售单价为 x 元．
（1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大？最
大利润是多少元？
23．（10 分）已知，在正方形 ABCD 中，AB＝5，点 F 是边 DC 上的一个动点，将△ADF 绕
答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号
涂黑.
1．D； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．D； 7．C； 8．B； 9．C； 10．B；
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请
将结论直接写在答题卷指定的位置.
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均每次降价的百分率为 x，则可列方程（ ）
A．2500（1+x）2＝1280
B．2500（1﹣x）2＝1280
C．1280（1﹣x）2＝2500
D．1280（1+x）2＝2500
9．（3 分）如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面上升 1m，
则水面宽为（ ）
A． m
B．2m
C．2 m
D．2 m
10．（3 分）如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2 ，点 D 在边 BC 上，
CD＝ ，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 α°（其中 0＜α≤360）到 CE，连接 AE，以
AB，AE 为边作▱ABFE，连接 DF，则 DF 的最大值为（ ）
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y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …
（1）求二次函数的解析式；
（2）求该函数图象与 x 轴的交点坐标；
（3）不等式 ax2+bx+c+3＞0 的解集是
．
21．（8 分）如图，以△AOB 的顶点 O 为圆心，OB 为半径作⊙O，交 OA 于点 E，交 AB 于
点 D，连接 DE，DE∥OB，延长 AO 交⊙O 于点 C，连接 CB．
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
7．（3 分）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点 A，D，E 在同一条直
线上，∠ACB＝20°，则∠ADC 的度数是（ ）
Aห้องสมุดไป่ตู้55°
B．60°
C．65°
D．70°
8．（3 分）某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的 2500 元降到了 1280 元，设平
．
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24．（12 分）已知，抛物线 y＝ x2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 和点 B（其中点 A 在 y 轴左侧，点 B 在 y 轴右侧），对称轴直线 x＝ 交 x 轴于点 H．
（1）若抛物线 y＝ x2+bx+c 经过点（﹣4，6），求抛物线的解析式； （2）如图 1，∠ACB＝90°，点 P 是抛物线 y＝ x2+bx+c 上位于 y 轴右侧的动点，且 S△ABP
＝S△ABC，求点 P 的坐标； （3）如图 2，过点 A 作 AQ∥BC 交抛物线于点 Q，若点 Q 的纵坐标为﹣ c，求点 Q 的坐
标．
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2018-2019 学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数 学试卷
参考答案
一、你一定能选对（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选
2018-2019学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 平行四边形B. 菱形C. 直角梯形D. 等边三角形2.抛物线y=-x2+3x-的对称轴是直线（）A. B. C. D.3.用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（）A. B. C. D.4.如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（）A. B. C. D.5.在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，若OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. P在⊙内B. P在⊙上C. P在⊙外D. P与A或B重合6.将抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A. B. C. D.7.如图，在⊙O中，∠AOB=120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A.B.C.D.8.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）A. 12秒B. 16秒C. 20秒D. 24秒9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，记s=x1+x2+x3，则s的取值范围为（）A. B. C. D.10.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，A. 3B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.抛物线y=2（x+1）2的顶点坐标为______．12.已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b=______．13.有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了______个人．14.若函数y=（k-3）x2+2x+1与坐标轴至少有两个不同的交点，则k的取值范围为______．15.⊙O的直径为2，AB，AC为⊙O的两条弦，AB=，AC=，则∠BAC=______．16.已知函数y=|x2+x-t|，其中x为自变量，当-1≤x≤2时，函数有最大值为4，则t的值为______．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）17.解方程：x2+4x-3=0．18.我市东湖高新技术开发区某科技公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价不低于100元，但不超过200元．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）该产品年销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？并求当盈利最大或亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的条件下．即在盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利不低于1370万元？若能，求出第二年的售价在什么范围内；若不能，请说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）19.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．20.2+bx+c y x（1）根据表格中的数据，试确定二次函数的解析式和n的值；（2）抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x+m没有交点，求m的取值范围．21.在平面直角坐标系中，已知A（2，0）、B（3，1）、C（1，3）．（1）画出△ABC沿x轴负方向平移2个单位后得到的△A1B1C1，并写出B1的坐标______；（2）以A1点为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得△A1B2C2，画出△A1B2C2，并写出C2的坐标______；（3）直接写出过B、B1、C2三点的圆的圆心坐标为______．22.如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．（1）求证：=（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．23.在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=120°，∠ADE=90°，∠DAE=60°，F为BC中点，连接BE、DF，G、H分别为BE，DF的中点，连接GH．（1）如图1，若D在△ABC的边AB上时，请直接写出线段GH与HF的位置关系______，=______．（2）如图2，将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转至图2所示位置，其它条件不变，（1）中结论是否改变？请说明理由；（3）如图3，将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转至图3所示位置，若C、D、E 三点共线，且AE=2，AC=，请直接写出线段BE的长______．24.抛物线y=x2+（2t-2）x+t2-2t-3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当-1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；C、直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.【答案】B【解析】解：抛物线y=-x2+3x-的对称轴是直线x=-=，故选：B．根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求对称轴．此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标（h，k），对称轴是x=h．3.【答案】C【解析】解：∵x2+6x+4=0，∴x2+6x=-4，故选：C．把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4.【答案】C【解析】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故选：C．首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键．5.【答案】A【解析】解：连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=4，在Rt△OAC中，∵OC=3，AC=4，∴⊙O的半径为5cm，∵OP=4＜OA，∴点P在⊙O内．故选：A．连结OA，如图，先根据垂径定理得到AC=AB=4，然后在Rt△OAC中，根据勾股定理计算出OA即可判断．此题考查了点与圆的位置关系，垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2，即y=2x2+1；故选：A．根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，由圆周角定理得，∠ACB=AOB=60°，由圆内接四边形的性质得到，∠APB=180°-∠ACB=120°，故选：C．在优弧AB上取点C，连接AC、BC，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质解答即可．本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒．故选：B．过点A作AC⊥ON，求出AC的长，当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失．本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A 为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，难度适中．9.【答案】C【解析】解：当y=0时，-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），易得直线BC的解析式为y=x-3，∵x＜x＜x，∴0＜y1=y2=y3≤1，当y3=1时，x-3=1，解得x=4，∴3＜x3＜4，∵点P和点Q为抛物线上的对称点，∴x2-2=2-x1，∴x1+x2=4，∴s=4+x3，∴7＜s＜8．故选：C．先解方程-x2+4x-3=0得A（1，0），B（3，0），再确定C（0，-3）和顶点坐标为（2，1），易得直线BC的解析式为y=x-3，利用x1＜x2＜x3得到0＜y1=y2=y3≤1，从而得到3＜x3＜4，然后根据对称性得到x1+x2=4，然后确定s的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．10.【答案】D【解析】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，∴OH=OC=1，CH=，在Rt△CKH中，CK==，∴CQ的最大值为1+，故选：D．如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．11.【答案】（-1，0）【解析】解：由y=2（x+1）2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．考查将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12.【答案】-6【解析】解：由题意，得a=-5，b=-1．a+b=-5+（-1）=-6，故答案为：-6．根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13.【答案】8【解析】解：设每轮传染中平均每人传染x个人，根据题意得：2+2x+x（2+2x）=162，整理得：x2+2x-80=0，解得：x1=8，x2=-10（不合题意，舍去）．故答案为：8．设每轮传染中平均每人传染x个人，根据经过两轮传染后总共有162人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】k≤4【解析】解：当x=0时，y=1，∴此函数图象与y轴必有一个交点（0，1）；①若此函数是一次函数，即k=3，其解析式为y=2x+1，其函数图象与坐标轴有两个交点；②若此函数是二次函数，即k≠3，由题意知4-4（k-3）≥0，解得k≤4；综上，k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．由解析式知函数图象与y轴有一交点（0，1），依据题意知函数图象与x轴还至少有一个交点，再分函数是一次函数和二次函数两种情况分别求解可得．本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系．15.【答案】15°或75°【解析】解：如图1，连接OC，OA，OB，过点O作OE⊥AC于点E，∵OA=OB=1，AB=，12+12=（）2，∴∠AOB=90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，∵AC=，OE⊥AC，∴AE=，∴cos∠EAO=，∴∠EAO=30°，∴如图1时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=30°+45°=75°；如图2时，∠BAC=∠BAC=∠OAB-∠OAC．=45°-30°=15°．故答案为15°或75°．根据题意点C的位置有两种情况，如图1，∠BAC=∠CAO+∠OAB；如图2，∠BAC=∠OAB-∠OAC，进而得出答案．此题主要考查了垂径定理以及勾股定理逆定理，利用分类讨论得出是解题关键．16.【答案】或2【解析】解：函数的图象如下图所示：从图象看，当-1≤x≤2时，函数可能在对称轴位置和=或x=2时，取得最大值解：函数y=|x2+x-t|=4，∴当x=-时或x=2时，|x2+x-t|=4，解得：t=或2．画出二次函数图象，确定函数取得最大值时x的值，即可求解．本题考查了二次函数的图象与性质，通过图象找出函数取得最值的位置是解题的关键．17.【答案】解：原式可化为x2+4x+4-7=0即（x+2）2=7，开方得，x+2=±，x1=-2+；x2=-2-．【解析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．本题考查了解一元二次方程--配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．18.【答案】解：（1）设y=kx+b，将（100，20）和（200，10）代入，得：，解得：，∴y=-x+30（100≤x≤200）；（2）w=（-x+30）（x-40）=-x2+34x-1200=-（x-170）2+1690，∵-＜0，∴x=170，w最大值=1690＜1520+480=2000，第一年公司亏损，最少亏损是310万元，此时售价为170元；（3）当-x2+34x-1200=1370+310=1680时，解得：x1=160，x2=180，结合图象当两年共盈利不低于1370万元时，160≤x≤180．