信号处理课设报告——DFT对信号进行谱分析
用DFT对信号作频谱分析
实验三 用DFT 对信号作频谱分析一、 实验原理计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理对信号的要求是：在时域和频域都应该是离散的，而且都应该是有限长的。
各种形式的傅里叶级数与变换，只有离散傅里叶级数DFS 在时域和频域都是离散的,但是()xn 和()X k 都是无限长的周期序列，因此时域频域各取一个周期，即为离散傅里叶变换DFT ，是信号离散时间傅里叶变换DTFT 某种程度上的近似。
频域采样即对离散时间傅里叶变换的连续周期频谱离散化的过程，采样后的周期频谱序列对应时域的周期序列，该时域序列的周期恰好是频域中一个周期内的采样点数采样，因此频域采样不失真的条件为： 频域采样点数N 要大于或等于时域序列长度M 。
二、 实验目的(1)学习离散叶变换（即DFT ）的计算方法及意义。
(2) 掌握实数序列的DFT 系数的对称特点。
(3) 利用MATLAB 编制DFT/IDFT 计算程序的方法。
(4)频域采样理论的验证三、实验内容(1)5()()x n R n ,求N 分别取8，16,32,64时的离散傅里叶变换DFT ()X k ，最后绘出图形。
程序代码：(2) 利用如下MATLAB程序生成三角波序列%x=[1,1,1,1,1,1,1,1];M=27;N=32;n=0:M;%产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb= ceil(M/2)-1:-1:0;x=[xa,xb];对该序列分别计算离散时间傅立叶变换DTFT，8点，16点，32点，64点和128点离散傅立叶变换频谱，并利用反变换求各个频谱对应的是与序列，比较这些频谱和序列。
生成的三角波图形：图1-1 长度为27的三角波其程序代码：对该序列分别计算离散时间傅立叶变换DTFT，8点，16点，32点，64点和128点离散傅立叶变换频谱。
其实验结果为图1-2所示。
图1-2 三角波计算离散时间福利叶变换其程序代码：利用反变换求各个频谱对应的是与序列，比较这些频谱和序列。
实验一 利用DFT分析信号频谱(除代码版)
实验一 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1. 加深对DFT 原理的理解。
2. 应用DFT 分析信号的频谱。
3. 深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。
二、实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境。
三、实验基础理论1.DFT 与DTFT 的关系有限长序列的离散时间傅里叶变换(e )j X ω 在频率区间(02)ωπ≤≤ 的N 个等间隔分布的点2(0k N 1)k k Nπω=≤≤-上的N 个取样值可以有下式表示： 2120(e )|(n)e (k)(0k N 1)N j kn j N kk N X x X πωπω--====≤≤-∑由上式可知，序列(n)x 的N 点DFT (k)X ,实际上就是(n)x 序列的DTFT 在N 个等间隔频率点2(0k N 1)k k Nπω=≤≤-上样本(k)X 。
2.利用DFT 求DTFT方法1：由(k)X 恢复出(e )j X ω的方法如下：由流程知：101(e )(n)e [(k)W ]e N j j n kn j n N n n k X x X N ωωω∞∞----=-∞=-∞===∑∑∑继续整理可得到：12()(k)()N i k k x e X Nωπφω==-∑ 其中(x)φ为内插函数：sin()2()sin()2N N ωφωω=方法2：实际在MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。
由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2N π，所以如果我们增加数据的长度N ，使得到的DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样就可以利用DFT 计算DTFT 。
如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。
3.利用DFT 分析连续信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。
对于连续时间非周期信号(t)a x ,按采样间隔T 进行采样，阶段长度M ，那么：10(j )(t)e (nT)e M j t j nT a a a n X x dt T x -∞-Ω-Ω-∞=Ω==∑⎰对(j )a X Ω 进行N 点频域采样，得到2120(j )|(nT)e (k)M j kn N a a M k n NT X T x TX ππ--Ω==Ω==∑采用上述方法计算信号(t)a x 的频谱需要注意如下三个问题：（1）频谱混叠（2）栅栏效应和频谱分辨率（3）频谱泄露4.用到的MATLAB 函数与代码实验中DFT 运算可采用MATLAB 中提供的函数fft 来实现，DTFT 可采用MATLAB 矩阵运算的方法进行计算，如下式所示：[][][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅==Ω-Ω-Ω-=Ω-Ω∑N N jn jn jn N n n n nj n j e e e n x n x n x e n x e X 211.,,,)(21。
用DFT(FFT)对时域离散信号进行频谱分析报告
%以下为绘图部分