【解析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“年获利=（售价-成本价）×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式得出其获利最大值，与前期总投入480+1520比较可得；（3）根据“年获利=1370+前期最少亏损钱数”求得x的值，从而得出答案．本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并依据相等关系得到一元二次方程和二次函数解析式．19.【答案】证明：∵AD=BC，∴=，∴+=+，即=，∴DC=AB．【解析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由AD=BC得到=，把两弧都加上弧AC得到=，于是得到DC=AB．本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20.【答案】解：（1）把（0，3）、（1，0）、（2，-5）代入y=ax2+bx+c得，解得∴二次函数的解析式为：y=-x2-2x+3，把（-1，n）代入得n=-1+2+3=4；（2）∵-x2-2x+3=2x+m∴x2+4x+m-3=0∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x+m没有交点∴△=42-4（m-3）＜0，∴m＞7．【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后计算自变量为-1时对应的函数值得到n的值；（2）根据题意方程-x2-2x+3=2x+m没有实数解，然后利用判别式的意义得到42-4（m-3）＜0，从而解不等式即可得到m的取值范围．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21.【答案】（1，1）（-3，-1）（2，-6）【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中B1的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）；（2）如图所示，△A1B2C2即为所求，其中C2的坐标为（-3，-1），故答案为：（-3，-1）．（3）如图所示，过B、B1、C2三点的圆的圆心P的坐标为（2，-6），故答案为：（2，-6）．（1）根据平移变换的定义和性质作图可得；（2）根据旋转变换的定义和性质作图可得；（3）作B1C2和BB1的中垂线，交点即为所求点．本题考查了旋转变换与平移变换作图，找出对应点的位置是作图的关键，对应点的连线的垂直平分线过旋转中心是找旋转中心常用的方法，需要熟练掌握．22.【答案】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．∵AO=BO，∴∠OAB=∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB=90°，∴∠BAC+∠OBA=90°，∴∠BTA=90°，∴BT⊥AC，∴=．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∴∠OAB+∠AED=90°，∵∠OAB+∠BAC=90°，∴∠AED=∠BAC=∠FEC，∵AF为⊙O直径，∴∠ACF=90°，同理：∠FCE=∠BAC，∴∠FEC=∠FCE，∴FE=FC，∵AO=3，AE=4，∴OE=1，FE=FC=2，在Rt△FCA中∴AC==4【解析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的关系、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】GH⊥FH【解析】解：（1）如图1中，连接DG，FG．∵AB=AC，BF=CF，∴AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAF=60°，∵ED⊥AB，∴∠BFE=∠BDE=90°，∵BG=GE，∴DG=BE，GF=BE，∴DG=FG，∵DH=HF，∴GH⊥DF，∵∠BAE=60°，∴∠ABE+∠AEB=120°，∵DG=BG=GF=GE，∴∠GBD=∠GDB，∠GEF=∠GFE，∴∠BGD+∠EGF=120°，∴∠DGF=60°，∴△DGF是等边三角形，∴=tan60°=．故答案为GH⊥HF，=．（2）结论不变．理由：如图2中，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．∵∠ADE=90°∴AS=AE，∠DAE=∠DAS=60°∴∠BAC=∠SAE=120°∴∠SAB=∠EAC∵AB=AC∴△ABS≌△ACE∴BS=CE，∠ABS=∠ACE∵F，G分别为BC，BE中点∴FG∥CE，FG=CE，同理：DG∥BS，DG=BS，∴DG=FG，∵H为DF中点，∴GH⊥HF，延长SB交CE延长线于T，∵∠ABS+∠ABT=∠ACE+∠ABT=180°，∴∠BAC+∠T=120°，∴∠T=60°，延长FG交BT于P，∴∠T=∠BPF=∠DGF=60°，∴∠HGF=30°，∴=．（3）如图3中，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．∵AD⊥EH，ED=DH，∴AE=AH，∴∠AEH=∠AHE=30°，∴∠EAH=∠BAC=120°，∴∠BAH=∠CAE，∵AB=AC，AH=AE，∴△BAH≌△CAE（SAS），∴∠BHA=∠AEC=30°，BH=CE，∴∠OBA=∠OHC=30°，∵∠AOB=∠COH，∴△AOB∽△COH，∴=，∴=，∵∠AOC=∠BOH，∴△AOC∽△BOH，∴∠BHO=∠AOC=30°，∴∠BHE=30°+30°=60°，在Rt△ADE中，∵AE=2，∠AED=30°，∴AD=1，ED=DH=，在Rt△ADC中，CD==，∴BH=EC=2+，在Rt△BMH中，HM=（2+），BM=HM=（2+3），∴EM=EH-HM=2-（2+）=-1，在Rt△EBM中，BE===．故答案为．（1）如图1中，连接DG，FG．根据直角三角形斜边中线的性质，可得GD=GF，再证明△DGF是等边三角形即可解决问题；（2）结论不变．如图2中，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．理由三角形的中位线定理，证明GD=GF，△GDF是等边三角形即可解决问题；（3）如图3中，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．想办法证明∠BHE=60°，解直角三角形求出BM，ME即可解决问题；本题属于几何变换综合题、考查了直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：（1）将t=0代入抛物线解析式得：y=x2-2x-3．当x=0时，y=x2-2x-3=-3，∴点C的坐标为（0，-3）；当y=0时，有x2-2x-3=0，解得：x1=3，x2=-1，∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（-1，0）．∴S△ABC=AB•OC=×[3-（-1）]×3=6．（2）由（1）知：B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC，∴∠ABC=45°，∴∠ACB+∠CAB=135°．又∵∠PCB+∠CAB=135°，∴∠ACB=∠PCB．在图2中，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M．∴∠ABC=∠MBC．在△ABC和△MBC中，，∴△ABC≌△MBC（ASA），∴AB=MB=4，∴点M的坐标为（3，-4），∴直线CM解析式为：y=-x-3（利用待定系数法可求出该解析式）．联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点P的坐标为（，-）．（3）当y=0时，有x2+（2t-2）x+t2-2t-3=0，即[x+（t-3）]•[x+（t+1）]=0，解得：x1=-t+3，x2=-t-1，∴点A的坐标为（-t-1，0），点B的坐标为（-t+3，0）．当x=0时，y=x2+（2t-2）x+t2-2t-3=t2-2t-3，∴点C的坐标为（0，t2-2t-3）．设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2．∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），∴CD=（t2-2t-3）-b1，CE=b2-（t2-2t-3）．∵y=k1x+b1，y=x2+（2t-2）x+t2-2t-3，∴x2+（2t-2-k1）x+t2-2t-3-b1=0，∴x A•x Q=t2-2t-3-b1①．同理：x B•x Q=t2-2t-3-b2②．由②÷①，得：==-，∴=-=2，∴=-2，∴t=．【解析】（1）代入t=0可得出抛物线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；（2）由点B，C的坐标可得出∠ABC=45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°，结合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M，由平行线的性质可得出∠ABC=∠MBC，结合BC=BC即可证出△ABC≌△MBC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB=MB=4，进而可得出点M的坐标，根据点C，M的坐标，利用待定系数法可求出直线CM的解析式，再联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征及因式分解法解一元二次方程，可求出点A，B，C的坐标，设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2，则CD=（t2-2t-3）-b1，CE=b2-（t2-2t-3），将直线解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出x A•x Q=t2-2t-3-b1①，x B•x Q=t2-2t-3-b2②，利用②÷①结合CE=2CD，即可得出关于t的方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、解方程组、因式分解法解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）通过构造全等三角形找出直线PC的解析式；（3）利用根与系数的关系结合CE=2CD，找出关于t的方程．。
2018-2019学年湖北省武汉市青山区三校联考九年级第一学期十二月考试数学试题 (无答案)
2018青山区三校联考十二月考试九年级数学试题（考试时间120分钟，满分120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，92．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）3．下列说法中，正确的是（）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”表示明天该市有80%的地区降雨C．通过抛掷1枚质地均匀的硬币，确定谁先发球的比赛规则是公平的D．掷一枚骰子，点数为3的面朝上是确定事件4．抛物线y=﹣2（x﹣6）2+9的顶点坐标是（）A．（6，9）B．（﹣6，9）C．（6，﹣9）D．（﹣6，﹣9）5．动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3，现年25岁到这种动物活到30岁的概率是（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.66．如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=140°，∠CBD的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．110°7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y28．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共有比赛55场，总共有（）支球队参加比赛．A．9 B．10 C．11 D．129．如图，将边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE外部的边连续滚动（点Q、点R分别与点A、点B重合），当△PQR第一次回到原来的起始位置时（顶点位置与原来相同），点P所经过的路线长为（）10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n 的值为（）A．B．2 C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）写出A点关于原点的对称点的坐标12．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是．13．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．14．圆锥的底面半径是4母线长是9，则它侧面展开图的圆心角的度数为．15．已知⊙O的内接正方形的面积为8，则⊙O的内接正八边形的面积为．16．已知直线l：y=﹣x+2交x轴于A点，交y轴于B点，C为AB的中点，D为射线OA上一点，连BD，将BD绕D点顺时针旋转90°得线段DE，则CE的最小值为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．解方程：x2﹣5x+3=0．18．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，=，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．求证：CE=DF．19．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长；（3）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．21．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M 是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．22．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=3．则CG的长为．24、抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．。
2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将方程x2−8x=10化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为()A. −8B. 8C. 10D. −102.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为()A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x−3)2D. y=2(x+3)24.如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于()A. 100°B. 50°C. 40°D. 25°5.抛物线y=−3(x−1)2−2的顶点坐标是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)6.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是()A. (x+5)2=16B. (x+5)2=34C. (x−5)2=16D. (x+5)2=257.如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为()A. 12°B. 15°C. 25°D. 30°8.要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，则参赛球队的个数是()A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC=180°.若AD=2，BC=6，则△BOC的面积为()A. 3B. 6C. 9D. 1210.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2−4ac<0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知方程x2−4x+1=0的两个根是x1和x2，则x1+x2=______．12.已知点A(−2,a)与点B(b,3)关于原点对称，则a−b=______13.已知点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，则y1，y2的大小关系是：y1______y2.(填“>”或“<”)14.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是______．15.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加______m.16.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=√3，O为AB的中点，将OA绕着点O旋转得到OE，连接DE.以DE为边作等边△DEF(点D、E、F按顺时针方向排列)，连接CF，则CF的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2−x−1=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.二次函数y=ax2−2x+c中的x，y满足如表：x…−10123…y…0−3−4−3m…(1)求抛物线的解析式；(2)求m的值．19.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．20.请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹．(1)将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD；(2)过C作线段AB的垂线段CE，垂足为E；(3)作∠ABD的角平分线BF．21.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC.D是BC⏜的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．(1)求证：BC=2DE；(2)若AC=6，AB=10，求DF的长．22.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．(1)直接写出月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；(2)该超市想在月销售量不低于250千克的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千克多少元？(3)售价定为每千克多少元时会获得最大利润？求出最大利润．23.[学习概念]有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．[理解运用](1)如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D=30°，∠ACD=105°，AB=AC，求∠BAD的度数；(2)如图2，在凸四边形ABCD中，DA=DB，DA⊥DB，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；(3)[拓展提升]如图3，在对余四边形ABCD中，∠A=45°.∠ABD+∠BDC=180°，BC=4.求AB+CD的长．24.已知抛物线y=ax2经过点A(2,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线l经过点A且与抛物线对称轴右侧交于点B，若△ABO的面积为6，求直线l的解析式；(3)如图2，直线CD与抛物线交于C、D两点，与y轴交于点(0,m)，直线PC、PD与抛物线均只有一个公共点，点P的纵坐标为n，求m与n的数量关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：方程整理得：x2−8x−10=0，其中二次项系数为1，常数项为−10．故选：D．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c= 0(a,b，c是常数且a≠0).在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】C【解析】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，C中图形是中心对称图形，故选：C．根据中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3.【答案】A【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3，故选：A．直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．4.【答案】B∠BOC=50°．【解析】解：∵∠BOC=100°，∴∠A=12故选：B．根据圆周角定理可求得∠A=50°．本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.【答案】D【解析】解：∵y=−3(x−1)2−2是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,−2)．故选：D．直接根据顶点式的特点求顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．6.【答案】A【解析】解：x2+10x+9=0，x2+10x=−9，x2+10x+52=−9+52，(x+5)2=16．故选：A．移项，配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方)，即可得出答案．本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．7.【答案】B【解析】解：由旋转的性质可知，∠B′AB=∠BAC=30°，AB=AB′，(180°−30°)=75°，∴∠ABB′=∠AB′B=12∵∠BCB=90°，∴∠BB′C=90°−75°=15°，故选：B．利用旋转的性质，三角形面积和定理求解即可．本题考查旋转变化的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】B【解析】解：设参赛球队的个数是x，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x(x−1)2=15，解得：x1=6，x2=−5(不合题意，舍去)，则参赛球队的个数是6个；故选：B．根据赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=x(x−1)2，由此列出方程，然后求解即可．本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，读懂题意，得到总场数与球队之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=∠COE，∴AD⏜=CE⏜，∴AD=CE=2，∵BC=6，∴△BEC的面积为12BC⋅CE=12×6×2=6，∵OB=OE，∴△BOC的面积=12△BEC的面积=12×6=3，故选：A．延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，由∠AOD+∠BOC=180°，∠AOD=∠COE，推出AD=CE=2，根据三角形的面积公式可求得△△BEC的面积．BEC的面积为6，由OB=OE，可得△BOC的面积=12本题主要考查了圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解决问题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为；抛物线与y轴的交点坐标抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直=−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，线x=−b2a二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．11.【答案】4【解析】解：根据题意得x1+x2=−−41=4．故答案为4．根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．12.【答案】−5【解析】解：由题意，得：a=−3，b=2，a−b=−3−2=−5，故答案为：−5．根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．13.【答案】>【解析】解：∵点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，∴当x=−2时，y1=12−2=10，当x=1时，y2=3−2=1，∴y1>y2，故答案为>．将点A(−2,y1)，点B(1,y2)分别代入y=3x2−2，求出相应的y1、y2，即可比较大小．本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．14.【答案】36(1−x)2=25【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=25，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一次降价后的价格为36×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×(1−x)×(1−x)，则列出的方程是36(1−x)2=25．故答案为：36(1−x)2=25．15.【答案】(2√6−4)【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标(−2,0)，到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−1代入抛物线解析式得出：−1=−0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4，故答案为：(2√6−4)．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．16.【答案】2√3−1【解析】解：如图，连接DO，延长OA到T，使得AT=OA，连接DT，FT，CT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=90°，∵AD=√3，OA=OB=1，=√3，∴tan∠AOD=ADAO∴∠AOD=60°，∠ADO=30°，∴OD=2AO，∵AO=AT，∴OT=2AO，∴OT=OD，∴△ODT 是等边三角形，∵△DEF 是等边三角形，∴∠ODT =∠EDF =60°，DO =DT ，DE =DF ，∴∠DEO =∠FDT ，∴△DEO≌△FDT(SAS)，∴FT =OE =OA =1，∵∠B =90°，BT =2+1=3，BC =√3，∴CT =√BT 2+BC 2=√32+(√3)2=2√3，∵CF ≥CT −TF ，∴CF ≥2√3−1，∴CF 的最小值为2√3−1．故答案为：2√3−1．如图，连接DO ，延长OA 到T ，使得AT =OA ，连接DT ，FT ，CT.证明△DEO≌△FDT(SAS)，推出FT =OE =OA =1，利用勾股定理求出CT ，根据CF ≥CT −TF ，可得CF ≥2√3−1，由此即可解决问题．本题考查旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：x 2−x −1=0，x =−b±√b 2−4ac 2a=1±√1+42×1=1±√52， ∴x 1=1+√52，x 2=1−√52．【解析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定a ，b ，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．18.【答案】解：(1)由题意可知，抛物线y =ax 2−2x +c 经过(−1,0)，(0,−3)， ∴{a +2+c =0c =−3， 解得：{a =1c =−3， 所以抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3；(2)把x=3代入y=x2−2x−3，可得y=9−6−3=0，所以m=0．【解析】(1)取两组对应值代入y=ax2−2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；(2)把x=3代入二次函数的解析式求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19.【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+ 2x)cm，根据题意得：(80+2x)(50+2x)=5400，解得：x1=−70(不符合题意，舍去)，x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．【解析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+2x)cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．20.【答案】解：(1)如图，线段BD即为所求．(2)如图，线段CE即为所求．(3)如图，射线BF即为所求．【解析】(1)根据旋转变换的性质画出图形即可．(2)取格点T，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求．(3)取格点，G，H，连接GH，AD交于点F，作射线BF，射线BF即为所求．本题考查作图−旋转变换，角平分线，垂线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE=GE，BD⏜=BG⏜，∵D是BC⏜的中点，∴CD⏜=BD⏜=BG⏜，∴BC⏜=DG⏜，∴BC=DG=2DE；(2)解：连接BD、OD，如图所示：∵CD⏜=BG⏜，∴∠DBC=∠BDF，∴DF=BF，∵AB为⊙O的直径，AB=10，∴∠ACB=90°，OB=OD=5，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8，BC=4，由(1)得：DE=12∵DE⊥AB，∴OE=√OD2−DE2=√52−42=3，∴BE=OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+(4−a)2=a2，，解得：a=52∴DF=5．2【解析】(1)延长DE交⊙O于点G，先由垂径定理得DE=GE，BD⏜=BG⏜，再证出BC⏜=DG⏜，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；(2)连接BD、OD，先由圆周角定理得∠DBC=∠BDF，得DF=BF，由圆周角定理得BC=4，再由勾股定理求出OE=3，则BE=∠ACB=90°，勾股定理得BC=8，则DE=12OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，然后在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．22.【答案】y=−10x+1000w=−10x2+1400x−40000【解析】解：(1)月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：y=500−10(x−50)=−10x+1000，即y=−10x+1000；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：w=(x−40)y=(x−40)(−10x+1000)=−10x2+1400x−40000，即w=−10x2+1400x−40000，故答案为：y=−10x+1000，w=−10x2+1400x−40000；(2)根据题意得：−10x2+1400x−40000=8000，解得：x1=80，x2=60，又∵月销售量不低于250千克，则有：−10x+1000≥250，解得：x≤75，∴x1=80>75(舍去)，答：销售单价应定为60元时，月销售利润达到8000元；(3)由(2)得：w=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，∵a=−10<0，∴抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=70时，w取最大值，最大值为9000元，答：售价定为每千克70元时会获得最大利润？最大利润为9000元．(1)根据一个月可售出500千克，减去因涨价而减少的数量得到月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式，根据(售价−成本)×月销售量得到月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式；(2)将月销售利润8000元代入w=−10x2+1400x−40000，解方程即可得到结果；(3)将w=−10x2+1400x−40000化为顶点式就可以求出结果．