k=0:7;wk=2*k/8; %产生8点DFT对应的采样点频率(关于π归一化值)
subplot(2,1,1);stem(wk,abs(Xk8),'.'); %绘制8点DFT的幅频特性图
title('(a) 8点DFT的幅频特性图');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');grid
subplot(3,2,5);stem(wk,abs(Xk16), '.'); %绘制16点DFT的幅频特性图
title('(e) 16点DFT的幅频特性图');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');grid
四、结论与心得
成绩
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年月日
2.掌握DFT（FFT）对时域离散信号进行频谱分析的方法。
二、实验原理简介
1.DFT和FFT原理：
长度为N的序列x(n)的离散傅里叶变换为X（k）：
首先按n的奇偶把时间序列x(n)分解为两个长为N/2点的序列
x1(n)=x(2r) r=0.1,….,N/2-1
x2(n)=x(2r+1) r=0,1,…..,N/2-1
三、实验内容和数据记录
(1)复习DFT的定义，性质和用DFT作频谱分析的有关内容。
（2）用MATLAB编制程序产生以下典型信号供谱分析用：
x1(n)=R4(n)
x4(n)=cos(πn/4)
x5(n)=10*0.8n
（3）分别以变换区间N=8，,16,32对x1(n)=R4(n)进行DFT（FFT），画出相应的幅频特性曲线；
用DFT对时域离散信号进行频谱分析
用DFT对时域离散信号进行频谱分析DFT（离散傅里叶变换）和FFT（快速傅里叶变换）是用于对时域离散信号进行频谱分析的常用方法之一、在本文中，我将介绍DFT和FFT的原理和应用，并探讨它们的优势和劣势。
频谱分析是一种研究信号频率成分的方法。
它可以用于分析信号的频域特征，例如信号频谱的幅度和相位信息。
频谱分析广泛应用于通信、声学、图像处理、金融等领域。
DFT是傅里叶变换在时域离散信号上的一种离散形式。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，使我们能够分析信号包含的不同频率的成分。
DFT计算离散信号的系数，这些系数表示了信号在不同频率上的幅度和相位信息。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，其中N是信号的长度。
这意味着DFT对于长时间序列的计算是非常昂贵的。
为了解决DFT计算复杂度高的问题，人们引入了FFT算法。
FFT是一种基于DFT的快速算法，可以大大提高计算效率。
FFT的计算复杂度为O(NlogN)。
当信号的长度是2的幂次时，FFT的计算速度尤为快速。
FFT算法利用了傅里叶变换中的对称和周期性特性，通过分治法将DFT计算分解成多个小规模的DFT计算，从而加快了计算速度。
FFT算法有多种变体，包括Cooley-Tukey算法、Gentleman-Sande算法等。
使用DFT和FFT进行频谱分析有很多应用。
其中一种常见的应用是信号滤波。
通过分析信号的频谱，我们可以确定信号中所包含的不同频率的成分，从而选择性地滤除或增强一些频率的信号成分。
另一种应用是频谱分析可用于频率识别。
通过观察信号频谱的峰值和分布情况，我们可以确定信号的主要频率成分，从而进行信号的识别和辨别。
尽管DFT和FFT在频谱分析中非常有用，但它们也存在一些局限性。
首先，这些方法假设信号是离散、周期且稳定的。
对于非周期信号和突发信号，DFT和FFT的结果可能会产生混淆或误导。
其次，DFT和FFT的分辨率取决于采样率和信号长度，这可能会导致频域分辨率较低。
4DFT分析信号频谱
k 0
k 0
{10, 1 j, 0, 1 j}
X [m]
X (e
j
)
2
4
m
- j.3
e2
(4 cos
3 2
6 cos
1 2
)
m
2
{10, 1 j, 0, 1 j} ，m=0,1,2,3
7
X1(e j ) DTFT{x1[k]} x1[k] e-jk x1[k] e-jk
k
k 0
m
0
N1
四、混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
（1）混叠现象：减小抽样间隔T，抗混滤波
X
(e
j )
1 T
n
X
( j(
nsam ))
1 T
n
X
(
j1 T
(
n
2
))
x(t)
抗混滤波 抽样间隔T
x0 (t )
抽样
x0[k ] DFT X [m]
X ( j) A
X0 ( j) A
X 0(e j ) A
N=50; %数据旳长度 L=512; %DFT旳点数 f1=100;f2=150; fs=600; %抽样频率 T=1/fs; %抽样间隔 ws=2*pi*fs; t=(0:N-1)*T; f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t); wh=(hamming(N))'; f=f.*wh; F=fftshift(fft(f,L)); w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(F)); ylabel('幅度谱')
频率(Hz)
海明窗
数字信号处理实验五用DFT(FFT)对信号进行频谱分析