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是对余四边形，依题意得，∠B+∠D=90°，∵∠D=30°，∴∠B=90°−∠D=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACD=105°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=165°，在四边形ABCD中，∠BAD=360°−∠B−∠ACD−∠D=360°−60°−165°−30°= 105°；(2)四边形ABCD为对余四边形，证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵DA=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，如图2，过点D作DM⊥CD，使CD=CM，连接CM，BM，∴∠DMC=∠DCM=45°，∵∠ADB=∠CDM=90°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDM+∠BDC，∴∠ADC=∠BDM．在△ADC和△BDM中，{DA=DB∠ADC=∠BDM DC=DM，∴△ADC≌△BDM(SAS)，∴AC=BM．在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2=CD2+DM2=2CD2，∵2CD2+CB2=AC2，∴CM2+CB2=BM2，∴△BCM是直角三角形，且∠BCM=90°，∵∠DCM=45°，∴∠DCB=∠BCM−∠DCM=45°，∴∠DCB+∠DAB=90°，∴四边形ABCD为对余四边形；(3)如图3，过点B作BE⊥BC交CD的延长线于点E，∵四边形ABCD为对余四边形，依题意得，∠A+∠C=90°，∵∠A=45°，∴∠C=∠E=45°=∠A，∵∠ABD+∠BDC=180°，∠BDE+BDC=180°，∴∠ABD=∠EDB，在△ABD和△EDB中，{∠A=∠E∠ABD=∠EDB BD=DB，∴△ABD≌△EDB(AAS)，∴AB =ED ，EB =BC =4，在Rt △EBC 中，根据勾股定理得，BE 2+BC 2=CE 2，∴CE =4√2， 即AB +CD =4√2．【解析】(1)先根据对余四边形求出∠B =60°，进而得出∠ACB =60°，∠BCD =165°，最后用四边形内角和定理，即可得出结论；(2)先判断出∠BAD =∠ABD =45°，进而判断出∠ADC =∠BDM ，即可判断出△ADC≌△BDM(SAS)，得出AC =BM.再根据勾股定理得出CM 2=CD 2+DM 2=2CD 2，进而判断出∠BCM =90°，即可得出结论；(3)先判断出∠C =∠E =45°=∠A ，再判断出∠ABD =∠EDB ，进而得出△ABD≌△EDB(AAS)，得出AB =ED ，EB =BC =4，最后用勾股定理求出CE =4√2，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了新定义，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2经过点A(2,1)． ∴1=4a ，解得a =14，∴抛物线解析式为y =14x 2；(2)∵点A(2,1)．∴直线OA 为y =12x ，如图1，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，∴12OE ×2=6，∴OE =6，∴点E(0,6)，设直线BE 为y =12x +6，解{y =12x +6y =14x2得{x =6y =9或{x =−4y =4，∴B(6,9)，设直线l 的解析式为y =kx +b ，∴{2k +b =16k +b =9，解得{k =2b =−3， ∴直线l 的解析式为y =2x −3；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，由{y =kx +m y =14x2去掉y 整理得14x 2−kx −m =0． 设C 、D 的坐标分别为(x C ,y C )，(x D ,y D )，∴x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，由{y =ax +c y =14x 2整理得，14x 2−ax −c =0． ∵CP 与抛物线只有一个公共点，∴△=a 2+c =0，∴c =−a 2，∴14x 2−ax +a 2=0，解得x C =2a ，同理：设直线DP 的解析式为y =bx +d ，可得x D =2b ，∴2a ⋅2b =−4m ，∴ab =−m ，联立{y =ax +c y =bx +d ，即{y =ax −a 2y =bx −b 2， 解得{x =a +b y =ab， ∴P(a +b,ab)，∵点P 的纵坐标为n ，∴n =ab =−m ．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式解答即可；(2)求得直线OA 的解析式，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，根据三角形面积求得OE ，得到E 的坐标，进而求得直线BE 的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，与抛物线解析式联立整理得14x 2−kx −m =0.根据根与系数的关系得到x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，联立抛物线x2−ax−c=0.根据题意△=a2+c=0，解析式得到14x2−ax+a2=0，解得x C=2a，同理：设直线DP的解析式求得c=−a2，即可得到14为y=bx+d，可得x D=2b，所以4ab=−m，直线CP和直线DP联立，解方程求得交点P((a+b,ab)，即可求得n=−m．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，直线与抛物线的交点问题，方程思想的运用是解题的关键．。
最新-2018学年九年级数学期中考试试题及答案【青山区】 精品
青山区2018—2018学年度第一学期期中考试九年级试题一、 选一选, 比比谁细心(本大题共12小题, 每小题3分, 共36分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1.下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） A ．221x x+=0 B 。
（x-1）（x+2）=1 C 。
2ax bx c ++=0 D 。
223250x xy y --= 2．下列根式是最简二次根式的是（ ） A3xB 。
8xC 。
36xD 。
24x +3．若x=-5是方程a+3x=-16的解，则a 的值是（ ） A ．1 B 。
-1 C 。
-5 D 。
-31 4．如图，AB 是Ｏ的直径，∠AOC=0130，则∠D=（ ）A ．065 B 。
035 C 。
025 D 。
0155．在函数y= 12x - 中，字变量 x 的取值范围是（）A ．x ≤12 B 。
x ≥12 C 。
x < 12 D 。
x > 126..ABC 与A B C ’’’ 关于点O 成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）A ．点A 与点A ’是对称点 B 。
BO=B ’0 C 。
AB// A B ’’D 。
∠ＡＣＢ=∠C ’A B ’’7．如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度 可能是（ ）A ． 030 B 。
060 C 。
090 D 。
01208．下列计算，正确的是（ ） A ．9 = 3 B 。
2+3 = 5 C 。
2⨯3 = 6 D 。
82 = 829．已知，Rt ABC 中，∠ C= 090 ，斜边AB 上的高为5cm ，以点C 为圆心，4。
8为半径的圆与该直线AB 的交点个数为（ ）Ａ。
０个 Ｂ。
1个 Ｃ。
２个 Ｄ。
３个10．国家实施惠农措施后，某镇农民人均收入经过两年由1万元提高到1。
44 万元。
这两年该镇农民人均收入的平均增长率是（ ） A ．20 00 B 。
2200 C 。
10 00 D 。
初中数学综合训练--圆中的最值问题(43题)
圆相关的最值问题1．（2016年二中广雅周练）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以C 为圆心，半径为1 作⊙C ，点D 在边AB 上运动，过点D 作⊙C 的切线DE ，切点为E ，则线段DE 的最小值为___________．2.（2017年武昌七校期中）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C 的圆心坐标为 （－1，0），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 的面积的最小 值是（ ）B .1C .2D .2 3．（2016年新洲区月考）如图，在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在B 上，点Q 在 ⊙O 上，且OP ⊥PQ ．当点P 在BC 上移动时，PQ 长的最大值是____________．4．（2016年梅苑中学周练）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ．连接P A ，设P A ＝x ，PB ＝y ，则（x －y ）的最大值是__________．5．（2017年硚口区、汉阳区期中改）如图，在平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （5，0），点P 为 线段AB 外一动点，且P A ＝2，以PB 为边作等边△PBM ，则线段AM 的最大值为____________．6．（2018－2019九上洪山区期中）如图，AB ＝2，BC ＝4，点A 是⊙B 上任一点，点C 为⊙B 外一点， △ACD 为等边三角形，则△BCD 的面积的最大值为（ ）A .4B .C .8D .ACDEB A DA7．（2015年七一华源月考）如图，两同心圆半径分别为3、3，点A 、B 分别为同心圆上的动点，以AB为边作正方形ABCD ，则OD 长的最大值为____________．8．（2018－2019九上梅苑期中）已知，点A （8，0）、B （6，0）．将线段OB 绕着原点O 逆时针方向旋转角度α到OC ，连接AC ．将AC 绕着点A 顺时针方向旋转角度β至AD ，连接OD ． （1）当α＝30°，β＝60°时，求OD 的长；（2）当α＝60°，β＝120°时，求OD 的长； （3）已知E （10，0），当β＝90°时，改变 的大小，求ED 的最大值．9．（2018－2019九上汉阳区期中）如图，⊙O 的半径为1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连接OC ，则OC 的最大值为__________.10．（2018年武汉元调）在⊙O 中，AB 所对的圆心角∠AOB ＝108°，点C 为⊙O 上的动点，以AO 、AC 为边构造□AODC ．当∠A ＝_______°时，线段BD 最长.11.（2018－2019九上青山区期中）如图，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC＝D 在边 BC 上，CDCD 绕点C 逆时针旋转α°（其中0＜α≤360）到CE ，连接AE ，以AB ，AE 为边作□ABFE ，连接DF ．则DF 的最大值为（ ） ABC． D图1图2图3OACDBFDCBA【补充】1.（2017年新洲区期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙M交x轴于A（－1，0）、B（3，0）两点，交y 轴于C、D（0，3），点S是BD上一动点，N是OS的中点，则线段DN的最小值是____________．2．（2016年武昌C组月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的小值为____________．3．（2016年二中广雅月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，在线段AC上有一动点P （P不与C重合），以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为____________．4．（2017年武珞路期中）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE、CF相交于点P．将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°的过程中，线段OP的最小值为___________．5.（2017年东湖高新期中）如图，等边△ABC的边长为1，D、E两点分别在边AB、AC上，CE＝DE，则线段CE的最小值为（）A.2B.3C.12DABCE FPO6.（2018－2019九上江汉区期中）如图，点C 是半圆AB 上一动点，以BC 为边作正方形BCDE （使BC 在正方形内），连OE ．若AB ＝4cm ，则OE 的最大值为___________cm .7.（2018－2019九上武昌七校期中）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝4，∠AOC ＝ 120°，P 为⊙O 上的动点，连接AP ，取AP 的中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）A .3 B.C.D.8.（2017年洪山区期中）如图，在等腰Rt △ABC 中，斜边AB ＝8，点P 在以AC 为直径的半圆上，M 为 PB 的中点，当点P 沿半圆从点A 运动至点C 时，点M 运动的路径长是（ ）A .πBC .2πD .9.（2017年外校期中模拟）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点 B 、C 以相同速度同时逆时针旋转一周，四边形ABCD 的形状也随之发生改变，那么在旋转的过程中， AO ′的最大值为____________．10．（2016年武汉外校期中）将边长为4正方形ABCD 向右倾斜，边长不变，∠ABC 逐渐变小．顶点A ，D 及对角线BD 的中点N 分别运动到A ′，D ′和N ′的位置．若∠A ′BC ＝30°，则点N 到点N ′的运动路径长为_____________．OEDC BAOO′D′A′DC B A11．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为E ，AB ＝4，CD ＝23，动点P 从B 点出发，沿劣 弧BD 运动到D 点，AF ⊥CP 于F ，则线段AF 的中点M 所经过的路径长为__________．12．如图，正方形ABCD 的顶点A 为线段EF 的中点，连接BE 、DF 交于点P ，EF ＝4，AB ＝2，若将正方 形ABCD 绕点A 从AB 与AF 重合的位置开始逆时针旋转90°后停止，则在此过程中，点P 的运动路 径长度为____________．13．如图，扇形OAB 的圆心角的度数为120°，半径长为4，P 为弧AB 上的动点，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，垂 足分别为M 、N ，D 是△PMN 的外心．当点P 运动的过程中，点M 、N 分别在半径上作相应运动，从 点N 离开点O 时起，到点M 到达点O 时止，点D 运动的路径长为____________．14．如图，AB 为⊙O 的直径，△CDE 内接于⊙O ，AB ∥CD ，4AB =，CD =E 从点A 顺时针 运动到点B 的过程中，△CDE 的内心I 所经过的路径长度为____________．15.（2015-2016新洲区部分学校九上期中）如图，∠AOB =60°，点P 是半径为2的弧AB 上一动点，点M 、N 分别在半径OA 、OB 上，则△PMN 的周长最小值是（）.A .2B.C .4D .34DPCB AFE16．（2017－2018年九上二初12月）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，E 是⊙C 上的一动点，则△ABE 面积的最大值为( )A.(4B .(3C .(3D .(217.如图，扇形OAB 的圆心角的度数为120°，半径长为4，P 为弧AB 上的动点，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，垂足分别为M 、N ，D 是△PMN 的外心．当点P 运动的过程中，点M 、N 分别在半径上作相应运动，从点N 离开点O 时起，到点M 到达点O 时止，点D 运动的路径长为（ ）A ．π32B ．πC ．2D ．3218．( 2016~2017二中九上月考一）已知⊙O ，AB 是直径，AB ＝4，弦CD ⊥AB 且过OB 的中点，P 是劣弧BC 上一动点，DF 垂直AP 于F ，则P 从C 运动到B 的过程中，F 运动的路径长度（ ）A ．π33 B ．3C ．π32D ．219．( 2016~2017三初九上12月考）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为( )．A .12B .24C .32D .32420．（2017-2018年九上六中12月） 如图，已知扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120°，C 是在弧AB 上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ．当点C 从点A 移动至点B 时，点D 经过的路径长是___________.21．(2016-2017上学期武昌12月考)在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为 ．22．( 2016-2017武汉一初九上周测 16)在⊙O 中，直径AB ＝8，∠ABC ＝30°，点H 在弦BC 上，弦PQ ⊥OH 于点H ．当点H 在BC 上移动时，PQ 长的最大值为____________．23．( 2016-2017武汉一初九上周测17)半圆⊙O 中，AB 为直径，C 、D 为半圆上任意两点，将沿直线CD 翻折使AB 与相切，已知AB=8，求CD的最大值．24．( 2016~2017二中数学练习二）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以C 为圆心，半径为1作⊙C ，点D 在边AB 上运动，过点D 作⊙C 的切线DE ，切点为E ，则线段DE 的最小值为___________AB25.（2015—2016武昌七校九上期中）如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 .26.（2015-2016东湖高新区九上期中）如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB 面积的最大值是____________．27.（2015-2016新洲区部分学校九上期中）如图，在O 中，直径AB=6，BC 是弦，030ABC ∠=，点P 在BC 上，点Q 在O 上，且OP ⊥PQ 。
青山区2018-2019九(上)期中数学题(解析版)
姓名:________青山区 2018—2019 学年九年级上学期期中考试数学试题一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）A．4 B．5 C．1 D．－1次方程 4x2＋5x－1＝0 的常数项为：－1．故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握各部分名称是解题关键．2下列图形中，是中心对称图形的是( )A． B ． C ． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．解：A．是中心对称图形；B．不是中心对称图形；C．不是中心对称图形；D．不是中心对称图形；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．3．抛物线y＝－5(x＋2)2－6 的顶点坐标是( )A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6)【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．解：∵y＝－5(x＋2)2－6 是抛物线解析式的顶点式，∴顶点坐标为(－2，－6)．故选：D．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y＝a(x－h)2＋k 中，顶点坐标是(h，k)是解决问题的关键．4.用配方法解一元二次方程x2－6x－5＝0，此方程可化为( )A．(x－3)2＝4 B．(x－3)2＝14 C．(x－9)2＝4 D．(x－9)2＝14【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．解：∵x2－6x＝5，∴x2－6x＋9＝5＋9，即(x－3)2＝14，故选：B．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．5.把抛物线y＝x2＋1 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线( )A．y＝(x＋3)2－1 B．y＝(x＋3)2＋3C．y＝(x－3)2－1 D．y＝(x－3)2＋3【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．解：由题意得原抛物线的顶点为(0，1)，∴平移后抛物线的顶点为(3，－1)，∴新抛物线解析式为y＝(x－3)2－1，故选：C．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B 的度数为( )A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．解：∵OA＝OC，∠ACO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴∠AOC＝180°－45°－45°＝90°，∴∠B＝∠AOC＝45°．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7.如图，将△ABC 绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E 在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC 的度数是( )A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．解：∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转 90°得到△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠ACD＝90°－20°＝70°，∵点A，D，E 在同一条直线上，∴∠ADC＋∠EDC＝180°，∵∠EDC＋∠E＋∠DCE＝180°，∴∠ADC＝∠E＋20°，∵∠ACE＝90°，AC＝CE∴∠DAC＋∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°在△ADC 中，∠ADC＋∠DAC＋∠DCA＝180°，即45°＋70°＋∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝65°，故选：C．【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．8.某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的2500 元降到了1280 元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程( ) A．2500(1＋x)2＝1280 B．2500(1－x)2＝1280C．1280(1－x)2＝2500 D．1280(1＋x)2＝2500【分析】本题可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．解：依题意得：第一次降价的售价为：2500(1－x)，则第二次降价后的售价为：2500(1－x)(1－x)＝2500(1－x)2，∴2500(1－x)2＝1280．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意题意指明的是降价，应该是(1－x)而不是(1＋x)．9.如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m 时，水面宽4m，若水面上升 1m，则水面宽为( )A．m B．2m C．2m D．2 m【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解：如图：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A，B 两点，OA 和O B 可求出为AB 的一半 2 米，抛物线顶点C 坐标为(0，2)，通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2，其中a 可通过代入A 点坐标(－2，0)，到抛物线解析式得出：a＝－0.5，所以抛物线解析式为y＝－0.5x2＋2，∵若水面上升 1m∴y＝1∴1＝－0.5x2＋2∴x＝∴水面宽为2m故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．10.如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D在边B C 上，CD＝，将线段C D 绕点C逆时针旋转α°(其中0＜α≤360)到C E，连接AE，以A B，AE 为边作▱ABFE，连接D F，则D F 的最大值为( )A．＋ B．＋ C．2＋ D．＋2【分析】作平行四边形ABPC，连接PA 交BC 于点O，连接PF．解直角三角形求得P D＝，由四边形P CEF 是平行四边形，推出P F＝EC＝，推出点F 的运动轨迹是以P为圆心为半径的圆，由此即可解决问题；解：作平行四边形ABPC，连接PA 交BC 于点O，连接PF．∵四边形ABPC 是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABPC 是菱形，∴PA⊥BC，∵AB＝AC＝2 ，∠ABC＝120°，∴∠BAO＝60°，∴OA＝OP＝，OB＝OC＝3，∵CD＝，∴OD＝2 ，∴PD＝＝，∵AB∥PC∥PE，AB＝PC＝PE，∴四边形PCEF 是平行四边形，∴PF＝CE＝CD＝，∴点F的运动轨迹是以P为圆心为半径的圆，∴DF 的最大值＝＋，故选：B．【点评】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会正确寻找点F 的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接写在答题卷指定的位置.11.在平面直角坐标系中，点(－3，4)关于原点对称的点的坐标是(3，－4) ．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解：点(－3，4)关于原点对称的点的坐标是(3，－4)．故答案为：(3，－4)．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12.抛物线y＝x2－2x＋m 与x 轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为y＝x2－2x ．【分析】根据判别式的意义得到△＝(－2)2－4m＞0，然后解不等式组求出m 的范围，再在此范围内写出一个m 的值即可．解：根据题意得到△＝(－2)2－4m＞0，解得m＜1，若m 取0，抛物线解析式为y＝x2－2x．故答案为y＝x2－2x．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)，△＝b2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△＝b2－4ac＞0时，抛物线与x 轴有 2 个交点；△＝b2－4ac＝0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点；△＝b2－4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．13.已知4是方程x2－c＝0 的一个根，则方程的另一个根是－4 ．【分析】可将该方程的已知根 4 代入两根之和公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根．解：设方程的另一个根为x2，则 4＋x2＝0，解得：x2＝－4，故答案为：－4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠0)的两根时，x1＋x2＝－，x1x2＝．14.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为x2＋x ＋1＝91 ．【分析】由题意设每个支干长出x 个小分支，因为主干长出x 个(同样数目)支干，则又长出x2 个小分支，则共有x2＋x＋1 个分支，即可列方程．解：设每个支干长出x 个小分支，根据题意列方程得：x2＋x＋1＝91．故答案为x2＋x＋1＝91．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．15.如图，在⊙O 中，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点E在上，CF⊥AE 于点F，若点F四等分弦A E，且A E＝8，则⊙O 的面积为20π．【分析】如图，连接AC，EC．首先证明CF＝EF＝2，利用勾股定理求出AC 即可解决问题；解：如图，连接AC，EC．∵AB、CD 是互相垂直的两条直径，∴∠AOC＝90°，∴∠AEC＝∠AOC＝45°，∵CF⊥AE，∴∠CFE＝90°，∴∠FCE＝∠FEC＝45°，∴EF＝CF，∵点F 四等分弦AE，且AE＝8，∴EF＝AE＝2，∴CF＝2，AF＝6，∴AC＝＝2，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴OA＝OC＝2 ，∴⊙O 的面积为π•(2)2＝20π，故答案为20π．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16.已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y 随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a的值为 1 ．【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由－2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，可得x＝1 时，y＝9，即可求出a．解：∵二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x 是自变量)，∴对称轴是直线x＝－＝－1，∵当x≥2 时，y 随x 的增大而增大，∴a＞0，∵－2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，∴x＝1 时，y＝a＋2a＋3a2＋3＝9，∴3a2＋3a－6＝0，∴a＝1，或a＝－2(不合题意舍去)．故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．三、解下列各题(本大题共 8 小题，共 72 分)下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17．(8 分)解方程：(1)x2－2 x＝0；(2)x2＋2x－5＝0【分析】(1)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)先求出b2－4ac 的值，再代入公式求出即可．解：(1)x2－2 x＝0，x(x－2 )＝0，x＝0，x－2＝0，x1＝0，x2＝2；(2)x2＋2x－5＝0b2－4ac＝22－4×1×(－5)＝24，x＝，，x1＝－1＋，x2＝－1－．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18．(8 分)如图，△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转 90°，得到△DEC(其中点D、E 分别是A、B 两点旋转后的对应点)．（1）请画出旋转后的△DEC；（2）试判断DE 与AB 的位置关系，并证明你的结论．【分析】(1)根据要求画出△DCE 即可；(2)利用“8 字型”证明∠AFE＝∠DCE 即可解决问题；解：(1)旋转后的△DEC 如图所示．(2)结论：DE⊥AB．理由：延长DE 交AB 于点F．由旋转不变性可知：∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠AEF＝∠DEC，∠∠AFE＝∠DCE＝90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是熟练掌握利用“8 字型”证明角相等，属于中考常考题型．19．(8 分)如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积(图中阴影部分)是32cm2，求剪去的小正方形的边长．【分析】设剪去的小正方形的边长为xcm，则方盒的底面为长(10－2x)cm，宽为(6－2x)cm 的长方形，根据方程形的面积公式结合方盒的底面积是 32cm2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：设剪去的小正方形的边长为xcm，根据题意得：(10－2x)(6－2x)＝32，整理得：x2－8x＋7＝0，解得：x1＝7，x2＝1．∵7＞6，∴x1＝7 舍去．答：剪去的小正方形的边长为 1cm ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．(8 分)已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：（1） 求二次函数的解析式； （2） 求该函数图象与 x 轴的交点坐标； （3） 不等式 a x ＋bx ＋c ＋3＞0 的解集是 x ＜－2 或 x ＞0 ．【分析】(1)由表格中的数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2） 求出 y ＝0 时 x 的值，即可得出答案；（3） 根据表格得出 ax 2＋bx ＋c ＝－3 时 x 的值，再根据二次函数的性质即可得出不等式 ax 2＋bx ＋c ＋3＞0 的解集．解：(1)由题意，得 c ＝－3．将点(2，5)，(－1，－4)代入，，∴二次函数的解析式为 y ＝x 2＋2x －3；(2)当 y ＝0 时，x 2＋2x －3＝0， 解得：x ＝－3 或 x ＝1，∴该函数图象与 x 轴的交点坐标(－3，0)，(1，0)；(3)由表格可知，ax 2＋bx ＋c ＝－3，即 ax 2＋bx ＋c ＋3＝0 的解为 x ＝－2 或 0，∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴不等式 ax 2＋bx ＋c ＋3＞0 的解集是 x ＜－2 或 x ＞0． 