开课学院及实验室：电子楼3172018年 4月 29 日3()x n ：用14()()x n R n =以8为周期进行周期性延拓形成地周期序列.(1> 分别以变换区间N ＝8,16,32,对14()()x n R n =进行DFT(FFT>,画出相应地幅频特性曲线；(2> 分别以变换区间N ＝4,8,16,对x 2(n >分别进行DFT(FFT>,画出相应地幅频特性曲线； (3> 对x 3(n >进行频谱分析,并选择变换区间,画出幅频特性曲线.<二）连续信号 1. 实验信号：1()()x t R t τ=选择 1.5ms τ=,式中()R t τ地波形以及幅度特性如图7.1所示.2()sin(2/8)x t ft ππ=+式中频率f 自己选择.3()cos8cos16cos 20x t t t t πππ=++2. 分别对三种模拟信号选择采样频率和采样点数.对1()x t ()R t τ=,选择采样频率4s f kHz =,8kHz ,16kHz ,采样点数用τ.s f 计算.对2()sin(2/8)x t ft ππ=+,周期1/T f =,频率f 自己选择,采样频率4s f f =,观测时间0.5p T T =,T ,2T ,采样点数用p s T f 计算.图5.1 R(t>地波形及其幅度特性对3()cos8cos16cos 20x t t t t πππ=++,选择采用频率64s f Hz =,采样点数为16,32,64. 3. 分别对它们转换成序列,按顺序用123(),(),()x n x n x n 表示.4. 分别对它们进行FFT.如果采样点数不满足2地整数幂,可以通过序列尾部加0满足.5. 计算幅度特性并进行打印.五、实验过程原始记录<数据、图表、计算等）(一> 离散信号%14()()x n R n = n=0:1:10。
DFT应用-对信号作频谱分析
利用DFT对连续时间信号频谱的近似过程图解
抽样 截断 周期延拓
x(t )
FT
t=nT
x(n)
x(n)d(n)
% N (n) 周期延拓 xN (n) x
取一个周期
DTFT
DTFT
DFS
DFT
抽样 周期延拓 卷积 jω jω X ( jΩ) X N (k ) X (e ) X (e )* D(e ) X N (k ) Ω0＝Ωs / N Ωs = 2π / T 取一个周期 周期延拓
Q t → nT
dt → T
∫
∞
−∞
dt →
n =−∞
∑T
n =−∞
∞
∴ X ( jΩ) ≈
∑
∞
x(nT )e− jΩnT T
（2）将序列x(n) = x(nT )截断成从t = 0开始长度为T0的有限长序列， 包含N个抽样，则上式为： X(jΩ) ≈ T∑ x(nT)e-jΩnT
n=0 N-1
(3)为了数值计算，在频域上也要离散（抽样），即在频域的 一个周期（f s或Ω s）中分成N 段。取N个抽样点f s = NF0 (或Ω s = N Ω0 )。每个抽样点的间隔为F0 Ω0）。频域抽样，则 （ 频域的积分变成求和，而时域就得到原已截断的离散时间序列 的周期延拓，其时域周期为T0 =NT=1/F0。
t = nT dt = T
（ ）先对时域抽样 1 x(n)=x(nT)=x(t)|t=nT
∫ ∑T
0 n=0
T0 N-1
（2）将频域离散序列加以截断，使它为有限长序列。如果这个 截断长度正好等于一个周期，则有： x(nT)=∑ X(jkΩ 0 )e
k=0 N-1 jkΩ0 nT N-1 j 2π nk N
实验4-应用的DFT实现信号频谱分析
实验四应用FFT 实现信号频谱分析一、实验目的（1）能够熟练掌握快速离散傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)的原理及应用FFT 进行频谱分析的基础方法。
（2）对离散傅里叶变换的主要性质及FFT 在数字信号处理中的重要作用有进一步的了解。
二、基本原理1．离散傅里叶变换（DFT ）及其主要性质DFT 表示离散信号的离散频谱，DFT 的主要性质中有奇偶对称特性`虚实特性等。
通过实验可以加深理解。
实序列的DFT 具有偶对称的实部和奇对称的虚部，这可以证明如下：由定义，可得][m X =∑-=10][N k km Nw k x =∑-=10)2cos(][N k km N k x π-j ∑-=10)2sin(][N k km N k x π][m N X -=∑-=-10)(][N k k m N Nw k x =kn NN k Nk N w wk x --=∑10][ =∑-=-10][N k km N wk x =∑-=10)2cos(][N k km N k x π-j ∑-=10)2sin(][N k km N k x π 所以： x[k]=k]-[N *x实序列DFT 的这个特性，在本实验中可以通过实指数序列及三角序列看出来。
对于单一频率的三角序列来说，它的DFT 谱线也是单一的，这个物理意义可以从实验中得到验证，在理论上可以推导如下：设：]Xk =sin )2(k Nπ][k R N 其DFT 为： ][m X =∑-=-102][N k km N j e k x π=∑-=-102)2sin(N k km N j e k N ππ =j21km N j k N j N k k N j e e e πππ22102)(---=∑- =j21)()1(210)1(2k m N j N k k m N j e e +--=-∑-ππ从而 X(0)=j21)(2102k N j N k k N j e e ππ--=∑-=0 X(1)=j21)1(410k N j N k e π--=∑-=jN 2= -j 2N X(N-2)=0…… X(N-1)=22)(21102)2(2N j j N e eJ N k n j N N j =-=-∑-=--ππ 以上这串式中]0[X 反应了][k x 的支流分量，]1[X 是][k x 的一次谐波，又根据虚实特性]1[]1[*X N X =-而其他分量均为零。