故答案为 x ＜－2 或 x ＞0．【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，二次函得解得 ， x … ﹣2 ﹣1 0 2 …y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …数的性质以及抛物线与x 轴的交点；求出二次函数的解析式是解决问题的关键．21．(8 分)如图，以△AOB 的顶点O 为圆心，OB 为半径作⊙O，交O A 于点E，交AB 于点D，连接DE，DE∥OB，延长AO 交⊙O 于点C，连接CB．(1)求证：＝；(2)若A D＝4，AE＝CE，求O C 的长．【分析】(1)先根据圆周角定理可得：∠EDC＝90°，由平行线的性质得：OB ⊥CD，最后由垂径定理可得结论；(2)如图2，根据中位线定理可得E F＝AD，OF＝DE，证明四边形E FBD是平行四边形，则BF＝DE，设OF＝x，则BF＝DE＝2x，OC＝OB＝3x，根据DF2＝CF2，列方程得结论．（1）证明：如图 1，连接CD 交O B 于F，∵CE 是直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OB，∴∠EDC＝∠OFC＝90°，即OB⊥CD，∴；（2）解：如图 2，连接CD 交OB 于F，连接EF，由(1)得：DE∥OB，OB⊥CD，点F 是CD 的中点，∵AE＝CE，∴EF∥AD，EF＝AD＝2 ，∵O 是CE 的中点，F 是CD 的中点，∴OF＝DE，∵EF∥BD，DE∥BF，∴四边形EFBD 是平行四边形，∴BF＝DE，设OF＝x，则BF＝DE＝2x，OC＝OB＝3x，∵，∴BC＝BD＝EF＝2 ，∵DF2＝CF2∴，解得：x＝±1，∵x＞0，∴x＝1，∴OC＝3x＝3．【点评】此题主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定，三角形的中位线，解本题的关键是作出辅助线，是一道比较基础的中考常考题．22．(10 分)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%．试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x元．（1） 请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；（2） 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？（3） 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w元最大？最大利润是多少元？【分析】(1)售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，则售单价每上涨(x－44)元，每天销售量减少 10(x －44)本，所以 y ＝300－10(x －44)，然后利用销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%确定 x 的范围；（2） 利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x －(－10x ＋740)＝2400，然后解方程后利用 x 的范围确定销售单价； （3） 利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w＝(x－(－10x ＋740)，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到 x ＝52 时 w 最大，从而计算出 x ＝52 时对应的 w 的值即可．解：(1)y ＝300－10(x －44)，即 y ＝－10x ＋740(44≤x ≤52)； (2)根据题意得(x －40)(－10x ＋740)＝2400，解得 x 1＝50，x 2＝64(舍去)，答：当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元；(3)w ＝(x －40)(－10x ＋740) ＝－10x 2＋1140x －29600 ＝－10(x －57)2＋2890， 当 x ＜57 时，w 随 x 的增大而增大， 而 44≤x ≤52， 所以当x ＝52 时，w 有最大值，最大值为－10(52－57)2＋2890＝2640， 答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元． 【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．23．(10 分)已知，在正方形ABCD 中，AB＝5，点F 是边DC 上的一个动点，将△ADF 绕点A 顺时针旋转 90°至△ABE，点F 的对应点E 落在CB 的延长线上，连接EF．（1）如图 1，求证：∠DAF＋∠FEC＝∠AEF；（2）将△ADF 沿AF 翻折至△AGF，连接EG．①如图 2，若DF＝2，求EG 的长；②如图3，连接B D 交E F 于点Q，连接G Q，则S△QEG 的最大值为．【分析】(1)利用平行线的性质，旋转不变性证明∠DAF＋∠FEC＝45°即可解决问题；(2)①如图 2 中，连接BF．由△AEG≌△AFB(SAS)，可得EG＝BF，利用勾股定理求出BF 即可；②如图 3 中，作FH⊥CD 交B D 于H，QM⊥BC 于M，连接BF，BG，设BF 交EG 于点O．首先证明EF∥BG，推出S△EQG＝S△EBQ，设DF＝EB＝x，则CF＝5－x，再证明QM 是△EFC 的中位线，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（1）证明：如图 1 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＋∠AEC＝180°，∵△ABE 是由△ADF 绕点A 顺时针旋转 90°得到，∴∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠AEF＝45°，∴∠DAF＋∠EAF＋∠AEF＋∠FEC＝180°，∴∠DAF＋∠FEC＝45°，∴∠DAF＋∠FEC＝∠AEF．（2）①解：如图 2 中，连接BF．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD＝5，∠C＝90°，∵DF＝2，∴CF＝3，∵∠DAF＝∠FAG＝∠BAE，∴∠EAG＝∠FAB，∵AE＝AF，AG＝AB，∴△AEG≌△AFB(SAS)，∴EG＝BF，在R t△BCF 中，BF＝＝，∴EG＝BF＝．②解：如图 3 中，作FH⊥CD 交BD 于H，QM⊥BC 于M，连接BF，BG，设BF 交EG 于点O．∵EG＝BF，BF＝FB，FG＝EB，∴△EFG≌△FEB(SSS)，∴∠GEF＝∠EFB，同法可证∠FBG＝∠EGB，∵∠EOF＝∠BOG，∴∠EFB＝∠FBG，∴EF∥BG，∴S△EQG＝S△EBQ，设DF＝EB＝x，则CF＝5－x，∵FH∥BE，FH＝DF＝EB，∴∠FHQ＝∠EBQ，∵∠HQF＝∠EQB，∴△FHQ≌△EBQ(AAS)，∴FQ＝EQ，∵QM∥CF，∴EM＝MC，∴QM＝CF＝(5－x)，∴S△EQG＝S△E BQ＝•x•(5－x)＝－(x2－5x)＝－(x－)2＋，∵－＜0，∴x＝时，△EQG 的面积最大，最大值为，故答案为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，平行线的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．24．(12 分)已知，抛物线y＝x2＋bx＋c 与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B(其中点A在y轴左侧，点B在y轴右侧)，对称轴直线x＝交x轴于点H．（1）若抛物线y＝x2＋bx＋c 经过点(－4，6)，求抛物线的解析式；（2）如图1，∠ACB＝90°，点P是抛物线y＝x2＋bx＋c 上位于y轴右侧的动点，且S△ABP＝S△ABC，求点P 的坐标；（3）如图2，过点A作A Q∥BC 交抛物线于点Q，若点Q的纵坐标为－c，求点Q 的坐标．【分析】(1)根据抛物线的对称轴方程公式求得b 的值，然后将点(－4，6)代入函数解析式求得c 的值即可；（2）由限制性条件S△ABP＝S△ABC，可以得到点P 与点C 的纵坐标的绝对值相等，所以根据二次函数图象上点的坐标特征和两点间的距离公式求得点P 的纵坐标即可；（3）利用直线与系数的关系可以设直线BC 的解析式为：y＝kx＋c(k≠0)，AQ的解析式为：y＝kx＋m(k≠0)．根据直线与抛物线的交点的求法，借助于方程以及一元二次方程的根与系数的关系求得点Q 的坐标即可．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c 的对称轴是直线x＝，∴－＝－b＝，∴b＝－．又抛物线y＝x2＋bx＋c 经过点(－4，6)，∴6＝×(－4)2－×(－4)＋c，解得c＝－8．故该抛物线解析式是y＝x2－x－8；（2）如图 1，连接CH，∵对称轴直线x＝交x轴于点H，∴AH＝BH，OH＝．又∵∠ACB＝90°，∴CH＝AB，设A，B 两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1，x2 是方程x2－x＋c＝0 的两根，∴x1＋x2＝3，x1•x2＝2c，∴AB2＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1•x2＝9－8c，∴CH2＝AB2＝－2c．在Rt△OHC 中，由勾股定理得：CH2＝OH2＋OC2，即：c2＋2c＝0，解得：c＝－2 或c＝0(舍去)．∵S△ABP＝S△ABC，∴|y P|＝|y C|＝2．①当y P＝－2 时，点P与点C关于直线x＝对称，∴P(3，－2)．②当y P＝2 时，x2－x－2＝2，解得：x＝．又∵点P 在y 轴的右侧，∴x＝，∴点P的坐标为( ，2)．综上所述，符合条件的点P的坐标为(3，－2)，( ，2)．（3）解：如图2，设直线B C 的解析式为：y＝kx＋c(k≠0)，联立直线B C与抛物线的解析式，得，消去y，得x2－x＋c＝kx＋c，解得：x C＝0，x B＝3＋2k，由(2)知x A＋x B＝3，∴x A＝3－x B，∴x A＝－2k．把点B 的坐标(3＋2k，0)代入y＝kx＋c，得c＝－k(3＋2k)＝－3k－2k2．∵AQ∥BC，则设AQ 的解析式为：y＝kx＋m(k≠0)．联立直线AQ 与抛物线的解析式，得，消去y，得x2－x＋c＝kx＋m，设点A、Q 的横坐标分别为x A、x Q，则x A＋x Q＝3＋2k，∵x A＝－2k，∴x Q＝3＋4k．又∵yQ＝－c，c＝－3k－2k2．则有：－(－3k－2k2)＝(3＋4k)2－(3＋4k)＋(－3k－2k2)，解得：k1＝0(舍去)，k2＝1，∴c＝－3k－2k2＝－5，∴点Q 的坐标是(7，9)．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
武汉市2018-2019学年度上学期期中考试九年级数学试卷(解析版)
九年级上学期期中测试一、选择题1．用配方法解方程21090x x ++=，下列变形正确的是（ A ） A ．()2516x += B ．()21091x += C ．()2534x -= D ．()210109x +=2．如图，在R t △ABC 中，∠BAC =90°，将R t △ABC 绕点C 按逆时针方向选择48°得到R t △A ′B ′C ′，点A 在边B ′C 上，则∠B ′的大小为（ A ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°B3．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生398元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ B ） A ．()24381389x += B ．()23891438x += C ．()38912438x += D ．()43812389x +=4．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知出手时离地面高2.2米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮圈运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球命中，运动员应该（ A ） A ．跳得比开始高0.8米 B ．跳得比开始低0.4米 C ．跳得比开始低0.8米 D ．跳得比开始高0.4米5．已知方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，且当x a =与x a n =+时，2x bx c m ++=，则m ，n 的关系为（ D ）A ．12m n =B ．14m n = C ．212m n = D ．214m n =6．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，其对称轴为x =-1，且过点（-3，0）．下列说法：①0abc <；②20a b -=；③420a b c ++<；④若()15,y -，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >．其中说法正确的是（C ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④二、填空题7．点（2，-3）关于（1，1）对称点的坐标为 （0，5）．8．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD ，墙可利用的最大长度为15m ，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m ，若围成的花圃面积为40m²时，平行于墙的BC 边长为4 m ．AD9．二次函数223y x x k =--+的图象在x 轴下方，则k 的取值范围是98k <-．10．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去……．若点A 3,02⎛⎫⎪⎝⎭，B ()0,2，则点B 2016的坐标为()6048,2．11．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 为边AB 的中点，E ，F 分别为边AC ，BC 上的点，且AE =AD ，BF =BD ，若DE =DF =4，则AB12．我们把函数()21320y x x x =-+>沿y 轴翻折得到函数2y ，函数1y 与函数2y 的图象合起来组成函数3y 的图象，若直线2y kx =+与函数的图象刚好有两个交点，则满足条件的k 的值为-3<k <3．三、解答题13．关于x 的一元二次方程()22110x k x +++=有两个不等实数根1x ，2x ． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=-，求k 值． 解：（1）34k >．（2）k =2. 14．四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE =BF ，连接AE ，AF ，EF ．(1)求证：△ADE ≌△ABF ；（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到． 解：（1）略C15．如图在△ABC 中，AB =5，AC =13，边BC 上的中线AD =6． （1）以点D 为对称中心，作出△ABD 的中心对称图形； （2）求点A 到BC 的距离．D B解：（1）作出△CDE （略）（2）由中心对称的性质，可证△ACE 是直角三角形，且∠AEC =90°．∴CD BC的长是 再由面积法求得点A 到BC 的距离．16．某商场销售一种产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元． （1）设一次购买这种产品()10x x ≥件，商场所获得利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为12000元，此时该商场销售了多少件产品？ （3）填空：该商场的销售人员发现：当客户一次购买产品的件数在某一个区间时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获的利润反而减少这一情况．客户一次购买产品的数量x 满足的条件是3550x ≤≤．（其他销售条件不变）解：（1）()()210700105020050x x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩（其中x 取整数） （2）12000y =时，21070012000x x -+=，解得130x =，240x = ； 20012000x =时，解得60x =．∵客户购买产品的件数尽可能少，∴30x =．答：在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获 的利润为12000元， 此时商场销售了30件产品．17．已知在△ABC 中，∠BAC =60°，点P 为BC 的中点，分别以AB 和AC 为斜边向外作Rt △ABD 和Rt△ACE ，且∠DAB =∠EAC =a ，连接PD ，PE ，DE ． （1）如图1，若a =45°，则DEDP=（2）如图2，若a 为任意角度，求证：∠PDE =a ； （3）如图3，若a =15°，AB =8，AC =6，则△PDE 的面积为254；图3图2图1P P P解：分别延长BD 至F ，使DF=BD,延长CE 至G ，使EG=CE,连接AF ，AG ，CF ，BG 交于M 点，∴DP ，PE 分别是中位线，∴DP ∥CF ，2DP =FC ；PE ∥BG ，2PE =BG ．由旋转易证△ACF ≌△AG B ，∴CF =B G ，∠BMF =∠BAF =2a ，∴PD =PE ，∠DPE =180°-2a ，∴∠PDE =a第17题答案图P18．如图1，抛物线23y ax bx =++经过()3,0A -，()1,0B -两点． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线29y x =-+与直线OM 交于点D ，与y 轴交于点C ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线OD （含端点O ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点移至原点时，过Q （0，3）点作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点．问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使PQ 平分∠EPF ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图2图1解：（1）抛物线解析式为243y x x =++．（2）由（1）配方得y ＝（x ＋2）²－1，∴抛物线的顶点M （-2，-1）．∴直线CD 的解析式为12y x =．于是设平移的抛物线的顶点坐标为1,2h h ⎛⎫⎪⎝⎭，∴平移的抛物线解析式为()21y x h h =-+．①当抛物线经过点C 时，∵C （0，9），∴2192h h +=，解得h =h ≤≤时，平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点．②当抛物线与射线CD 只有一个公共点时，由方程组()21229y x h hy x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩得()22122902x h x h h +-+++-=，∴()221224902h h h ⎛⎫∆=-+-+-= ⎪⎝⎭，解得4h =．此时抛物线()242y x =-+与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意．综上：平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是：4h =h ≤≤ (3)由23y x y kx ⎧=⎨=+⎩得230x kx --=．∴E F y y k +=，3E F x x =-．设EF 的解析式为()30y kx k =+≠，点E ，F 的坐标分别为()2,m m ，．∴3mn =-．作点E 关于y 轴的对称点R ()2,m m -，作直线FR 交y 轴于点P ，由对称性知∠EPQ ＝∠FPQ ，∴点P 就是所求的点．由F ，R 的坐标，可得直线FR 的解析式为：()y n m x m =-+．当x ＝0，3y mn ==-，∴y 轴的负半轴上存在点()0,3P -，使PQ 平分∠EPF ．第18题答案图。
2018-2019学年湖北省武汉市江夏区九年级(上)期中数学试卷解析版
2018-2019学年湖北省武汉市江夏区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x2﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1B．a＞1C．a＜1D．a≠02．（3分）一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的根的判别式△＝（）A．﹣4B．12C．﹣12D．03．（3分）已知方程2x2+ax﹣3＝0有一个根是1，则a的值等于（）A．﹣1B．5C．1D．34．（3分）下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正方形5．（3分）如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠B＝55°，则∠EDC的度数等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB＝6，半径OC⊥AB于P，且P为OC的中点，则AC的长是（）A．2B．3C．4D．27．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（1，1）8．（3分）如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，AB＝2DE，∠E＝12°，则∠BAC ＝（）A．60°B．72°C．75°D．78°9．（3分）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）已知如图，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝45°，结论：①∠ABC＝90°，②AB＝BC，③AD2+DC2＝2AB2，④AD+DC＝BD，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）方程3x2﹣1＝2x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．12．（3分）点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，则m+n＝．13．（3分）写出以2+和2﹣为根的一元二次方程（要求化成一般形式）．14．（3分）如图，在⊙O中，P为直径AB上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB＝45°，若AP＝2cm，BP＝6cm，则MN的长是cm．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，直线x＝1为对称轴，以下结论①a＜0，②b ＞0，③2a+b＝0，④3a+c＜0正确的有（填序号）．16．（3分）如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝120°，则AD 的最大值是．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）用公式法解方程：x2﹣4x﹣7＝0．18．（8分）已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且过点（﹣2，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）根据函数图象，直接写出y＜0时，自变量x的取值范围．19．（8分）如图，⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝CB．20．（8分）如图，平面直角坐标系中，以点C为坐标原点，点A（0，﹣1），B（﹣2，0），将△ABC绕点A顺时针旋转90°．（1）在图中画出旋转后的△AB′C′，并写出点B′、C′的坐标；（2）已知点D（3，﹣2），在x轴上求作一点P（注：不要求写出P点的坐标），使得PC′+PD 的值最小，并求出PC′+PD的最小值；（3）写出△ABC在旋转过程中，线段AB扫过的面积．21．（8分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？22．（10分）已知某商品的进价为每件40元，售价是每件50元，每星期可卖出210件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．（1）要想获得2340元的利润，该商品应定价为多少元？（2）该商品应定价为多少元时（要求定价为整数），商场能获得的最大利润是多少？23．（10分）△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且AC＝AB，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）如图1，当点D、E分别在边AB、AC上，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）把等腰Rt△ADE绕点A旋转到如图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）把等腰Rt△ADE绕点A在平面内任意旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN的面积S 的变化范围．24．（12分）如图1，已知抛物线y＝x2+mx+m﹣1的顶点为D，交y轴于C点，交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，点A在y轴左边，点B在y轴右边，且AB＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，AP⊥AD交抛物线于P．求点P的坐标；（3）如图2，点H为B，D之间抛物线上一点，直线CH交BD于E，交x轴于F，若S＝S△CDE，求H点的坐标．△BEF参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣1＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：A．2．解：∵一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0中a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12．故选：B．3．解：把x＝1代入2x2+ax﹣3＝0，得2+a﹣3＝0，解得a＝1．故选：C．4．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．5．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE＝55°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝55°，∴∠EDC＝70°．故选：C．6．解：连接OA，∵AB＝6，OC⊥AB，OC过O，∴AP＝BP＝AB＝3，设⊙O的半径为2R，则PO＝PC＝R，在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2＝OP2+AP2，（2R）2＝R2+32，解得：R＝，即OP＝PC＝，在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2＝AP2+PC2，AC2＝32+（）2，解得：AC＝2，故选：A．7．解：将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为y＝2（x ﹣1）2+1，所以平移后的抛物线的顶点为（1，1）．故选：D．8．解：∵AB＝2DE，∴OD＝DE，∴∠E＝∠EOD＝12°，在△EDO中，∠ODC＝∠E+∠EOD＝24°，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠ODC＝24°．∴∠AOC＝∠E+∠ECO＝12°+24°＝36°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝＝72°，故选：B．9．解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．故选：C．10．解：如图，作BM⊥DA交DA的延长线于M，BN⊥CD于N，AC交BD于点O．∵∠OAB＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴＝，∴＝，∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠BCO＝∠ADO＝45°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，故①②正确，∴AD2+CD2＝AC2＝AB2+BC2＝2AB2，故③正确，∵∠M＝∠BND＝∠MDN＝90°，∴四边形BMDN是矩形，∵BD平分∠ADC，BM⊥AD，BN⊥DC，∴BM＝BN，∴四边形BMDN是正方形，∴DM＝DN，∵AB＝BC，BM＝BN，∴Rt△BMA≌Rt△BNC（HL），∴AM＝AN，∴AD+DC＝DM﹣AM+DN﹣CN＝2DM＝BD，故④正确，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．解：将方程3x2﹣1＝2x整理为一般式为3x2﹣2x﹣1＝0，则二次项系数为3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1，故答案为：3，﹣2，﹣1．12．解：∵点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣3，n+1＝2，解得m＝﹣2，n＝1，所以，m+n＝﹣1．故答案为：﹣1．13．解：根据题意知以2+和2﹣为根的一元二次方程为[x﹣（2+）][x﹣（2﹣）]＝0，整理，得：x2﹣4x+1＝0，故答案为：x2﹣4x+1＝0（答案不唯一）．14．解：作OH⊥MN于H，连接ON，AB＝AP+PB＝8，∴OA＝OB＝ON＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，∵∠NPB＝45°，∴OH＝OP＝，在Rt△OHN中，NH＝＝，∵OH⊥MN，∴MN＝2HN＝2（cm），故答案为：215．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；即b+2a＝0，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与点（3，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与点（﹣1，0）之间，∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，把b＝﹣2a代入得3a+c＜0，所以④正确．故答案为①②③④．16．解：如图，作出点B关于AE的对称点M，点C关于DE的对称点N，连接AM、EM，MN、DN、EN．根据轴对称的性质可得AM＝AB，BE＝EM，CE＝EN，DN＝CD，∠AEB＝AEM，∠DEC＝∠DMN，∵∠AED＝120°，∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣120°＝60°，∴∠MEN＝∠AED﹣（∠AEM+∠DEN）＝120°﹣60°＝60°，∵点M是四边形ABCD的边BC的中点，∴BE＝CE，∴EM＝EN，∴△ENM是等边三角形，∵AD≤AM+MN+DN，∴AD≤7，∴AD的最大值为7，故答案为7．三、解答题（共8题，共72分）17．解：△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝4×11，x＝＝＝2±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．18．解：（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4，把点（﹣2，5）代入得：5＝a（﹣2﹣1）2﹣4，解得：a＝1，故抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4；（2）当y＝0可得，0＝（x﹣1）2﹣4，解得：x1＝3，x2＝﹣1，故抛物线与x轴的交点为：（﹣1，0），（3，0），如图所示：，可得：当函数值y＜0时，自变量x的取值范围为：﹣1＜x＜3．19．证明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝BC．20．解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求，点B′、C′的坐标分别为（1，1）和（1，﹣1）；（2）如图所示，点B'与点C'关于x轴对称，连接B'D交x轴于点P，则PC′+PD的值最小，PC′+PD的最小值为＝；（3）线段AB扫过的面积为：＝，故答案为：．21．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB＝2m，∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.04（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．∴此货船能不顺利通过这座拱桥．22．解：（1）设商品的定价为x元，根据题意，得：（x﹣40）[210﹣10（x﹣50）]＝2340，整理，得：x2﹣111x+3074＝0，解得：x1＝53，x2＝58，答：要想获得2340元的利润，该商品应定价为53元或58元；（2）设商场所获总利润为w，则w＝（x﹣40）[210﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1110x﹣28400＝﹣10（x﹣55.5）2+2402.5，∵a＝﹣10，且x为整数，∴当x＝55或56时，w取得最大值，最大值为2400，答：该商品应定价为55或56元时，商场能获得的最大利润是2400元．23．解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小∴点D在BA的延长线上，△PMN的面积最大，∴BD＝AB+AD＝8，∴PM＝4＝PM2＝×42＝8，∴S最大当点D在线段AB上时，△PMN的面积最小，∴BD＝AB﹣AD＝4，∴PM＝2，S＝PM2＝×22＝2，最小∴2≤S≤8，故答案为：2≤S≤8．24．解：（1）由韦达定理得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣1，而x2﹣x1＝4，即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，解得：m＝﹣2，m＝6（舍去），故函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，则：A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4）；（2）如下图，过A点作y轴的平行线交过P点与x的平行线与E，交过点D与x轴的平行线与F，∵AP⊥AD，∴∠DAF+∠AEP＝90°，∠EPA+∠EAP＝90°，∴∠EPA＝∠DAF，∴△AEP∽△PFE，∴＝，设P（m，m2﹣2m﹣3）其中：PE＝m+1，AF＝4，AE＝m2﹣2m﹣3，FD＝2，代入上式，解得：m＝，m＝﹣1（舍去），即：P （，）；（3）设：直线CF 的表达式为y ＝kx ﹣3…①， 直线BD 的方程为：y ＝2x ﹣6…②，联立①、②解得E （，），F （，0）， 过D 点做DM ∥y 轴，交FC 于H ，S △CDE ＝•HM •x E ＝（k ﹣3+4），S △BEF ＝•BF •y E ＝（﹣3）（），由S △CDE ＝S △BEF ，解得：k ＝2或，则：CF 的表达式为y ＝2x ﹣3或y ＝x ﹣3…③，将③与二次函数表达式联立，解得：x ＝或x ＝0（舍去），故点H 为（，﹣）．。