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燕山大学课程设计说明书课程名称数字信号原理及应用题目DFT对信号进行谱分析学院（系）电气工程学院年级专业学号学生姓名指导教师教师职称电气工程学院《课程设计》任务书课程名称：数字信号处理课程设计基层教学单位：仪器科学与工程系指导教师：王娜学号学生姓名（专业）班级设计题目16、DFT对信号进行谱分析设计技术参数)2.0cos(2)(1nnxπ=)]cos()1.0[cos(5.0)(2nnnxππ-=)10(2)(213+=-nRnx n设计要求选择合适的变换区间长度N，用DFT对上述信号进行谱分析，画出时域波形、幅频特性和相频特性曲线参考资料数字信号处理方面资料MATLAB方面资料周次前半周后半周应完成内容收集消化资料、学习MA TLAB软件，进行相关参数计算编写仿真程序、调试指导教师签字基层教学单位主任签字说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。
2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。
电气工程学院教务科目录一、绪论 (1)1.1 信号处理简介 (1)1.2 MATLAB简介 (2)二、信号处理原理 (4)2.1 DFT的定义及推导 (4)2.2 DFT的性质 (6)2.3 快速傅里叶变换 (7)三、软件仿真设计 (8)四、程序设计与结果 (9)4.1信号1的分析 (9)4.2信号2的分析 (10)4.3信号3的分析 (11)4.4补零计算 (12)五、设计体会及心得 (15)参考文献 (16)一、绪论1.1信号处理简介数字信号处理是对时间变量均为离散的信号进行变换、加工和处理的技术。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
由于客观世界中大量存在的是模拟信号，因此，在工程应用中常常是用“数字系统”处理模拟信号。
数字信号处理技术是一门理论性、技术性都很强的科学，涉及知识面非常广，涉及信号分析、离散系统分析、综合实现技术等。
数字信号处理的过程包含变换、运算和识别；对象既有确定信号由于随机信号；处理方法涉及时域、频域和复频域；实现方法不同于模拟处理系统，可以分为软件实现和硬件实现。
软件实现是指按照原理和算法，在通用计算机上编程实现对数字信号的处理；硬件实现指的是按照具体要求，单独设计硬件结构。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
数字信号处理的算法需要利用计算机或专用处理设备如数字信号处理器（DSP）和专用集成电路（ASIC）等。
数字信号处理技术及设备具有灵活、精确、抗干扰强、设备尺寸小、造价低、速度快等突出优点，这些都是模拟信号处理技术与设备所无法比拟的。
数字信号处理的核心算法是离散傅里叶变换DFT.它使信号在数字域和频域都实现了离散化，从而可以用通用计算机处理离散信号。
而使数字信号处理从理论走向实用的是快速傅里叶变换(FFT)，FFT的出现大大减少了DFT 的运算量，使实时的数字信号处理成为可能、极大促进了该学科的发展。
广义来说，数字信号处理是研究用数字方法对信号进行分析、变换、滤波、检测、调制、解调以及快速算法的一门技术学科。
但很多人认为：数字信号处理主要是研究有关数字滤波技术、离散变换快速算法和谱分析方法。
随着数字电路与系统技术以及计算机技术的发展，数字信号处理技术也相应地得到发展，其应用领域十分广泛。
1.2MATLAB简介20世纪70年代，美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler为了减轻学生编程的负担，用FORTRAN编写了最早的MATLAB。
1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市场。
到20世纪90年代，MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件。
MATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学，工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多，工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。
功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算，可视化建模仿真，文字处理及实时控制等功能。
学科工具包是专业性比较强的工具包，控制工具包，信号处理工具包，通信工具包等都属于此类。
MATLAB具有许多的优点比如：语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富；MATLAB既具有结构化的控制语句(如for循环，while 循环，break语句和if语句)，又有面向对象编程的特性;程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行，等等优点。
MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。
附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB 函数集）扩展了MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。