武汉地区2018-2019学年度九年级上期中考试数学试卷含答案
武汉地区2019-2019学年度上学期期中考试九年级数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将方程x2－8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A．－8、－10 B．－8、10 C．8、－10 D．8、102．下列四个图形分别是四场国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定4．抛物线y＝－3(x＋1)2－2顶点坐标是（）A．(－1, 2) B．(－1,－2) C．(1,－2) D．(1,2)5. 若x1、x2是方程x2＋3x－6＝0的两根，则x1＋x2的值是（）A．－3 B．3 C．－6 D．66．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数是57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．(1＋x)2＝57 B．1＋x＋x2＝57C．(1＋x)x＝57 D．1＋x＋2x＝577. 在△ABC中,∠CAB=26°，在同一平面内,将△ABC绕点A旋转α°到三角形AB'C'的位置使得CC'∥AB 则α=（）A．138 B．128 C．118 D．1088．如图，半径为5的⊙A中，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．41 B．61 C．11 D．89．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y310．如图，中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△A’B’C’的位置，连接BC’，则线段BC’的长为（）A． B．C． D．1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，点A(－3，2)关于原点对称点的坐标为__________B'C'BA12.如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为__________13．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是__________14．已知点A(a，m)、B(b，m)、P(a＋b，n)为抛物线y＝x2－2x－2上的点，则n＝__________15．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a,b），若规定以下三种变换：①②③; 按照以上变换有：那么__________16．已知a、b是方程x2－2x＋m－1＝0（m≠1）的两根，在直角坐标系下有A(a，0)、B(0，b)，以AB为直径作⊙M，则⊙M的半径的最小值为_________三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程：18. （本题8分）如图是一块车轮碎片的示意图，点O是这块轮片的圆心，AB＝24 cm，C 是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝4 cm，求原轮片的半径19．（本题8分）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立直角坐标系，回答下列问题：（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△,画出△，并直接写出的坐标；（2）将△绕点（0，-1）顺时针旋转90°得到△，画出；（3）观察图形发现，是由△ABC绕点顺时针旋转度得到的。
武汉青山中学2018-2019年初三上数学度中试题及解析
武汉青山中学2018-2019年初三上数学度中试题及解析本试卷120分考试用时120分钟一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑．1．将方程5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为()A.5、4、1B.5、．-4、-1C.5、4、-1D.5、-4、12．，若2+x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x≥-2B.x≥2C.x≠-2D.x≠23．如图，已知点A、B、C在⊙O上，且∠BAC=30°，则∠BOC等于()A．30°B．40°C．50°D．60°4．下列图形中，中心对称图形有()A.4个B.3个C.2个D.1个2·6的结果是（）5、计算A．23B．32C．3D．96．若x1，x2是方程x2-3x=0的两根，则x1·x2的值是（）A．-9B．OC．3D．97．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）．A．x21B．8C．2x D．12+x8．如图，在⊙O中，弧AB=弧BC，∠BAC=60°，则∠AOB：∠ABC：∠ACO等于()A．3：2：1B．4：3：2C．4：2：1D．5：3：29根的方程是()A.x2+10x+16=OB.x2-42x+9=OC.3x2+10x=2x2+8xD.16x2-24x+9=O10．某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是()A.289(1-x)2=256B.256(1-x)2=2891C ．289(1-2x)2=256D.256(1-2x)2=28911．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°， 公路PQ 上A 处距离O 点240米，如果火行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿MN 方 向以72千米／小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的 时间为() A ．24秒B ．20秒 C ．16秒D ．12秒12．已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点(异于A 、B)，过点 P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连结OC 、BP ，过 点O 作OM//CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB ·CD;②AD=AB；③AD=ON;④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填一填（每题3分，共12分） 13．计算：18：2=______．14．已知P （a 2，1）与P （-9，b ）关于原点对称，且a<0，则a=__，b=__15．已知关于x 的一元二次方程（a-1）x 2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是________．16．如图，在△ABC．中，AB=BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1,A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC 、BC 于点D 、F ，下列结论：①∠CDF=α， ②A 1E=CF ，③DF=FC，④A 1F=CE ．其中正确的是______（写出 正确结论的序号）．三、解下列各题（本大题有9小题，共72分） 17．（本题6分）计算： 18．（本题6分）解方程：x 2+3x+l=O19．（本小题6分）先化简，再求值：a 9+a 16-2a 425， 其中a=241 20．（本题7分）如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB 于D ，OE⊥AC 于E ． 求证：四边形AEOD 是正方形 21．（本题7分）在平面直角坐标系中有A(O ，2)，B(l ，0)段AB 以O 为旋转中心顺时针分别旋转90°，270°，请依次画出旋转后 的图形A 1B 1和A 2B 2;22．（本题8分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的 直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足为D ． (1)求证：CD 为⊙0的切线；(2)的直径为10，求AB 的长度， 23.（本题10分）某校课外活动小组准备利用学校的一面墙，用长为30米的篱笆围成一个矩形生物苗圃园．(1)若墙长为18米（如图所示），当垂直于墙的一边的长为 多少米时，这个苗圃园的面积等于88平方米？ (2)当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．24．（本题10分）如图甲，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°，等腰直角△DCE 中，∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上． (1)问B 、C 、E 三点在一条直线上吗？为什么？(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，试求OMMN的值；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(O°<α<90°)后，记为△D 1CE 1（图乙），若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，则OMMN=____25、如图，点P 在y 轴的正半轴上，⊙P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt△ACD，BD 分别交y 轴和⊙P 于E 、F 两点，交连结AC 、FC ． (1)求证：∠ACF=∠ADB;(2)若点A 到BD 的距离为m ，BF+CF=n ，求线段CD 的长； (3)当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，AODE的 值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变 化，请说明理由．2012—2013学年度第一学期九年级期中测试数学试卷评分标准13.314、－3，115、a ＜2，且a ≠116、①②④三、解下列各题（本大题有9小题，共72分）17．解：638⨯+）（=1848+……2分=2334+……6分18.解：a=1，b=3，c=1……3分∴△=b 2－4ac=9－4×1×1＝5＞0……4分∴x =－3±25……5分 ∴x 1=－3＋25，x 2=－3－25……6分 19.（本小题6分）先化简，再求值：，其中a =421解：a a a 4252169-+=a a a 543-+……3分 =a 2……4分 当a =241=49时，原式=492=3……6分20.（本题7分）如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E. 求证：四边形AEOD 是正方形 证明：在⊙O 中∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC∴AD=21AB ，AE=21AC ……3分 ∠ADO=∠AEO=90° 又∠A=90°∴四边形ADOE 是矩形……5分 而AB=AC ∴AD=AE∴矩形ADOE 是正方形……7分 21.解：如图所示：（画对一条得3分，没有标注字母或者字母标错的一条扣1分）……7分22.（1）证明：连接OC ……1分 ∵O A=OC∴.OCA OAC ∠=∠ 又.DAC CAO ∠=∠ ∴∠DAC=∠OCA ……2分 ∴PB ∥CO∴∠PDC=∠DCO=90° ∴OC ⊥DC ……3分 又OC 为⊙O 的半径∴CD 为⊙O 的切线.……4分（2）解：:过O 作OF AB ⊥，垂足为F ，则90OCD CDA OFD ∠=∠=∠=， 在Rt AOF △中，由勾股定理知222.AF OF OA += 即()()225625.x x -+-= 化简得：211180x x -+=解得：2x =或x=9.……6分由AD DF <，知05x <<，故2x =……7分 从而AD=2，52 3.AF =-=因为OF AB ⊥，由垂径定理知F 为AB 的中点，所以2 6.AB AF ==……8分（若设OF=x ，可得方程：（x-1）2+x 2=25，解得：x 1=4，x 2=－3（舍去），AF=4－1=3，AB=2AF=6）23．解：（1）设垂直于墙的一边的长为x 米，则矩形的另一边长为（30-2x ）米……1分由题意列方程，得：x （30-2x ）=88……3分整理得：x 2-15x+44=0解得：x 1=11，x 2=4……4分∵0＜30-2x ≤18 ∴6≤x ＜15 ∴x=11……5分答：当垂直于墙的一边的长为11米时，这个苗圃园的面积等于88平方米.……6分（2）苗圃园的面积=x （30-2x ）=－2（x －215）2＋2225……9分 当x=215时，即直于墙的一边的长为7.5米时，苗圃园的面积最大，为112.5平方米. ……10分24.（1）解：在一条直线上.……1分 理由如下： ∵AB 为⊙O 直径∴∠ACB=90°……2分∵△DCE 为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=180°∴B 、C 、E 三点共线．……3分 （2）连接BD ，AE ，ON ． ∵∠ACB=90°，∠ABC =45° ∴BC=AC ∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90°∴△BCD≌△ACE……4分∴AE=BD ，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴BD ⊥AE ……5分 ∵O ，N 为中点∴ON ∥BD ，ON=12BD ……6分同理：OM ∥AE ，OM=12AE∴OM ⊥ON ，OM=ON ……7分 ∴MN=2OM ∴OMMN=2……8分 （3）2……10分 25、（1）证明：连接AB ……1分 ∵OP ⊥BC∴BO=CO ……2分 ∴AB=AC 又∵AC=AD ∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB ……3分 又∵∠ABD=∠ACF∴∠ACF=∠ADB ……4分（2）解：过点A 做AM ⊥CF 交CF 的延长线于M ，过点A 做AN ⊥BF 于N ，连接AF则AN=m∴∠ANB=∠AMC=90° 又∵∠ABN=∠ACM ，AB=AC ∴Rt ⊿ABN ≌Rt ⊿ACM （AAS ） ∴BN=CM ，AN=AM ……5分又∵∠ANF=∠AMF=90°,AF 公共 ∴Rt ⊿AFN ≌Rt ⊿AFM(HL) ∴NF=MF ……6分∴BF+CF=BN+NF+CM-MF =BN+CM=2BN=n ……7分∴BN=2n ∴CD=222421n m ……8分（3）过点D 做DH ⊥AO 于N,过点D 做DQ ⊥BC 于Q ……9分∵∠DAH+∠OAC=90°,∠DAH+∠ADH=90°∴∠OAC=∠ADH又∵∠DHA=∠AOC=90°,AD=AC∴Rt ⊿DHA ≌Rt ⊿AOC （AAS ） ∴DH=AO,AH=OC ……10分∴DHDE=2AO DE =2……12分。