（1）MATLAB常用基本数学函数：abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度、angle(z)：复数z的相角(Phase angle)、 sqrt(x)：开平方、 real(z)：复数z的实部、imag(z)：复数z的虚部、conj(z)：复数z的共轭复数、round(x)：四舍五入至最近整数、fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数、floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数、ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数、rat(x)：将实数x化为多项分数展开、rats(x)：将实数x化为分数表示、sign(x)：符号函数 (Signum function)。
当x<0时，sign(x)=-1；当x=0时，sign(x)=0；当x>0时，sign(x)=1。
rem(x,y)：求x 除以y的馀数gcd(x,y)：整数x和y的最大公因数、lcm(x,y)：整数x和y的最小公倍数、exp(x) ：自然指数pow2(x)：2的指数、log(x)：以e为底的对数，即自然对数或、log2(x)：以2为底的对数、log10(x)：以10为底的对数sin(x)：正弦函数、cos(x)：余弦函数、tan(x)：正切函数。
[3]（2）MATLAB作图语句：一维数组即一个行向量或列向量的作图用“plot ”命令画。
这时横轴表示数组中各数的序号。
“plot ”还可以用指定的自变量数组和对应的函数数组来作图。
如果是二维数组，则横、纵轴分别表示第1个向量和第2个向量。
函数subplot 可以把一个图形窗分为几个区域，在每个区域中分别绘图。
此外，还可以绘制三维图形（mesh ）、直方图（hist ）、等值线图（contour ）等。
（3）控制语句：MATLAB 有和其他高级语言相类似的控制语句，如循环（for ）、中止循环（break ）、条件（if ，while ）等。
（4）用于数字信号处理的工具箱——Signal它包含数字信号处理常用的滤波器设计、傅里叶变换、z 变换等。
二、信号处理原理2.1 DFT 的定义及推导离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
离散傅里叶变换（DFT ）定义：设有限长序列x (n) 长为N （0≤n ≤N-1），其离散傅里叶变换是一个长为N 的频率有限长序列（0≤k ≤N-1），其正变换为()()[]()W nk N N n n x n x DFT k X ∑-===10 0≤k ≤N-1 （W e N j N π2-=）快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nk Nnk N W W N -=+2，12-=N N W ;周期性nk N nk N nrN N k rN n N W W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrN N W ）离散傅里叶变换的推导： 离散傅里叶级数定义为nk j N k p p e k xN n x N 210)(1)(π∑-== （1-1）将上式两端乘以nm j N e π2-并对n在0~N-1求和可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(1101010)(10N 2N 2N 2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j p N n nm j p e k X e k XN e n xπππ 因为{m k 1m k 0)(N )(10)(N 2N 2N 2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n j e e e Nπππ 所以∑∑-=-=--=1010)()()(N 2N k p N n nm j p m k k X e n x δπ 这样∑-=-=10N 2)()(N n nm j p p e n x m X π用k 代替m 得∑-=-=10N 2)()(N n nk j p P e n x k X π（1-2）令N 2πj N eW -= 则（1-2）成为DFS []∑-===10)()()(N n nk N p p p W n x k X n x （1-3）（1-1）成为IDFS []∑-=-==10)(1)()(N n nk N p p p W k X N n x k X （1-4） 式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
其中)()(k X n x p p 、都是周期为N 的周期序列，DFS[·]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[·]表示离散傅里叶级数反变换。
习惯上，对于长为N 的周期序列，把0≤n ≤N-1区间称为主值区，把)1(~)0(-N x x p p 称为)(n x p 的主值序列，同样也称)1(~)0(-N X X p p 为)(k X p 的主值序列。
由于)()()(n R n x n x N p =，对于周期序列)(n x p 仅有N 个独立样值，对于任何一个周期进行研究就可以得到它的全部信息。
在主值区研究)(n x p 与)(n x 是等价的，因此在主值区计算DFS 和DFT 是相等的，所以DFT 计算公式形式与DFS 基本相同。